MECHANICKÉ KMITÁNÍ TLUMENÉ

Transkript

1 MECHNICKÉ KMITÁNÍ TLUMENÉ V skučnosi s čás nrgi u všch mchanických pohybů přměňuj vlivm řní a odporu prosřdí na plo, a nní dy využia V om případě s vlikosi po sobě jdoucích ampliud zmnšují a kmiající sousava koná lumné kmiy Při mnších rychlosch působí proi pohybu síla lumící síla (síla odporu prosřdí) J úměrná rychlosi, kd koficinm úměrnosi j koficin odporu prosřdí R F Rv V nodporujícím prosřdí kmiá ělso s frkvncí f a priodou T Po vložní do odporujícího prosřdí s pohyb zpomalí, prioda T s prodlouží a frkvnc f s zkráí Tělso bud kmia s priodou T a frkvncí f lumných kmiů Rovnic pro výchylku lumného kmiavého pohybu Při kmiavém pohybu v odporujícím prosřdí působí na hmoný bod dvě síly: síla pružnosi F k y, kd k j uhos pružiny a y j okamžiá výchylka, p lumící síla F Rv, kd R j koficin odporu prosřdí a v rychlos Jdnokou konsany k j kgs -, jdnokou konsany R j kgs - Výsldná síla, krá hmonému bodu uděluj zrychlní j rovna jjich vkorovému souču F F F p Odvozní pohybové rovnic: Podl Nwonova zákona můžm psá ma k y Rv d y d y d d Což j pohybová rovnic lumného kmiavého pohybu v varu Po úpravách a pomocí subsiucí k R, b, m m kd b j součinil úlumu (s - ), d y d y b y d d Řšním pohybové rovnic j vzah pro okamžiou výchylku hmoného bodu z rovnovážné polohy lumného kmiavého pohybu

2 V omo případě ovšm ampliuda nmá konsanní hodnou, al zmnšuj s podl xponnciální funkc, kd j počáční ampliuda a b j součinil úlumu Jdnoka součinil úlumu j s - Pro úhlovou frkvnci lumných kmiů plaí vzah: Po dosazní do (5) dosanm, f l Kd T, f jsou prioda a frkvnc kmiavého pohybu, jsliž odsraním lumní f l Kromě koficinu odporu prosřdí R a součinil úlumu b zavádím další konsany, kré charakrizují lumný kmiavý pohyb Jsou o úlum a logarimický dkrmn úlumu Úlum j podíl dvou po sobě jdoucích ampliud sjného směru Tyo ampliudy jsou od sb časově vzdálny o jdnu priodu T Pak b b b l b T b btl b btl btl Úlum j bzrozměrné číslo Logarimický dkrmn úlumu j přirozný logarimus úlumu λ bt ln ln l btl ln btl

3 bt l Rovněž i j bzrozměrná vličina priodický pohyb Tno pohyb vzniká hdy, když j lumní příliš vliké a priodický pohyb vůbc nvznikn Časo j úmyslně vyvářn u měřících přísrojů vhodně volným lumním Rychlos a zrychlní lumného kmiavého pohybu Rychlos j v d d y, drivujm dy vzah pro okamžiou výchylku lumného kmiavého pohybu Proměnná vličina čas s vyskyuj v xponnu ampliudy a v fázi kmiavého pohybu Drivujm proo jako součin dvou funkcí Pak vzah pro rychlos j b b v b sin l l cos l d v Podobně j zrychlní a d Posupně drivujm rychlos podl času Pak zrychlní j b b a b sin b cos l l l l 3 Enrgi lumného kmiavého pohybu Kmiová nrgi nlumných kmiů j konsanní a j popsána výrazm E k U lumných kmiů ampliuda xponnciálně klsá vlivm řní, a proo klsá zárovň clková nrgi b Proož, kd j počáční ampliuda, pak b Po úpravě j E k E b k Výraz V končném varu j vzah pro nrgii lumných kmiů k přdsavuj počáční kmiovou nrgii E E E b

4 MECHNICKÉ KMITY VYNUCENÉ Nucné kmiy vznikají hdy, když nrgii lumných kmiů, krá s řním mění v plo v pravidlných inrvalch, nahrazujm Vnější síla, krá dodává nrgii, s nazývá budící síla Zvlášní případ nasan hdy, když j ao síla harmonická Při nucných kmich působí na ělso ři síly: síla pružnosi F p k y, síla odporová F Rv, 3 síla nuící F n F sin, kd Ω j úhlová frkvnc budící síly Výsldnic všch sil F F F F přdsavuj pohybovou sílu, ovlivňující pohyb kmiajícího hmoného bodu Odvozní pohybové rovnic: p n Pohybová rovnic lumných kmiů j odvozná z základní pohybové rovnic (Nwonova zákonu síly) Zapíšm ji v varu ma k y Rv F sin Po vydělní hmonosí a vyjádřní rychlosi a zrychlní jako první a druhé drivac dráhy podl času dosanm pohybovou nhomognní difrnciální rovnici nucných kmiů Zavdm do rovnic známé konsany a získám var d y d y F b y sin d d m Řšním pohybové rovnic j vzah pro okamžiou výchylku v varu Hmoný bod koná v případě nucných kmiů vlasní lumné kmiy s frkvncí lumných kmiů ω l jn zpočáku pohybu Po určié době yo kmiy usanou a přvládnou kmiy nlumné s ampliudou vynucných kmiů n, frkvncí vynucných kmiů Ω a počáční fází vynucných kmiů γ Vlasní kmiy s uplaňují pouz v zv přchodovém savu Např: rozhoupání houpačky Úpravou dosanm ampliudu nucných kmiů v varu n m F 4b

5 Rzonanc J jv, při krém můžm měni ampliudu nucných kmiů Jsliž posupně měním frkvnci nucných kmiů Ω ak, ž s bud blíži rzonanční frkvnci Ω r, pak s ampliuda nucných kmiů v bud posupně zvěšova V okamžiku rovnosi bud njvěší Dalším zvyšováním frkvnc Ω bud ampliuda vynucných kmiů opě klsa Rzonanc j jv, krý nasan v případě, kdy frkvnc Ω budící síly j sjná jako rzonanční frkvnc Ω r r b Závislos ampliudy j znázorněna na obrázku r F mb b Jsou zd zachycny ři různé rzonanční křivky pro ři různé součinil úlumu b, přičmž b b b 3 Poznámka: V někrých případch j rzonanc jv poziivní, například hdy, když chcm zsíli akusický signál určié frkvnc na pozadí jiných akusických signálů dalších frkvncí Naopak, například v savbnicví, j rzonanc nžádoucí V zvlášních případch mohou bý rzonanční ampliudy kmiajících objků ak vlké, ž rozkmiy povdou k dsrukci savb Takový sav můž nasa hdy, když frkvnc oáčk urbíny j sjná jako rzonanční frkvnc kmiů budovy PŘÍKLDY Uvažuj lumné kmiy, jjichž logarimický dkrmn úlumu j, Jaký j poměr dvou krajních výchylk násldujících po sobě na uéž sranu?, Součinil úlumu j 3 s - Urč dobu, za krou klsn nrgi lumných kmiů na,7s 3 Okamžiá výchylka kmiavého pohybu ělsa j dána rovnicí y = 5 -,5 sin (,5π) (m,s) Urč ampliudu po uplynuí ří priod 4 Okamžiá výchylka kmiavého pohybu ělsa j dána rovnicí y = 5 -,5 sin (,5π) (m,s) Urč výchylku v době, kdy ampliuda klsla na /4 původní hodnoy 5 Okamžiá výchylka kmiavého pohybu ělsa j dána rovnicí y = 5 -,5 sin (,5π) (m,s) Urč výchylku v době, kdy ampliuda klsla na /5 původní hodnoy