Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Transkript

1 ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz

2 ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém prostoru

3 ováí - Hru IV 3/6 tatistické metody vyhodocováí dat

4 ováí - Hru IV 4/6 tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo životostmi částí kostrukce? Jaká je pravděpodobost vziku statické poruchy při zatížeí součásti a daou úroveň apětí? Jaká je pravděpodobost vziku poruchy v důsledku úavy materiálu po absolvováí zvoleého počtu kmitů (ebo hodi provozu) a pro daé zatížeí součásti? Jakou míru rizika mají případá tvrzeí, že po absolvováí určitého počtu kmitů je pravděpodobost porušeí kostrukce stále dostatečě malá? Jak lze získat tzv. bezpečé úavové křivky, kterým lze přiřadit kokrétí hodotu pravděpodobosti porušeí? Jak souvisí volba velikosti součiitele bezpečosti s rizikem možého vziku poruchy? Jak se statisticky výzamě od sebe odlišují dva soubory dat (apř. výsledků zkoušek), případě lze je považovat za jede stejý soubor? Které parametry jedozačě popisují stochastický zatěžovací proces? Jakým způsobem lze simulovat stochastické zatížeí při zkouškách?

5 ováí - Hru IV 5/6 Základí pojmy a vztahy áhodá veličia: veličia která může abývat růzé hodoty, jež se ale řídí určitými zákoitostmi distribučí fukce F(): F( ) ( ) F( ) 0 F( + ) 0 každému reálému číslu 0 přiřazuje pravděpodobost, že áhodá veličia bude mít hodotu mešíči rovu ež toto reáléčíslo 0. F() ( ) F( ) F( ) 0. F(0. 0 )

6 ováí - Hru IV 6/6 Základí pojmy a vztahy hustota pravděpodobosti: ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) d F( ) F( ) F f df d d f() f( 0 )

7 ováí - Hru IV 7/6 Cetrálí momety každé rozděleí áhodé veličiy lze charakterizovat ěkolika čísly, tzv. charakteristikami; ejužívaějšími charakteristikami jsou cetrálí momety (k-tého řádu): + k k µ ( ) f ( ) d k µ k ( ) [ µ ( )] f ( ) d k k středí hodota: rozptyl: šikmost: špičatost: cetr. momet prvího řádu µ + ( ) ( ) f ( ) µ d cetr. momet druhého řádu + + ( ) ( ) [ ( ) ] µ µ f ( ) d cetr. momet třetího řádu cetr. momet čtvrtého řádu > ( ) ( ) směrodatá odchylka ( ) ( ) v ( ) µ variačí součiitel

8 ováí - Hru IV 8/6 Druhy rozděleí ormálí (Gaussovo) logaritmicko-ormálí (logormálí) tudetovo Chí -kvadrát Weibullovo Epoeciálí Mawellovo Fisherovo rovoměré

9 ováí - Hru IV 9/6 Gaussovo ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí časté použití v techické prai áhodý proces je tvoře součtem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů každý vliv má pouze malý příspěvek F f ( ) ( ) π e π e ( µ ) ( µ ) d

10 ováí - Hru IV 0/6 Gaussovo ormálí rozděleí áhodé veličiy ormovaá áhodá veličia: µ u ormovaý tvar distribučí fukce: Φ u u ( u) e du π u ormálího rozděleí leží v oblasti: ± 68,3 %, ± 95,5 %, ±3 99,7 % výsledků 0.4 kvatil: u µ u + µ f(u) % 0. % 5.9% % u u

11 ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí papír F µ ( ) Φ 99.9 [%] 3 u [] iverzí fukce µ ( ) Φ [ F( ) ] u F teto kvatil je lieárí fukcí áhodé proměé, distribučí fukce je tak zobrazea jako přímka a ikoli jako křivka s log s log

12 ováí - Hru IV /6 Okurky akladačky při sklizi mají rozděleí velikosti N(; 6) v cm. taovte, kolik procet okurek je: ř.: Okurky akladačky a) meších ež 9 cm b) větší ež cm c) v itervalu 9 cm ( u ) Φ( + u) Φ ravděpodobost výběru jedé kokrétí hodoty je ulová pro ekoečý základí soubor ebo koečý základí soubor, který daou velikost eobsahuje, eulová pokud diskrétí možia áhodé veličiy přesě hodotu obsahuje!!!

13 ováí - Hru IV 3/6 Odvozeí přepočtu a bezpečý úavový život ( kost ) 0 ( kost X ) kost ( X ) ( X ± Y ) ( X ) + ( Y ) X µ X [ µ X ] + ( ) ( ) [ ( ) ] µ µ f ( ) d ( ) ( ) ( ) u u σ a σ logn B c logn σ a a σ c c + logn B log logn + logn

14 ováí - Hru IV 4/6 Logaritmicko-ormálí rozděleí áhodé veličiy je to model rozděleí, saha využit výhodé vlastosti ormálího rozdělěí pro veličiy které sice rozděleí ormálí emají, ale vhodou trasformaci je a ormálí lze převést) časté použití v techické prai (rozděleí doby do opotřebeí výrobku, prostojů při opravách apod., plocha říčích rýžovišťových ložisek, propustost sedimetárích hori) áhodý proces je tvoře součiem růzých ezávislých vlivů velký počet vlivů, každý vliv má malý příspěvek F f ( ) ( ) M e π M π 0 0 e M log0 ( log µ ) ( logµ ) d jiý pravděpodobostí papír u log ( ) Φ [ F( ) ] F µ

15 Mez Mezí stavy kostrukc stavy kostrukcí a jejich poru a jejich porušov ováí - Hru IV Hru IV 5 5/6 tudetovo rozděleí ( ) Γ 0 d e c c m m c ( ) + + Γ + Γ f π Chí -kvadrát rozděleí ( ) > Γ 0... e f

16 ováí - Hru IV 6/6 Základí soubor vs. áhodý výběr základí soubor (možia hodot áhodé veličiy s daým rozděleím) áhodý výběr (skupia hodot ze základího souboru) jiý áhodý výběr (skupia hodot ze základího souboru)

17 ováí - Hru IV 7/6 tatistické zkoumáí opisá statistika je zám celý statistický soubor a pomocí statistických metod jsou charakterizováy skutečosti, které již astaly. tatistický soubor je koečý a jediečý. tatistická idukce pracuje se souborem údajů, které tvoří zpravidla je malou část základího souboru, jehož hodoty čekají a svoji realizaci. Úkolem tedy je vyjádřit skutečost, která teprve astae, ebo skutečost, která již astala, ale která může být pozorováa pouze částečě. Základím předpokladem iduktivích přístupů je, že část základího souboru, se kterou se pracuje, je reprezetativím vzorkem áhodým výběrem.

18 ováí - Hru IV 8/6 tatistický odhad Bodový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy (ezámého čísla) výběrovou charakteristikou (zámým vypočteým číslem). Výběrová charakteristika, která představuje bodový odhad je áhodou veličiou, a proto se její hodoty při opakovaém odhadováí liší od odhadovaé charakteristiky a výrok o přesosti odhadu je ejistý. Bodové odhady musí mít určité vlastosti, podle ichž lze posoudit vhodost použití daé veličiy k odhadu charakteristiky. rotože k odhadu lze použít zpravidla růzé výběrové charakteristiky, je třeba staovit kriteria pro jejich volbu. Itervalový odhad odhad charakteristiky rozděleí áhodé veličiy, při ěmž kromě čísla, kterým se charakteristika odhaduje, udává ještě přesost a spolehlivost této přesosti. Jiými slovy, určuje se iterval (kofidečí iterval), který s předem zvoleou pravděpodobostí (kofidečí koeficiet, koeficiet spolehlivosti) zahruje hodotu ezámé charakteristiky rozděleí áhodé veličiy.

19 ováí - Hru IV 9/6 ř.: Úavová zkouška ři statistickém zjišťováí Wöhlerovy křivky se zkouší a každé zvoleé hladiě apětí daý počet vzorků, vyhodoceím podle avržeého modelu rozděleí Gaussovo ormálí rozděleí pro log(n) lze získat Wöhlerovu křivku pro daou pravděpodobost porušeí. U: Zpracovat statisticky výsledky zkoušky a hladiě σ i 65 Ma. D: zkoušeo 4 vzorků do poruchy Vzorek N0 3 [-] 9, 03,0 4,4 3,4 83,8,0 74,0 Vzorek N0 3 [-] 39, 68,7 3,4 54,0 346,6 87, 5,7 Data z příkladu jsou vlastě áhodým výběrem 4 vzorků z daleko širšího základího souboru všech možostí!

20 ováí - Hru IV 0/6 Relativí četost a rel. kumulativí četost i X i N i 0 3 [-] i log(n i ) [-] [%] ,4 68,7 87, 03,0 3,4 3,4 5,095 5,7 5,7 5,307 5,39 5,39 6,67 3,33 0,00 6,67 33,33 40,00 relativí č etost ,7 9,,0 54,0 74,0 83,8 346,6 5,334 5,34 5,344 5,405 5,438 5,453 5,540 46,67 53,33 60,00 66,67 73,33 80,00 86,67 relativí kumulativí četost ( ) 00 % i i , 5,59 93,33 N i [kc] X i áhodá proměá, log(n i ) i trasformovaá áhodá proměá, ( i ) pořadová pravděpodobost (udává poměrou část výběru mající hodoty meší ež daá hodota i ).

21 ováí - Hru IV /6 Bodový odhad Název Vzorec Hodota Výběrový aritmetický průměr log( N) i i 5,358 Výběrový geometrický průměr Mediá Modus Výběrový rozptyl měrodatá odchylka výběru geom i i + m ( k ), k pro liché; ( k ) + ( k + ) m, k pro sudé Nejčastější hodota ˆ ( i ) i ˆ ˆ K K ( 3), 09 5,356 5,338 5,39 0,057 0,8 Výběrový variačí součiitel vˆ ˆ 0,04

22 ováí - Hru IV /6 Itervalový odhad středí hodoty Hladia spolehlivosti α: pravděpodobost s jakou je očekáváo, že určovaý parametr rozděleí se bude vyskytovat ve vypočteém itervalu (v techice 95 %, 90 % i 97,5 %) pro příklad Riziko: β-α Itervalový odhad středí hodoty ormálího rozděleí je založe a skutečosti, že áhodá proměá t podléhá tudetovu rozděleí s (-) stupi volosti, tj. v3 ve výrazu pro t. rozděleí a itervalový odhad. t µ ˆ v výběrový odhad středí hodoty skutečá středí hodota

23 ováí - Hru IV 3/6 Itervalový odhad středí hodoty t µ ˆ α v + tα α t α ˆ v 5,8 µ 5, µ 5,358 ˆ 0,8 t v α N 3, 6 + t α ˆ v

24 ováí - Hru IV 4/6 Itervalový odhad rozptylu χ ˆ ( ) ˆ ˆ χ (, ) β χ (, ) ˆ 3 χ ( ) 0,05 4, 4,74 χ ( ) 0,05 4, 0,008 0,09 0,057 5,0 0,04 0,0 β

25 Mez Mezí stavy kostrukc stavy kostrukcí a jejich poru a jejich porušov ováí - Hru IV Hru IV 5 5/6 Dolí iterval spolehlivosti u ˆ + z příkladu je možé určit: uté rozšířit o iformaci, jak je spolehlivý: ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ,,,, u u u u u k u u k β β β β β β β

26 ováí - Hru IV 6/6 ravděpodobostí papír příkladu ˆ log logn log ˆ logn logn log i, β logn + i ( logn logn ) K ˆ log logn + u k i, β logn ˆ log ( u, u ) ˆ β log i Eistuje 5% riziko, že po acyklováí 44 4 cyklů se poruší z zkušebích vzorků základího souboru.