0.1 reseny priklad 4. z

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "0.1 reseny priklad 4. z"

Lukáš Valenta
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Uvadim dva rsn priklad, abch pokud mozno napravil zmak na cvicni. Js o okomnuju pris.. rsn priklad 4. z 9.. Najd sandardni fundamnalni maici pro Cauchho ulohu = = Prislusna maic j 7 5 a jji vlasni cisla λ = 6 + i a λ = 6 i, d komplxn sdruzna. Pokud ma ralna maic komplxni vlasni cislo λ, musi b vzd vlasnim cislm i cislo komplxn sdruzn λ. Najdm vlasni vkor v, v. λ = 6 + i: λ = 6 i: = = i i v i = i 7 6 i + i v 5 6 i = + i i + i Vsimn si, z vlasni maic A λ E j komplxn sdruzna s maici A λ E, coz j pravda obcn, jlikoz A j ralna a vlasni cisla jsou komplxn sdruzna. Podobn vlasni vkor jsou komplxn sdruzn. Coz op plai obcn, jlikoz komplxni sdruzni soucinu j soucin komplxnich sdruzni :-, d a b = ab. A proo i pro soucin s maici plai = A λ Ev = = A λ Ev = A λ Ev = A λ Ev. Posupujm-li sjn jako v ralnm pripad, vim, z u = λ v a u = λ v jsou rsnim a vori bazi vkorovho prosoru rsni ovsm nad lsm komplxnich cisl. Navic vim, z jsou o komplxn sdruzn vkorov funkc. Pro libovoln komplxni cislo c lz napsa jho ralnou a imaginarni cas ako R c = c + c, Im c = c c. i Td jako linarni kombinaci cisl c a c! Jlikoz j u komplxn sdruzna funkc s u, jsou funkc = R u = R u a = Im u = Im u ak dvojici nzavislch rsni a nni uz dvojici ralnou. Zp k nasmu prikladu. Za bazi ralnho prosoru rsni, vzmm ralnou a komplxni cas funkc λ v = 6 i cos + i sin = 6 cos + sin + isin cos cos + i sin

2 d fundamnalni maic j V = 6 cos + sin sin cos cos sin Nalzni sandardni fundamnalni maic uz zna. Hldam rsni Cauchho uloh pro obcn pocacni bod u = ξ, ξ v varu Vc. V cas = dosavam rovnici pro vkor c, Vc = ξ, konkrn c ξ = c ξ Rsnim sousav j c = ξ, c = ξ ξ. Rsni obcn Cauchho uloh j d u = 6 ξ cos + sin + ξ ξ sin cos ξ cos + ξ ξ sin = 6 cos sin ξ + sin ξ sin ξ + cos + sin ξ odud jiz prcm SFM. SFM j ralna, jlikoz drivac komplxni slozk j nulova z rovnic.. rsn priklad na nhomognni sousavu J o prvni priklad z cvika. Rsm nhmognni vrzi prikladu. z 9.. : = + + = cilm j naji rsni pro obcnou pocacni podminku = ξ. SFM homognni sousav j U, = 5 + 3, , Na cvicni jsm o ndopocial pomoci vzorcku = U, ξ + U, τfτ dτ, kd U, j SFM prchodu z casu do casu a f j prava srana sousav varu Av = f. Lpsi j vzorck js upravi na = U, ξ + U, U, τfτ dτ = U, ξ + im usrim o zavrcn nasobni, na kr jsm uz nml moral. U τfτ dτ Konkrn. Njprv pociam U τfτ: 5 τ + 3 τ, 5 τ τ τ 3 τ, 3 5 τ + τ τ = 5 τ + 3 τ + 5 4τ τ 3 τ τ +

3 Dal vsldk ingruju podl τ: [ U τfτ dτ = 5 5 τ 3 τ 4 5 4τ τ τ + 3 τ τ + τ = = Tim jsm dosali parikularni rsni pro ξ =. Pripsa k omu +U, ξ uz jis kazd zvladn. Prav popsan posup, j vhodn v om, z snadno napism invrzi maici SFM U, nicmn pro sousav x muz b vhodnjsi primocar posup pomoci variac konsan. Hldam rsni v varu = Vc, pricmz za fundamnalni maici V bru u co vznikn z vlasnich vkoru, jlikoz bva pomrn jdnoducha. V nasm pripad j V = kdz vkorovou funkci = Vc dosadim do nhomognni rovnic dosanu pro urcni vkorov funkc c: Vc = f konkrn c = To j sousava linarnich rovnic, al s paramrm. Pro rsni pouzijm Cramrovo pravidlo = 46 c = = 3, c 4 = 4 6 = Ingraci nurci ingral dosanm c a c : c = K, c = K Obcn rsni d j: = Vc = K = K + K K K + 3K 5 Pokud chcm spcialni parikularni rsni dan pocacni podminkou = ξ =, d sjn jako pri prdchozim posupu, dopociam konsan K a K z rovnic K + K = K + 3K =. Zkus si o dopocia a zkonrolova. K = 9, K = 3 Vsimn si, z jsm mli mnohm snazsi ingrovani a nasobni blo srovnaln mnoho. Pokud vsak vchozi fundamnalni maic nbud ak jdnoducha, muz s no posup pkn zvrhnou. ]

4 .3 Priklad k rsni. js jdn priklad na komplxni vlasni cisla; najd SFM = = 5. najd parikularni rsni sousav = + = najd rsni Cauchho uloh s pocacni podminkou =, pro sousavu: 3 = +

5 rsni:. U, = 3 cos sin, sin, 5 sin cos + sin. 3. u p = = doporucuju posup cislo dva

Podobné dokumenty

8. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice prvního řádu separovatelná, homogenní, lineární, Bernoulliova, exaktní...

Sbírka úloh z mamaik 8. Občjné difrnciální rovnic 8. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE... 94 8.. Difrnciální rovnic prvního řádu sparovalná homognní linární Brnoulliova akní... 94 8... Sparovalná difrnciální