Téma 2: Náhodná veličina

Transkript

1 Téma : Náhodá vlča řdáška 3 Záko rozdělí pravděpodobostí Náhodou vlčou rozumím číslé ohodocí výsldku áhodého pokusu Náhodá vlča j rálá ukc E dovaá a možě lmtárích jvů I Každému lmtárímu jvu E z možy lmtárích jvů I přřazuj právě jdo rálé číslo E rostor hodot vlčy j moža {; E } Náhodé vlčy začím vlkým písmy z koc abcdy Y příp a jjch kokrétí ralzac malým písmy y omocí áhodých vlč můžm zavést áhodé jvy apř < < Náhodou vlčou j apř žvotost výrobku ktrá můž tortcky abýt jakékol záporé hodoty doba čkáí a obsluhu u íž j rověž {; > } počt poruch a zařízí běhm hod provozu kd {; 3 } odl typu rozlšujm áhodé vlčy a a spojté dskrétí b spojté ro úplý pops áhodé vlčy j uté zát j možu hodot al pravděpodobost výskytu těchto hodot záko rozdělí áhodé vlčy Záko rozdělí pravdlo ktré každé možě B hodot áhodé vlčy přřazuj pravděpodobost ž áhodá vlča abud hodoty z B ops áhodé vlčy provádím jčastěj pomocí ukcí a pomocí charaktrstk: ukc - dstrbučí ukc charaktrstky - polohy - pravděpodobostí ukc - varablty - ukc hustoty pravděpodobost - škmost a špčatost Dstrbučí ukc áhodé vlčy přřazuj každému rálému číslu pravděpodobost ž áhodá vlča abud hodoty mší bo rové číslu : ukc má tyto vlastost: pro každé rálé číslo platí j klsající zprava spojtá ukc - 4 -

2 3 pro každou dstrbučí ukc platí lm lm pokud j obor možých hodot { a b } 4 < + ; potom a b ops rozdělí spojté dskrétí áhodé vlčy ravděpodobostí ukc p každému rálému číslu přřazuj pravděpodobost ž áhodá vlča abud této hodoty: ukc p má tyto vlastost: pro každé rálé číslo platí p p součt pravděpodobostí přs clý obor hodot áhodé vlčy j rov p můžm vyjádřt tabulkou tj p p p p gram [ p] 3 5 p

3 matmatckým vzorcm apř π π p ro pravděpodobostí ukc platí 3 jak kd π j daá pravděpodobost p r p k r k ops rozdělí spojté áhodé vlčy Hustota pravděpodobost spojté áhodé vlčy j záporá ukc taková ž t dt kd R ukc má tyto vlastost: d d d kd drvac stuj d 3 < < d < < Odtud ply ž pro spojtou áhodou vlču j vždy ukc můžm vyjádřt vzorcm a gram Např 5 5 pro > pro

4 Charaktrstky polohy Njdůlžtější charaktrstkou áhodé vlčy j střdí hodota E lz ozačt také µ Jdá s o hodotu kolm íž áhodá vlča kolísá Udává polohu rozdělí a rálé os J dováa vztahm v případě spojté vlčy v případě spojté vlčy E p E d za přdpokladu ž uvdá řada popř tgrál kovrguj absolutě Střdí hodota má tyto vlastost: Ek k kd k j lbovolá kostata Ek k E 3 E+Y E + EY 4 EY EEY jsou-l a Y závslé % kvatl áhodé vlčy s rostoucí dstrbučí ukcí j taková hodota áhodé vlčy pro ktrou platí < < - Kvatl 5 s azývá mdá platí tdy 5 Vybraé kvatly důlžtých rozdělí jsou tablováy odus o ˆ j hodota áhodé vlčy s jvětší pravděpodobostí pro dskrétí áh vlču rsp hodota v ktré má ukc mamum pro spojtou áh vlču - 7 -

5 Charaktrstky varablty Základí charaktrstkou varablty j rozptyl D často ozačovaý : D {[ E ] } E v případě spojté vlčy [ E ] p D D d v případě spojté vlčy [ E ] Vlastost: D k D k k D 3 D +Y D + D Y jsou-l a Y závslé 4 D E E to j výpočtí tvar rozptylu D E [ E ] E[ E + E ] E E[ E ] + E[ E ] E E E + E E E E Výpočtí tvar rozptylu pro dskrétí áhodou vlču j µ D p výpočtí tvar pro spojtou áhodou vlču j D d µ 5 D pro každou áhodou vlču Rozptyl s vyjadřuj v čtvrcích jdotk áhodé vlčy µ Další mírou varablty j směrodatá odchylka D J dovaá jako odmoca z rozptylu má stjou jdotku jako áhodá vlča: D D µ < µ < µ 3 3 µ µ µ 3 3 < < 3 µ µ µ 3 µ µ - 8 -

6 Charaktrstky škmost a špčatost Tyto charaktrstky jsou dováy pomocí ctrálích momtů: { } r r tý ctrálí momt E [ E ] µ r v případě spojté vlčy µ r [ E ] r p v případě spojté vlčy µ r [ E ] r d r µ 3 koct škmost 3 3 J-l a 3 j rozdělí symtrcké b 3 < j rozdělí zškmé doprava c 3 > j rozdělí zškmé dolva µ 4 koct špčatost J-l a 4 j rozdělí stjě špčaté jako ormálí b 4 < j rozdělí plošší ž ormálí c 4 > j rozdělí špčatější ž ormálí řdáška 4 - Rozdělí spojté dskrétí áhodé vlčy Altratví rozdělí Aπ Náhodá vlča abývá hodot tj { } Udává zda v daém pokus asta úspěch bo úspěch když pravděpodobost úspěchu j π < π < ravděpodobostí ukc π π p jak - 9 -

7 charaktrstky E D 4 3 π π π π π π 6π π π π říklady: počt zmtků př áhodém výběru výrobku počt zásahů př jdom výstřlu počt spojí př tloím voláí dkuj astoupí č astoupí áhodého jvu Bomcké rozdělí B π Náhodá vlča udává počt úspěchů v posloupost závslých altratvích pokusů přčmž úspěch v každém pokusu astává s pravděpodobostí π < π < ravděpodobostí ukc π p π jak charaktrstky E D 3 4 o ˆ π π π π 6π π π π π π + π ˆ + π ají-l vlčy stjé altratví rozdělí s paramtrm π a jsou závslé potom vlča má bomcké rozdělí B π s paramtry a π Altratví rozdělí j tdy spcálím případm bomckého rozdělí pro říklady: počt padutých šstk v pět hodch hrací kostkou počt vadých výrobků z clkového počtu výrobků j-l pravděpodobost výskytu vadého výrobku 5 počt spojí př tloích voláích počt zásahů př výstřlch Názv rozdělí pochází z skutčost ž výraz π π j obcý čl bomcké- ho rozvoj dvojčlu [ + π ] π - -

8 ossoovo rozdělí λ Náhodá vlča abývá hodot a udává buď počt událostí k mž dojd v časovém trvalu délky t bo počt výskytů daých prvků v gomtrcké oblast o pvé vlkost jstlž k událostm č výskytům dochází jdotlvě a závsl a sobě λ > udává střdí počt událostí rsp výskytů ravděpodobostí ukc charaktrstky λ p! λ jak E D 3 4 o ˆ λ λ λ λ λ ˆ λ říklady: počt poruch stroj za směu počt hod a jstém místě za rok počt zákazíků v obchodě běhm hody počt vad a povrchu výrobku počt vad v balíku látky počt bubl a tabul skla Hodoty pravděpodobostí ukc ossoova rozdělí jsou pro ěktré hodoty λ tablováy ossoovo rozdělí j lmtím případm Bomckého rozdělí když π a π λ J-l > 3 π < pak platí Toho lz využít př umrckých výpočtch π π λ! λ Hyprgomtrcké rozdělí HGN ám N objktů mz mž j s sldovaou vlastostí apř 4 vadé výrobky v sér kusů 6 čísl z 49 a ktrá sázjící Sportky vsadl Vybrm áhodě bz vrací objktů Náhodá vlča udává počt vybraých objktů s sldovaou vlastostí ravděpodobostí ukc N p N ma { N + } m{ } jak - -

9 charaktrstky E D 3 o ˆ π N π π N π N N a ˆ a π N a + + N + říklady: počt vadých výrobků mz áhodě vybraým výrobky z dodávky Sportka 5 z 4 šťastých čísl j tzv výběrový podíl; j-l tto podíl mší ž 5 lz hyprgomtrcké rozdělí N apromovat bomckým rozdělím s paramtry π tdy N π π N J-l rozsah N vlký a rlatvě malé potom rozdíl mz výběrm bz vrací rozdělí HGN a s vracím rozdělí B π j zadbatlý J-l avíc π a > 3 j možé hyprgomtrcké rozdělí apromovat osso- N ovým rozdělím kd λ N tdy N N λ λ! řdáška 5 - Rozdělí spojté áhodé vlčy Rovoměré rozdělí R ß Spojtá áhodá vlča má rovoměré rozdělí a trvalu jstlž ukc hustoty < < jak - -

10 - 3 - dstrbučí ukc < < charaktrstky E D 3 4 kvatly říklady: doba čkáí a astoupí jvu ktrý s v pravdlých trvalch opakuj doba čkáí a vlak mtra a dodávku zboží pokud s pravdlě opakují chyby př zaokrouhlováí čísl Vztah mz a : < < dt dt t ; < < ; Odvozí charaktrstk z dc: + b a d d E 3 3 µ µ + d d E E D

11 - 4 - tj + Užtí: < < d Epocálí rozdělí E Náhodá vlča udává dobu čkáí a příchod událost ktrá s můž dostavt každým okamžkm s stjou šací bz ohldu a dosud pročkaou dobu ukc hustoty > a dstrbučí ukc > kd > R charaktrstky E D 3 4 kvatly p + 6 l l + říklady: tor hromadé obsluhy tor spolhlvost tor obovy doba čkáí a obsluhu žvotost zařízí

12 - 5 - Vztah mz a : pro > dt dt t t pro > Odvozí charaktrstk z dc: µ µ + d d D d d E l tj Užtí: > pro > < < pro d Normálí rozdělí Nµ Jdo z jdůlžtějších rozdělí Vzká v stuacích kdy s k kostatě µ přčítá vlké možství áhodých vlč vlvů patrě kolísajících kolm uly Vzká varablta charaktrzovaá číslm Výzamost ormálího rozdělí spočívá také v tom ž j lmtím rozdělím To zamá ž za určtých podmík s k ěmu blíží řada jých spojtých dskrétích rozdělí vz ctrálí lmtí věta ukc hustoty R µ π dstrbučí ukc R dt dt t t µ π

13 ukc hustoty N5; 5 Dstrbučí ukc N5; charaktrstky E D kvatly o µ 3 4 µ+ u µ µ lochy v jdotlvých pásch jsou pravděpodobost pro: µ < < µ µ < < µ µ 3 < < µ Gram ukc hustoty j Gaussova křvka ktrá dosahuj svého mama v bodě µ hodota mama j π 4 Výpočt dstrbučí ukc j obtížý Gaussův pravděpodobostí tgrál í aalytcky vyjádřtlý stuj k ěmu prmtví ukc vyjadřuj s kočým rozvojm řady ro každé µ a bychom musl počítat zovu provdm trasormac áhodé vlčy a tzv ormovaou áhodou vlču U : µ Trasormac U přvádí áhodou vlču s rozdělím Nµ a áhodou vlču pro ktrou platí ž E a D potom U ~ N ukc hustoty dstrbučí ukc Φ u u ϕ u u R π u u φ t dt dt u R π u - 6 -

14 ukc hustoty N; Dstrbučí ukc N; u u charaktrstky E D kvatly u o 3 4 tab A dstrbučí ukc Φu lz aalytcky vyjádřt kočý rozvoj má pro u R tvar u u u Φ u + u π 3! 5! 7 3! Hodoty dstrbučí ukc jsou pro kladé hodoty tablováy pro záporé hodoty platí Φ u Φ u Jstlž ~ Nµ µ U ~ N pak platí Φ u Φ omocí tohoto vztahu j možé staovt hodotu dstrbučí ukc pro lbovolé a lbovolé paramtry µ a Vztah mz kvatly rozdělí Nµ a kvatly u rozdělí N : Užtí: µ µ Φ Φ u rsp u µ + u µ Φ R µ µ < < Φ Φ R Logartmcko ormálí rozdělí LNµ Nchť j záporá áhodá vlča á-l áhodá vlča l ormálí rozdělí Nµ potom áhodá vlča má logartmcko-ormálí rozdělí LNµ hodoty jsou tablováy pro < 5 platí u u

15 ukc hustoty dstrbučí ukc l π t dt µ > jak > jak 4-3 ukc hustoty LN6; charaktrstky E D kvatly o 3 4 µ+ µ ω ω ω ω + ω 4 3ω + ω µ+ µ u µ kd ω ř popsu áhodé vlčy ~ LNµ postupujm tak ž j trasormujm a áhodou vlču l ~ Nµ ; potom pro ormovaou áhodou vlču U platí µ U l ~ N l µ platí tdy Φ Φ u kd Φu j dstrbučí ukc N a l µ ro platí: Φ Φ u u µ + µ u l l µ u - 8 -

16 l µ Užtí: Φ > l µ l µ < < Φ Φ > Logartmcko-ormálí rozdělí s uplatňuj jako modl příjmových a mzdových rozdělí doby obovy opravy výměy zařízí vlkost částc sypkých matrálů v tor spolhlvost arsoovo rozdělí χ ν arsoovo rozdělí áhodé vlčy χ χ ν přdstavuj rozdělí áhodé vlčy χ s ν stup volost píšm χ U + U + + U kd U U U jsou závslé áhodé vlčy s rozdělím N aramtr ν počt stupňů volost zpravdla vyjadřuj počt závslých pozorováí zmšý o počt lárích podmík a pozorováí kladých; v ašm případě j ν ukc hustoty rozdělí χ ν pro ν 5 a ν 6 5 ν 5 5 ν V matmatcké statstc s často používají kvatly χ tohoto rozdělí Jsou zpravdla tablovaé pro růzé hodoty a stupě volost ν 3 Jstlž ν > 3 lz použít k staoví přblžé hodoty kvatlu vztah ν + u χ ν p kd u j kvatl rozdělí N - 9 -

17 Studtovo rozdělí tν á-l áhodá vlča U stadardzovaé ormálí rozdělí U ~ N áhodá vlča χ arsoovo rozdělí χ ~ χ ν a jsou-l U a χ závslé pak áhodá vlča ν má Studtovo rozdělí s ν stup volost píšm t tν t U χ 4 ukc hustoty t rozdělí proν a ν 35 3 ν ν ukc hustoty pravděpodobost j symtrcká kolm střdí hodoty Et Kvatly Studtova rozdělí jsou pro ν 3 a > 5 tablováy pro < 5 platí vztah t t J-l ν > 3 lz kvatly Studtova rozdělí ahradt kvatly ormovaého ormálího rozdělí N : t u shrovo Sdcorovo rozdělí ν ν á-l áhodá vlča rozdělí χ rozdělí χ ~ χ ν s ν stup volost a jsou-l χ ~ χ ν s ν stup volost a áhodá vlča χ a χ χ závslé pak áhodá vlča χ χ : ν ν má shrovo-sdcorovo rozdělí s ν a ν stup volost a píšm ~ ν ν - 3 -

18 ukc hustoty rozdělí 8 6 3; 4 3; schrovo-sdcorovo rozdělí j asymtrcké Kvatly rozdělí jsou pro > 5 tablováy pro < 5 s určí z vztahu ν ν ν ν řdáška 6 Tortcké základy statstky Záko vlkých čísl Jstlž opakujm závsl ějaký pokus můžm z pozorovaých hodot sstavt rozdělí rlatvích čtostí a ormac o tomto rozdělí shrout do charaktrstk Toto rozdělí rsp charaktrstky azvm mprckým rozdělím rsp mprckým charaktrstkam ř dodržováí jstých podmík můžm očkávat ž mprcké rozdělí rsp charaktrstky s bud blížt tortckému rozdělí rsp charaktrstkám a to tím víc čím větší bud počt ralzovaých pokusů Toto j obcé vyjádří zákoa vlkých čísl oz: J třba s uvědomt ž přblžováí mprckých hodot k hodotám tortckým má charaktr matmatcké kovrgc al kovrgc pravděpodobostí ravděpodobostí kovrgcí rozumím skutčost ž př vzrůstajícím počtu pokusů s pravděpodobost větších odchylk mprckých hodot od tortckých stál zmšuj Jstlž pro posloupost áhodých vlč platí vztah c < ε ε lm > říkám ž posloupost { } pravděpodobostě kovrguj kovrguj podl pravděpodobost k kostatě c ravděpodobostí kovrgc s ozačuj c - 3 -

19 Ctrálí lmtí věty Ctrálí lmtí věty s zabývají ormálím rozdělím jako lmtím rozdělím k ktrému s ěktrá já rozdělí za určtých podmík blíží odstatou CLV j tvrzí ž áhodá vlča ktrá vzkla jako součt vlkého počtu vzájmě závslých áhodých vlč má za vlm obcých podmík přblžě ormálí rozdělí Říkám ž áhodá vlča jjímž lmtím zákom rozdělí j rozdělí ormálí má tzv asymptotcky ormálí rozdělí Njjdodušším tvarm ctrálí lmtí věty j ovr-laplacova věta jstým zobcěím j věta Lévy-Ldbrgova Tyto věty s lší podmíkam jjchž splěí s požaduj ovr-laplacova věta Nchť áhodá vlča má bomcké rozdělí s paramtry a π tj ~ Bπ poz: j součtm závslých áhodých vlč z chž každá má altratví rozdělí Aπ střdí hodotu E π a rozptyl D π-π odl ovr-laplacovy věty platí pro ormovaou áhodou vlču kd Φu j dstrbučí ukc rozdělí N π U lmtí vztah lm U u Φ u π π ovrova-laplacova věta tdy říká ž př dostatčě vlkém počtu závslých pokusů kovrguj bomcké rozdělí k rozdělí ormálímu Apromac j vhodá jstlž π π > 9 Lévy-Ldbrgova věta Lévy-Ldbrgova věta j zobcěím ovr-laplacovy věty Nchť áhodá vlča j součtm závslých áhodých vlč ktré mají stjý záko rozdělí s kočou střdí hodotou E µ a kočým rozptylm D Střdí hodota a rozptyl áhodé vlčy jsou vzhldm k závslost a stjému rozdělí vlč rovy E µ a D otom opět pro ormovaou áhodou vlču kd Φu j dstrbučí ukc rozdělí N µ U platí lmtí vztah lm U u Φ u - 3 -

20 Věta čí žádý přdpoklad o tvaru rozdělí áhodých vlč rozdělí mohou být dskrétí bo spojtá vlčy však musí být závslé a mít totéž rozdělí s kočým rozptylm raktcké užtí Lévy-Ldbrgovy věty j opodstatěé pro dostatčě vlké zcla postačující j > často stačí > 3 říklad: Když vzmm místo aměřých hodot ktré mají ormálí rozdělí průměry z 5 áhodých čtvřc těchto hodot dostam data ktrá mají k ormaltě blíž ž původí měří raktcké stuac v ktrých L-L větu použjm j možé popsat pomocí výběrového úhru tj vlčy rsp pomocí výběrového průměru tj vlčy řdpokládjm tdy ž jsou závslé áhodé vlčy ktré mají lbovolý dtcký záko rozdělí E µ D potom pro vztahy a vlastost j lbovolě malá pravděpodobost: a pro výběrový úhr ~ as N µ E µ D E µ U ~ as N D m µ m m Φ m µ u < < u platí ásldující b pro výběrový průměr ~ as N µ E µ D U E µ ~ as N D µ Φ µ u < < u

21 Věta o ormálím rozdělí Často al bud ormálí rozdělí sldovaé áhodé vlčy jako jjí tortcký modl zcla přjatlé otom bud uté pro pops stuací pomocí výběrového úhru rsp výběrového průměru použít ctrálí lmtí větu V další část kurzu statstky s budm zabývat odhadováím zámých paramtrů sldovaé vlčy a tstováím hypotéz o vlastostch této vlčy Jdá s o mtody ktré budou často založé a přdpokladu ž áhodý výběr pochází z ormálího rozdělí V obou těchto případch budm využívat jako mtodu bo jako tortcké východsko použtých mtod tzv větu o ormálím rozdělí: Nchť áhodá vlča j součtm závslých áhodých vlč ktré mají ormálí rozdělí s paramtry µ a [µ E D ] Střdí hodota a rozptyl áhodé vlčy jsou vzhldm k závslost a ormálímu rozdělí vlč rovy E µ a D otom pro ormovaou áhodou vlču U µ platí vztah U u Φ u kd Φ u j dstrbučí ukc rozdělí N raktcké stuac v ktrých větu o ormálím rozdělí použjm j možé popsat pomocí výběrového úhru tj vlčy rsp pomocí výběrového průměru tj vlčy řdpokládjm tdy ž jsou závslé áhodé vlčy ktré mají ormálí rozdělí E µ D potom platí ásldující vztahy a vlastost j lbovolě malá pravděpodobost: a pro výběrový úhr ~ N µ E µ D E µ U ~ N D m µ m m Φ

22 m µ u < < u b pro výběrový průměr ~ N µ E µ D U E µ ~ N D µ Φ µ u < < u c Nchť S j výběrový rozptyl Statstka χ S má arsoovo rozdělí χ a platí χ / < s < χ / µ d Statstka t S má Studtovo rozdělí t a platí t / < µ s < t -/ oz: Část c a d této věty využjm př kostrukc trvalových odhadů a odvozí tstových krtérí pro tstováí paramtrů ormálího rozdělí tj za přdpokladu ž sldovaá áhodá vlča má ormálí rozdělí