Dirichletův princip U1 Dirichletův princip a jeho důkaz. U2 Na konferenci 70 delegátů hovoří 11 různými jazyky, stejným jazykem nejvíce 15 z nich. Za oficiální je považován takový jazyk, kterým hovoří nejméně 5 delegátů. Dokažte, že to jsou alespoň tři jazyky. D1 Z libovolných 82 přirozených čísel lze vybrat dvě čísla tak, aby jejich rozdíl byl dělitelný číslem 81. Dokažte. D2 Vybereme-lizmnožiny {1,2,3,...,100}libovolně12různýchčísel, pak rozdíl některých dvou z nich bude dvojmístné číslo zapsané dvěma stejnými číslicemi. Dokažte. D3 Dokažte,žeze111různýchcelýchčíselsevždydávybratjedenáct takových, že jejich součet je dělitelný jedenácti. D4 Součin(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)jedělitelnýčíslem12, ať jsou celá čísla a, b, c, d zvolena jakkoliv. Dokažte. D5 Žádnézdaných17celýchčíselnenídělitelnéčíslem17.Dokažte,že součet několika z těchto daných čísel je násobkem čísla 17. D6 Některézčísel1,11,111,1111,... jedělitelnéčíslem2009.dokažte. D7 Dokažte,žez23různýchcelýchčíselsevždydajívybratdvětaková, že jejich druhé mocniny končí stejným dvojčíslím.
D8 Je-li přirozené číslo k nesoudělné s číslem 10, pak zápis některé mocniny čísla k v desítkové soustavě končí pětičíslím 00001. Dokažte. n D9 Prokaždécelé n >1dokažte:zlibovolných +2různýchcelých 2 čísellzevybratdvěčísla x ytak,abyalespoňjednozčísel x y, x+ybylodělitelnéčíslem n. D10 Součindevítirůznýchpřirozenýchčíseljerovenčíslu150 2011.Dokažte, že součin některých dvou z nich je druhá mocnina přirozeného čísla. D11 Množina X je tvořena 37 přirozenými čísly, přičemž jejich součin má právě tři různé prvočinitele. Dokažte, že součin tří vhodných různých čísel z X je třetí mocnina přirozeného čísla. Č1 Vybereme-lizmnožiny A={1,4,7,...,97,100}libovolně19různýchčísel,paksoučetněkterýchdvouznichbuderoven104.Dokažte. Č2 Vybereme-lizmnožiny A={1,2,3,...,119,120}libovolnýchpět složených čísel, pak některá dvě z nich budou určitě soudělná. Dokažte. Č3 Jemožné36sochohmotnostech490kg,495kg,500kg,...,665kg naložitnasedmaut,má-likaždéznichnosnost3tuny? Č4 Tabulka6 6jezaplněnačísly 1,0,1.Sečtemečíslavjednotlivých řádcích,sloupcíchiobouúhlopříčkách.dostaneme6+6+2=14 součtů. Dokažte, že některé dva z nich se sobě rovnají.
Č5 Vkaždémpolitabulky14 14jezapsánojednozčísel1,2,3,...,2008. Dokažte, že v tabulce lze vyznačit dva pravoúhelníky P a Q, jejichž vrcholy se nacházejí ve středech polí a jejichž strany jsou rovnoběžné sestranamipolí,atotak,žesoučtyčtyřčíselvpolíchvrcholů Pse rovná obdobnému součtu pro pole vrcholů Q. Č6 Dopolíčektabulky10 10zapíšemelibovolnáceláčíslatak,abyse žádná dvě čísla, která spolu sousedí ve stejném řádku nebo sloupci, nelišilaovícenež5.dokažte,ževtabulcesevždynajdoudvěstejná čísla. Č7 Vybereme-lizmnožiny A={1,2,3,...,99,100}libovolných21různýchčísel,najdousemezivybranýmičtyřirůznáčísla x, y, u, v taková,že x+y= u+v.dokažte. Č8 Prokaždoudesetiprvkovoumnožinu M {1,2,3,...,99}senajdou takovédvěneprázdnédisjunktnípodmnožiny X Ma Y M,že součetvšechčíselzxserovnásoučtuvšechčíselzy.dokažte. Č9 Každýznkamenů,kde n 2jedanéčíslo,vážícelýpočetliber, každý jednotlivě méně než n liber, dohromady méně než 2n liber. Dokažte, že několik z kamenů váží dohromady přesně n liber. Č10 Karelse50dnízaseboupřipravovalkmaturitězM.Každýdenvyřešil aspoň jednu úlohu, celkem to bylo 79 úloh. Dokažte, že existuje jeden nebo několik po sobě jdoucích dní, ve kterých Karel celkem vyřešil právě 20 úloh. Č11 Dokažte,žeprokaždé n Nplatí: Vybereme-lizmnožiny {1,2,3,...,2n}libovolných n+1různých čísel, bude některé vybrané číslo dělitelné jiným vybraným číslem. Č12 Prolibovolnádanáreálnáčísla x 1,x 2,...,x n existujereálnéčíslo x takové,ževšech nsoučtů x+x 1,x+x 2,...,x+x n jsouiracionální čísla. Dokažte.
Č13 Dokažte,žeprokaždéreálnéčíslo xakaždé k Nexistujíčísla m,n Ztaková,že1 n ka x m n < 1 kn. Č14 Zformulujte a dokažte Dirichletovu aproximační větu. Č15 Dokažte, že nerovnost m 2 n > 1 (2+ platíprokaždý 2)n 2 zlomek m,kde m,n Nan < m <2n. n Č16 Dokažte,žeexistujíčísla a,b,c Z,každévabsolutníhodnotěmenší než10 6,prokteráplatí0 < a+b 2+c 3 <10 11. G1 Jaký největší počet králů můžeme umístit na šachovnici, aby se žádní dva navzájem neohrožovali? G2 Je-li na šachovnici libovolně rozmístěno 33 věží, pak některých pět má tu vlastnost, že žádné dvě se navzájem neohrožují(po odebrání ostatních, aby nepřekážely). Dokažte. G3 Dokažte, že žádný rovnostranný trojúhelník T nelze úplně pokrýt dvěmamenšímirovnostrannýmitrojúhelníky T 1, T 2. G4 Rovnostranný trojúhelník je úplně pokryt pěti menšími navzájem shodnými rovnostrannými trojúhelníky. Dokažte, že na pokrytí stačí čtyři z nich.
G5 Vzahradě80m 90mroste365stromů.Můžemezaručit,ževněkteréobdélníkovéčásti5m 8mrostouaspoň3stromy? G6 Zvolíme-livečtverciostraně alibovolně5bodů,pakněkterédva znichmajívzdálenostnejvýše 1 2 a 2.Dokažte. G7 Vybereme-li v rovnostranném trojúhelníku o straně a libovolně 10 bodů, pak vzdálenost některých dvou vybraných bodů je nejvýše 1 3 a.dokažte. G8 Večtverciostraně1mjelibovolněrozmístěno51bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívkruhuopoloměru 1 7 m. G9a Večtverciostraně10cmjelibovolnězvoleno201bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívtrojúhelníkuoobsahu1cm 2. G9bVečtverciostraně10cmjelibovolnězvoleno201bodů.Dokažte, ženěkterétřiznichležívtrojúhelníkuoobsahu 1 2 cm2. G10 Každýbodčtverceostraně10cmjeobarvenjednouzedvoubarev. Dokažte, že některé tři body téže barvy jsou vrcholy trojúhelníku oobsahuaspoň25cm 2. G11 Každýbodrovinyjeobarvenjednouzedvoubarev.Ukažte,ženěkterý obdélník má všechny vrcholy stejné barvy. G12 Dokažte, že z libovolných sedmi vrcholů pravidelného 19-úhelníku některé čtyři tvoří vrcholy lichoběžníku.
K1 Najednánípřišlo nobchodníchpartnerů.každýznichsizapsal do svého záznamníku počet všech přítomných, se kterými už dříve osobně jednal. Dokažte, že některé dvě osoby si zapsaly totéž číslo. K2 Vautobuseje38cestujících,přitomti,kteříseneznají,majímezi cestujícími společného známého. Dokažte, že některý cestující má v autobuse aspoň sedm známých. K3 Deset rodin z jednoho domu trávilo zahraniční dovolenou. Každá jela jinam a poslala domů pohlednice pěti z ostatních rodin. Dokažte, že některé dvě rodiny si poslaly pohlednice navzájem. K4 Každý z deseti přátel dostal kartičku, na kterou napsal své čtyři nejoblíbenější měsíce kalendářního roku. Dokažte, že některé dva měsíce jsou současně zapsány na nejméně dvou kartičkách. K5 Vlibovolnéskupiněšestilidísenajdoutřilidé,kteřísenavzájem znají, nebo tři lidé, kteří se navzájem neznají. Dokažte. K6 Každídvaze17vědcůsinavzájemdopisujíoprávějednomzetří témat T 1, T 2, T 3.Dokažte,ženěkteřítřivědcisinavzájemdopisují ostejnémtématu T i. K7 Tenisový turnaj osmi hráčů se hrál systémem každý s každým jeden zápas.dokažte,želzeurčithráče A, B, C, Dtak,žehráč Aporazil hráče B, Ci D,hráč Bporazilhráče Ci Dahráč Cporazilhráče D. K8 Dokažte, že po skončení libovolného tenisového turnaje n hráčů hranéhosystémem každýskaždýmjedenzápas lzehráčeoznačit H 1, H 2,..., H n tak,že H 1 H 2... H n,kde X Y značí,že Xporazil Y. K9 Zedvouznaků A, Blzesestavit2 5 =32pětimístnýchkódů.Kolik (nejvíce)znichlzevybrattak,abysekaždédvazvybranýchkódů lišily v nejméně dvou pozicích?