68. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z9 Z9 II 1 Maruška napsala na tabuli dvě různá přirozená čísla. Marta si vzala kartičku, na jejíž jednu stranu napsala součet Maruščiných čísel a na druhou stranu jejich součin. Jedno z čísel na kartičce bylo prvočíslo a součet čísel z obou stran kartičky byl 97. Která čísla napsala Maruška na tabuli? (L. Hozová) Z9 II Máme kvádr, jehož jedna hrana je pětkrát delší než jiná jeho hrana. Kdybychom výšku kvádru zvětšili o cm, zvětšil by se jeho objem o 90 cm. Kdybychom dále výšku takto zvětšeného kvádru změnili na polovinu, byl by objem nového kvádru roven třem pětinám objemu původního kvádru. Jaké mohou být rozměry původního kvádru? Určete všechny možnosti. (E. Semerádová) Z9 II Z číslic, 4, 5, 7 a 9 byla vytvořena všechna možná trojmístná čísla tak, aby se každá číslice vyskytovala v každém čísle nejvýše jednou. Určete počet takto vzniklých čísel a jejich celkový součet. (M. Volfová) Z9 II 4 V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr jemu opsané kružnice 14,5 cm a poloměr jemu vepsané kružnice 6 cm. Určete obvod tohoto trojúhelníku. (L. Hozová) Okresní kolo kategorie Z9 se koná 0. ledna 019 tak, aby začalo nejpozději v 10 hodin dopoledne a aby soutěžící měli na řešení úloh 4 hodiny čistého času. Za každou úlohu může soutěžící získat 6 bodů, úspěšným řešitelem je ten žák, který získá 1 a více bodů. Povolené pomůcky jsou psací a rýsovací potřeby, školní matematické tabulky. Kalkulátory povoleny nejsou. Mobilní telefony musí být vypnuty.
68. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z9 Z9 II 1 Maruška napsala na tabuli dvě různá přirozená čísla. Marta si vzala kartičku, na jejíž jednu stranu napsala součet Maruščiných čísel a na druhou stranu jejich součin. Jedno zčíselnakartičcebyloprvočísloasoučetčíselzoboustrankartičkybyl97. Která čísla napsala Maruška na tabuli? (L. Hozová) Možné řešení. Čísla na tabuli označíme x a y. Na jedné straně kartičky tak bylo napsáno číslo x+y,nadruhéstraněčíslo x yacelkemplatilo x+y+xy=97. (1) Levástranasouhlasísetřemisčítancivroznásobenívýrazu(x+1)(y+1),chybípouze1. Přičtením 1 k oběma stranám rovnice(1) dostáváme (x+1)(y+1)=98. () Protože xayjsoupřirozenáčísla,součinitelénalevéstranětétorovnicemusíbýt alespoň. Číslo 98 lze vyjádřit jako součin dvou přirozených čísel větších než 1 pouze těmito způsoby(pořadí součinitelů ignorujeme): 49=98, 7 14=98. () Prvnímožnostiodpovídajíčísla x=1ay=48,proněžje x+y=49axy=48.ani jedno z těchto dvou čísel není prvočíslem, pročež tahle možnost nevyhovuje zadání úlohy. Druhémožnostiodpovídajíčísla x=6ay=1,proněžje x+y=19axy=78. Číslo 19 je a číslo 78 není prvočíslem, což vyhovuje zadání úlohy. Maruška napsala na tabuličísla6a1. Hodnocení.Po1boduzavyjádření(1)aúpravu();bodyzarozklady();bodyza rozbor možností a závěr. Jiné řešení. Při stejném značení jako výše můžeme z rovnice(1) vyjádřit y pomocí x: y= 97 x 1+x. (4) Postupným dosazováním přirozených čísel za x můžeme vyjádřit y a ověřit, zda se jedná opřirozenéčísloazdajednozčísel x+ya xyjeprvočíslem: x 1 4 5 6 7 8... y 48 95 47 9 5 46 45 1 4 x+y 49 19 xy 48 78 89 9... 1
Meziuvedenýmimožnostmijejedinávyhovujícídvojicečísel6a1.Nyníbyseměla prověřitještěostatnídosazenízaxaždo96(abyybylokladné).tovšaknenínutné,protože srostoucím xhodnota ystáleklesáajejistěmenšínež9(kdyby xiybylysoučasněvětší neborovny9,potombyhodnotax+y+xybylavětšíneborovna9+9+81=99).vzhledem k symetričnosti úlohy se proto všechna řešení musí vyskytovat v uvedené tabulce. Maruškanapsalanatabuličísla6a1. Hodnocení.Po1boduzavyjádření(1)a(4);bodyzadosazováníaověřováníjako vtabulce;bodyzaúplnostdiskuseazávěr. Poznámka. Lomenývýraz(4)můžemevyjádřitvetvaru celáčástpluszbytek takto: y= 97 x 1+x = (1+x)+98 1+x = 1+ 98 1+x. Protože xaymajíbýtpřirozenáčísla,musíbýt1+xkladnýmvlastnímdělitelemčísla 98,atakovédělitelemámeprávěčtyři:,7,14a49.Odtuddostanemedvěmožnosti(až napořadí xay),znichžjednavyhovujevšempožadavkům.tentopostuplzechápatjako jinou interpretaci rovnice() a následných úvah. Z9 II Máme kvádr, jehož jedna hrana je pětkrát delší než jiná jeho hrana. Kdybychom výšku kvádruzvětšiliocm,zvětšilbysejehoobjemo90cm.kdybychomdálevýškutakto zvětšeného kvádru změnili na polovinu, byl by objem nového kvádru roven třem pětinám objemu původního kvádru. Jaké mohou být rozměry původního kvádru? Určete všechny možnosti. (E. Semerádová) Možné řešení. Objem kvádru je roven součinu obsahu podstavy a velikosti výšky. Změna výškyocm,způsobujezměnuobjemuo90cm ;odpovídajícípodstavamáprotoobsah 90:=45(cm ). Při další změně výšky se podstava nemění, proto změna objemu kvádru na tři pětiny odpovídá změně výšky rovněž na tři pětiny. Označíme-li výšku původního kvádru v centimetrech v, platí v+ = 5 v. Odtudsesnadnovyjádří v=10cm. Poslední nevyužitou informací ze zadání je, že jedna hrana kvádru je pětkrát delší než jiná jeho hrana. Mohou nastat tři možnosti: a) Jednahranapodstavyjepětkrátdelšínežvýška,tj.50cm.Odtuddruháhranapodstavyměří45:50=0,9(cm). b) Jednahranapodstavyjepětkrátkratšínežvýška,tj.cm.Odtuddruháhranapodstavyměří45:=,5(cm). c) Jedna hrana podstavy je pětkrát delší než druhá její hrana. Označíme-li velikost kratší ztěchtohranvcentimetrech a,platí a(5a)=45,tedy a =9aa=(cm).Odtud delšíhranapodstavyměří5 =15(cm).
Rozměry původního kvádru v centimetrech mohou být 0,9 50 10, nebo,5 10, nebo 15 10. Hodnocení.1bodzaobsahpodstavy;bodyzavýškupůvodníhokvádru;po1boduza každé správné řešení. Z9 II Zčíslic,4,5,7a9bylavytvořenavšechnamožnátrojmístnáčíslatak,abysekaždá číslice vyskytovala v každém čísle nejvýše jednou. Určete počet takto vzniklých čísel a jejich celkový součet. (M. Volfová) Možné řešení. Při tvoření trojmístných čísel s uvedenými vlastnostmi je možno postupovat následovně: První místo lze obsadit libovolnou z pěti uvedených číslic, tj. 5 možností. Pro každé ztěchtoobsazenílzedruhémístoobsaditlibovolnouzečtyřzbylýchčíslic,tj.celkem5 4= = 0 možností. Pro každé z těchto obsazení lze třetí místo obsadit libovolnou ze tří zbylých číslic,tj.celkem5 4 =60možností.Taktovzniklýchtrojmístnýchčíseljetedy60. K určení celkového součtu všech těchto čísel si stačí uvědomit, že na každém místě se každázpětičíslicvyskytujedvanáctkrát(5 1=60).Součetčíslicnavybranémmístěve všech uvažovaných číslech je roven 1 (+4+5+7+9)=1 8=6. Podle příslušného místa se tato hodnota v celkovém součtu vyskytuje jedenkrát, desetkrát a stokrát. Součet všech uvažovaných čísel je proto roven 6 (1+10+100)=6 111=796. Hodnocení.bodyzapočetčísel;bodyzacelkovýsoučet;bodyzakvalitu,resp. úplnost komentáře. Z9 II 4 V pravoúhlém trojúhelníku je poloměr jemu opsané kružnice 14,5 cm a poloměr jemu vepsané kružnice 6 cm. Určete obvod tohoto trojúhelníku. (L. Hozová) Možné řešení. Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku je ve středu jeho přepony; tento bod je na obrázku označen O. Střed kružnice vepsané je společným průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku; tento bod je označen V a body dotyku kružnice s jednotlivými stranami trojúhelníku jsou označeny X, Y a Z: L X Z V M O Y K
Poloměr kružnice opsané je 14,5 cm, přepona KM je průměrem této kružnice, tedy velikost KMje9cm. Poloměrkružnicevepsanéje6cm,atojetakévelikostúseček VX, VY a VZ.Shodné úsečky VXa VZjsousousednímistranamivpravoúhelníku VXLZ,tentopravoúhelník jeprotočtvercemavelikostiúseček LXa LZjsoutaké6cm. Trojúhelníky KYV a KZV jsouobapravoúhlé,majíshodnéúhlyuvrcholu KaspolečnoustranuKV.Protojsoutytotrojúhelníkyshodné,tedyúsečkyKYaKZjsoushodné; jejichvelikostnachvílioznačíme a.zobdobnéhodůvodujsoushodnétakéúsečky MX a MY;jejichvelikostoznačíme b. Celkemtakdostáváme a+b= KM =9cmaobvodtrojúhelníku KLM umíme vyjádřit jako a+b+ 6=(a+b)+1=70(cm). Hodnocení. 1 bod za velikost přepony; body za vyjádření obvodu; body za kvalitu komentáře. Poznámka. Pokud označíme poloměr kružnice opsané R a velikost přepony KM = l, potom první pozorování v uvedeném řešení můžeme obecně zapsat l = R, tedy R= l. (1) Pokuddáleoznačímepoloměrkružnicevepsanéravelikostiodvěsen LM =ka KL =m, potomdalšízávěryzpředchozíhořešeníjsou m=r+a, k= r+bal=a+b: r L r b a M b a K Odtudvyplývá,že k+m l=r,tedy a obvod trojúhelníku lze obecně vyjádřit jako r= k+m l, () k+m+l=r+4r. () Vzorce(1)a()lzepovažovatzaznáméavyskytujísevněkterýchtabulkách.Nanich založené řešení() by tedy mělo být posuzováno jako správné. 4