Posloupnosti a řady. a n+1 = a n + 4, a 1 = 5 a n+1 = a n + 5, a 1 = 5. a n+1 = a n+1 = n + 1 n a n, a 1 = 1 2

Transkript

1 Vlastnosti posloupností (level ): Je dána posloupnost (an + b), ve které platí, že a = a a 4 = 8. Potom: Posloupnosti a řady (level ): Které z čísel 5, 5, 8, 47 není členem posloupnosti ( n )? a = a = a = a = (level ): Je dána posloupnost (an + b), ve které platí, že a 4 a = 6. Potom: a = a = a = a = (level ): Je dána posloupnost (n + ). Rekurentní vyjádření této posloupnosti je: a n+ = a n +, a = 5 a n+ = a n +, a = 5 a n+ = a n + 4, a = 5 a n+ = a n + 5, a = (level( ): Je dána posloupnost cos n π 4 této posloupnosti je roven: + ). Součet prvních šesti členů (level( ): Je dána posloupnost n(n + ) této posloupnosti je: a n+ = n n + a n, a = ) a n+ =. Rekurentní vyjádření n n + a n, a = (level ): Je dána posloupnost (log 0 n ). Součin prvních pěti členů této posloupnosti je roven: a n+ = n + n a n, a = a n+ = n + n + a n, a = (level ): Je dána rekurentně zadaná posloupnost a n+ = a n a n, kde a = a a = 5. Potom platí: a + a 4 = 6 a + a 4 = a + a 4 = 0 a + a 4 = (level ): Je dána rekurentně zadaná posloupnost a n+ = a n a n, kde a = 0 a a 4 = 6. Potom platí: a a = 4 a a = 6 a a = 4 a a = (level ): Jsou dány posloupnosti (a n ), kde a n = n, a (b n ), kde b n = n. Potom platí: a = b a = b + a 4 = b 4 a 5 = b 5 8 Aritmetická posloupnosti (level ): Najděte rekurentní vyjádření aritmetické posloupnosti, je-li dáno a = 4, d =. a = 4; a n+ = a n a = 4; a n+ = a a n = 4 + a n+ a n+ = a n +

2 (level ): Najděte vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti, je-li dáno a =, a =. a n = 4 n a n = n a n = + n a n = + n (level ): Najděte rekurentní vyjádření aritmetické posloupnosti, je-li dáno a = 7, d = 4. a = ; a n = a n + 4 a = 7; a n+ = a n + 4 a n = 7 + a n+4 a n+ = a n (level ): Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, je-li dáno a 6 = 58, a = 4. a = 7; d = a = ; d = 5 a = ; d = 5 a = ; d = (level ): Určete součet prvních čtrnácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno a 4 =, a 9 = (level ): Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti (5 + n). a = 7; d = a = 5; d = a = ; d = a = ; d = (level ):, x, x = x = x =,5 x =, (level ): Určete třináctý člen aritmetické posloupnosti, je-li dáno a = π, a n+ = a n + π. a = 5π a = 7π a = 6π a = 4π (level ): 0, 0, x (level ): Určete jedenáctý člen aritmetické posloupnosti, je-li dáno a =, a 5 =. a = 5 a = a = 9 a = (level ): Určete součet prvních dvanácti členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno a = 4, d =. s = 80 s = 7 s = 0 s = (level ): V aritmetické posloupnosti je dáno a =, a n = 7, s n = 95. Určete číslo n. n = n = 4 n = 5 n = 6 x = 0 x = 40 x = 0 x = (level ): x, 0, 5 x = 5 x = 0 x = 50 x = (level ): Písmena a, b a x označují členy aritmetické 4, a, 8, b, x x = x = 0 x = 4 x = 6

3 (level ): Písmena a a x označují členy aritmetické, a, 0, x (level ): Písmena a, b, c, d a x označují členy aritmetické 4 5, a, b, 0, c, d, x x =,5 x = x = 6 x = (level ): Písmena a, b a x označují členy aritmetické 5, a, b, x, 6 x = 5,75 x = 5,5 x = 5,8 x = 5 x = 4 5 x = 5 4 x = 5 4 x = (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = 0, a = 0, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 900 x = 000 x = x = 990 x = (level ): Písmena a, b, c, d a x označují členy aritmetické 00, a, b, x, c, d, 0 x = 50 x = 60 x = 40 x = (level ): Písmena a, b, c a x označují členy aritmetické,5, a, x, b, c, 5 x =,5 x = x = 4 x =, (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a =, a = x, a = 4 tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 6 x = 0 x = x = 4 x = (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = x, a = 5, a = 0 tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 0 x = 0 x = 5 x = 5 x = (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = x, a = x +, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 4 x = 0 x = x = 6 x = (level ): Písmena a, b, c, d a x označují členy aritmetické x,, a, b, c, d, 0, (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = x + 0, a = x + x, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x =,5 x = 0 x = x = 5 x = 5 x =, x =,5 x = 0,5 x = (level ):

4 Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = 5x +, a = x, a = 7x + tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 0,4 x = 0,4 x =,5 x =,5 x = (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = x + x, a = x + 4x, a = x x 8 tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = x = 0 x = x = 4 x = (level ): Tři čísla, která tvoří aritmetickou posloupnost, mají součet a součin 55. Nejmenší z těchto čísel je (level ): V posloupnosti, která je tvořena po sobě jdoucími lichými čísly, platí a = 5. Součet prvních pěti členů je (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = log x, a = log x, a = tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x =,5 x = x = log x = x = (level ): Délky hran kvádru tvoří aritmetickou posloupnost. Objem kvádru je 665 cm. Jeho nejkratší hrana měří 5 cm. Jeho povrch je 50 cm 5 cm 65 cm 805 cm 5 cm (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = log(x + ), a = log(x + 6), a = log 8 tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 0 x = log x = x = 8 x = (level ): Určete reálné číslo x tak, aby čísla a = log x, a =, a = log x tvořila tři po sobě jdoucí členy aritmetické x = 0 x = 0 x = 0, x = x = (level ): Délky stran pravoúhlého trojúhelníka jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické Obvod trojúhelníka je 60 cm. Délka přepony je 5 cm cm 5 cm 0 cm 0 cm (level ): V aritmetické posloupnosti je a = 5, d =. Kolik členů musíme sečíst, aby součet byl větší než 00? (level ): V aritmetické posloupnosti platí, že a = 7, a 5 =. Vypočtěte, který člen posloupnosti je sedminou třetího členu. a a a 8 a 7 a (level ): Určete součet všech celých čísel, které vyhovují nerovnici x 8x (level ): Součet prvních osmi členů aritmetické posloupnosti je 44. Součet následujících čtyř členů je o 50 větší. Třináctý člen posloupnosti je Geometrická posloupnost (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = 0, a = 0, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické 4

5 x = x = 000 x = 900 x = 990 x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a =, a = x, a = 48 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 4 x = 0 x = 6 x = x = Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x 4, a =, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = x = x = log x = 0 x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = log x, a = + log x, a = 4 log x tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 00 x = x = log x = x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x, a = 5, a = 5 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 5 x = 0 x = 5 x = 0 x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x, a = x + 5, a = 4x tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 5 x = x = x = x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = 0 x+, a = 0 4x+, a = 0 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = x = 4 x = 0 x = x = (level ): V geometrické posloupnosti je a = 50, a = 5. Součet prvních 4 členů je: (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x 6, a = x, a = x tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = x = 0 x = x =,5 x = (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x + 4, a = x +, a = x 4 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 0 x = 5 x =,5 x = x = 5 87,5 9, cm (level ): V geometrické posloupnosti je q =, a = 4. Vypočtěte, kolik členů je třeba sečíst, aby jejich součet byl roven 6: (level ):, 4, x (level ): Vyberte reálné číslo x tak, aby čísla a = x 0, a = x, a = x 00 tvořila tři po sobě jdoucí členy geometrické x = 0 x = x = x = 4 x = (level ): (level ): Písmena a, b a x označují členy geometrické 00, a,, b, x 5

6 0,0 00 0, (level ): Písmena a a x označují členy geometrické posloupnosti, a > 0. Doplňte správnou hodnotu pro člen x., x,, a (level ):, 4, x,5, (level ): Písmena a, b a x označují členy geometrické x, a,, b, (level ): Písmena a a x označují členy geometrické, a, x, (level ): Písmena a a x označují členy geometrické posloupnosti, a < 0. Doplňte správnou hodnotu pro člen x. x, 5, a, (level ): Je dán výčet tří po sobě jdoucích členů geometrické x,, (level ): Písmena a a x označují členy geometrické 4,, a, x (level ): Písmena a a x označují členy geometrické posloupnosti, a < 0. Doplňte správnou hodnotu pro člen x. x,, a, (level ): značí n-tý člen geometrické posloupnosti, q je kvocient geometrické Určete součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a =, q =. s 5 = 6 s 5 = 8 s 5 = s 5 = (level ): značí n-tý člen geometrické posloupnosti, q je kvocient geometrické Určete součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a 6 = 5, q =. s 5 = 5 s 5 = s 5 = 6 s 5 = 0 6

7 (level ): značí n-tý člen geometrické Určete součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a =, a = 4, a > 0. s 4 = 5 s 4 = 5 s 4 = 4 s 4 = (level ): značí n-tý člen geometrické Určete součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a =, a = 4, a < 0. s 4 = 5 s 4 = 5 s 4 = 4 s 4 = (level ): značí n-tý člen geometrické Určete součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a =, a = 0. s 4 =, s 4 = 99,9 s 4 = s 4 = (level ): značí n-tý člen geometrické Určete součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a =, a 4 = 8. s 5 = s 5 = s 5 = 6 s 5 = 6 V posloupnosti, která je tvořena po sobě jdoucími mocninami čísla, platí a 8 = 0. Součet prvních 5 členů je: (level ): Délky hran kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Objem kvádru je 7 cm. Jeho nejkratší hrana měří cm. Jeho povrch je: 57 cm 8,5 cm 7 cm 5 cm 45 cm (level ): Při průchodu skleněnou deskou ztrácí světlo 8 % své intenzity. Kolik procent původní intenzity světla zůstane po průchodu 6 takovými deskami: 60,6 % 9,4 % 5 % 48 %,4 % (level ): Za kolik let klesne hodnota automobilu na méně než čtvrtinu původní hodnoty, jestliže ročně ztrácí automobil 5 % své aktuální hodnoty? (level ): Součet prvních členů geometrické posloupnosti je 7. Součet následujících tří členů je 5. Kvocient této posloupnosti je roven: (level ): značí n-tý člen geometrické Určete součet prvních čtyř členů geometrické posloupnosti, znáte-li: a = 000, a = Limita posloupnosti 4 s 4 = 909 s 4 = 900 s 4 = 9 s 4 = (level ): Tři čísla, která tvoří geometrickou posloupnost, mají součet 9 a součin 000. Nejmenší z těchto čísel je: 4, (level ): (level ): n + je rovna: n n (level ): n ( )n je rovna: n + 0 7

8 (level ): n n n je rovna: (level ): n + je rovna: n n (level ): sin πn je rovna: n (level ): ( ( ) n Je dána konvergentní posloupnost n ) +. Kolik členů této posloupnosti se liší od její ity o více než 50? (level ): n log n je rovna: (level ): ( ) 5 n Je dána konvergentní posloupnost. Kterým n členem počínaje se bude jeho hodnota lišit od ity o méně než 00? (level ): n n + n n je rovna: 4 n (level ): je rovna: log 0n (level ): ( 4n + n 50 Je dána konvergentní posloupnost n Určete maximální odchylku a n, n 50 od ity dané (O kolik nejvíce se liší a 50 a další členy posloupnosti od její ity?) 0,004 0,04 0,504 0,54 ) (level ): n + n n je rovna: n (level ): ( (n + n + ) n Určete itu posloupnosti Nápověda: Posloupnost (( + n ita je Eulerovo číslo e. n n ) ) n ) e e e +. je konvergentní a její ( (level ): n n n + n + ) je rovna: n (level ): (( n Určete itu posloupnosti n + n ) n ). Nápověda: Posloupnost (( + ) n ) je konvergentní a její n ita je Eulerovo číslo e. 8

9 e e e (level ): (( n + Určete itu posloupnosti Nápověda: Posloupnost (( + ) n ) n ita je Eulerovo číslo e. )n). je konvergentní a její (level ): Nekonečná spirála se skládá z polokružnic. První polokružnice má poloměr cm a každá další má poloměr o třetinu menší než polokružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály. e e e + 5 Nekonečné řady (level ): Určete součet geometrické řady π π (level ): Nekonečná spirála se skládá z polokružnic. První polokružnice má poloměr cm a každá další má poloměr dvakrát větší než polokružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály (level ): Určete součet geometrické řady (level ): Nekonečná spirála se skládá z polokružnic. První polokružnice má poloměr cm a každá další má poloměr o třetinu větší než polokružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály. 5 4π 4 π 4π (level ): Nekonečná spirála se skládá z polokružnic. První polokružnice má poloměr cm a každá další má poloměr dvakrát menší než polokružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály. 9π 9 π 9

10 4π 4 π 4π (level ): Nekonečná spirála se skládá ze čtvrtkružnic. První čtvrtkružnice má poloměr cm a každá další má poloměr o polovinu větší než čtvrtkružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály (level ): Je dán čtverec o straně 4 cm. Spojnice středů jeho stran tvoří opět čtverec. Do tohoto čtverce je vepsán čtverec stejným způsobem atd. Vypočítejte součet obsahů všech těchto čtverců. 4π 5 π π (level ): Nekonečná spirála se skládá ze čtvrtkružnic. První čtvrtkružnice má poloměr 4 cm a každá další má poloměr o polovinu menší než čtvrtkružnice předcházející. Určete délku takto vzniklé spirály (level ): Je dána nekonečná geometrická řada. Její kvocient q n je roven: 4π (level ): Je dán čtverec o straně 4 cm. Spojnice středů jeho stran tvoří opět čtverec. Do tohoto čtverce je vepsán čtverec stejným způsobem atd. Vypočítejte součet obvodů všech těchto čtverců (level ): Je dána nekonečná geometrická řada je roven: 9 8 n. Její kvocient q (level ): Výraz 4 8 je roven: 0

11 (level ): Výraz je roven: (level ): Výraz je roven: (level ): ( Výraz n+ je roven: ) (level ): Je dána nekonečná geometrická řada x R je tato řada divergentní? 5 (x + 4) n. Pro které (level ): Řešením rovnice x + x + x 9 + x + = 8 je číslo: 7 x = x = 6 x = 8 x = (level ): Určete, který z následujících výrazů se rovná číslu,., + 0 n + 0 n + 0 n, + 0 n (level ): Určete, který z následujících výrazů se rovná číslu, n 45 0 n ( n ) 45 0 n (level ): Určete, které z následujících desetinných čísel je rovno součtu nekonečné řady x = 5 x = 9 x = 4 x = 7 0, 5 0,05 0 0, (level ): Je dána nekonečná geometrická řada x R je tato řada divergentní? x = x = 9 x = 6 (5 x) n. Pro které x = (level ): Řešením rovnice + x + 4x + 6x + = je číslo: (level ): Určete, zda nekonečná řada konverguje nebo diverguje. V případě, že konverguje, určete její součet. Řada je divergentní. + x = x = 5 x = x = (level ): Určete, zda nekonečná řada konverguje nebo diverguje. V případě, že konverguje, určete její součet.

12 + Řada je divergentní (level ): ( ) n Určete, zda nekonečná řada konverguje nebo diverguje. V případě, že konverguje, určete její součet. + Řada je divergentní (level ): Je dána nekonečná řada + x + ( x) + ( x) +. Určete, pro která x je řada konvergentní. x (; ) x ( ; ) x (; + ) x R (level ): Je dána nekonečná řada log n x. Určete, pro která x je řada konvergentní. x ( ) 0 ; 0 x (; + ) x (; 0) x R +