Fyzika laserů Aproximace rychlostních rovnic Metody generace nanosekundových impulsů. Q-spínání. Spínání ziskem Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 18. března 213
Program přednášek 1. Kvantová teorie tlumení, řídící rovnice 2. Aplikace na atom, Pauliho rovnice 3. Poloklasický popis interakce záření s látkou 4. Aplikace na šíření rezonančního záření prostředím 5. Aplikace na laser kontinuální režim 6. Aplikace na laser Q-spínání 7. Koherentní šíření impulzů 8. Další jevy v poloklasické aproximaci 9. Spektrum laseru a režim synchronizace módů 1. Kvantová teorie laseru, F.-P. rovnice 11. F.-P. rovnice pro záření a atom 12. F.-P. rovnice pro laser 13. Statistické vlastnosti laserového záření
Interakce rezonančního záření s prostředím poloklasicky Záření elektromagnetická vlna, popisují MR klasicky Prostředí soubor dvouhladinových kvantových soustav, ω 21 = (E 2 E 1 )/ Interakce záření s hmotou prostřednictvím polarizace prostředí Odezva prostředí 3 vektorové parciální nelineární diferenciální rovnice 2. řádu pro E, P a N. Prostředí je pro rezonanční záření disperzní a nelineární Signál pomalu proměnný impulz s harmonickou nosnou frekvencí ω Timp 1 v rezonanci (ω = ω 21 ) a bez fázové modulace tři rovnice pro obálku E z = µ ω 21 c P 2 2 P 2 = P 2 d 21 2 t T 2 EN N = N N + 1 t T 1 EP 2 T 2 T imp T 1 Aproximace rychlostních rovnic dn dt = W N τ 1 I I s N τ 1 di dt = σµcni I τ c
Normalizace rychlostních rovnic V rychlostních rovnicích... di dt = σµcni I ; τ c dn dt jejichž stacionární řešení má tvar (I > ): N = 1 τ cµcσ, W = N τ 21, I = = W N τ 1 I I s N τ 1 W W 1... zavedeme nové bezrozměrné parametry a proměnné: N = N N N = N N ; I = I I I = I I W = W W W = W W T = t τ c t = τ ct Rychlostní rovnice mají s jejich použitím tvar (η = τ c/τ 1 ): di dt = (N 1) I; dn dt = η W N (W 1) IN Rovnice popisující dynamiku laseru ve fázové rovině N I: di dn = (N 1) I η [W N (W 1) IN ] I s
Rychlostní rovnice v režimu volné generace Normované rychlostní rovnice (η = τ c/τ 1 ): di dn = (N 1) I; W dt dt = η N (W 1) IN Rychlostní rovnice v režimu volné generace Numerické řešení rychlostních rovnic pro W = 3, η = 2 1 3 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 2 ג ג 8 6 4 N 1 2 2 4 6 8 1 12 14 T.5 1 1.5 2 2.5 N Časový Numerické vývoj normované řešení rychlostních inverzerovnic populace hladin a intenzity laserového záření Časový vývoj normované inverze populace hladin a intenzity laserového záření W = 3, η = 2 1 3.
Rychlostní rovnice v režimu volné generace Příklad naměřené výstupní charakteristiky laseru pro kombinaci výstupní zrcadlo délka rezonátoru s maximální výstupní energii a příklad časové struktury generovaného záření.
Linearizace rychlostních rovnic Řešení už jen málo liší od stacionárního řešení, když N, I 1 N = 1 + n, n 1, I = 1 + i, i 1. Linearizované rychlostní rovnice ve tvaru: dn dt di dt = n(1 + i) n, = η [W 1 n (W 1)(1 + i)(1 + n)] = = η [n + (W 1)(i + n + in)] η[wn + (W 1)i] První rovnici derivujeme podle času T, dosadíme za derivaci ze druhé a vyloučíme proměnnou n: d 2 i dt = dn 2 dt = ηw di dt Odpovídá rovnici tlumených kmitů typu: η(w 1)i ÿ + 2γẏ + ω 2 y =
Linearizace rychlostních rovnic Řešení bude mít tvar tlumených harmonických kmitů: y(t) = y()e γt cos ωt, kde ω 2 = ω 2 γ 2. Tedy: I(t) = I + Ĩ()e Γt cos Ωt, N(t) = N + Ñ()e Γt sin Ωt kde: Γ = 1 W, 2 T 1 Ω 2 = W 1, T 1 τ c Ω 2 = Ω 2 Γ 2
Režim Q-spínání Q-spínání je metoda, která umožňuje dosáhnout generace vysoce výkonných impulsů laserového záření s délkou od jednotek do stovek nanosekund. Základní princip mechanismu generace gigantických Q-spínaných impulsů spočívá v jednorázovém uvolnění energie nahromaděné v aktivním prostředí laseru. Ztráty rezonátoru jsou na počátku čerpání uměle zvýšeny práh generace laseru zvýšen je zabráněno vzniku relaxačních oscilací a nedochází ke generaci laserového záření (I ) Ztráty rezonátoru jsou ve vhodný okamžik prudce sníženy na běžnou hodnotu a sníží se práh generace. V tomto okamžiku je N > N a tedy N > 1 a dochází k exponenciálnímu nárůstu intenzity laserového záření uvnitř rezonátoru gigantický impuls. Po vyčerpaní energie nahromaděné v inverzi populace hladin impulz doznívá s časovou konstantou τ c.
Metody Q-spínání mechanické
Metody Q-spínání elektronické a pasivní
Vybudování Q-spínaného impulsu 2.5 2 1.5 N 1 N i.5.4 T q T max N f.3 J.2 Timp.1 5 1 15 2 25 3 T
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser Normovaný tvar rychlostních rovnic di dt = (N 1) I; dn dt = η W N (W 1) IN Proces generace Q-spínaného impulsu probíhá během doby srovnatelné s dobou života fotonu v laserovém oscilátoru Během této doby dojde pouze k nepatrné změně inverze populace hladin v důsledku čerpání a fluorescence ve srovnání s vlivem způsobeným prudkým nárůstem intenzity a proto budou při analytickém řešení tyto změny zanedbány kde di dt dn dt = (N 1) I = ξin ξ = η (W 1) Zavedeme novou funkci pro intenzitu ve tvaru J = ξi
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser... dostaneme rychlostní rovnice, jejich řešení je závislé pouze na počátečním stupni inverze: dj dn = (N 1) J, dt dt = J N Po vyloučení normovaného času T dostaneme: dj dn = N 1 N Separujeme proměnné a řešíme za předpokladu, že na počátku je inverze populace N i a hustota fotonů J = : J = ln N N + N i ln N i Z této rovnice lze určit špičkovou intenzitu J max, které je dosaženo v okamžiku, kdy N = 1 (dj /dt = ), tj.: J max = N i ln N i 1 Po odnormování dostaneme pro maximální výstupní intenzitu (pro R 1): I max. = Jmax 1 R 2 kde E s = ω/κσ je saturační hustota energie (parametr aktivního prostředí) E s τ c
Analytické řešení rychlostních rovnic pro Q-spínaný laser Využijeme vztah pro intenzitu J = ln N N + N i ln N i Určíme hodnotu inverze populace hladin N f, která se ustálí po vygenerování Q-spínaného impulsu, kdy J =. Tehdy: = ln N f N f + N i ln N i... a tedy: 1 Nf = LambertW Ni exp N i 1 Funkce W (x) = LambertW(x) je definována jako řešení transcendentní rovnice W (x) exp [W (x)] = x.
Energie Q-spínaného impulzu Z Z Celková normovaná energie v impulsu: E = J dt =... nebo-li ( = ln N f N f + N i ln N i) Z 1 dn Nf N dt dt = dn N i N Ni = ln N f Odnormování (pro R 1): E = N i N f E = 1 R SE s(n i N f ) 2 kde S je plocha svazku, E s je saturační hustota energie: E s = ω κσ Součin SE s udává maximální extrahovatelnou energii, která je tím vyšší, čím je menší účinný průřez pro stimulovanou emisi. Energie zjevně nezáleží na délce aktivního prostředí L ap. Je však nutné s daným σ a N i dosáhnout prahu generace (1 R exp[2σn il ap]).
Energie Q-spínaného impulzu a účinnost konverze energie E = N i N f, η = E N i = 1 N f N i Účinnost konverze energie uložené v aktivním prostředí v podobě inverze populace hladin do energie laserového impulzu roste s rostoucím N i
Doba trvání Q-spínaného impulsu Odhad doby trvání impulsu: Oddnormování: T imp = E N i N f = 1 pro Ni J max N i ln N i 1 T imp = τ ct imp Nejkratší impulz bude mít dobu trvání τ c. Délka impulzu v tomto přiblížení nezávisí na vlastnostech aktivního prostředí (kromě jeho vlivu na τ c), jen na parametrech rezonátoru a dosažitelné relativní inverzi populace hladin.
Doba vybudování Q-spínaného impulsu Dobu τ q vybudování gigantického impulsu ze šumu I lze spočítat za předpokladu, že se inverze populace hladin N až do okamžiku, kdy je dosaženo I = 1, prakticky nemění. Potom: 2.5 T q = ln I N i 1 2 1.5 N 1 N i.5.4 T q T max N f.3 J.2 Timp.1 5 1 15 T 2 25 3
Závěry plynoucí z analytického modelu generace Q-spínaného impulsu Pro zvýšení účinnosti Q-spínání (maximalizace E, minimalizace N f ) je třeba mít na počátku co nejvyšší hodnotu N i, tedy poměr N/N. N i pak určuje všechny parametry generovaného impulzu. S rostoucí hodnotou N i se délka impulzu zkracuje, ale nelze generovat impulzy kratší než je doba života fotonu v rezonátoru. S ohledem na přijatou aproximaci však současně musí být T imp > τ R. V praxi je možné předpokládat (v případě, kdy čerpací rychlost není závislá na inverzi populace hladin), že N i je poměr čerpací energie (výkonu) použité při Q-spínání ku prahové energii (prahovém výkonu) laseru v režimu volné generace s otevřeným Q-spínačem. Pro nalezení tvaru impulzu je třeba řešit rychlostní rovnice numericky.
Pomalé Q-spínání
Q-spínání saturovatelným absorbérem Saturovatelný absorbér je dvouhladinové médium se širokým absorpčním spektrem, jehož absorpční koeficient β závisí na intenzitě dopadajícího záření obdobně jako zisk zesilujícího prostředí β β(i) = 1 + I/IS a. Transmitance saturovatelného absorbéru tloušt ky l a je dána vztahem: T (I) = exp[ β(i)l a], T T () = exp[ β l a]. Rychlost změny transmitance absorbéru závisí na hodnotě saturační intenzity. Během krátké doby může dojít k úplné saturaci absorbéru, takže se prahová hodnota inverze populace hladin sníží tak, jako by absorbér v rezonátoru nebyl přítomen. Pokud zanedbáme přechodový jev spojený se změnou ztrát absorbéru, můžeme snadno odhadnout hodnotu N i: N i = 1 + 2 ln T ln R. Lze odhadnout délku generovaného impulzu a účinnost extrakce energie V prvním přiblížení nebudou tyto parametry závislé na budící energii ani na použitém typu aktivního prostředí, ale pouze na hodnotě parametrů T a R.
Spínání ziskem S pomocí intenzivního buzení je možné připravit na počátku laserové akce vysokou hodnotu N i za dobu kratší, než je doba nutná k vygenerování gigantického impulzu T q. Pokud bude buzení trvat po dobu několikanásobně delší, než je doba T q, bude na výstupu laseru generován sled impulzů podobný přechodovému jevu v režimu volné generace, s tím rozdílem, že intenzita generovaného záření bude podstatně vyšší, nebot se silně uplatňuje buzení mezi impulzy. Doba trvání prvního impulzu ve sledu je tím kratší, čím je rychlost buzení větší. Pokud vlastní budící impulz bude podstatně kratší než je doba T q, budou po jeho ukončení podmínky stejné jako po otevření Q-spínače a generace se bude řídit obdobnými zákony.
Shrnutí 2.5 N i 2 1.5 N 1.5 N f T q T max.4.3 J.2 Timp.1 5 1 15 T 2 25 3 Aproximace rychlostních rovnic pro laser s krátkým rezonátorem dynamika laseru v režimu volné generace a Q-spínání Relaxační oscilace Q-spínání, spínání ziskem Parametry impulzu určuje poměr počáteční a prahové inverze laseru N i = N/N Energie impulzu a špičkový výkon jsou úměrný saturační energii a N i Nejkratší délka generovaného impulzu odpovídá době života fotonu v rezonátoru Příště: Koherentní šíření impulzů (Soliton, samoindukovaná propustnost, fotonové echo) 25
Literatura SALEH, B. E. A. TEICH, M. C.: Základy fotoniky - 3.díl, Matfyzpress, Praha, 1995 (http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/fla/fotonika/fotonika-3-text.pdf) VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce rezonančního záření s látkou, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 26 LOUISELL, W. H.: Quantum statistical properties of radiation, John Wiley & Sons, New York, 1973 VRBOVÁ M. a kol.: Lasery a moderní optika - Oborová encyklopedie, Prometheus, Praha, 1994 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvod do laserové techniky, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 1994 http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/ulat/ LONČAR, G.: Elektrodynamika I, Skriptum FJFI ČVUT, Praha, 199 Přednášky: http://people.fjfi.cvut.cz/sulcjan1/fla/