Příklady k přednášce 5 - Identifikace

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady k přednášce 5 - Identifikace"

Bohumír Bednář
před 6 lety
Počet zobrazení:

1 Příklady k přednášce 5 - Identifikace Michael Šebek Automatické řízení

2 Jiná metoda pro. řád bez nul kmitavý Hledáme ωn Gs () k s + ζωn s + ωn Aplikujeme u( ) us () s. Změříme y( ), A, A, Td y( ) A T d A yt (). Vypočteme k y( ) A µ π u( ) A 4 + T, µ ln, ζ, ω n π µ d ζ Klasické názvosloví: A A faktor útlumu, T0 časová konstanta µ tzv. logaritmický dekrement útlumu Pro zajímavost A ζω nt A π d dále platí e, µ ln ζωntd, ωd A n A T Michael Šebek Pr-ARI n d

3 Jiná metoda - odvození ωn u( ) ζωn y( s) k y( t) ku( ) e sin ( ) t ω n ζ t + ϕ s + ζωns+ ωn s ζ V limitě je závorka rovna nule, takže y( ) ku( ) k y( ) u( ) Z definic je π π π Td ω n ω ω ζ T ζ d n d Při překmitu má závorka maximální hodnotu (tj. sin -), takže ζω nta A y( ta ) ku( ) ku( ) + e ku( ) ku( ) e ζ ζ ζωn( ta + T d) A y( ta + T d) ku( ) ku( ) e ζ ζωnta A e ζω nt A π d a z toho e µ ln ζωnt ζω d ζ n( ta + T A d) e A ζ n A ( ) µ µζ πζ µ π µ ζ ζ µ 4π + µ Michael Šebek Pr-ARI ζω t

T τ T u n Podle jeho velikosti aproximujeme průběh různými přenosy τ < 0.

4 Strejcova metoda identifikace Pro aperiodické průběhy Najdeme inflexní bod, změříme T u (doba průtahu) a (doba náběhu ) T n a vypočteme parametr T τ T u n Podle jeho velikosti aproximujeme průběh různými přenosy τ < 0. Gs ( ) τ 0. Gs ( ) ( Ts+ )( Ts+ ) k ( Ts + ) k n Michael Šebek Pr-ARI

Strejcova metoda Případ τ < 0., kdy hledáme parametry přenosu k Gs () Ts + Ts + v těchto krocích y( ) ) k u( ) ) t: yt ( ) 0.7 y( ) t 3) T+ T.564 4) t 0.

5 Strejcova metoda Případ τ < 0., kdy hledáme parametry přenosu k Gs () Ts + Ts + v těchto krocích y( ) ) k u( ) ) t: yt ( ) 0.7 y( ) t 3) T+ T.564 4) t ( T+ T) 5) yt ( ) T 6) τ T 7) T, T ( )( ) y(t ) τ y(t ) τ Michael Šebek Pr-ARI

Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme τ 4) Podle hodnoty určíme v tabulce nejbližší Tn vyšší řád n a přesnější

6 Strejcova metoda Případ τ 0., kdy hledáme parametry přenosu v těchto krocích k Gs () y( ) ) k ( Ts + ) n u( ) ) Skokovou odezvu normujeme na y( ) Tu 3) Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme τ 4) Podle hodnoty určíme v tabulce nejbližší Tn vyšší řád n a přesnější souřadnici inflexního bodu y i n τ y i ) Z grafu určíme t: yt ( ) y i i i 6) T t i n Michael Šebek Pr-ARI

7 Vyšší řád a nuly - nekmitavý případ Monotónní hladká odezva (dobře funguje pro odezvy tvaru S ) αt βt γt y() t y( ) + Ae + Be + Ce + Odečteme ustálenou hodnotu a předpokládáme, že -α je nejpomalejší pól αt y() t y( ) Ae ln ( yt () y( ) ) ln A αtln e ln A αt To je rovnice přímky: směrnice určuje α a průsečík s osou určuje A Umístíme-li ji na graf (nebo ln ( y( ) yt ()) ln pro yt () y( ) A < 0 ) A určíme konstanty α, a Pak totéž opakujeme pro t ( y + ae ) y() t ( ) ( ) Be α βt Další detaily a vlastnosti na příkladových slajdech Michael Šebek ARI yt () Pokud je yt () y( ) < 0 (jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je A < 0. Pak postup modifikujeme ln y( ) y() t Ae ln A ( y( ) yt ()) Zjistíme A a přidáme znaménko - αt α αt

8 Další detaily k metodě logaritmování yt () y( ) < 0 Pokud je (jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je A < 0. Pak postup modifikujeme yt () αt y( ) y() t Ae ln y( ) yt () ln A αt ( ) A Zjistíme a přidáme znaménko - Místo výpočtu logaritmů je možno přímo kreslit na semilogaritmický papír ty bývají pro log 0 takže je lépe užít dekadický logaritmus. Pozor na log 0 e ~ Metoda je citlivá na nastavení přímek. V rozumných případech (kvalitní data s málo šumem), dává dobrý fit odezvy Což ale neznamená, že jsme dobře trefili časové konstanty Hezký příklad s ukázkou numerických problémů je v učebnici Franklin-ed.6, s. 4, sekce 3.7 α Michael Šebek Pr-ARI

9 Identifikace z frekvenční odezvy. Mezi rad/s amplituda klesá (Dorf ed s 57) cca -0 db/dekádu, G( j 300) 3dB odhadujeme pól p 300. Fáze strmě roste (+80 ) a ϕ ( j540) 0 odhadujeme pár komplex. nul v ω n Směrnice amplitudy se vrací k 0, za ω 50,000 tušíme další pól: Tento pól je na p 0, 000 protože G( j 0, 000) 3dB a fáze je tam Zakreslíme asymptoty na máme Gs () ( s ωn) + ζωns+ ( s p + )( s p + ) 5. Rozdíl hodnoty asymptot od skutečné 6. na rohové frekvenci ω n 450 je 0dB, z toho ζ 0.6 Michael Šebek Pr-ARI

komplexní póly komplexní nuly [ + (ζ/ω n ) jω+ ( jω/ω n )

10 Identifikace z frekvenční odezvy V kroku 5 vycházíme z převráceného grafu pro rezonanční špičku podle tlumení komplexní póly komplexní nuly [ + (ζ/ω n ) jω+ ( jω/ω n ) ] - [ + (ζ/ω n ) jω+ ( jω/ω n ) ] Michael Šebek Pr-ARI

Identifikace z frekvenční odezvy Tedy nám celkem vyšlo Gs () ( s 450) ( 0,3 450) s ( s 300 + )( s 0000 + ) + + s + 780s + 6000000 s + 0000s +

11 Identifikace z frekvenční odezvy Tedy nám celkem vyšlo Gs () ( s 450) ( 0,3 450) s ( s )( s ) + + s + 780s s s Po změně časového měřítka kontrola: sτ s t τ t Dostaneme hezčí čísla Gs ( ) τ s s + 0.3s s + Michael Šebek Pr-ARI-05-05

12 Atomic Force Microscope - Piezoelectric drive (Astrom, Murray 008, s. 85) Spektrální analyzátor naměřil (za s) Minima frekvence nul Maxima frekvence pólů Dobrý fit v okolí maxim a minim tlumení, násobnosti nul a pólů Po dobrém fitování amplitudové části se najde dopravní zpoždění nastavením fázové části Bodeho grafu Tak dostaneme ( )( ) sτ kωωω 3 5 s + ζω s+ ω s + ζω 4 4s+ ω e 4 Gs () ωω 4 ( s + ζω s+ ω)( s + ζω 3 3s+ ω3 )( s + ζω 5 5s+ ω5 ) kde ω a k π fk f.4 khz, ζ 0.03, f.4 khz, ζ 0.03, f3.4 khz, ζ3 0.03, f.4 khz, ζ 0.03, f.4 khz, ζ Michael Šebek Pr-ARI-05-05

13 Identifikace z Nyquistova grafu Označme K ϕ G( jω ), ϕ arg G( jω ) ϕ ϕ ω 80 ω 0 0 hodnoty ω, ω, K, K, K jsou důležité pro řízení K 80 K 0 Gain ratio (podíl zesílení) udává obtížnost řízení K K 80 κ 0 G( ω ) 80 G(0) ω 90 Pro model Gs () k +Ts Gs () k + Ts e st d určíme parametry z k K, T 0 κ ω 80 T d π arctan κ ω 80 Michael Šebek ARI

14 Příklad - Nejmenší čtverce Pro Minimalizujeme A 0, 0 b 0 m ( n ) ax ij j bi ( x ) + ( x+ x) + ( x + ) j i min x Vypočteme parciální derivace a položíme je rovné nule 0x x 4 0, x 0x x x Z toho x 3, x 3 r ( ) ( ) ( ) Michael Šebek ARI

15 Příklad - Nejmenší čtverce Pro A 0, 0 b 0 je T T x ( AA) Ab Pak Tedy x r Ax b ( ) ( ) ( ) 3, x 3 r Michael Šebek ARI

16 Příklad - Data fitting interpolací Zadání: Napasuj polynom gt () na funkci f() t na intervalu [-,] + 5t Řešení interpolací stejný počet vzorků jako počet koeficientů polynomu. Vyber m n bodů t, a vypočti [ ]. Interpoluj přesným řešením Ax b 3. Výsledek i ( ti ) f( t ) + 5 i čárkovaně: f plnou čarou: g Kroužky: body t, f( t) gt ( ) ( ) i i i Větší počet n m zřejmě nezlepší kvalitu napasování Michael Šebek ARI

17 Stejný příklad jinak - Data fitting aproximací Řešení aproximací větší počet vzorků než počet koeficientů polynomu. Vyber polynom stupně n a n m 50 bodů ti, a vypočti. Napasuj polynom minimalizací Ax b f( ti) + 5t 3. Výsledek čárkovaně: f plnou čarou: g kroužky: body t, f( t) gt ( ) ( ) i i i [ ] ( i ) Dostáváme zřejmě mnohem lepší výsledek než při interpolaci Michael Šebek ARI

18 Příklad - identifikace Michael Šebek ARI

19 Pokračování příkladu - identifikace Michael Šebek ARI

20 Příklad řád modelu Michael Šebek ARI

21 Příklad validace modelu na jiných datech Michael Šebek ARI-05-06

Podobné dokumenty

Příklady k přednášce 5 - Identifikace

Příklady k přednášce 5 - Identifikace Příklady k předášce 5 - Idetifikace Michael Šebek Automatické řízeí 05 3-3-5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Jiá metoda pro. řád bez ul kmitavý Hledáme ω Gs () k s + ζω s + ω Aplikujeme u( )