Základy teorie množin

1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé typy: lineární, dobré (již z dříve znáte husté a diskrétní); 4. související pojmy: dolní množina, minoranta, minimum, infimum, nejmenší prvek, atd. 5. úplný svaz, věta o pevném bodu 6. srovnávání mohutností množin (definice, základní vlastnosti) 7. Cantor-Bernsteinova věta

Věta (Cantor, Bernstein): 2 (x y y x) x y Důkaz. Podle předpokladu existují prosté funkce f : x y a g : y x. Stačí dokázat, že existuje u x takové, že platí x u = g[y f[u]], neboli u = x g[y f[u]], nebot pak můžeme definovat prosté zobrazení h množiny x na množinu y předpisem f(z) pro z u h(z) = g 1 (z) pro z x u u nalezneme jako pevný bod funkce H : P(x) P(x), H(u) = x g[y f[u]]. Jelikož (P(x), ) je úplný svaz, stačí podle věty o pevném bodu, ukážeme-li, že H je -neklesající. Necht u v x. Pak zřejmě f[u] f[v], y f[u] y f[v], tedy g[y f[u]] g[y f[v]] a konečně H(u) = x g[y f[u]] x g[y f[v]] = H(v).

3 Cantor-Bernsteinova věta poskytuje důležitý test toho, že dvě množiny x a y mají stejnou mohutnost. Namísto toho, abychom se je snažili na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit, stačí když sestrojíme dvě prostá zobrazení f : x y a g : y x. Příklad: R R R Subvalenci R R R dosvědčuje např. zobrazení f(r) = r, r, r R. Opačnou subvalenci zprostředkujeme např. takto: předně, existuje prosté zobrazení p : Z Z Z (zkuste si nějaké najít). Reálné číslo r zapíšeme v běžném desetinném rozvoji, jako r, r 1 r 2 r 3..., kde r je dolní celá část čísla r a r 1, r 2,... jsou jednotlivé cifry obvyklého desetinného rozvoje. Má-li číslo r dva desetinné rozvoje (např. 0, 9999... = 1, 0000...), vezmeme vždy ten s 0000.... Nyní dvojici čísel r, s R přiřadíme číslo, odpovídající rozvoji: g(r, s) = p( r, s ), r 1 s 1 r 2 s 2 r 3 s 3... Je jasné, že nevznikne zakázaný rozvoj a že takto definované zobrazení je prosté (z rozvoje g(r, s) lze jednoznačně získat čísla r a s). Není to však bijekce: např. číslo p(0, 0), 0703090909... by mohlo být jedině obrazem čísel 0 a čísla 0, 74, ovšem se zakázaným rozvojem 0, 73999....

4 Škála mohutností množin není shora omezená; ke každé množině totiž existuje množina větší mohutnosti, jak ukazuje následující věta: Věta (Cantor): x P(x) Důkaz. Zřejmě x P(x) (stačí např., položíme-li f(z) = {z} pro z x). Zbývá dokázat (x P(x)). Sporem: necht f je prostá funkce zobrazující x na P(x). Položme u = {z x ; z / f(z)}. Je u P(x), tudíž musí existovat a x tak, že f(a) = u, nebot f je "na". Platí bud a f(a), nebo a / f(a). Každá z těchto formulí je však v bezprostředním s sporu s definicí množiny u.

5 Domluvme se, že prázdnou množinu budeme též označovat symbolem 0, singleton {0} symbolem 1 a dvouprvkovou množinu {0, 1} symbolem 2 (posléze analogicky zavedeme všechna přirozená čísla). Disjunktní sjednocení tříd X, Y je třída X Y definovaná vztahem X Y = ({0} X) ({1} Y ) = { 0, a ; a X} { 1, b ; b Y }. Pak: X = (X Y ) {0} a Y = (X Y ) {1}. Pro množiny x, y platí zřejmě x y x y. Je-li x alespoň dvouprvková, je x x x x. Pro x x, y y a z dále platí: x y x y x y x y x y y x x (y z) (x y) z x y y x x (y z) (x y) z x (y z) (x y) (x z) y x y x P(x) P(x )

6 Příklad: Jak ověřit uvedené vztahy? Např. x (y z) (x y) (x z). Náznak důkazu. Prvky množiny vlevo jsou tvaru d = a, i, b, kde a x, b y z, a i {0, 1}, přičemž (i = 0 b y) (i = 1 b z) Necht f je zobrazení přiřazující libovolnému takovému prvku d = a, i, b množinu f(d) = i, a, b. Snadno se ověří, že: 1. f(d) (x y) (x z), 2. rng(f) = (x y) (x z), neboli f je na, 3. f je prosté

7 Připomeňme, že x = { } a y = pro y. Pro množiny x, y, u, v dále platí: x y x u y u u v x u x v y ( x u) (y x) u (x y) u x u y u Dokažme například formuli v rámečku: Pro každé zobrazení f : y x u definujme funkci h f vztahem h f ( a, b ) = f(a)(b). : y x u Přiřazení h : f h f určuje funkci h : y ( x u) (y x) u. Snadno se ověří,že h je prostá a na.

8 Z uvedených vztahů vidíme, že pro množinové operace x y, x y a y x platí podobné zákony (vůči relacím a ), jako platí pro sčítání, násobení a umocňování přirozených čísel (vůči rovnosti a uspořádání). Tvrzení: 1. P(a) a 2. 2. Je-li a a a a a prázdná, nebo alespoň dvouprvková, pak a 2 a a. Důkaz. 1. Zobrazení h : P(a) a 2 bud definováno předpisem 1 pro z x h(x)(z) = pro z a x Snadno se nahlédne, že h je prosté zobrazení P(a) na a 2. 2. Pro prázdnou množinu platí druhá část tvrzení evidentně. Je-li a alespoň dvouprvková, je zřejmě a a a 2. Dále a a P(a a), tedy a a P(a a) a tudíž, je-li a a a, je a a P(a) a 2.

9 Přirozená čísla v teorii množin Přirozená čísla zavádíme do teorie množin způsobem, jenž pochází od von Neumanna: přirozené číslo je množina všech menších přirozených čísel. Tedy: 0 je prázdná množina 1 je jednoprvková množina {0} = { } 2 je dvouprvková množina {0, 1} = {, { }} 3 je tříprvková množina {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}}, atd.... n je tedy n-prvková množina {0,..., n 1} n + 1 je tedy n + 1-prvková množina {0,..., n} = n {n} Dále se budeme věnovat tomu, zda a jak lze definovat množinu všechpřirozených čísel.

10 Induktivní množiny Řekneme, že množina z je induktivní, jestliže z ( x)(x z x {x} z). Každá induktivní množina tak zřejmě obsahuje každé n, kde n je přirozené. Tvrzení: Existuje nejmenší induktivní množina (v uspořádání inkluzí ). Důkaz. Axiom nekonečna zaručuje existenci nějaké induktivní množiny z 0. Položme ω = {z z 0 ; z je induktivní}. ω je induktivní, nebot je prvkem všech induktivních podmnožin množiny z 0 a je-li y ω, je pro každou induktivní z z 0 y z, tedy i y {y} z, tudíž y ω. ω je nejmenší induktivní množina, nebot je-li z 1 induktivní, je z 0 z 1 také induktivní; jelikož z 0 z 1 z 0, je ω z 0 z 1, a tedy ω z 1.

11 Množina přirozených čísel Množinou přirozených čísel nazýváme nejmenší induktivní množinu a značíme ji ω, případně N. Je to tedy nejmenší množina obsahující a uzavřená na operaci "následníka" x {x} (odpovídá operaci +1). Na množině ω budeme definovat operace součtu, součinu. S jejich pomocí lze zavést další základní pojmy aritmetiky přirozených čísel. Ukážeme, že pro prvky ω platí princip indukce, jenž umožňuje dokázat všechna tvrzení známá z elementární aritmetiky. Prvkům množiny ω budeme říkat přirozená čísla v teorii množin, krátce přirozená čísla. Uvědomme si však, že přirozená o nichž mluvíme v meta-jazyce (např. ve větě "formule ϕ má n volných proměnných" nejsou objekty teorie množin. Říkáme jim metamatematická přirozená čísla.

12 Každému metamatematickému číslu n odpovídá nějaké přirozené číslo n v teorii množin. Získáme je n-násobnou aplikací operace následníka na, čili n = S(... (S( ))...), kde S(x) = x {x}. }{{} n-krát Na opačný vztah obecně nelze spoléhat: z principu kompaktnosti v logice plyne, že teorie množin rozšířená o novou konstantu c a axiomy c ω c / n pro každé (metamatematické) n, je bezesporná. Nevyhneme se tak možnosti, že do ω padne i nějaký prvek, jenž není tvaru n pro žádné konkrétní metamatematické n. S tím je třeba se smířit. Podstatné je, že se prvky množiny ω v teorii množin "chovají" jako přirozená čísla.

13 Tvrzení (Princip matematické indukce): (dvě možné formulace) 1. Necht ϕ(x) je formule jazyka teorie množin. Pak platí (ϕ( ) ( x ω)(ϕ(x) ϕ(x {x}))) ( x ω)ϕ(x) 2. Necht z ω taková, že z a pro každé x z je x {x} z. Pak z = ω. Důkaz. 1. Množina y = {x ω ; ϕ(x)} je induktivní, tudíž ω y. Současně y ω z definice. 2. Opět, z je induktivní, tedy ω z. Z předpokladu z ω, čili ω = z.

Uspořádání přirozených čísel Označme relaci definovanou na množině ω vztahem 14 x y (x = y x y). Tvrzení: (ω, ) je dobré (a tedy lineární) uspořádání; je diskrétní, nemá největší prvek, jeho nejmenším prvkem je číslo 0 a (ω, ) je odpovídající ostré uspořádání. Dále ( x, y ω)(x y x y). Připomeňme, že lineární uspořádání (A, ) je diskrétní, má-li každý prvek x, který není minimální, bezprostředního předchůdce (tj. existuje největší z prvků menších než x) a každý prvek x, který není maximální, má bezprostředního následníka (tj. existuje nejmenší z prvků větších než x). Tvrzení dokážeme, nejprve ale dokážeme lemma...

15 Lemma: Pro každé x ω platí: 1. x 0 0 x, 2. ( y ω)(x y x y), 3. ( y ω)(x y x {x} y), 4. x / x Důkaz. 1. Indukcí: je-li x = 0, není co dokazovat. Je-li 0 x, je zjevně 0 x {x}. 2. Pro x = y je to triviální, dokazujeme to indukcí dle y pro x y: pro y = 0 není co dokazovat. Platí-li to pro y a je-li x y {y}, je bud x y a pak dle indukčního předpokladu x y, nebo x = y. V obou případech x y y {y}. 3. Zvolme x ω libovolně, ale pevně. Formuli dokazujeme indukcí dle y. Je-li y = 0, není co dokazovat. Necht formule platí pro y, dokážeme ji pro y {y}. Necht x y {y}. Pak bud x = y, odkud x {x} = y {y}, nebo x y x a tedy dle indukčního předpokladu x {x} y, odkud z definice x {x} y {y}. 4. Indukcí: pro x = 0 to platí. Necht x / x. Kdyby x {x} x {x}, pak bud x {x} x odkud dle 2. a 3. x {x} x, nebo x {x} = x. V obou případech x x, spor s indukčním předpokladem.

16 Tvrzení: (ω, ) je dobré (a tedy lineární) uspořádání; je diskrétní, nemá největší prvek, jeho nejmenším prvkem je číslo 0 a (ω, ) je odpovídající ostré uspořádání. Navíc pro x, y ω je x y právě když x y. Důkaz. je reflexivní z definice. Dle bodu 2 lemmatu, x y implikuje x y. Je-li x y z a x y, pak x y z, čili x z a tedy x z. Tudíž je tranzitivní. Slabá anti-symetrie plyne z tranzitivity a bodu 4 lemmatu. Kdyby totiž x < y < x, pak by speciálně x y x, tudíž x x, spor. Že (ω, ) je dobré, neboli že každá neprázdná podmnožina u ω má -nejmenší prvek, ukážeme sporem: Necht u nemá -nejmenší prvek. Označme v množinu všech minorant množiny u, tj. v = {x ω ; ( y u)(x y)}. Zřejmě u v = (prvek průniku by byl nejmenší v u). Ze stejného důvodu 0 v. Necht x v. Pak pro každé y u platí x y (kdyby x = y, byl by x u v). Dle bodu 2. lemmatu x {x} y, čili x {x} v. Z principu indukce tedy v = ω a tedy u =, spor. (ω, ) je tedy lineární. Když x y, je x y, neb jinak y < x a tedy y y, spor. (ω, ) nemá největší prvek, nebot x < x {x}. Je diskrétní, nebot je-li 0 x ω, pak existuje y x tak, že x = y {y} (jinak by množina x byla induktivní). Kdyby existovalo y < z < y {y}, pak y z, a tedy z y, čili y < z < y, spor.

17 Další číselné obory v teorii množin K zavedení operací sčítání, násobení a umocňování na ω se vrátíme později. Obor celých čísel Z zavedeme např. jako množinu ω ({1} (ω {0})), přičemž prvek tvaru 1, x, kde 0 x ω, interpretujeme jako číslo x. Operace na Z se zavedou jako vhodná rozšíření operací na ω. Obor racionálních čísel lze zavést např. faktorizací množiny Z (ω {0}), podle kongruence definované vztahem a, b c, d ad = bc, jak jsme uvedli již minule. Třídu této ekvivalence tvaru [ a, 1 ], kde a Z, navíc obvykle ztotožňujeme právě s číslem a. Reálná čísla se v teorii množin obvykle konstruují na základě čísel racionálních, a to například pomocí tzv. Dedekindových řezů. Konstrukci reálných čísel probírat nebudeme.

18 Konečné množiny Tarského definice konečnosti: Množina x je konečná, píšeme Fin(x), jestliže každý neprázdný systém jejích podmnožin y P(x), y, obsahuje vzhledem -minimální prvek, tj. existuje u y tak, že pro žádné v y není v u. Intuitivně: množina je konečná, jestliže z každé neprázdné množiny jejích podmnožin můžeme vždy vybrat některou s minimálním počtem prvků. Poznámka: Konečné množiny lze též definovat jako množiny jež mají mohutnost, jako nějaké přirozené číslo. Tarského definice má však tu výhodu, že neodkazuje na nic jiného než na množinu x samu.

19 Tvrzení: Žádná induktivní množina není konečná. Důkaz. Je-li x induktivní, pak (zjevně neprázdný) systém y = {x z ; z / z x} P(x) nemá -minimální prvek. Kdyby totiž pro z x byl x z minimální prvek y, pak z induktivnosti z = z {z} x a x z x z y, což je spor s minimalitou. Bud x libovolná množina. Necht y P(x) a y = {x u ; u y}. Pak u y je minimální prvek (y, ) právě když x u je maximální prvek (y, ). Kdybychom tedy v definici Fin nahradili slovo minimální slovem maximální, získali bychom ekvivalentní definici. Speciálně, každý neprázdný systém podmnožin konečné množiny má vzhledem k inkluzi maximální prvek. Třídu všech konečných množin značíme Fin, tj. Fin = {x ; Fin(x)}.

20 Patnáct jednoduchých tvrzení o konečných množinách 1. a b Fin(b) a b Důkaz. Předpokládejme, že b je konečná a přesto existuje nějaká její vlastní podmnožina a b, taková, že (a b). Jelikož a b, je nutně a b. Uvažujme množinu y všech takových vlastních podmnožin množiny b, tj. y = {a b ; a b}. Dle předpokladu je y P(b) a y má tedy díky konečnosti b -minimální prvek a 0 y. Je-li f : b a 0 vzájemně jednoznačné zobrazení, je f a 0 a 0 (nebot a 0 b) a přitom f a 0 je vzájemně jednoznačné zobrazení a 0 na f a 0. Odtud vyplývá, že f a 0 a 0 b, čili f a 0 y, což je ve sporu s minimalitou a 0.

21 Předchozí tvrzení vyslovuje důležitou vlastnost konečných množin, totiž že jejich vlastní část je vždy menší než celek. Toto tvrzení navrhnul jako definici konečnosti množiny Dedekind. Dnes je však známo, že bez přidání dalšího axiomu (např. axiomu výběru) nelze dokázat opačnou implikaci, tj. že množina, jejíž každá vlastní část má mohutnost menší než celek, je konečná. Problém spočívá v tom, že pomocí axiomů Zermelo-Fraenkelovy teorie nejsme obecně schopni k dané množině nekonečné dle Tarského nalézt zobrazení, jež by ji vzájemně jednoznačně zobrazilo na její vlastní část (přestože pro všechny "běžné" nekonečné množiny, jako je třeba ω, taková zobrazení nalézt umíme).

22 2. (Fin(a) b a) Fin(b) Důkaz. plyne ihned z definice. 3. (Fin(a) a b) Fin(b) Důkaz. Necht f : b a je vzájemně jednoznačné zobrazení a y P(b). Pak y = {f x ; x y} P(a) a snadno se ověří, že je-li f x pro x y minimální prvek y (vzhledem k inkluzi), je x minimální prvek y (vzhledem k inkluzi). 4. (Fin(a) b a) Fin(b) Důkaz. Plyne z 2. a 3.

23 5. (Fin(a) Fin(b)) Fin(a b) Důkaz. Necht y P(a b). Označme y 1 = {x a ; x y} P(a). Zřejmě je y 1 neprázdná (nebot je taková y) a má tudíž díky Fin(a) minimální prvek, a to tvaru x 1 a pro nějaké x 1 y. Položme y 2 = {x b ; x y x x 1 }. Zřejmě = y 2 P(b) a má tedy díky Fin(b) nějaký minimální prvek tvaru x 2 b pro nějaké x 2 x 1, x 2 y. Dokážeme, že x 2 je minimální prvek y. Bud x y, x x 2. Pak x x 1, a tedy x b y 2, z čehož plyne, že x b = x 2 b, jelikož x 2 b je minimální v y 2. Podobně dostaneme x a = x 1 a = x 2 a. Protože x, x 2 a b, je x = x 2.

24 6. Fin(a) ( b)fin(a {b}) Důkaz. Snadno se ověří, že pro každé y je Fin({y}). Zbytek plyne 5. 7. ω Fin Důkaz. matematickou indukcí podle 6. 8. Princip indukce pro konečné množiny ( A ( a A)( b)(a {b} A)) Fin A Důkaz. Necht A splňuje předpoklad uvedené implikace. Dokážeme, že Fin A. Sporem. Necht a Fin, ale a / A. Uvažujme y = {b a ; b / A}. Jelikož a y, je y neprázdná a má tedy minimální prvek b. Zřejmě je b nebot A. Existuje tedy nějaké x b. Pak ale b {x} A nebot v opačném případě dostáváme spor s minimalitou b. Z vlastností třídy A ovšem plyne, že (b {x}) {x} = b A, což je spor.

25 9. Fin(a) Fin(P(a)) Důkaz. Pomocí principu indukce pro konečné množiny. Zřejmě Fin(P( )), nebot P( ) = { }. Zbývá dokázat, že je-li Fin(a) a Fin(P(a)), pak pro libovolné b je Fin(P(a {b})). To plyne z 5. a toho, že P(a {b}) = P(a) c, kde c = {x {b} ; x P(a)} P(a), a tedy Fin(c) dle 3. 10. Fin(a) Fin(b) Fin(a b) Důkaz. ihned z 9. a toho, že a b P(P(a b)). 11. Fin(a) Fin(b) Fin( a b)) Důkaz. ihned z 9. a toho, že a b P(a b).

26 12. (Fin(a) ( z a)fin(z)) Fin( a) Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí pro konečné množiny. Pro a = to platí triviálně. Platí-li dále tvrzení pro nějakou konečnou množinu a, jejíž všechny prvky jsou konečné, platí i pro a {b} kde b je konečná, nebot (a {b}) = b a, přičemž na pravé straně je díky indukčnímu předpokladu sjednocení dvou konečných množin, tedy konečná množina dle 5. 13. Fin(a) ( z)(a z z a) Důkaz. Indukcí pro konečné množiny: zřejmě z pro každé z. Platí-li z a, je z a {x} pro libovolné x. Platí-li naopak a z, bud f : a z prosté zobrazení. Jelikož a z, není f na, a tedy existuje prvek y z rng(f). Položme f = f { x, y }. Získali jsme prosté zobrazení f : a {x} z, čili a z, čímž je dokázán potřebný indukční krok.

27 14. Fin(a) ( n ω)(a n) Důkaz. Na jednu stranu z 7. víme, že každé přirozené číslo n je konečná množina a tudíž je-li a n, je rovněž a konečná množina. Obrácenou implikaci dokážeme opět indukcí pro konečné množiny. Je-li a = pravá strana ekvivalence platí triviálně (stačí položit n = 0). Ukážeme, že je-li a n a x libovolná množina, platí ( m ω)(m a {x}). Pokud x a, je a {x} = a a stačí položit m = n. V opačném případě (x / a), položme m = n {n}. Je-li nyní f vzájemně jednoznačné zobrazení f : a n, je f = f { x, n } vzájemně jednoznačné zobrazení a {x} na m.

28 15. ( n, m ω)(n m n = m) Důkaz. Indukcí dle n. Pro n = 0 je tvrzení triviální. Necht n splňuje formuli ( m)(n m n = m). Dokážeme, že ji splňuje i n {n}. Necht n {n} m. Pak zřejmě m 0, tedy m = k {k} pro nějaké k ω. Bud nyní f : n {n} k {k} vzájemně jednoznačné zobrazení. Případnou záměnou funkčních hodnot f v bodech n a f 1 (k) získáme vzájemně jednoznačné zobrazení f : n {n} k {k} takové, že f (n) = k. Odtud vyplývá, že f n je vzájemně jednoznačné zobrazení n na k, čili n k a podle indukčního předpokladu n = k. Tudíž n {n} = k {k} = m.

29 Zavedení operací na ω Z předchozího plyne, že sjednocení, kartézský součin i množinová mocnina dvou konečných množin jsou tedy konečné množiny. Každá konečná množina má mohutnost právě jednoho přirozeného čísla. Operace sčítání, násobení a mocnění proto zavádíme následujícími vztahy. Pro n, m, k ω: n + m = k k n m, n m = k k n m, n m = k k m n. V každém z nich je číslo k, udávající výsledek uvedené operace, určeno jednoznačně (díky tvrzení 15.)

30 Snadno se ověří, že pro přirozená čísla v teorii množin s výše uvedenými operacemi a uspořádáním, platí všechny axiomy Peanovy aritmetiky. Na druhou stranu jsou známa tvrzení o přirozených číslech, jež jsou dokazatelná v teorii množin, ale v Peanově aritmetice je nelze dokázat ani vyvrátit. Nahradíme-li však v teorii množin axiom nekonečna jeho negací, situace se změní. V takové "teorii konečných množin" jsou o přirozených číslech dokazatelná právě tatáž tvrzení jazyka aritmetiky, jako v Peanově aritmetice. To poukazuje na zajímavý fakt, totiž že až zkoumáním nekonečných množin lze získat některé poznatky o konečných množinách (potažmo přirozených číslech), jež by nám jinak zůstaly skryty.