1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D)

1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D) 1.16.1 Teoretický úvod Nedílnou souástí návrhu štíhlých prutových konstrukcí by ml být spolen se statickým výpotem také výpoet stabilitní, nebo podává z inženýrského hlediska adu dležitých informací o možném chování navrhované konstrukce. Vztah mezi zatížením, které v daném okamžiku na konstrukci psobí a zatížením kritickým, vedoucím ke ztrát stability, je jedním z výstup stabilitního výpotu. Vlastní tvar vyboení potom dává jednak velmi dobrou pedstavu o možném mechanismu porušení konstrukce ztrátou stability a zárove umožuje odhadnout charakter geometrických imperfekcí, které jsou pro uvažovanou konstrukci nebezpené. Souasná verze programu FIN3D poskytuje uživateli nástroj, jak se v tchto problémech lépe orientovat. Úlohu lineární stability lze charakterizovat jako problém urení kritické hodnoty zatížení ideální konstrukce jako násobek zatížení, které na tuto konstrukci skuten psobí. Za tím úelem je nutno zapsat podmínky rovnováhy na deformované konstrukci a zahrnout tak vliv normálových sil na pínou tuhost prutových prvk. Rovnice rovnováhy pak pejde na tvar ( K - K ) r 0 Rov. 3 kde K je matice tuhosti a K je matice geometrické tuhosti (poáteních naptí) vyjadující vliv normálových sil. Vektor r pedstavuje vlastní tvar vyboení. Podobn jako vlastní tvary kmitání je i vlastní tvar vyboení normován, piemž normované hodnoty uzlových deformací se nezobrazují. Rovnice ( Rov. 3) je obdobou rovnice popisující vlastní tvary kmitání. Na rozdíl od vlastního kmitání nás však zajímá pouze nejnižší vlastní íslo rovnice (Rov. 3), které oznaíme jako krit. Pedpokládáme-li, že hodnota zatížení rozloženého po konstrukci odpovídá vektoru uzlových sil R, potom vektor R krit = krit R odpovídá hodnot kritického zatížení vedoucí ke ztrát stability celé konstrukce. Pokud vyjde krit záporné, je konstrukce stabilní a ke ztrát stability by došlo v okamžiku penásobení stávajícího zatížení hodnotou (-1). 1.16.2 Popis použitých metod 1.16.2.1 Metoda Iterace podprostoru a metoda Lanczosova Podobn jako problém vlastního kmitání vede i zde rovnice (Rov. 3) na obecný problém vlastních ísel. K jeho ešení lze použít jak metodu Iterace podprostoru tak metodu Lanczosovu. Metoda Iterace podprostoru byla upravena tak, aby bylo možno ešit konstrukce, ve kterých se vyskytují jak tažené, tak tlaené prutové prvky. Naproti tomu Lanczosova metoda je v tomto ohledu více konservativní a vyžaduje, aby matice poáteních naptí byla positivn definitní. Jinými slovy umožuje ešit pouze ty konstrukce, ve kterých se pi daném zatížení vyskytují jen tlaené nebo zcela nezatížené prvky. Vzhledem k tomu, že výhody i nevýhody obou metod jsou podrobn popsány v pedcházející kapitole, nebudeme se k nim v tomto odstavci blíže vyjadovat. 1.16.2.2 Metoda Inverzní iterace Jak jsme se již zmínili, naším cílem je nalézt nejnižší vlastní íslo rovnice (Rov. 3). Jednou z nejznámjších metod, která je výhradn urena k ešení tohoto problému je metoda Inverzní iterace a v programu FIN3D dopluje skupinu výše uvedených metod urených k ešení stabilitních problém konstrukcí. Jak je již patrné z názvu je metoda Inverzní iterace metodou iteraní. Jedná se o metodu pomrn spolehlivou a pesnou v tom smyslu, že opakováním iteraního cyklu se mže s libovolnou pesností (omezenou pesností poítae) piblížit ke FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 28

správnému ešení. Bohužel v nkterých pípadech je rychlost konvergence velice pomalá a maximální poet možných iterací, který je podobn jako u vlastního kmitání roven 200, nemusí být vždy postaující. Proto je výstup výpotu doplnn o informaci týkající se dosažené pesnosti. V pípad, že konvergence nebyla dosažena (Obr. 7) má uživatel možnost bu zvýšit poet iterací, nebo snížit požadovanou pesnost, anebo zvolit jinou metodu. Obr. 7 1.16.3 Novinky a doporuení Vzhledem k tomu, že na rozdíl od bžného výpotu lineární statiky neplatí v lineární stabilit princip superposice, provádí se výpoet pouze pro zvolený poet pedem definovaných kombinací. Ve výsledcích je potom každá kombinace charakterizována kritickým násobkem zatížení krit (ve výsledcích je koeficient krit oznaen jako fkrit ) a vlastním tvarem vyboení. Pitom pro každou kombinaci charakterizovanou skuteným zatížením by mla být hodnota souinitele krit vtší než 4. V opaném pípad by se ml projektant vážn zamyslet nad statickým návrhem konstrukce a statický model bu peformulovat anebo uvažovat o možných konstrukních úpravách. Dalších pár poznámek je vnováno rozdílu výpotu prostorových a rovinných konstrukcí. Uživatel by si ml být vdom skutenosti, že rovinná konstrukce v rovin zatížená má tendenci vyboit z roviny konstrukce. Pokud je vyboení z roviny konstrukce zabránno, je kritický násobek zatížení krit výrazn vyšší než když tomu tak není. Tato skutenost je demonstrována na píklad jednoduchého rovinného rámu jehož stojky jsou zatíženy v rovin rámu osovými silami. Výsledek je patrný z Obr. 8. V prvním pípad se jedná o prostorové vyboení. Ve druhém pípad bylo vyboení z roviny rámu zabránno a krit se zvýšilo více než tyikrát. FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 29

Obr. 8 Na závr jen pár slov k výpotu vzprných délek. Vzhledem k tomu, že se jedná o pomrn komplikovaný problém a žádný obecný recept neexistuje, jsou uživatelé v tomto smru odkázáni na inženýrský cit, praxi a zdravý rozum. Pokud se však uživatel nevyhne práci se vzprnými délkami, poskytuje stabilitní výpoet vstup pro jejich jednoduchý odhad. Pokud se v konstrukci vyskytují pruty, které jsou výrazn namáhány na vzpr, lze pi výpotu vzprných délek postupovat následujícím zpsobem. V prvním kroku uríme statickým výpotem prbh normálových sil po konstrukci. V druhém kroku pak odhadneme hodnotu krit a uríme prbh normálových sil odpovídající hodnot kritického zatížení ze vzorce N krit Rov. 4 kde N pedstavuje normálovou sílu v daném prezu od skuteného zatížení. K odhadu vzprné délky v uvažovaném prezu pak použijeme klasický Eulerv vzorec pro kritické bemeno ve tvaru krit N I 2 h 2 EI Nkrit Rov. 5 Ve vzorci (Rov. 5) pedstavuje l h hodnotu vzprné délky prezu, EI ohybovou tuhost prutu a N krit hodnotu kritické normálové síly. Upozorujeme, že tento vzorec byl odvozen za pedpokladu osov zatíženého pímého prutu. Jeho použití pro odhad vzprných délek obecn zatížené konstrukce by proto mlo být podízeno dkladné analýze, pitom oblast použití rovnice (Rov. 5) by se mla týkat pouze té ásti konstrukce, ve které jsou jednotlivé prvky výrazn tlaené a svým charakterem odpovídají chování osamlého pímého prutu. Na obr (Obr. 9) této skutenosti odpovídá prut íslo 3, pitom pruty 1 a 2 pouze suplují pružné uložení horního styníku prutu. 3 a jejich posouzení na vzpr je bezpedmtné. Jak je vidt, vzhledem k prutu. 3 se rám chová jako pružn uložená konzola. Proto také výpoet vzprných délek na prutech 1 a 2 by byl nesmyslný. FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 30

Obr. 9 Závrem chceme jen poznamenat, že stabilitní posouzení chování štíhlých prutových konstrukcí není problém triviální a mla by se mu vnovat dostatená pozornost. FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 31

1.17 Druhý ád 1.17.1 Teoretický úvod S rozvojem moderní výpoetní techniky se teorie druhého ádu stává mocným nástrojem inženýra pi navrhování štíhlých prutových konstrukcí. Názory na rámec jejího použití se však v inženýrské komunit asto rzní. V této kapitole se proto pokusíme objasnit nkteré dležité aspekty této teorie jak z hlediska teoretického tak z hlediska jejího praktického využití. Jak jsme se již v úvodu této kapitoly zmínily je teorie druhého ádu aparát k analýze napjatosti štíhlých konstrukcí s výraznými osovými silami, které se nacházejí bu pod úinkem píných sil nebo jsou vystaveny vlivu poáteních imperfekcí. Imperfekce mohou být materiálové (nap. nerovnomrné rozložení tuhostí po prezu) nebo geometrické (zakivená osa prutu ped zatížením, excentricity v uložení pilí ap.). Materiálové imperfekce lze obvykle pevést na imperfekce geometrické. V takovém pípad chápeme osu v imperfektní konstrukci jako spojnici sted tuhostí heterogenních prez. Teorie druhého ádu je zjednodušením metod geometricky nelineární analýzy konstrukcí. Pedpoklady, na kterých je tato teorie vybudována, jsou uvedeny v navazující kapitole 1.17.2. Zde se nejprve strun zmíníme o rozdílu mezi geometricky nelineárním a lineárním pístupem, jako i o možnostech jejich praktické aplikace. K ilustraci postaí Obr. 10. (srov. [1]). Obr. 10 Zatžovací dráhy dokonalého ( 0=0) a imperfektního prutu ( 00) Na Obr. 10a jsou poátení imperfekce vyjádeny parametrem 0, konený stav parametrem. Pipomeme, že poátení imperfekce 0 mohou být zpsobeny i úinkem píných sil. Stanovíme je obvyklým výpotem pi zanedbání osových sil na petvoení konstrukce (teorie prvního ádu). Na Obr. 10b jsou nartnuty zatžovací dráhy dokonalého ( 0 = 0) a imperfektního ( 0 0) prutu odpovídající geometricky nelineárnímu (erchované kivky) a lineárnímu (plné kivky) ešení. Lze je získat integrací Eulerovy diferenciální rovnice 1 1 0 M EI, Rov. 6 FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 32

kde v geometricky nelineární úloze platí 1 w' ' (1 w' 2 ) 3 2 a v lineární úloze platí Rov. 7 1 w' '. Rov. 8 árkou je oznaena derivace prhybu podle x. I za použití zjednodušení (Rov. 8) je pi složitém tvaru konstrukce integrace rovnice (Rov. 6) obtížná, a proto se používají rzné pibližné metody. Podobn jako v pípad teorie prvního ádu je i zde použita deformaní varianta MKP. Geometricky nelineární výpoty jsou nezbytné k nalezení kritických stav (bifurkaních i limitních), Obr. 11, na dráze zatížení-posun zejména u konstrukcí zakivených, jako jsou oblouky a prutové mížoviny uspoádané do tvaru zakivené plochy (nap. kulové i válcové ap.). V limitním bod zatížení dosahuje své maximální nebo minimální hodnoty ( bod zvratu ), v bifurkaním bod dochází k rozvtvení rovnováhy (nap. vedle rovnováhy na symetricky se deformující oblouk - plná ára, mže existovat rovnováha na nesymetricky se deformujícím oblouku - árkovaná ára). Tyto vztahy nelze v žádném pípad zachytit lineárním výpotem (erchovaná ára), který výrazn nadhodnocuje stabilitní únosnost konstrukce. Obr. 11 Bifurkaní a limitní body Lineární výpoty lze naproti tomu aplikovat s jistotou u klasických rámových konstrukcí tvoících ortogonální systém ( Obr. 12a). Zatímco konstrukce na Obr. 12a umožuje linearizaci výpotu, vzpradlo na Obr. 12b se svým chováním blíží spíše oblouku (Obr. 12c) a linearizace je nepípustná. Rozhodnutí, zda konstrukci lze ešit lineárním i nelineárním výpotem, vyžaduje nejen urité teoretické znalosti, ale i jisté praktické zkušenosti inženýra. FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 33

Obr. 12 Využitelnost lineární teorie 1.17.2 Pedpoklady teorie druhého ádu Teorie druhého ádu je zjednodušením geometricky lineárního výpotu spoívající na tchto pedpokladech Lze linearizovat geometrické vztahy mezi deformacemi a posuny (geometricky lineární výpoet). Rozložení osových sil se pi deformaci konstrukce nemní. Rovnováha se vyjaduje na deformovaném tvaru. Pi klasické formulaci založené na integraci rovnic (Rov. 6) a (Rov. 8) lze vyjádit vztah mezi koncovými silami prutu f a odpovídajícími posuny r ve tvaru K( ) r f Rov. 9 kde je parametr zatížení. Poznamenejme, že pi proporcionálním zatížení všechny vnjší síly rostou úmrn tomuto parametru. Linearita úlohy spoívá v tom, že matice tuhosti K není funkcí vektoru uzlových deformací r. Úlohu (Rov. 9) lze ešit dvma zpsoby. 1. Matici tuhosti K() uvedeme na tvar K( ) K 0 - K Rov. 10 kde K 0 je matice tuhosti podle teorie prvního ádu a K je matice poáteních naptí (geometrické tuhosti - viz. kapitola 1.16.1). Rozložíme-li konstrukci na dostatený poet prvk, blíží se ešení s rozvojem (Rov. 10) k pesnému ešení rovnice (Rov. 9). Tento postup je základem program systému FIN10 Fin3D a Fin2D. V souladu s výše uvedenou formulací probíhá výpoet následujícím zpsobem. V prvním kroku se pro pedpokládané zatížení urí prbh normálových sil po konstrukci užitím teorie prvního ádu. Znalost normálových sil pro dané zatížení slouží k sestavení matice poáteních naptí K. Statický výpoet se pak opakuje, tentokrát však s modifikovanou maticí K(), rov. (Rov. 10). Rovnice (Rov. 9) pedpokládá ideální tvar konstrukce, ovšem s možností zatížení pínými silami. V pípad imperfektní konstrukce zatížené osovými silami nejprve nabude rovnice (Rov. 9) s úpravou (Rov. 10) tvaru FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 34

( K 0 - K ) r K 0r 0 Rov. 11 kde r 0 je vektor poáteních uzlových imperfekcí. Výraz K 0 r 0 je ekvivalentní úinku píných sil. V pípad kombinací obou se silové úinky imperfekcí K 0 r 0 i píných sil R sítají. Pokud jsou na druhé stran oba výrazy jak K 0 r 0 a R rovny nule, pejde rovnice ( Rov. 11) na problém lineární stability popsaný v pedchozí kapitole. 2. Druhý pístup (iteraní) odráží klasické pístupy analýzy imperfektních štíhlých konstrukcí : a) eší se úloha K 0r f b) Matice tuhosti se opraví s ohledem na novou (aktualizovanou) geometrii, takže K1r f c) Nerovnováhu f K 1 r je teba rozvést pomocí rovnice neboli d) Výpoet se opakuje až r. K1r f - K1r K1( r r ) f 1.17.3 Vztah teorie druhého ádu k normám. Normový výpoet vyžaduje stanovení souinitele vzprnosti, který se opírá o stanovení štíhlosti prutu (vzprné délky). Je teba zdraznit, že píslušné vztahy vycházejí z pedpokladu, že se jedná o chování izolovaného prutu. (srov. 1.16.3). Z tohoto dvodu jsou také velmi obtížn použitelné, zejména pokud se jedná o složitjší konstrukci, v níž jsou nkteré pruty tlaené a jiné tažené, takže tvar vyboení tchto prut se zásadn liší. Pro tyto úely poskytuje na druhé stran výpoet podle teorie druhého ádu vnitní síly na petvoené konstrukci, takže výpoet naptí nevyžaduje stanovení souinitel vzprnosti. Lze íci, že stabilitní výpoet se tak pevádí na výpoet pevnostní. Závrem tohoto odstavce upozorníme na jeden dležitý poznatek. Známe-li hodnotu souinitele kritického zatížení krit, mžeme snadno odhadnout pi proporcionálním zatížení a za pedpokladu, že rozhodující pruty jsou pevážn tlaené, petvoení podle teorie druhého ádu vzhledem k poátením imperfekcím 0 popípad k deformacím vypoteným podle teorie prvního ádu. Platí, viz Obr. 10 0 1 1 - krit Rov. 12 Obdobný vztah, by s menší pesností, platí i pro vnitní síly, nap. ohybové momenty. FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 35

M0 M, 1 1 - krit Rov. 13 kde M 0 je ohybový moment stanovený podle teorie prvního ádu. V tomto vzorci se odráží smysl výpotu kritického zatížení. K posouzení platnosti vztah (Rov. 12) a (Rov. 13) jsme zvolili píklad jednoduchého rovinného rámu zatíženého podle Obr. 13. Pedpokládané geometrické imperfekce byly modelovány pínými silami velikosti 1/100 svislého zatížení. Vodorovný posun píle 0 vypotený podle teorie prvního ádu byl v tomto pípad roven 0.659 mm. Výpoet podle teorie druhého ádu vedl k hodnot píného posunu rovné 0.675 mm. Obdobné výsledky jsme obdrželi pro hodnoty ohybových moment ve vetknutí. Moment M 0 byl roven 1.66 knm, zatímco moment M vypotený podle teorie druhého ádu vzrostl na 1.69 knm. Pi použití rovnic ( Rov. 12) a ( Rov. 13) jsme obrželi hotnotu píného posunu rovnu 0.676 mm, což se prakticky shoduje s výpotem pomocí programu FIN3D. Hodnota ohybového momentu stanovená z ( Rov. 13) je rovna 1.70 knm. V porovnání s výpotem je tento rozdíl mén než 0.6%. Obr. 13 Závrem bychom chtli poznamenat, že i pes efektivní výpoetní techniku a programy by inženýr neml zapomínat na jednoduché metody výpotu, které mu poskytnou rychlý odhad chování imperfektní konstrukce, zejména pi pedbžném návrhu, viz (Rov. 12) a (Rov. 13). FIN 10 FINE 2000 Fin10 Teorie - 36