Zakřivený nosník. Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly. Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Transkript

1 Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1

2 Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku vrchol +x Složky reakcí z podmínek rovnováhy R ax ( x) k.x z = a +z symetrická geometrie oblouku rozpětí l ψ b f vzepětí tečna ke střednici prutu = derivace funkce = tg ψ (v každém bodě jiný směr) dz tgψ = = [ k. x ] =. k. x dx dx ψ dz R az R bz Tvar střednice: nejčastěji oblouk kvadratické paraboly, kružnice, paraboly 4 o, řetězovky. ( x) k.x z = z k = = x a a z x b b nesymetrická geometrie

3 Zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Druhy zatížení: svislá a vodorovná na jednotku délky svislá a vodorovná na jednotku délky vodorovného a svislého průmětu kolmé a tečné ke střednici. (a) (b) (c) (d) (e) q = q.cosψ závěsy mostovky sníh vlastní tíha (f) (g) (h) * p = q.sinψ p = n.cosψ * q = q.cosψ q = n.sinψ p = p.sinψ hydrostatický tlak, vítr Různé typy zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze 3

4 Rovinně zakřivený nosník Žďákovský obloukový most z r.1965, délka 540 m, hlavní oblouk o rozpětí 330 m podpírá konstrukci mostovky ve výšce 50 m nad hladinou jezera Orlické přehrady. 4

5 Výpočet vnitřních sil v zadaném průřezu ψ Sklon tečny ke střednici nosníku ( x) k.x z = dx z z k = = ψ x x a a tgψ = b b dz = dx [ k. x ] =. k. x dz Pomocné vnitřní svislé S a horizontální H síly 5

6 Výpočet vnitřních sil v zadaném průřezu Rozklad S,H sil na složky rovnoběžné a kolmé k tečně S V N M tg ψ =.k.x Pozn: Není nutné počítat úhel ψ. Potřebné goniometrické funkce možno stanovit ze vztahů: cosψ = 1 1+ tg ψ H V S M N H ψ sinψ = N V tgψ 1+ tg ψ Síly S,H možno uvažovat dle znaménkové konvence v obr. vlevo, potom vždy platí: = H.cosψ + S.sinψ = H.sinψ + S.cosψ Nebo ve skutečných směrech S,H a řešit z podmínek rovnováhy dle příkladu 1 6

7 Příklad 1 řešení vnitřních sil pouze v zadaných bodech Bude součástí písemné zkoušky. Dáno: - symetrická geometrie, l = 6m, f = 5m x = 3 m, z = m - bod d, respektive x d =m Vzorce pro výpočet: cosψ = sinψ = ( ) 1 1+ tg ψ tgψ 1+ tg ψ q = 10kN / a a 5 ( x) k.x z = z k = = x a a z x b b tg ψ =.k.x m Úkol: V bodě d spočítat vnitřní síly Řešení: Viz dále Postup výpočtu: 1) Rovnice oblouku, souřadnice obou podpor ) Souřadnice působiště zatížení 3) Souřadnice zadaných bodů včetně hodnot goniometrických funkcí úhlu ψ v zadaných bodech 4) Výpočet reakcí (3+1 podmínky rovnováhy!!!) 5) Výpočet pomocných vnitřních sil: svislá S a horizontální H síly + ohybový moment M (kladná znaménková konvence shodná s H,V,M silami přímého prutu viz dále) 6) Rozklad S a H do směrů kolmých a rovnoběžných se střednici prutu v daném bodě 7) Výpočet vnitřních sil: V je součet kolmých složek S a H N je součet rovnoběžných složek S a H M je vyřešen již v 5) 7 8) Nutno dodržet znaménkovou konvenci vnitřních sil N,V,M ψ

8 Příklad 1 geometrie, reakce (bod 1-4 dle postupu řešení) x = 3m, z 5m, a a = ( x) k. x, z = k xb = 3 m, zb = 5m za zb = = = 0,555 x x a b tg ψ =.k.x xd = m zd = k. x d =, m nebo lépe: 1 cosψ = = 0, tg ψ sinψ = tgψ = 0,91 1+ tg ψ

9 Příklad 1 vnitřní síly v bodě d výpočet zprava (bod 5-8) N d = d d 39,5kN, V = 37,05kN, M = 118,056kNm

10 Příklad 1 vnitřní síly v bodě d výpočet zleva (bod 5-8) N d = d d 39,5kN, V = 37,05kN, M = 118,056kNm

11 Příklad 1 rovnováha rozděleného oblouku (ke kontrole) Podmínky rovnováhy levé části F ix = 0: Σ M i,d = 0: M + F iz = 0: Q + H = 0 H = 50kN d + ( 3 + xd ) Raz ( 0,5 f zd ) Q = 0 M d S Raz = 0 S = 0, 833kN Σ M i,b = 0: kontrola Podmínky rovnováhy pravé části F ix = 0: F iz = 0: Σ M i,d = 0: H Rbx = 0 H = 50kN S + Rbz = 0 S = 0, 833kN M d ( 3 xd ) Rbz ( 5 zd ) Rbx = 0 M d Σ M i,b = 0: kontrola

12 Příklad k samostatnému procvičení (návod viz samostatný soubor) Úkol: d V bodě c a d spočítat vnitřní síly N,V,M dle návodu v příkladu 1 Nápověda: V bodě d budou hodnoty horizontální síly H da, H db hodnoty N i V V bodě d zakreslíte pomyslný řez x: 1- těsně vlevo od bodu d (síla F působí v pravé části) v obou částech spočítáte hodnotu H da, výsledek vyjde v obou částech stejně - těsně vpravo od bodu d (síla F působí v levé části) v obou částech spočítáte hodnotu H ad, výsledek vyjde v obou částech stejně

13 Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Zadání a výpočet reakcí - pomocí podmínek rovnováhy Bude součástí ústní zkoušky. 1. F ix = 0: q. f Rax = 0 R = q. f = 1kN ax ( ) +x. Σ M i,a = 0: R ax +z R q. f bz = + R q. f. l bz. l = 0 =,40kN ( ) R az R bz 3. Σ M i,b = 0: 4. kontrola R az q. f = =,40kN. l ( ) F iz = 0: R az + R bz = 0 13

14 Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vzepětí Geometrie prutu Tabulkový výpočet (Excel) ( x) k.x z = tg ψ =.k.x cosψ = sinψ = 0,00,00 4,00-5,00 4,00 3,4-4,00 1+ tg ψ -3,00 1 tgψ 1+ tg ψ -,00-1,00 Rozpětí 0,00 1,00,00,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96,56 Geometrie oblouku 3,00 4,00 5,00 3,4 4,00 x z tg ψ ψ [rad] ψ [deg] cos ψ sin ψ -5,00 4,00-1, , , , , ,50 3,4-1, , ,169 0, , ,00,56-1, , , , , ,50 1,96-1, , , , , ,00 1,44-0, , , , ,6953 -,50 1,00-0, , , , , ,00 0,64-0, , , ,8471-0, ,50 0,36-0, , , , , ,00 0,16-0, , , ,9544-0, ,50 0,04-0, , , , , ,00 0,00 0, , , , , ,50 0,04 0, , , , , ,00 0,16 0, , , ,9544 0, ,50 0,36 0, , , , ,43731,00 0,64 0, , , ,8471 0,539054,50 1,00 0, , , , , ,00 1,44 0, , , , ,6953 3,50 1,96 1, , , , , ,00,56 1, , , , , ,50 3,4 1, , ,169 0, , ,00 4,00 1, , , , , ,00

15 Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku N Výpočet vnitřních sil M tady směry S,H sil dle obr. H = H = R R ax ax S = R az ( f z) q. levá polovina q. f = 0 pravá polovina N = H.cosψ + S.sinψ V = H.sinψ + S.cosψ q R ax H f l R az R bz S V M H ψ N V S H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,400000, , , ,400000, , , , ,18865, , , ,497670, , , ,000000, , , ,379177, , , ,73146, , , ,038555, , , ,9379, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

16 Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil N, V síly Normálová síla 10,00 0,00-10,00-5,00-4,00-3,00 Normálová síla -,00-1,00 0,00 1,00,00 3,00 Rozpětí 4,00 5,00 8,40 7,5 6,6 5,71 4,78 3,84,91,01 1,19 0,50 0,00-0,38-0,73-1,04-1,9-1,50-1,66-1,79-1,89-1,97 -,04-5,00 1,00-8,90-6,61-4,00-4,57 -,79-3,00-1,6 0,00 Posouvající síla -,00 0,99 1,70-1,00,14,35 0,00,40,37 1,00,9,16,00,0 1,87 3,00 1,73 1,60 4,00 1,48 1,37 5,00 1,7 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,400000, , , ,400000, , , , ,18865, , , ,497670, , , ,000000, , , ,379177, , , ,73146, , , ,038555, , , ,9379, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

17 Příklad 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil ohybové momenty M = R M = R Ohybový moment ax ax ( f z). R az l. l q. + x Ohybový moment ( f z) ( f z) R. + x q. f. z. az levá polovina 0,00 7,05 11,77 14,64 16,09 16,50 16,19 15,41 14,36 13,0 1,00 10,80 9,60 8,40 7,0 6,00 4,80 3,60,40 1,0 0,00-5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 f pravá polovina -R az.(l/+x) +R ax.(f-z) -q/.(f-z) M [knm] 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,70000, , , , , , , , , q.f.(f/-z) 17

18 Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení působícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar střednice oblouku, při němž zatížení vyvolá v oblouku jen záporné normálové síly (tlak), zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoda: menší rozměry průřezu Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku vznikne tehdy, je-li střednice oblouku (a) geometricky podobná křivce popisující průběh ohybových momentů (c) na prostém nosníku (b), který je vodorovným průmětem oblouku (a) a je zatížen týmž svislým zatížením (udaným na jednotku délky vodorovného průmětu) jako oblouk (a). Důkaz: využití principu superpozice: zat M = M + M M M H ( x) ( x) ( x) zat ( x) = Raz x q x / H ( x) = Rax ( f z) = Rax z (a) (b) (c) (d) (e) M M zat H moment od svislých sil (c.) moment od horizontálních sil (e)

19 Klenbový účinek v historických objektech Kamenný klenbový most

20 Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 198, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m, mezilehlá mostovka, Brno

21 Trojkloubový rám a oblouk s táhlem U trojkloubového rámu nebo oblouku vznikají vodorovné složky reakcí. (Čím nižší oblouk, tím větší reakce) Zachycení je někdy obtížné oblouk bývá uložen na zdech nebo štíhlých sloupech. Řešení: použití táhla. Táhlo slouží k odstranění velkých vodorovných složek reakcí. Táhlo je jednonásobná vnitřní vazba proti vzájemnému posunu spojovaných bodů (přenáší pouze N síly).

22 Okruhy problémů k ústní části zkoušky Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly

23 Příklad k procvičení

24 Příklad k procvičení

25 Příklad k procvičení

26 Nápověda k samostatnému procvičení

27 7

28 8

29 9