1A pedance dvojpólu Cíl úlohy Na praktických příkladech procvičit výpočty odulů a arguentů ipedancí různých dvojpólů. Na základních typech prakticky užívaných obvodů ověřit ěření příou souvislost ezi ipedancí dvojpólu (odule a arguente ipedance) a odpovídajícíi časovýi průběhy napětí a proudu. kázat souvislost ezi časovýi průběhy a fázory, používanýi při analýze obvodů v haronické ustálené stavu sybolickou etodou. Úkol obrazte vzájené poěry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kobinací. e zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty ipedancí dvojpólů. e zadaných paraetrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty ipedancí dvojpólů. Teoretický úvod Sybolický počet, fázory V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji haronického napětí a proudu stejného kitočtu, dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojení zdrojů k haronickéu ustálenéu stavu (HS), při které všechny obvodové veličiny (napětí i proudy) ají haronický časový průběh s konstantní aplitudou. Haronicky proěnnou veličinu (napětí, proud) je ožno popsat poocí funkce sinus nebo kosinus. Okažitou hodnotu časového průběhu haronického napětí s periodou T (obr. 1) ůžee psát () sin ( ω ψ ) u t = t +, (V) (2) obr. 1 Haronické napětí kde je... aplituda, (V) ω = 2π/Τ = 2π f.. úhlový kitočet, (rad/s) ωt + ψ... fáze, (rad) ψ... počáteční fáze. (rad) Stejný průběh ůžee rovnocenný způsobe popsat poocí funkce kosinus π u() t = cos( ωt+ ψ ) = cos ωt+ ψ. (V) (3) 2 Jestliže necháe v koplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí) rovnoěrný kruhový pohybe, jeho průět do svislé (tj. iaginární) osy reprezentuje haronicky proěnný průběh (obr. 1), který je popsán vztahe (2). Využití těchto rotujících vektorů přináší značné zjednodušení při analýze elektrických obvodů v haronické ustálené stavu. Vzájené postavení vektorů veli názorně ukazuje fázové poěry ezi napětíi a proudy, proto se popisované rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory. Rotující fázor u(t), který ůže (svý průěte) zastupovat okažitou hodnotu skutečné haronicky proěnné veličiny, se nazývá koplexní okažitou hodnotou nebo též koplexore. Modul této koplexní veličiny je roven aplitudě a arguent je roven fázi (ω t+ψ ).
Reálnou složku koplexoru (jeho průět do reálné osy) u a iaginární složku koplexoru (jeho průět do iaginární osy) u ůžee zapsat { ()} cos( ω ψ) u = Re u t = t+, (V) (4) { ()} sin ( ω ψ) u = u t = t+. (V) (5) V souladu s Eulerový vztahe ůžee proto rotující fázor (koplexor) zapsat () jω t jψ jω t j( ω + ψ ) u t = u + ju = e = e e = e t. (V) (6) u ωt u(t) ψ u Re 0 T/2 T T t ψ ω obr. 2 Vztah ezi fázore (koplexní rovina) a okažitý průběhe (časová rovina) haronického napětí Důležitější než okažitá hodnota je pro praxi aplituda a počáteční fáze sledované veličiny, kterou vyjadřuje fázor axiální hodnoty. (V) (7) e jψ = Jak je vidět z obr. 2, je tento fázor totožný s rotující fázore v okažiku t = 0. V elektrotechnických aplikacích často pracujee s efektivníi hodnotai veličin, proto zavádíe fázor i v ěřítku efektivních hodnot. Pro fázor efektivní hodnoty platí j j = e ψ = e ψ =. (V) (8) 2 2 Fázory jsou používány jako syboly, které při analýze HS zastupují skutečné fyzikální veličiny. Proto bývá tato etoda analýzy označována jako sybolická etoda. Při ateatických operacích v koplexní rovině ůžee fázory vyjádřit poocí koplexních čísel. e znáé hodnoty fázoru ůžee zjistit okažitou hodnotu časového průběhu jω () = { e t } u t. (V) (9) Poznáka: Rotující fázor (koplexor) budee v textu označovat alý tučný písene u(t), i(t), fázory velký tučný písene,,,, jejich absolutní velikosti (oduly) velkou kurzivou,. Při anuální zápisu se fázory označují velkýi píseny s poocnýi znaky (nejčastěji stříškou - Û ).
pedance Pro základní lineární obvodové prvky v haronické ustálené stavu platí ezi aplitudai, ezi efektivníi hodnotai a také ezi koplexory a fázory napětí a proudu lineární závislost obdobná Ohovu zákonu pro okažité hodnoty napětí a proudu u rezistoru. atíco u rezistoru je touto konstantou úěrnosti R, u induktoru je to jωl a u kapacitoru 1/jωC. Vztahy ezi jednotlivýi veličinai pro základní obvodové prvky spolu s časovýi i fázorovýi diagray ukazuje přehledně tab. 1. tab. 1 Vztahy ezi napětí a proude a jejich fázorové i časové průběhy pro základní obvodové prvky R, L, C Prvek Okažité hodnoty Časová oblast Časový diagra Oblast koplexní proěnné Fázory Fázorový diagra R () = R i() t u t = R R = R ϕ=0 0 ψ = ψ Re ( ) ( ) L L ϕ= 2 π () u t () di t = L dt = L L = jωl ψ ψ C 1 u() t = i() t dt C = C C 1 = jωc π ϕ= 2 ψ ψ Lineární závislost ezi fázory aplitud napětí a proudu platí i pro obecný lineární pasivní dvojpól složený z libovolné kobinace základních obvodových prvků příklad obr. 3. Obecně tedy ůžee pro všechny obvodové prvky včetně jejich kobinací vyjádřit konstantu úěrnosti ve vztazích ezi fázory jako koplexní číslo, jehož absolutní velikost (odul) udává střídavý odpor prvku a arguent udává fázový posun ezi napětí a proude na prvku. Tato konstanta úěrnosti se nazývá ipedance nebo obecný koplexní odpor, á rozěr odporu Oh (Ω). Vztah ezi fázory napětí a proudu =, = (V) (10) se nazývá zobecněný Ohův zákon pro fázory. Po dosazení za fázory napětí a proudu podle (7) je
j( ψ ψ ) jϕ e. (Ω) (11) = = = e = Modul ipedance tedy představuje poěr aplitud (nebo efektivních hodnot) napětí a proudu a její arguent pak fázový posun ϕ ezi napětí a proude ( ϕ = ψ ψ) na uvedené ipedanci. Reálná část ipedance se nazývá činná složka (rezistance), iaginární část jalová složka (reaktance); udávají se v ohech. Poje ipedance je v obvodech haronického ustáleného stavu natolik běžný, že je jí označován také abstraktní idealizovaný obvodový prvek (ve skutečnosti dvojpól vytvořený kobinací základních obvodových prvků R, L, C), s obecnou hodnotou odulu i fáze ipedance. Význa poju obecné ipedance dokresluje obr. 3, představující obecnou ipedanci a její fázorový a časový diagra napětí a proudu. obr. 3 a) Obecný dvojpól b) Fázorový diagra c) Časový diagra pedanci (11) ůžee vyjádřit jako koplexní číslo též ve složkové tvaru = R+ j X. (Ω) (12) Kroě ipedance zavádíe také aditanci. Je to převrácená hodnota ipedance a považujee ji za zobecněnou vodivost Y = 1/; á rozěr vodivosti - Sieens (S). pedance a aditance (souhrnně označované jako iitance ipedance + aditance) jsou základníi paraetry dvojpólů koplexně popisující jejich chování v HS. Doácí příprava Do tab. 2. vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu odulu a fáze ipedance teor. Při výpočtu teoretické hodnoty ipedance se vychází z ipedancí základních obvodových prvků R, L, C uvedených v tab. 1. pedance se při sériové řazení dvojpólů sčítají; při paralelní řazení dvojpólů se sčítají jejich aditance Y (Y = 1/). Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí: = R+ jωl, (Ω) (13) = + ( ω ) 2 ω, ϕ = arctan L (Ω), ( ) (14) R 2 R L Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí: 1 = R +, jωc (Ω) (15)
( ω ) 2 2 R C = +, 1 ϕ = arctan (Ω), ( ) (16) ω RC Připravte si tabulku pro zakreslení časových průběhů i fázorů napětí a proudů pro všech pět ěřených dvojpólů (R 1, C 2, L 3 +R L, L 4 +R 4, C 5 +R 5 ) podle vzoru v tab. 3. Pracovní postup Podle zapojení na obr. 4 napájí generátor napětí G sériovou kobinaci ěřeného dvojpólu a sníacího rezistoru R S. Napětí na rezistoru je úěrné proudu ěřený dvojpóle a je s ní ve fázi A = R S. e schéatu plyne vztah pro proud dvojpóle G = = + RS R A S. (A) (17) Pro hodnotu ipedance ěřeného dvojpólu platí = B, (A) (18) hodnotu odulu a fáze ipedance ůžee vypočítat z naěřených velikostí a fázových posuvů napětí A a B, přičež vyjdee z toho, že napětí A á nulovou počáteční fázi: B B = = = A R, (Ω) (19) S arg { } = arg{ }. ( ) (20) B obr. 4 Princip ěření ipedancí
obr. 5 apojení pracoviště RC 2000 pro ěření ipedancí a) apojte pracoviště podle schéatu obr. 5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke sníacíu rezistoru R S (svorky +N A a N A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte odrou dvojlinkou ke svorká ěřených ipedancí označený +N B a N B. apněte napájecí zdroj pracoviště. b) Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko nit, poto nastavte kitočet 1 khz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHFT) a aplitudu 1 V (MODE Apl, pak tlačítky v bloku SHFT). c) Spusťte obslužný progra RC2000. výběru prograů zvolte Oscilloscope. Stiske tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů ěřených napětí. Stiske tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto paraetry: rozsah zobrazení kanálu A: ±200 V, rozsah zobrazení kanálu B: ±1 V (Gain poocí tlačítek ), průěrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Tie poocí tlačítek ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a 1 s. d) Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z ěřených dvojpólů 1. e) Stiske virtuálního tlačítka Single spusťte ěření. obrazí se fázory naěřených napětí a odpovídající haronické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpóle (napětí na sníací odporu R S ), odrá křivka je napětí na ěřené dvojpólu. Při uvedené nastavení á žlutá křivka nulovou počáteční fázi. f) Do tab. 2 zapište aplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun odré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor Phasors. Do připravené tabulky (vzor tab. 3) si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovéu průběhu napětí a proudu a ji odpovídající fázory.
g) Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z ěřených ipedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly 2 až 5. Všíejte si souvislostí ezi časovýi průběhy a fázory napětí a proudu. h) Měření ukončete (Exit). pracování tab. 2 pedance ěřených dvojpólů Měřeno Vypočteno z ěř. hodnot Vypočteno z prvků A B teor V V Ω Ω (19) (20) (13) až (16) R 1 92 0,91 0 989 0,0 1000 0,0 C 2 129 0,99 270 767-90,0 758-90,0 L 3 + R L 206 0,96 84,6 466 84,6 474 83,9 L 4 + R 4 144 0,88 34,8 611 34,8 608 34,7 C 5 + R 5 76 0,94 324 1237-36,0 1234-35,9 Poznáky R S = 100 Ω G = 1 V f = 1000 Hz R 1 = 1 kω C 2 = 210 nf L 3 = 75 H R L = 50 Ω L 4 = 55 H R 4 = 500 Ω C 5 = 220 nf R 5 = 1 kω i) Vypočtěte ipedanci dvojpólů - odul (19) a fázi (20), fázi podle potřeby přepočítejte odečtení 360 tak, aby její hodnota byla v intervalu <-90, 90 >. Příklad výpočtu (pro L 3 +R L ) 0,96 100 466 B B = = = RS = = Ω A 0, 206 { } { } arg = arg = 84, 6 B teor 3 L 3 3 = jωl + R = j2π10 75 10 + 50 = 474 83,9 Ω Sezna přístrojů Přípravek s ipedancei (R, C, L, RL, RC) Měřicí systé RC 2000 (funkční generátor, A&DD jednotka, kabely, zdroj), PC
ávěr tab. 3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů ěřených dvojpólů Dvojpól Časový průběh Fázorový diagra a R R -90 C C L 84,6 L RL 34,8 RL
RC -36 RC Porovnejte hodnoty ipedancí všech dvojpólů zjištěné ěření s hodnotai teoretickýi, viz tab. 2. Rozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle význanosti vlivu): nepřesný ěření napětí A a B tolerancí hodnot prvků ipedancí (na přípravku jsou uvedeny zaokrouhlené hodnoty). Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovéu průběhu napětí a proudu a odpovídající fázory z tab. 3 s teoretickýi z tab. 1. prvků R a C odpovídají experientálně zjištěné fázorové diagray ideální prvků. Naproti tou u reálné cívky vlive nenulového odporu vinutí (R L ) není fázový posun +90 stupňů, ale je enší. Stručné shrnutí pedance vypočtené ze zadaných paraetrů obvodu uožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v HS. Charakter ipedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při zěnách kitočtu. Vlastní ěření ukazuje i na rozdíl ezi vlastnosti ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot odulu a fázového posunu ipedance libovolného neznáého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časové průběhu i fázorové rovině.