Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách

Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Spontánní sestupná frekvenční konverze v nelineárních vrstevnatých strukturách Jan Peřina ml. Olomouc 212

Oponenti: RNDr. Antonín Lukš, CSc. Mgr. Libor Nožka, Ph.D. Publikace byla připravena v rámci projektu Investice do rozvoje vzdělávání Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 1. vydání Jan Peřina ml., 212 Univerzita Palackého v Olomouci, 212 Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. ISBN 978-8-244-3117-8 NEPRODEJNÉ

Učební text Vzdělávání výzkumných pracovníků v Regionálním centru pokročilých technologíı a materiálů. CZ.1.7/2.3./9.42 Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Abstrakt Práce je věnována spontánní sestupné frekvenční konverzi probíhající v nelineárních vrstevnatých strukturách. Je prezentován prostorový vektorový model založený na rozvoji interagujících vektorových polí do rovinných monochromatických vln. Spektrální dvoufotonová amplituda definovaná pro frekvence a směry šíření signálového a jalového fotonu slouží k určení příčných profilů emitovaných polí a také korelovaných ploch. Jak intenzitní profily, tak i korelované plochy silně závisí na pozicích transmisních vrcholů vytvořených ve studovaných strukturách s fotonickými pásy. Je navržena metoda pro geometrickou optimalizaci vrstevnatých struktur s ohledem na účinnost nelineárního procesu. Je také analyzováno několik struktur vyrobených z GaN/AlN lišících se svými vlastnostmi. Tyto struktury jsou schopné generovat fotonové páry ve více směrech. Počty emitovaných párů rostou u těchto struktur rychleji než s druhou mocninou počtu vrstev. Vybrané struktury také umožňují generovat fotonové páry vykazující antishlukování a chovající se jako fermiony na děliči optického svazku. U těchto struktur se objevuje rozštěpení korelovaných ploch vznikající ze tří rozdílných důvodů. Prvním důvodem je klikatý pohyb fotonů emitovaných uvnitř struktury. Nutnost zachovat prostorovou symetrii u emitovaných polí představuje další důvod. Polarizačně závislé materiálové vlastnosti mohou být poslední příčinou štěpení korelované plochy. Toto štěpení je také nezřídka doprovázeno rozštěpením spekter signálového a jalového pole. Zvláštním případem jsou struktury tvořené vrstvami s náhodně zvolenými délkami. U těchto struktur dochází za vhodných podmínek k optické analogii Andersonovy lokalizace, která umožňuje generovat fotonové páry s mimořádně úzkými spektry. Tyto dvoufotonové stavy navíc nevykazují kvantovou provázanost ve frekvencích a jsou tedy vhodné ke kvantovému zpracování informace. Fotonové páry jsou také generovány ve zvýšené míře na rozhraních nelinearit díky procesu povrchové spontánní sestupné frekvenční konverze. Tento proces je popsán s využitím zobecněných dvoufotonových amplitud. U vrstevnatých struktur může proces generovat fotonové páry v počtech srovnatelných s počty párů emitovaných objemovou nelinearitou.

Obsah 1 Úvod 7 2 Prostorový kvantový model spontánní sestupné frekvenční konverze 12 3 Veličiny charakterizující fotonový pár 21 4 Metoda návrhu účinné vrstevnaté struktury 27 5 Intenzitní profily v příčné rovině a korelované plochy 31 5.1 Struktura s 11 vrstvami................. 32 5.2 Struktura s 51 vrstvami................. 35 5.3 Struktura se 11 vrstvou................. 36 6 Intenzitní spektra a časové charakteristiky 39 7 Fotonové páry antisymetrické při záměně signálové a jalové frekvence antishlukování fotonů 49 8 Náhodné vrstevnaté struktury 54 9 Povrchová spontánní sestupná frekvenční konverze 63 9.1 Operátor hybnosti a spojitost polí na rozhraních nelineárního krystalu.................... 64 9.2 Nelineární vrstevnaté struktury............. 75 9.3 Veličiny charakterizující fotonový pár.......... 77 9.4 Vlastnosti povrchové spontánní sestupné frekvenční konverze............................ 79 1 Závěr 83 Reference 85

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 7 1 Úvod Již více než třicet let uplynulo od doby, kdy byly poprvé pozorovány časové korelace mezi signálovým a jalovým fotonem vznikajícími v procesu spontánní sestupné parametrické frekvenční konverze [1]. Tyto korelace mají svůj původ v kvantové provázanosti obou fotonů popsaných společným kvantovým stavem a generovaných společně v jedné kvantové události nelineárního procesu [2]. Následný výzkum vedl k hlubšímu pochopení vlastností těchto fotonových párů. Po dlouho dobu byla pozornost věnována zejména kvantové provázanosti polarizačních stavů signálového a jalového fotonu mající svůj původ v tenzorovém charakteru nelineární interakce. Důvodem byla relativní jednoduchost těchto stavů, které jsou v kvantové mechanice popsány v Hilbertových prostorech dimenze 2 2. Tyto stavy je také možné jednoduše získat v laboratoři. Přestože mají tyto stavy jednoduchou strukturu, umožnily experimentálně ověřit mnohé zásadní rysy kvantové fyziky související s korelacemi mezi kvantovými podsystémy [3]. Jedná se např. o porušení Bellových nerovností platných pro neoklasické teorie fyziky [4], demonstraci jevu kolapsu vlnové funkce [4] a ukázku teleportace kvantového stavu [5]. Protože jsou oba fotony emitovány okamžitě po zániku čerpacího fotonu, nacházejí se vzájemně ve velmi krátkém časovém intervalu [1]. Monochromatické složky signálového a jalového pole jsou kvantově provázány v důsledku platnosti zákona zachování energie [2]. Spektrální provázanost pak vede k tomu, že oba fotony mohou být detekovány pouze ve velmi krátkém časovém okně. Tuto časovou korelaci je možné pozorovat bud při měření v Hongově-Ouově-Mandelově interferometru [1] nebo pomocí měření výsledného pole v procesu skládání frekvencí signálového a jalového fotonu [6, 7]. Časové korelace byly pozorovány zejména při generaci pomocí pulzních čerpacích polí [8, 9], které umožňují přesnou synchronizaci fotonů patřících k různým fotonovým párům. Prostorové vlastnosti fotonových párů byly podrobeny analýze jako poslední. Korelace fotonů v příčných rovinách optických svazků jsou spojeny s geometrií zdroje fotonových párů a příčným profilem čerpacího svazku. Prostorové korelace vznikají v důsledku potřeby prostorové fázové synchronizace interagujících optických polí pro efektivní nelineární interakci [2]. Např. pro homogenní nelineární krystal a kolimo-

8 Úvod vaný čerpací svazek platí, že součet vlnových vektorů signálového a jalového svazku musí být zhruba roven vlnovému vektoru čerpacího svazku, aby došlo k účinné generaci fotonových párů. To vede k silné korelaci v emisních směrech signálového a jalového svazku [1 12]. Tyto korelace jsou natolik silné, že mohou být využity pro přenesení prostorových vlastností čerpacího svazku do prostorových korelací signálového a jalového svazku [13, 14]. Zde existuje analogie mezi prostorovými a spektrálními korelacemi fotonů v páru. Podobně jako jsou spektrální korelace ovlivněny spektrem čerpacího svazku, jsou prostorové korelace modifikovány prostorovým profilem čerpacího svazku. Nejen intenzitní profily, ale i fázové změny signálového a jalového svazku v příčné rovině jsou důležitými parametry těchto polí. Tyto vlastnosti mohou být kvantifikovány pomocí vlastních stavů operátoru orbitálního úhlového momentu [15]. Dokonce byla pozorována kvantová provázanost signálového a jalového pole v těchto stavech za určitých podmínek [16, 17]. K experimentálnímu pozorování prostorových stavů se často využívá optického vlákna navázaného na detektor rozlišující jednotlivé fotony a systematicky se pohybujícího v příčné rovině [18]. Využití intenzifikované CCD kamery při určování prostorových korelací představuje elegantnější řešení [19, 2]. Prostorové korelace fotonů v páru byly mnohokráte využity pro demonstraci kvantového zobrazování [21]. Většinou se prostorové korelace využívají v režimu spontánní emise fotonových párů, ovšem i fotonové páry vznikající stimulovanou emisí obsahují tyto korelace a tudíž mohou být analogicky využity [22 24]. Kvantová provázanost v různých formách se využívá jak v základních fyzikálních experimentech, tak i v různých aplikacích zahrnujících metrologii [25], kvantovou kryptografii [26] a zpracování kvantové informace [3]. Všechny formy kvantové provázanosti se mohou vyskytovat najednou v případě vhodného zdroje fotonových párů. Obvykle ale zdroj fotonových párů vytváří kvantovou provázanost jen v jednom nebo dvou stupních volnosti (např. polarizaci a frekvenci). Schopnost generovat fotonové páry kvantově provázané v co největším počtu ortogonálních stavů (a stupňů volnosti), modifikovat kvantovou provázanost podle požadavků a dosahovat co nejvyšších kvantových účinností generace párů patří k hlavním motivacím při studiu fotonových párů. Původně téměř výhradně používané nelineární homogenní krystaly jsou stále častěji nahrazovány moderními nelineární-

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 9 mi strukturami jako jsou pólované nelineární materiály [6,27 29], nelineární vlnovody [3 32] a nelineární fotonické struktury [33, 34]. Nelineární fotonické struktury jsou mimořádně zajímavé díky své schopnosti účinně generovat fotonové páry pomocí vysokých hodnot amplitud elektrických polí dosahovaných ve strukturách s fotonickou pásovou strukturou [35, 36]. Navíc umožňují i relativně jednoduše měnit vlastnosti fotonových párů [37 39]. Mezi tyto struktury můžeme zařadit i nelineární krystalové supermřížky složené z několika kusů homogenního nelineárního materiálu a chovající se jako jednoduché fotonické krystaly [4, 41]. Nelineární strukturovaná vlákna s procesem čtyřvlnového směšování představují další perspektivní struktury [42 44]. Na tomto místě můžeme zmínit i vlnovody s Braggovými zrcadly [45, 46]. Také výrazné zesílení amplitud elektrických polí v optických rezonátorech může být využito k výraznému zvýšení počtu emitovaných fotonových párů, jejichž časové korelace jsou přímo úměrné době života fotonu v rezonátoru [47]. Zde se budeme podrobně věnovat systémům paralelních tenkých vrstev. V těchto vrstevnatých strukturách můžeme za vhodných podmínek pozorovat výrazné zesílení amplitud elektrických polí díky zpětným odrazům polí na rozhraních mezi jednotlivými vrstvami [48]. Navíc mohou být v těchto strukturách výrazně modifikovány prostorové vlastnosti fotonových párů např. změnou počtu vrstev. Vlastnosti fotonových párů v nelineárních vrstevnatých strukturách byly studovány jak v rámci klasické optiky [38], tak i kvantové teorie [39, 49]. Zde prezentujeme obecný prostorový kvantový model zahrnující vektorový charakter interagujících optických polí [49]. V rámci tohoto modelu studujeme příčné intenzitní profily emitovaných párových svazků i korelované plochy emitovaných fotonů, a to na příkladu několika typických struktur vyrobených z GaN/AlN. Zvláštní pozornost věnujeme vrstevnatým strukturám z GaN/AlN s náhodnými délkami vrstev, které poskytují fotonové páry s mimořádně úzkými spektry [5, 51]. Tyto struktury využívají optické analogie Andersonovy lokalizace, která umožňuje dosahovat vysokých hodnot amplitud elektrických polí pro velmi malý interval frekvencí optického pole. Nelineární struktury z GaN/AlN také umožňují emitovat stavy fotonových párů antisymetrické při záměně signálové a jalové frekvence. Fotonové páry v takových stavech vykazují antishlukování a také se chovají jako fermiony při interferenci na op-

1 Úvod tickém děliči svazku [52]. Srovnání vlastností fotonových párů u studovaných vrstevnatých struktur s ostatními zdroji fotonových párů může být provedeno s ohledem na příčné intenzitní profily generovaných svazků, tvary korelovaných ploch a také účinnost generace fotonových párů. Většina zdrojů fotonových párů nevyjímaje vlnovodné struktury a nelineární krystaly je konstruována tak, že fotony jsou emitovány v příčné rovině do kompaktních a většinou úzkých oblastí. U některých zdrojů jako jsou vhodně orientované nelineární krystaly dochází díky prostorové symetrii k emisi fotonových párů do směrů pokrývajících celý povrch kužele [12]. V takovém případě jsou fotonové páry kvantově provázány také ve vlnových vektorech signálového a jalového fotonu. Protože Hilbertovy prostory popisující tento prostorový stav obsahují větší počet ortogonálních stavů, kvantová provázanost fotonů v páru má vyšší dimenzi. V případě vrstevnatých struktur jsou signálové a jalové pole emitována do oblastí kolem několika soustředných kuželů v závislosti na složitosti struktury. To výrazně zvyšuje počet nezávislých stavů fotonů v příčné rovině, což je potenciálně důležité pro paralelní zpracování kvantové informace. Všechny obvyklé zdroje fotonových párů s kontinuálním čerpáním poskytují korelované plochy obecně eliptického tvaru. U vrstevnatých struktur naopak často dochází k rozštěpení korelované plochy do několika částí. Pro toto štěpení existují dokonce 3 důvody: klikatý pohyb fotonů uvnitř struktury, nutnost zachovat prostorovou symetrii a také příhodné polarizační vlastnosti struk- tury. Posledně zmiňované 2 důvody se mohou vyskytovat i u dalších zdrojů fotonových párů, ovšem v malém rozsahu. Zesílení amplitud elektrických polí u vrstevnatých struktur totiž výrazně zesiluje tyto efekty. Periodicky pólované krystaly představují zdroje fotonových párů s nejvyššími toky fotonových párů. Na druhé straně vlnovodné struktury, jako jsou planární vlnovody nebo strukturovaná vlákna, generují fotonové páry s nejvyšší kvantovou účinností díky příčnému omezení a z toho vyplývajícího zesílení amplitud elektrických polí. Vlnovodné struktury ovšem neumožňují dosahovat velkých toků fotonových párů kvůli materiálovým omezením a také výskytu soupeřících nelineárních procesů. Z pohledu účinnosti se vrstevnaté struktury nacházejí ve srovnání uprostřed. Na jedné straně poskytují větší efektivní nelineární koeficienty v důsledku zesílení amplitud elektrických polí vlivem odrazů

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 11 od rozhraní ve směru šíření svazků. Na druhé straně se toto zesílení objevuje pouze v jedné prostorové dimenzi, a tudíž je menší ve srovnání se zesíleními u vlnovodných struktur omezujících optické pole ve dvou dimenzích. Tuto nevýhodu je ovšem možné kompenzovat vysokými intenzitami čerpacího svazku, srovnatelnými s intenzitami používanými u homogenních krystalů. Nelineární vrstevnaté struktury jsou perspektivní i jako zdroje fotonových párů s chybějící kvantovou frekvenční provázaností. Je totiž známo, že kvantová frekvenční provázanost vede k degradaci měřených efektů u experimentů využívajících polarizační provázanosti (např. u polarizační kvantové teleportace, viz [53]). V takových případech jsou fotonové páry s identickými frekvenčními profily s chybějící frekvenční provázaností ideální [54, 55]. Vrstevnaté struktury s náhodnými délkami vrstev generují za vhodných podmínek právě tyto stavy. Aby došlo k účinné generaci fotonových párů v náhodné struktuře, musí být fotony generovány v těsné blízkosti transmisních vrcholů, které se objevují pro frekvence splňující podmínky optické Andersonovy lokalizace. To vede k velmi úzkým spektrům, která lze výhodně využít např. ve spektroskopii. Je možná i synchronizace více fotonů tvořících několik fotonových párů. Složením většího množství stavů odpovídajících těmto fotonovým párům a lišících se centrálními frekvencemi můžeme dokonce vytvářet dvoufotonové stavy se souhlasně provázanými frekvencemi signálového a jalového pole [56 58]. Takové stavy mohou být získány i v nelineárních krystalech čerpaných prostorově rozloženými pulzními čerpacími svazky [59, 6, 18] nebo vlnovodných strukturách s protiběžnými signálovým a jalovým fotonem a čerpacím svazkem kolmým k ose struktury [61 68]. Vedle spontánní sestupné frekvenční konverze v homogenních materiálech se ve strukturách objevuje i povrchová spontánní sestupná frekvenční konverze v oblasti rozhraní nelinearit [69, 7]. Zatímco je tento jev zanedbatelný u homogenních nelineárních krystalů, u nelineárních vrstevnatých struktur může tento jev vést k dodatečné generaci fotonových párů, jejichž počet je srovnatelný s počtem párů emitovaných uvnitř homogenních nelineárních vrstev. Jev povrchové spontánní sestupné frekvenční konverze vychází z Maxwellových rovnic za předpokladu jejich vhodného kvantového zobecnění. Prostorový vektorový model spontánní sestupné frekvenční konverze

12 Prostorový kvantový model je prezentován ve 2. kapitole. 3. kapitola je věnována veličinám charakterizujícím fotonové páry. Systematická metoda návrhu účinných vrstevnatých struktur je popsána ve 4. kapitole. V 5. kapitole jsou studovány intenzitní profily generovaných párových polí a korelované plochy. Časové aspekty fotonových párů jsou diskutovány v 6. kapitole. V 7. kapitole jsou podrobně analyzovány struktury s fotonovými páry antisymetrickými vzhledem k záměně signálové a jalové frekvence. Fotonové páry generované ve strukturách s náhodnými délkami vrstev jsou studovány v 8. kapitole. 9. kapitola přináší model povrchové spontánní sestupné frekvenční konverze založený na kvantování fotonového toku. Konečně 1. kapitola obsahuje závěr. 2 Prostorový kvantový model spontánní sestupné frekvenční konverze Nelineární hamiltonián Ĥint popisující spontánní sestupnou frekvenční konverzi v prostředí s objemem V a v čase t můžeme napsat ve tvaru [2]: Ĥ int (t) = ϵ V dr d(r) : [ E (+) p (r, t)ê( ) s (r, t)ê( ) i (r, t) + h.c. ]. (1) V rovnici (1) představuje d tenzor třetího řádu nelineárních konstant zatímco symbol : znamená krácení tenzoru d vzhledem k jeho třem indexům. Silné klasické čerpací pole je popsáno pozitivně frekvenční částí E (+) p (r, t) vektorové amplitudy svého elektrického pole. Signálové [jalové] pole je charakterizováno na jednofotonové úrovni negativně frekvenční částí Ê( ) s (r, t) [Ê( ) s (r, t)] operátorové vektorové amplitudy svého elektrického pole. Symbol ϵ označuje permitivitu vakua a symbol h.c. nahrazuje hermitovsky sdružený člen. Pozitivně frekvenční části E (+) m (r, t) amplitud interagujících polí (m = p, s, i) mohou být obecně rozloženy do báze rovinných vln s vlnovými vektory k m (k m R) a amplitudami E (+) m (k m ): E (+) 1 m (r, t) = ( d 3 k 2π) 3 m E (+) m (k m ) exp(ik m r iω m t); (2) ω m označuje frekvenci m-tého pole splňující společně s vlnovým vektorem k m materiálový disperzní vztah.

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 13 Předpokládáme, že interagující čerpací pole je dostatečně silné a můžeme ho popsat pomocí časového spektra E p (ω p ) a prostorového spektra Ep tr (k p,x, k p,y ) definovaného v příčné rovině svazku. V tomto případě můžeme zapsat rozklad amplitudy E (+) p (r, t) v rovnici (2) následovně: E (+) p (r, t) = 1 π/2 sin(ϑ p )dϑ p π/2 dψ p ωpdω 2 p E p (ω p ) ( 2πc) 3 π/2 π/2 Ep tr [k p,x (Ω p ), k p,y (Ω p )] exp [ik p,x (Ω p )x + ik p,y (Ω p )y] α=te,tm E (+) p,α (z, Ω p ) exp( iω p t), (3) s využitím vektoru Ω p (ω p, ϑ p, ψ p ) definujícího sférické souřadnice ω p, ϑ p a ψ p. Rychlost světla ve vakuu označujeme symbolem c. Pro jednoduchost budeme předpokládat vzduch okolo struktury. Pak můžeme x-ovou a y-ovou složku vlnového vektoru k p před strukturou určit pomocí jednoduchých vztahů: k p,x (Ω p ) = ω p sin(ψ p ) sin(ϑ p ) c, k p,y (Ω p ) = ω p cos(ψ p ) sin(ϑ p ). (4) c Rozklad amplitudy E (+) p čerpacího svazku do TE a TM vln provedený v rovnici (3) je vzhledem k rovině dopadu vlny s vlnovým vektorem k p šířící se vrstevnatou strukturou (schéma struktury je popsáno v obrázku 1). Poznamenáváme, že průměty vlnových vektorů k do rovin rozhraní se nemění v celé struktuře. Amplitudy E (+) p,α čerpacího svazku uvedené v rovnici (3) popisují vývoj optického pole podél osy z, při kterém dochází ke zpětným odrazům na rozhraních. Uvažujme strukturu s N vrstvami a rozhraními kolmými na osu z a umístěnými v bodech z n, n =,..., N. Amplituda E (+) p,α čerpacího svazku je pro tuto strukturu vyjádřena v následujícím tvaru (detaily viz [39]): E (+) p,α (z, Ω p ) = rect,z (z) a=f,b N + rect zl 1,z l (z) l=1 a=f,b A () p a,α(ω p )e () p a,α(ω p ) exp [ ik () p a,z(ω p )(z z ) ] A (l) p a,α(ω p )e (l) p a,α(ω p ) exp [ ik (l) p a,z(ω p )(z z l 1 ) ]

14 Prostorový kvantový model -x y etm ete -ψ k θ (1) (2) (N) n n n (1) (2) (N) d d d z z1 z2 zn z Obrázek 1: Schéma struktury a použitého systému souřadnic. Rovinná vlna popsaná vlnovým vektorem k se šíří ve směru radiálního (ϑ) a azimutálního (ψ) emisního úhlu. Radiální emisní úhel ϑ je měřen v rovině dopadu a odečítán od osy +z. Azimutální emisní úhel ψ udává otočení roviny dopadu v rovině xy vzhledem k ose +y a s kladnou orientací směrem k ose x. Vektory e TE a e TM popisují směry polarizací TE a TM vln definované vzhledem k rovině dopadu čerpací vlny. Pozice rozhraní kolmých na osu z jsou označeny symboly z i, i =,..., N. Symboly n (l) [d (l) ] popisují indexy lomu [tenzor nelineárních koeficientů] v l-té vrstvě. + rect zn, (z) a=f,b A (N+1) p a,α (Ω p )e (N+1) p a,α (Ω p ) exp [ ik p (N+1) a,z (Ω p )(z z N ) ], α = TE, TM. (5) Funkce rect za,zb (z) je rovna 1 pro z a z < z b, jinak je rovna. Symboly e (l) p F,α a e (l) p B,α označují polarizační vektory vln α pro dopředně a zpětně se šířící pole (vzhledem k ose +z) v l-té vrstvě. Složku z vlnového vektoru K p (l) a,z(ω p ) v l-té vrstvě vlny a s frekvencí ω p šířící se ve směru (ϑ p, ψ p ) před strukturou můžeme vyjádřit ve tvaru: K p (l) a,z(ω p ) = ± n(l) p (ω p )ω p cos(ϑ (l) p ), (6) c kde znaménko + ( ) platí pro dopředně (zpětně) se šířící vlnu. Index lomu čerpacího pole v l-té vrstvě je označen jako n (l) p. Protože = n (N+1) p = 1. platný pro l-tou vrstvu je určen ze Snellova zákona: předpokládáme vzduch před strukturou i za ní, platí n () p Úhel šíření ϑ (l) p n () p sin(ϑ () p ) = n (l) p sin(ϑ (l) p ), l = 1,..., N + 1, (7)

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 15 ϑ () p ϑ p. Koeficienty A (l) p F,α(Ω p ) a A (l) p B,α(Ω p ) zavedené ve vztahu (5) určují amplitudy vln α s frekvencí ω p šířící se dopředně a zpětně ve směru (ϑ p, ψ p ) před strukturou. Hodnoty koeficientů A () p F,α(Ω p ) a A (N+1) p B,α (Ω p ) pro α = TE, TM pak charakterizují čerpací pole dopadající na strukturu a představují tak okrajové podmínky. Koeficienty jsou určeny pomocí Fresnelových vztahů na rozhraních s využitím formalismu přenosových matic [48]. Tento formalismus byl rozpracován pro vrstevnatá prostředí v práci [39]. Formalismus vede k následujícím vztahům mezi koeficienty dopředně a zpětně se šířících polí: ( ) ( ) A (1) p F,α(Ω p ) A A (1) = T () () p p,α (Ω p ) F,α(Ω p ) p B,α(Ω p ) A (), p B,α(Ω p ) ( ) ( ) A (l+1) p F,α (Ω p ) A A (l+1) = T (l) p B,α (Ω p ) p,α(ω p )P p (l) (l) p (Ω p ) F,α(Ω p ) A (l), p B,α(Ω p ) α = TE, TM, l = 1,..., N. (8) Poznamenáváme, že koeficienty A (l) p F,α a A (l) p B,α pro l = 1,..., N popisují amplitudy odpovídajících elektrických polí na počátku l-té vrstvy. Přenosové matice rozhraní T (l) p,te a T (l) p,tm uvedené v rovnici (8) mají následující tvar [48]: T p,te(ω (l) p ) = 1 ( 1 + f (l) p (Ω p )g p (l) (Ω p ) 1 f p (l) (Ω p )g (l) ) p (Ω p ) 2 1 f p (l) (Ω p )g p (l) (Ω p ) 1 + f p (l) (Ω p )g p (l), (Ω p ) T p,tm(ω (l) p ) = 1 ( f (l) p (Ω p ) + g p (l) (Ω p ) f p (l) (Ω p ) g (l) ) p (Ω p ) 2 f p (l) (Ω p ) g p (l) (Ω p ) f p (l) (Ω p ) + g p (l), (Ω p ) l =,..., N; (9) f (l) p (Ω p ) popisu- = cos(ϑ (l 1) p )/ cos(ϑ (l) p ) a g p (l) = n (l 1) p /n (l) p. Matice P p (l) jící volné šíření čerpacího pole v l-té vrstvě jsou zapsány takto: P (l) p (Ω p ) = exp [ ] ik (l) p F,z(Ω p )L l exp [ ], ik (l) p B,z(Ω p )L l l = 1,..., N. (1) Na druhé straně je kvantová teorie potřebná pro popis signálového a jalového pole, která se nacházejí v procesu spontánní sestupné frekvenční konverze na jednofotonové úrovni [2]. Operátorové amplitudy elektrických polí těchto svazků ve vrstevnatých prostředích mohou být

16 Prostorový kvantový model rozloženy do rovinných vln podle rovnice (1), podobně jako čerpací pole. V tomto rozkladu pak můžeme pozitivně frekvenční části Ê m (+) operátorových amplitud signálového a jalového pole napsat s využitím sférických souřadnic ω m, ϑ m a ψ m [Ω m = (ω m, ϑ m, ψ m )], m = s, i, takto: Ê ( ) m Ê (+) m (r, t) = 1 c 3 π/2 π/2 sin(ϑ m )dϑ m π/2 π/2 dψ m ωmdω 2 m exp [ik m,x (Ω m )x + ik m,y (Ω m )y] hωm â 16π 3 m,α (z, Ω m ) exp( iω m t); (11) ϵ α=te,tm = Ê(+) m. Planckova konstanta je označena symbolem h. Výraz hω m /(16π 3 ϵ ) v rovnici (11) udává amplitudu elektrického pole na jeden foton s energií hω m šířící se rychlostí c. Složky x a y vlnového vektoru k m příslušejícího signálovému a jalovému poli (m = s, i) jsou definovány vně struktury předpisem: k m,x (Ω m ) = ω m sin(ψ m ) sin(ϑ m ) c, k m,y (Ω m ) = ω m cos(ψ m ) sin(ϑ m ). c (12) Operátorové amplitudy â m,α (z, Ω m ) zavedené v rovnici (11) mohou být ve vrstevnaté struktuře vyjádřeny ve tvaru: â m,α (z, Ω m ) = rect,z (z) a=f,b N + rect zl 1,z l (z) l=1 a=f,b + rect zn, (z) a=f,b â () m a,α(ω m )e () m a,α(ω m ) exp [ ik () m a,z(ω m )(z z ) ] â (l) m a,α(ω m )e (l) m a,α(ω m ) exp [ ik (l) m a,z(ω m )(z z l 1 ) ] â (N+1) m a,α (Ω m )e (N+1) m a,α (Ω m ) exp [ ik (N+1) m a,z (Ω m )(z z N ) ], m = s, i, α = TE, TM. (13) Symboly e (l) m F,α a e (l) m B,α popisují polarizační vektory vlny α pole m šířícího se dopředně a zpětně. Anihilační operátory â (l) m a,α(ω m ) jsou definovány na konci l-té vrstvy pro vlnu α o frekvenci ω m pole m

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 17 charakterizovaného úhly (ϑ m, ψ m ) šířící se bud dopředně (a = F ) nebo zpětně (a = B). Složka z vlnového vektoru K m (l) a,z(ω m ) v l-té vrstvě je určena vztahem: K m (l) a,z(ω m ) = ± n(l) m (ω m )ω m cos(ϑ (l) m ), m = s, i, a = F, B. (14) c Znaménko + ( ) platí pro dopředně (zpětně) se šířící vlny. Index lomu pole m v l-té vrstvě je označen symbolem n (l) m. Úhly šíření ϑ(l) m v l-té vrstvě jsou dány Snellovým zákonem: n (l) m (ω m ) sin(ϑ (l) m ) = n m (N+1) (ω m ) sin(ϑ (N+1) m ), l =,..., N, (15) ϑ (N+1) m ϑ m. Operátory â (l) m a,α(ω m ) pro l =,..., N + 1 a zvolené hodnoty m, α, ω m, ϑ m a ψ m jsou spojeny unitárními transformacemi na rozhraních (Fresnelovy vztahy) a transformacemi popisujícími volné šíření optických polí. Tudíž obvyklé bosonové komutační relace platící pro dopadající optická pole jsou transformovány i na pole uvnitř struktury. Jediné nenulové komutační relace jsou tyto [71]: [â (l) m a,α(ω m ), â (l ) m a,α (Ω m )] = c 2 δ sin(ϑ m ) ωm 2 m,m δ a,a δ α,α δ l,l δ(ω m ω m )δ(ϑ m ϑ m )δ(ψ m ψ m ). (16) Mezi operátory â (l) m F,α(ω m ) a â (l) m B,α(ω m ) tedy platí následující relace: ( â(1) â (1) ( â(l+1) ) m F,α(Ω m ) m B,α(ω m ) ) m F,α(Ω m ) â (l+1) m B,α(Ω m ) ( ) = T m,α(ω () m ) â() m F,α(Ω m ) â (), m B,α(Ω m ) ( = T m,α(ω (l) m )P m (l) (Ω m ) â(l) m F,α(Ω m ) â (l) m B,α(Ω m ) m = s, i, α = TE, TM, l = 1,..., N. (17) Přenosové matice rozhraní T m,α (l) i matice popisující volné šíření polí P m (l) jsou definovány analogicky jako u čerpacího pole v rovnicích (9) a (1). Lineární vztahy platné mezi operátory â (l) m a,α(ω m ) umožňují vyjádřit tyto operátory pouze pomocí operátorů â (N+1) m F,α (Ω m ) a â () m B,α(Ω m ) charakterizujících vystupující optická pole [39]. ),

18 Prostorový kvantový model Fotonový pár generovaný v procesu spontánní sestupné frekvenční konverze s hamiltoniánem Ĥint daným v rovnici (1) je popsán poruchovým řešením Schrödingerovy rovnice v prvním řádu v čase t za předpokladu vakuového stavu vac v signálovém a jalovém poli v čase t. Odpovídající kvantový stav ψs,i out je odvozen v následujícím tvaru: ψs,i out = vac i 2c 8 π/2 π/2 sin(ϑ m )dϑ m π/2 π/2 N [ l=1 a,b,g=f,b α,β,γ=te,tm m=p,s,i dψ m ω 2 mdω m ] ωs ω i E p (ω p )E tr p (k p,x, k p,y ) δ(ω p ω s ω i )δ [k p,x k s,x k i,x ] δ [k p,y k s,y k i,y ] d (l) : e (l) p a,α(ω m )e (l) s b,β (Ω s)e (l) L l sinc [ i 2 K(l) p a s b i g,z(ω p, Ω s, Ω i )L l ] i g,γ(ω i ) exp [ ] 1 2 K(l) p a s b i g,z(ω p, Ω s, Ω i )L l A (l) p a,α(ω m )â (l) s b,β (Ω s)â (l) i g,γ(ω i ) vac ; (18) sinc(x) = sin(x)/x. Rozfázování K (l) p a s b i g,z(ω p, Ω s, Ω i ) = K p (l) a,z(ω p ) K s (l) b,z(ω s ) K (l) i g,z(ω i ) charakterizuje l-tou vrstvu. Symbol L l označuje délku l-té vrstvy (L l = z l z l 1 ). Průměty vlnových vektorů k m,x (Ω m ) a k m,y (Ω m ) do příčné roviny svazků jsou definovány v rovnicích (4) a (12) pro pole vně struktury. Poznamenáváme, že zvolený postup založený na řešení Schrödingerovy rovnice nepopisuje povrchovou spontánní sestupnou frekvenční konverzi, která vede k dodatečným emitovaným fotonovým párům [69, 7]. Podmínky na sfázování interagujících polí v příčné rovině xy jsou popsány dvěma δ funkcemi v rovnici (18). Tyto δ funkce určují emisní směr (ϑ i, ψ i ) jalového fotonu na základě znalosti emisního směru (ϑ s, ψ s ) signálového fotonu pro čerpací pole ve tvaru rovinné vlny šířící se ve směru (ϑ p, ψ p ) před strukturou. Jednoduché geometrické úvahy vedou k následujícím vztahům: [ ] ω s sin(ϑ s ) sin(ψ p ψ s ) ψ i = ψ p + arctan, ω p sin(ϑ p ) ω s sin(ϑ s ) cos(ψ p ψ s ) ϑ i = arcsin [ ω p sin(ϑ p ) ω i cos(ψ p ψ i ) ω s cos(ψ p ψ s ) ω i cos(ψ p ψ i ) sin(ϑ s) ]. (19)

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 19 V případě fokusovaného čerpacího svazku nemohou být podmínky na sfázování nelineární interakce popsány v jednoduché bodové formě rovnic (19) a místo toho musíme uvažovat korelované plochy fotonových párů konečných rozměrů. Tyto plochy jsou popsány korelačními funkcemi 4. řádu [72]. Řešení pro fotonový pár popsané v rovnici (18) obsahuje amplitudy A (l) p a,α čerpacího pole a kreační operátory signálového (â (l) s b,β ) a jalového (â (l) i g,γ) pole v l-té vrstvě. Tyto kreační operátory mohou být s pomocí lineárních vztahů (17) nahrazeny kreačními operátory â (N+1) m F,α a â () m B,α popisujícími emitované pole vně struktury. Potřebné vztahy můžeme zapsat ve tvaru: ( ) â(l) m F,α(Ω m ) 1 [ â (l) = P (j) m (Ω m )T m,α (j 1) (Ω m ) ] m B,α(Ω m ) j=l ( ) 1/[Sm,α (Ω m )] 11 [S m,α (Ω m )] 12 /[S m,α (Ω m )] 11 1 ( ) â(n+1) m F,α (Ω m ) â (), m = s, i, α = TE, TM, m B,α(Ω m ) l = 1,..., N. (2) Matice S m,α vystupující ve vztahu (2) popisuje šíření vlny α pole m napříč celou strukturou: S m,α (Ω m ) = T m,α (N) (Ω m ) 1 j=n [ P (j) m (Ω m )T (j 1) m,α (Ω m ) ], m = s, i, α = TE, TM. (21) Podobně můžeme vyjádřit amplitudy A (l) p F,α a A (l) p B,α čerpacího pole vlny α v l-té vrstvě pomocí amplitud A () p F,α a A (N+1) p B,α tohoto pole vstupujícího do struktury: ( ) A (l) p F,α(Ω p ) 1 [ A (l) = P (j) p (Ω p )T p,α (j 1) (Ω p ) ] p B,α(Ω p ) j=l ( ) 1 [S p,α (Ω p )] 21 /[S p,α (Ω p )] 22 1/[S p,α (Ω p )] 22 ( ) A () p F,α(Ω p ) A p (N+1), α = TE, TM, l = 1,..., N. (22) B,α (Ω p )

2 Prostorový kvantový model Matice S p,α popisuje, podobně jako v případě signálového a jalového pole, šíření klasického čerpacího pole s polarizací α přes celou strukturu: 1 [ S p,α (Ω p ) = T p,α (N) (Ω p ) P (j) p (Ω p )T p,α (j 1) (Ω p ) ]. (23) j=n Operátory emitovaných polí vně struktury mohou být nakonec transformovány do polarizační báze odpovídající polarizačním analyzátorům před detektory pomocí vhodné unitární transformace. V teorii předpokládáme, že rovina detektoru je kolmá ke směru šíření detekovaného pole popsaného úhly (ϑ, ψ) a její s-polarizace (označená symbolem ) je kolmá k horizontální rovině xz. Směr p-polarizace (označené symbolem ) je určen z podmínek ortogonality. Odpovídající unitární transformace (závislá na úhlech ϑ m a ψ m ) pro pole m (m = s, i) s frekvencí ω m šířící se pod úhly ϑ m a ψ m je definována takto: [ ] [ ] [ ] â(n+1) m F,TE(Ω m ) cos(ζm ) sin(ζ â (N+1) = m ) âmf, (Ω m ), m F,TM(Ω m ) sin(ζ m ) cos(ζ m ) â mf, (Ω m ) [ ] [ ] [ ] â() m B,TE(Ω m ) cos(ζm ) sin(ζ â () = m ) âmb, (Ω m ), m B,TM(Ω m ) sin(ζ m ) cos(ζ m ) â mb, (Ω m ) cos(ψ ζ m (ϑ m, ψ m ) = arccos m ) sign(ψ m ), 1 + sin 2 (ψ m ) tan 2 (θ m ) m = s, i. (24) Funkce sign udává znaménko svého argumentu. Nově zavedené operátory â mb,α(ω m ), m = s, i, b = F, B, α =,, popisují emitovaná pole v polarizačních bázích spojených s detektory. Výraz (18) popisující stav fotonového páru může být formálně vyjádřen v kompaktním tvaru pomocí funkcí Φ (+) a Φ ( ) klasické elektromagnetické teorie vrstevnatých prostředí (viz [38]). Tyto funkce popisují vlny šířící se zleva doprava a zprava doleva vzhledem k ose z. Pole emitovaná v bodě z = z N jsou popsána funkcemi Φ (+) (z), zatímco funkce Φ ( ) (z) odpovídají polím vystupujícím ze struktury v bodě z = z. V klasické teorii můžeme výsledný vztah (18) interpretovat tak, že fotonové páry jsou emitovány fiktivními dipóly popisujícími individuální vrstvy [73] a celkové emitované dvoufotonové pole je vytvořeno složením příspěvků od všech dipólů.

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 21 Výsledný vztah pro dvoufotonový stav ψs,i out v rovnici (18) je složen z příspěvků čtyř druhů podle směrů šíření signálového a jalového fotonu v páru vzhledem k ose +z (F F, F B, BF, BB). V každé skupině se nacházejí čtyři příspěvky lišící se polarizacemi signálového a jalového fotonu (,,, ). Individuální příspěvky mají obecný tvar: ψ αβ s a,i b (r s, r i, t) = ϕ αβ [ π/2 π/2 sin(ϑ m )dϑ m ] dψ m dω m m=s,i π/2 π/2 ab (Ω s, Ω i ) exp[ i(k out s a r s + k out i b r i )] exp[i(ω s + ω i )t] â s a,α(ω s )â i b,β (Ω i) vac, a, b = F, B, α, β =,. (25) Vlnové vektory k out s a a k out i b popisují vývoj volných emitovaných optických polí po opuštění struktury. Spektrální dvoufotonová amplituda ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ) definovaná v rovnici (25) charakterizuje v úplnosti emitovaný fotonový pár. Udává amplitudu pravděpodobnosti, že se α- polarizovaný signálový foton s frekvencí ω s šířící se ve směru (ϑ s, ψ s ) společně se svým β-polarizovaným jalovým fotonem s frekvencí ω i šířícím se ve směru (ϑ i, ψ i ) nacházejí na výstupu ab struktury. 3 Veličiny charakterizující fotonový pár Intenzitní prostorové a spektrální vlastnosti fotonů v páru [39] mohou být výhodně odvozeny z hustoty n αβ ab středního počtu fotonových párů ve stavu ψ αβ s a,i b. Hustota n αβ ab je definována předpisem: n αβ ab (Ω s, Ω i ) = ψ αβ s a,i b ˆn sa,α(ω s )ˆn ib,β(ω i ) ψ αβ s a,i b. (26) Operátor hustoty počtu fotonů ˆn ma,α(ω m ) příslušného módu je určen vztahem: ˆn ma,α(ω m ) = â m a,α(ω m )â ma,α(ω m ). (27) Tento vztah umožňuje přepsat výraz (26) pro hustotu n αβ ab do jednoduššího tvaru: n αβ ab (Ω s, Ω i ) = ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ) 2. (28) Hustota n αβ s,ab (Ω s) středního počtu signálových fotonů ve stavu ψ αβ s a,i b je pak jednoduše určena pomocí hustoty n αβ ab definované v rovnici (26)

22 Veličiny charakterizující fotonový pár a vztahu (28): π/2 π/2 n αβ s,ab (Ω s) = sin(ϑ i )dϑ i π/2 π/2 dψ i dω i ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ) 2. (29) Pro detektor bez spektrálního rozlišení můžeme výsledky měření v příčné rovině popsat pomocí prostorové hustoty n tr,αβ s,ab (ϑ s, ψ s ) středního počtu signálových fotonů emitovaných ve směru (ϑ s, ψ s ). Tato hustota je odvozena z hustoty n αβ s,ab středního počtu signálových fotonů uvedené ve vztahu (29) takto: n tr,αβ s,ab (ϑ s, ψ s ) = dω s n αβ s,ab (Ω s). (3) Popis jalového pole pomocí hustot je analogický jako u signálového pole. Korelace mezi signálovým a jalovým fotonem v příčných rovinách jsou popsány korelačními funkcemi 4. řádu n cor,αβ ab (ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ), které udávají společné hustoty počtu fotonových párů takových, že se signálový foton šíří ve směru (ϑ s, ψ s ) a jalový foton ve směru (ϑ i, ψ i ): n cor,αβ ab (ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ) = dω s dω i n αβ ab (Ω s, Ω i ). (31) Pokud udáme směr šíření signálového fotonu (ϑ s, ψs), pak společná hustota n cor,αβ ab (ϑ s, ψs, ϑ i, ψ i ) závisí na emisních úhlech ϑ i a ψ i jalového fotonu a její tvar popisuje korelovanou plochu. Korelovaná plocha tedy udává oblast výskytu jalového fotonu v příčné rovině, ve které detekujeme s vysokou pravděpodobností jalový foton poté, co jeho doprovázející signálový foton byl zachycen ve směru (ϑ s, ψs). Konečně, celkový počet emitovaných fotonových párů N αβ ab ve stavu ψ αβ s a,i b je určen výrazem N αβ ab = [ π/2 π/2 ] sin(ϑ m )dϑ m dψ m dω m n αβ ab (Ω s, Ω i ). m=s,i π/2 π/2 (32) Podobně jako ve spektrální oblasti, i v časové oblasti definujeme časovou dvoufotonovou amplitudu A(τ s, τ i ) udávající amplitudu pravděpodobnosti detekce signálového fotonu v čase τ s společně s detekcí

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 23 jalového fotonu v čase τ i. Pokud se signálový foton šíří ve směru (ϑ s, ψ s ) a jalový foton ve směru (ϑ i, ψ i ), napíšeme odpovídající časovou dvoufotonovou amplitudu A(τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) ve tvaru: A αβ ab (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) = vac Êα(+) s a (r s, t + τ s, ϑ s, ψ s ) Êβ(+) i b (r i, t + τ i, ϑ i, ψ i ) ψ αβ s a,i b (r s, r i, t ). (33) Pozitivně frekvenční části Ê (+) operátorových amplitud v rovnici (33) popisují pole šířící se ve směru (ϑ, ψ). Pro dvoufotonový stav ψ αβ s a,i b ve tvaru popsaném rovnicí (25) nabývá výraz (33) pro časovou dvoufotonovou amplitudu A αβ s a,i b tvar: ab (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) = h ωsω i 16π 3 ϵ A αβ ϕ αβ ab (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ). (34) Fourierova transformace ϕ αβ s a,i b (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) modifikované funkce ϕ αβ s a,i b (Ω s, Ω i ) je definována předpisem: ϕ αβ ab (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) = 1 ωs ω i dω s dω i ϕ αβ 2π ωsω i ab (Ω s, Ω i ) exp( iω s τ s ) exp( iω i τ i ). (35) Fotonový tok N αβ s;ab (τ s, ϑ s, ψ s ) signálového pole ve směru (ϑ s, ψ s ) a čase τ s příslušející stavu ψ αβ s a,i b je dán takto: N αβ s;ab (τ s, ϑ s, ψ s ) = 2π 2 ϵ π/2 Ê α( ) s a π/2 (r s, t + τ s, ϑ s, ψ s )Êα(+) s a sin(ϑ i )dϑ i π/2 π/2 dψ i ψ αβ s a,i b (r s, r i, t ) (r s, t + τ s, ϑ s, ψ s ) ψ αβ s a,i b (r s, r i, t ). (36) Fotonový tok N αβ s;ab (τ s, ϑ s, ψ s ) může být také stanoven pomocí spektrální dvoufotonové amplitudy ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ): N αβ s;ab (τ s, ϑ s, ψ s ) = h 8π ω s dω s π/2 π/2 sin(ϑ i )dϑ i π/2 π/2 dψ i dω s ωs dω i ϕ αβ ab (Ω s, Ω i )ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ) exp[i(ω s ω s )τ s ]; (37)

24 Veličiny charakterizující fotonový pár M D B ω p NLC ω i DL BS ω s M C D A Obrázek 2: Schéma Hongova-Ouova-Mandelova interferometru. Čerpací foton o frekvenci ω p je v nelineárním krystalu NLC konvertován na signálový (frekvence ω s ) a jalový (frekvence ω i ) foton. Po odrazu fotonů na zrcadlech M a časovém zpoždění jalového fotonu způsobeného zpožd ovací linkou DL dochází k interferenci jalového a signálového fotonu na vyváženém děliči svazku BS. Je měřena koincidenční detekce C dvou fotonů na detektorech D A a D B. Ω s = (ω s, ϑ s, ψ s ). V případě úzkého spektra jalového svazku se alternativně nabízí následující zjednodušený vztah: N αβ s;ab (τ s, ϑ s, ψ s ) = hω π/2 π/2 s sin(ϑ i )dϑ i dψ i dτ i 4 π/2 π/2 ϕ αβ ab (τ s, ϑ s, ψ s, τ i, ϑ i, ψ i ) 2. (38) Kvantovou provázanost signálového a jalového fotonu v časové oblasti můžeme pozorovat při měření počtu koincidencí v Hongově-Ouově- Mandelově interferometru (viz obrázek 2). Abychom dosáhli interference mezi signálovým a jalovým fotonem, musíme otočit roviny polarizace obou fotonů do stejného směru a zavést mezi oba fotony měnitelné relativní časové zpoždění τ l. Oba fotony v interferometru dopadají na vyvážený dělič svazku (5/5%) a následně jsou detekovány na výstupech tohoto děliče svazku. Počet detekovaných koincidencí R c je určen počtem simultánně detekovaných fotonů v daném časovém intervalu pomocí dvou detektorů D A a D B umístěných ve výstupech děliče svazku. Koincidenční detekce může být způsobena dvěma různými kvantovými drahami, které spolu interferují. Bud to je signálový foton detekován detektorem D A a jalový foton detektorem D B, nebo

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 25 naopak. Normovaný počet koincidencí R způsobený signálovými fotony ve směru (ϑ s, ψ s ) a jalovými fotony ve směru (ϑ i, ψ i ) je v tomto interferometru určen výrazem ve kterém jsou R αβ ab (τ l, ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ) = 1 ρ αβ ab (τ l, ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ), (39) ρ αβ ab (τ l, ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ) = 1 2R αβ,ab (ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ) dt A Re [ A αβ ab (t A, ϑ s, ψ s, t B τ l, ϑ i, ψ i )A αβ ab (t B, ϑ s, ψ s, t A τ l, ϑ i, ψ i ) ] (4) a R αβ,ab = 1 A αβ dt A dt B ab 2 (t A, ϑ s, ψ s, t B, ϑ i, ψ i ) 2. (41) Symbol Re označuje reálnou část argumentu. Pomocí vztahů (34) a (35) získáme vyjádření pro veličiny ρ a R pomocí spektrální dvoufotonové amplitudy ϕ αβ ab : ρ αβ ab (τ l, ϑ s, ψ s, ϑ i, ψ i ) = [ R αβ,ab = [ ] 2 [ h 1 216π3 ϵ R αβ Re,ab dt B dω s dω i ω s ω i ϕ αβ ab (Ω s, Ω i )ϕ αβ ab (ω i, ϑ s, ψ s, ω s, ϑ i, ψ i ) exp[i(ω i ω s )τ l ] ] 2 h dω s 216π3 ϵ ], (42) dω i ω s ω i ϕ αβ ab (Ω s, Ω i ) 2. (43) Zesílení amplitud elektrických polí uvnitř vrstevnatých struktur díky konstruktivní interferenci odrážejících se vln představuje nejdůležitější vlastnost těchto struktur, která vede za vhodných okolností k výraznému zesílení nelineární interakce. Vzrůst efektivní nelinearity v takové struktuře může být s výhodou kvantifikován vzhledem k referenční struktuře s definovanými vlastnostmí. Taková struktura využívá v maximální míře nelinearitu materiálu, nezpůsobuje zpětné odrazy šířících se polí a tudíž v ní nedochází ke konstruktivnímu skládání odražených vln. Prostorová orientace anizotropního materiálu a polarizace interagujících polí jsou takové, aby byl využit největší nelineární koeficient. Referenční struktura generuje fotonový pár se signálovým fotonem v libovolném směru (ϑ s, ψ s ) přičemž odpovídající jalový foton je generován v jednom odpovídajícím směru (ϑ i, ψ i ). Pokud předpokládáme

26 Veličiny charakterizující fotonový pár signálový foton emitovaný ve směrech ϑ s a ψ s, je celý fotonový pár popsaný stavem ψ ref s,i [srovnej s rovnicí (18)], ψs,i ref = i 2c 8 N l=1 ωsdω 2 s ωi 2 dω i ωs ω i (ω s + ω i ) 2 E p (ω s + ω i ) max(d (l) )L l â s(ω s )â i(ω i ) vac, (44) ve kterém operátory â s(ω s ) [â i(ω i )] označují kreační operátory signálového a jalového pole vně referenční struktury. Funkce max použitá v rovnici (44) udává maximální hodnotu z prvků tenzoru d (l) nelineárních koeficientů. Využívajíce definovanou referenční strukturu přínos vrstevnaté struktury k intenzitě nelineární interakce můžeme zhodnotit pomocí veličiny η αβ s,ab (Ω s) udávající relativní vzrůst středního počtu signálových fotonů ve stavu ψ αβ s a,i b s frekvencí ω s šířících se ve směru (ϑ s, ψ s ): s,ab (Ω s) = nαβ s,ab (Ω s) η αβ n ref s (ω s ). (45) Hustota n αβ s,ab středního počtu signálových fotonů je dána vzorcem (29). Hustota n ref s středního počtu signálových fotonů charakterizuje stav ψs,i ref referenční struktury popsaný rovnicí (44). Tato hustota nezávisí na úhlech šíření ϑ s a ψ s signálového svazku. Jak je patrné z výše uvedených vztahů, jsou vlastnosti fotonových párů ovlivněny prostoročasovými vlastnostmi čerpacího svazku. Ten může být v uspokojivé aproximaci popsán jako svazek s gaussovským čerpovaným spektrem a gaussovským příčným profilem: E p (ω p ) = τ p ξ p ( 2(1 + iap ) exp τp 2 ) 4(1 + ia p ) (ω p ωp) 2, Ep tr (k x, k y ) = r [ p r 2 exp p (kx 2 + k 2 ] y). 2π 4 (46) Symbol ξ p udává amplitudu čerpacího svazku v bodě z = ve tvaru pulzu s nosnou frekvencí ωp, délkou trvání pulzu τ p a parametrem čerpu a p. Šířka amplitudového profilu v příčné rovině je popsána parametrem

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 27 r p. Normování funkce E tr p je dáno podmínkou dk x dky E tr p (k x, k y ) 2 = 1. Pro kontinuální čerpání se výraz pro časové spektrum zjednodušuje, E p (ω p ) = ξ p δ(ω p ω p). Tento vztah ovšem vede k formálním výrazům typu δ 2 (ω) ve výše uvedených vztazích. Pro získání správných vztahů v tomto případě musíme takové výrazy nahradit výrazem 2T/(2π)δ(ω), který platí pro pole definované v časovém intervalu ( T, T ). Odpovídající fyzikální veličiny jsou pak vztaženy na jednotkový časový interval a potřebné vzorce se získají v limitě T. 4 Metoda návrhu účinné vrstevnaté struktury Předpokládáme, že se navrhovaná struktura skládá z lichého počtu vrstev N, které využívají dva druhy materiálů. Vrstvy materiálu b délky l b jsou obklopeny vrstvami materiálu a délky l a. Dále předpokládáme, že struktura je ozářena kontinuálním čerpacím svazkem s frekvencí ω p dopadajícím kolmo na rozhraní. Nakonec ještě uvažujeme, že emitovaný signálový a jalový foton mají frekvence blízké hodnotě ω p/2; fotony jsou tedy téměř frekvenčně degenerované. Navrhovaná metoda obecně optimalizuje efektivitu třímódové nelineární interakce ve vrstevnatých strukturách. Je založena na následujících dvou faktech získaných z praktické zkušenosti: Účinný nelineární proces je pozorován za předpokladu, že se všechna tři interagující pole nacházejí ve svých lineárních transmisních maximech. Tento fakt vychází z výsledků teorie pásové struktury, která ukazuje, že se vysoké hodnoty lineární transmisivity pro danou frekvenci objevují díky mnohačetným zpětným odrazům uvnitř struktury a následnému konstruktivnímu skládání těchto příspěvků. To přirozeně vede k vysokým hodnotám amplitud elektrického pole na dané frekvenci uvnitř struktury. Navíc platí, že čím blíže je transmisní vrchol k okraji zakázaného pásu, tím silnější je konstruktivní interference a tím vyšší jsou hodnoty amplitud elektrického pole. Numerické výsledky ukazují, že překryvové integrály amplitud interagujících polí udávající efektivní nelinearitu [viz vztah (1)]

28 Metoda návrhu účinné vrstevnaté struktury jsou nulové, pokud jsou prostorové průběhy amplitud signálového a jalového pole identické. To znamená, že frekvenčně degenerované fotonové páry s fotony emitovanými v symetrických směrech a se stejnými polarizačními vlastnostmi nemohou být ve struktuře generovány. Tato fakta byla již dříve využita při návrhu vrstevnatých struktur vhodných pro generaci druhé harmonické frekvence [74]. V případě kolineární interakce jsou tyto požadavky velmi silné kvůli omezení na jeden směr šíření interagujících polí. V tomto případě je dokonce nutné měnit index lomu jednoho typu vrstev, aby bylo dosaženo vhodných podmínek pro nelineární proces [74]. V případě nekolineární generace druhé harmonické je k dispozici jeden volný parametr (radiální emisní úhel), jehož vhodná volba vede k efektivní nelineární interakci. Tato geometrie může být optimalizována s využitím prezentované metody. Uvažované vrstevnaté struktury jsou tedy popsány třemi nezávislými parametry: počtem vrstev N a délkami l a a l b těchto vrstev. Analýza ukázala, že počet vrstev N zásadně ovlivňuje počty generovaných fotonových párů a také charakteristické rozměry emitovaných fotonových polí v příčných rovinách (viz obrázek 3 níže). Čím větší je počet vrstev N, tím více fotonových párů je generováno a také tím menší jsou oblasti emise fotonových párů v příčných rovinách. Počet potřebných vrstev N může tedy být zhruba určen z požadavků na tyto vlastnosti. Po zadání počtu vrstev N zůstávají dva volné parametry, a to délky vrstev l a a l b. Tyto délky musíme ovšem zvolit tak, aby čerpací pole se svojí nosnou frekvencí ωp leželo v transmisním vrcholu. Nejprve na chvíli zvolme pevné hodnoty délek vrstev l a a l b (společně s počtem vrstev N) a podívejme se na průběh spektrální intenzitní transmisivity T (ω) podél osy +z (ve směru šíření čerpacího svazku) pomocí, např. metody přenosových matic [48]. S rostoucí frekvencí ω nacházíme v profilu transmisivity T (ω) postupně pásy zakázaných frekvencí. Rozdíl v centrálních frekvencích sousedních zakázaných pásů je zhruba stejný v souladu s teorií pásové struktury. Díky tomu můžeme navrhnout proces spontánní sestupné frekvenční konverze v takové konfiguraci, že čerpací pole leží ve vrcholu blízko druhého zakázaného pásu, zatímco signálové a jalové pole využívají transmisní vrcholy v okolí prvního zakázaného pásu. Všechna tři pole mohou využít transmisní vrcholy bud nad zakázanými pásy nebo pod nimi. Tato volnost pomáhá

Jan Peřina ml.: Spontánní sestupná frekvenční konverze 29 při splnění poměrně silných podmínek na účinnou třímódovou nelineární interakci společně s vhodnou volbou signálového radiálního emisního úhlu ϑ s. Tyto podmínky lze ovšem najít pouze numerickou analýzou. Nyní budeme uvažovat čerpací pole s danou nosnou frekvencí ωp. Podle výsledků předešlého odstavce potřebujeme najít takové struktury, které mají první transmisní vrchol at už nad druhým zakázaným pásem nebo pod ním na požadované frekvenci ωp. Detailní analýza struktur s různými hodnotami délek vrstev l a a l b ukázala, že v rovině definované proměnnými l a a l b existují dvě křivky s požadovanou vlastností. Jedna křivka parametrizuje struktury, u kterých se první transmisní vrchol pod druhým zakázaným pásem nachází na frekvenci ωp. Druhá křivka pak udává struktury, u kterých je první transmisní vrchol nad druhým zakázaným pásem naladěn na frekvenci ωp. Tvar těchto křivek může být získán s využitím škálovací vlastnosti jevů lineární optiky. Uvažujeme fiktivní bezdisperzní strukturu s indexem lomu daným indexem lomu čerpacího pole na frekvenci ωp. Definujeme odpovídající optické délky vrstev la opt a l opt b. Ukazuje se, že vhodným parametrem pro popis hledaných křivek je podíl L = l opt b /la opt optických délek vrstev. Vhodné optické délky la opt a l opt b pro zvolenou hodnotu podílu L jsou určeny následujícím postupem. Zvolíme hodnotu optické délky la opt, např. la opt, = λ p/2 = πc/ωp. Tato hodnota může být zvolena libovolně a určuje základní jednotku pro popis difrakčních jevů ve struktuře. Protože je hodnota podílu L dána, optická délka l opt, b je také určena, l opt, b = Lla opt,. Můžeme tudíž spočítat spektrální intenzitní transmisivitu T (ω p ) uvažované struktury. V profilu transmisivity T (ω p ) identifikujeme frekvence ωp max prvního transmisního vrcholu pod druhým zakázaným pásem a nad ním. Transmisní vrchol na frekvenci ωp max musíme posunout na frekvenci ω p s využitím škálovací vlastnosti. To vede ke správným optickým délkám struktury určeným předpisem la opt = la opt, ωp/ω p max a l opt b = Lla opt. Takto získané délky vrstev se liší pro vrcholy pod druhým zakázaným pásem a nad ním. V dalším kroku se pohybujeme podél těchto křivek (pro první transmisní vrcholy pod druhým zakázaným pásem a nad ním) parametrizovanými podílem L a analyzujeme tyto struktury numericky. Účinnost nelineárního procesu můžeme sledovat pomocí maxim ηs max relativního vzrůstu η s (ω s, ϑ s ψs) středního počtu emitovaných signálových fotonů analyzovaného pro měnící se hodnoty signálové frekvence ω s a signálo-