Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Seznámit se s některými teoretickými rozděleními, v této kapitole s diskrétními (Alternativní, Binomické a Poissonovo rozdělení). Naučit se s nimi pracovat. Nalézt pravděpodobnostní a distribuční funkci. V rozšiřujícím textu se naučíme počítat binomická čísla a seznámíme se se schématem Pascalova trojúhelníku. Dále se naučíme hledat ve statistických tabulkách. Základní text hod. Rozšiřující text ½ hod. Příklady ½ hod. Náhodný pokus Náhodná veličina Diskrétní náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Zákon rozdělení náhodných veličin Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Poté, co jsme se seznámili se základními statistickými metodami třídění a zpracování dat, ukážeme si některá teoretická rozdělení, která nám slouží jako matematické modely k popisu náhodných veličin. Tato část výkladu spadá do oblasti pravděpodobnosti. Výkladová část Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. V rámci přírodních věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmínek vždy nastane určitý důsledek. Např. jestliže za normálního tlaku zahřejeme vodu na C, bude se přeměňovat v páru. Oproti těmto pokusům existují takové pokusy, kdy i při dodržení všech podmínek mohou nastat různé výsledky. Např. i přes sebepečlivější dodržení výrobního postupu jsou některé výrobky nekvalitní. Náhodný pokus je realizace činností nebo procesů, jejichž výsledek nelze s jistotou předpovědět.
Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu (náhodnou veličinu značíme velkými písmeny X, hodnoty; jichž nabývá značíme malými písmeny x, x, x, ) Příkladem takového náhodného pokusu může být hod mincí. Náhodná veličina výsledek pokusu má pak dvě obměny x padne rub x padne líc Náhodná veličina může být diskrétní nebo spojitá. Diskrétní náhodná veličina může nabývat pouze konečného počtu obměn (např. počet dětí v rodině). Spojitá náhodná veličina může nabývat nekonečného počtu obměn (např. výše průměrného platu). Hodnotám náhodné veličiny lze přiřazovat pravděpodobnosti. Zákon rozdělení náhodné veličiny (teoretické rozdělení) je pravidlo, které každé hodnotě náhodné veličiny (nebo každému intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (nebo hodnoty z tohoto intervalu). Př: Hážeme-li hrací kostkou, zákon rozdělení náhodné veličiny přiřadí hodnotě pravděpodobnost /6, hodnotě také /6 atd. až hodnotě 6 také /6. Podle povahy náhodné veličiny dělíme teoretická rozdělení na diskrétní a spojitá. Distribuční funkce F udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné, než právě zvolená hodnota x diskrétní náhodná veličina - tato kumulativní pravděpodobnost je vyjádřena součtem dílčích pravděpodobností Př: Zvolíme-li ve zmiňovaném případě hrací kostky hodnotu x třeba distribuční funkce F /6, tj. / (může padnout nebo F /6 + /6). spojitá náhodná veličina - tato kumulativní pravděpodobnost je vyjádřena integrálem, jehož dolní mez je obvykle -, horní mez odpovídá zvolené hodnotě x.
Parametry teoretických rozdělení: - střední hodnota (popisuje polohu náhodné veličiny) a značí se E(X) - rozptyl (popisuje variabilitu náhodné veličiny) a značí se D(X). Teoretická rozdělení Nejdříve se zaměříme na Diskrétní rozdělení. Nejjednodušší je Alternativní rozdělení A(p) Některé náhodné pokusy mohou mít pouze dva různé výsledky: - pokus je úspěšný - pokus je neúspěšný Příslušná náhodná veličina X se pak nazývá alternativní (dvoudobá, nula-jedničková). Vlastnosti: střední hodnota E(X) p rozptyl D(X) p.( - p) Používáme označení: P(A) P(X ) p P(A ) P(X ) - p Př: Jak jsme si ukázali v předchozí kapitole je pravděpodobnost narození chlapce 5%. Označme náhodnou veličinu X... pohlaví narozeného dítěte. Tuto náhodnou veličinu můžeme popsat alternativním rozdělením. P(A) P(X ),5... narodí se chlapec (sledovaný jev) P(A ) P(X ),49... narodí se děvče (alternativní jev) Máme-li sadu takovýchto náhodných pokusů (např. ), můžeme pravděpodobnost počtu sledovaných jevů v této sadě popsat pomocí binomického rozdělení. Binomické rozdělení (n, p) n počet provedených pokusů p pravděpodobnost sledovaného jevu Náhodná veličina Y s konečným počtem oddělených hodnot: Y sledovaný jev nenastane Y sledovaný jev nastane x.. Y n sledovaný jev nastane n x Př: V případě, že budeme mít děti, je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žádný chlapec rovna: Y,49.,49.,49; tj., 49,76 zhruba,8 %... chlapců, děvčata Uvažujeme, že pravděpodobnost narození chlapce nebo dívky jsou nezávislé jevy (nezáleží, co
nastalo v předchozím pokusu), potom se pravděpodobnost jednotlivých jevů násobí [P(A B) P(A).P(B)]. Pravděpodobnost, že mezi dětmi bude chlapec je rovna: Y,5.,49.,49 Chlapec však nemusí být nutně prvorozený. Musíme uvažovat, že může být na druhém nebo na třetím místě. Vytváříme vlastně jednoprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem (kombinační číslo viz. Rozšiřující text). Y,5.,49.,49; tj.,5., 49,674 zhruba 6,7 %... chlapec, děvčata Pravděpodobnost, že mezi dětmi budou chlapci je rovna: Y,5.,5.,49 Opět musíme uvažovat, že chlapci mohou být na různých místech. Vytváříme dvouprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem. Y,5.,5.,49, tj.,5., 49,8 zhruba 8, % A poslední možnost pravděpodobnost, že mezi dětmi budou chlapci je rovna: Y,5.,5.,5 Vytváříme tříprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem. Y,5., 49,7 zhruba, % Pro přehlednost si výsledky shrneme do tabulky. Y j P j počet % Y, 49,8 Y 6,7,5., 49 Y,5., 49 8, Y,,5., 49 Ve výpočtu pravděpodobnosti Y můžeme doplnit kombinační číslo pro nulaprvkovou podmnožinu ze tří prvků a pravděpodobnost narození chlapce na nultou,5, dostáváme tak 4
,5., 49. Výsledky můžeme zobecnit. n Pravděpodobnostní funkce P j p j. (-p) n-j určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev j nastane právě j - krát. n (n-j krát nenastane a je způsobů, jak může nastat) j Sečteme-li všechny pravděpodobnosti, musíme dostat %. Vlastnosti: střední hodnota E(X) n p rozptyl D(X) n p.( - p) Graf pravděpodobnostní funkce z našeho příkladu vypadá následovně: Pj Binomické rozdělení Bi(n; p,5),5,4,,, j Binomické rozdělení není obecně symetrické. Symetrické je pouze v případě, že p,5. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,5),5,4,,, 4 5 6 j 5
V případě, že p <,5 binomické rozdělení je zešikmené vlevo. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,5),5,4,,, 4 5 6 j V případě, že p >,5 binomické rozdělení je zešikmené vpravo. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,75),5,4,,, 4 5 6 j Distribuční funkce F(X j ) j P i, určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev nastane nejvýše j - krát. V našem příkladě můžeme např. vypočítat jaká je pravděpodobnost, že budeme mít nejvýše chlapce. F(X ) dostaneme jako součet pravděpodobností, že nebudeme mít žádného, jednoho a dva chlapce. F(X ) P + P + P,8 +,67 +,8,867, tj. 86,7% Graf distribuční funkce pro náš příklad vypadá následovně: 6
Pj Binomické rozdělení Bi(n; p,5) Distribuční funkce,9,8,7,6,5,4,,, j Hodnoty distribuční funkce můžeme hledat také ve statistických tabulkách (viz. rozšiřující text). Binomické rozdělení má velký význam v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Většina jevů má sice více možných výsledků než pouze dva alternativní výsledky, ale my se můžeme omezit na jev, který nás zajímá s pravděpodobností p a zbylé jevy mají pak pravděpodobnost (-p). Např. při hodu kostkou je šest možných výsledků, ale my se můžeme zaměřit jenom na jeden (třeba, že padne 4) s pravděpodobností /6 a alternativní jev je nepadne 4 s pravděpodobností 5/6. Stejně tak při sledování určitého znaku v populaci, např. barva očí se můžeme zaměřit třeba na modré oči atd. Poissonovo rozdělení Po (λ) Je-li n dostatečně velké (n > ) a blíží-li se p k (p,), lze binomické rozdělení aproximovat Poissonovým rozdělením s jediným parametrem λ n.p Pravděpodobnostní funkce má tvar: 7
x λ λ ( ),,,... P x e x x! e,78 8... Eulerovo číslo Vlastnosti: střední hodnota E(X) λ p rozptyl D(X) λ p.( - p) Poissonovo rozdělení je oproti Binomickému rozdělení snazší na výpočet pravděpodobnosti. Př: Při výrobě žárovek je podle zkušenosti 8% vadných. Jaká je pravděpodobnost, že v krabici se ks žárovek bude právě 8 vadných? Výpočet provedeme nejprve pomocí binomického rozdělení a pak pomocí Poissonova. Bi (n; p) Bi (;,8) n... počet ks v krabici p,8... pravděpodobnost vadné žárovky j 8... jev vadná žárovka nastane právě 8x n P j p j. (-p) n-j j P 8,8 8. (-,8) -8 8.99.98.97.96.95.94.9 P 8.,8 8. (,9) 9...4.5.6.7.8 P 8 8687894., 677 7., 466,455, tj. 4,6%. Pravděpodobnost, že bude právě 8 žárovek vadných je 4,6%. Pomocí Poissonova rozdělení: λ.,8 8 Po (λ) Po (8) x λ λ ( ),,,... P x e x x! P(8) 67776. e., 546,96, tj. 4%. 8! 4 8 8 8 Vidíme, že výsledky se liší pouze o desetiny procenta a výpočet je jednodušší. Rozšiřující text Kombinační čísla počítáme podle vztahu n n!, j j! ( n j)! kde n! je faktoriál čísla n a počítá se jako součin všech čísel od až do n. 8
n!......n (např. 5!...4.5 ) Rozepíšeme-li si kombinační číslo např.! 4 4!.( 4)!! 4!.6!.9.8.7.6.5.4...,...4...4.5.6 vidíme, že ve zlomku můžeme zkrátit 6 faktoriál (6!). Pro výpočet je výhodné psát kombinační číslo tak, že do jmenovatele zlomku rozepíšeme k faktoriál (k!)a do čitatele stejný počet činitelů (čísla, která násobíme) jako máme dole a začínáme od největšího. 4 4...4.9.8.7...4.9.8.7 Můžeme pak krátit ve zlomku..7 4...4 Kombinační čísla můžeme nalézt pomocí Pascalova trojúhelníku: n n n n 4 n 4 4 4 4 6 4 4 4 4 atd. n značí kolika prvkovou máme množinu a kombinační čísla udávají kolika způsoby můžeme vytvářet podmnožiny. Např. pro n si můžeme představit tři prvky (kupříkladu ) 9
nám říká, že prázdnou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat jedním způsobem (nevybereme nic). nám říká, že jedno-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme nebo a nebo ). nám říká, že dvou-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme nebo a nebo ). nám říká, že tří-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat jedním způsobem ( ). Vidíme, že Pascalův trojúhelník je symetrický: Obecně platí k n n k n, což můžeme s výhodou využít při výpočtu Následující řádek v Pascalově trojúhelníku dostaneme sečtením čísel nad hledaným kombinačním číslem. n n Tak např. + + A tak bychom mohli pokračovat.
Obecně platí n + n n + k + k k + Hledání ve statistických tabulkách Hodnoty distribučních funkcí teoretických rozdělení jsou uvedeny v tabulkách, které najdete zpravidla na konci každé učebnice z pravděpodobnosti a statistiky. Hledanou pravděpodobnost nemusíme tedy počítat, ale můžeme ji odečíst z příslušné tabulky. Ukážeme si to na tabulce pro binomické rozdělení. Př.: Jaká je pravděpodobnost vyhrát 5 zápasů z 8, když síly soupeřů jsou vyrovnány? Řešení: n 8 p,5 k 5 Najdeme si příslušnou tabulku pro binomické rozdělení. Tabulka : Distribuční funkce binomického rozdělení Bi(n; π) π n x,,5,,,,4,5,6,7,8,9,95,99 5,95,774,59,8,68,78,,,,,,,,999,977,99,77,58,7,88,87,,7,,,,,999,99,94,87,68,5,7,6,58,9,,,,,,99,969,9,8,66,47,6,8,, 4,,,,,998,99,969,9,8,67,4,6,49 6,94,75,5,6,8,47,6,4,,,,,,999,967,886,655,4,,9,4,,,,,,,998,984,9,744,544,44,79,7,7,,,,,,999,98,9,8,656,456,56,99,6,, 4,,,,998,989,959,89,767,58,45,4,, 5,,,,,999,996,984,95,88,78,469,65,59 7,9,698,478,,8,8,8,,,,,,,998,956,85,577,9,59,6,9,4,,,,,,996,974,85,647,4,7,96,9,5,,,,,,997,967,874,7,5,9,6,,,, 4,,,,995,97,94,77,58,5,48,6,4, 5,,,,,996,98,97,84,67,4,5,44, 6,,,,,,998,99,97,98,79,5,,68 8,9,66,4,68,58,7,4,,,,,,,997,94,8,5,55,6,5,9,,,,,,,994,96,797,55,5,45,5,,,,,,,,995,944,86,594,6,74,58,,,, 4,,,,99,94,86,67,46,94,56,5,, 5,,,,999,989,95,855,685,448,,8,6, 6,,,,,999,99,965,894,745,497,87,57, 7,,,,,,999,996,98,94,8,57,7,77 9,94,6,97,4,4,,,,,,,,
,997,99,775,46,96,7,,4,,,,,,,99,947,78,46,,9,5,4,,,,,,999,99,94,7,48,54,99,5,,,, 4,,,999,98,9,7,5,67,99,,,, 5,,,,997,975,9,746,57,7,86,8,, 6,,,,,996,975,9,768,57,6,5,8, 7,,,,,,996,98,99,84,564,5,7, 8,,,,,,,998,99,96,866,6,7,86,94,599,49,7,8,6,,,,,,,,996,94,76,76,49,46,,,,,,,,,988,9,678,8,67,55,,,,,,,,999,987,879,65,8,7,55,,,,, 4,,,998,967,85,6,77,66,47,6,,, 5,,,,994,95,84,6,67,5,,,, 6,,,,999,989,945,88,68,5,,,, 7,,,,,998,988,945,8,67,,7,, 8,,,,,,998,989,954,85,64,64,86,4 9,,,,,,,999,994,97,89,65,4,96 Najdeme si příslušný oddíl, kde je n 8 a hledáme ve sloupci, kde je pravděpodobnost (zde označená π namísto p) π,5 π n x,,5,,,,4,5,6,7,8,9,95,99 8,9,66,4,68,58,7,4,,,,,,,997,94,8,5,55,6,5,9,,,,,,,994,96,797,55,5,45,5,,,,,,,,995,944,86,594,6,74,58,,,, 4,,,,99,94,86,67,46,94,56,5,, 5,,,,999,989,95,855,685,448,,8,6, 6,,,,,999,99,965,894,745,497,87,57, 7,,,,,,999,996,98,94,8,57,7,77 π n x,5 8,4,5,45,6 4,67 5,855 6,965 7,996 Protože distribuční funkce je součet jednotlivých pravděpodobností (Distribuční funkce F(X j ) j P i, určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev nastane nejvýše j krát), hledanou pravděpodobnost P 5 nalezneme jako rozdíl distribuční funkce F(X 5 ) F(X 4 ) P 5,855,67,8, tj.,8 %. Shrnutí Seznámili jsme se s některými typy diskrétních rozdělení a naučili jsme se pomocí těchto teoretických rozdělení řešit pravděpodobnostní úlohy. Kontrolní otázky a úkoly ) Jaký výsledek je pravděpodobnější? Vyhrát zápasy ze 4 nebo 5zápasů z 8?
Síly obou soupeřů jsou vyrovnané, remíza se nepočítá, vždy musí jeden vyhrát. ) Co je snazší? Postoupit ze skupiny, pokud k postupu potřebujeme vyhrát alespoň zápasy ze 4 nebo vyhrát alespoň 5 zápasů z 8? Síly obou soupeřů jsou vyrovnané, remíza se nepočítá, vždy musí jeden vyhrát Seznam použitých zkratek Studijní literatura Odkazy Klíč k úkolům D(f) definiční obor funkce f H(f) obor hodnot funkce f E(X) střední hodnota teoretické náhodné veličiny D(X) rozptyl teoretické náhodné veličiny P j pravděpodobnostní funkce F(x j ) distribuční funkce A(p) Alternativní rozdělení s pravděpodobností p Bi (n; p) Binomické rozdělení s parametry n (počet pokusů) a p (pravděpodobnost sledovaného jevu) Po (λ) Poissonovo rozdělení s parametrem λ (λ n.p) Bílková, D. Budinský, P. Vohánka, V.: Pravděpodobnost a statistika. Aleš Čeněk, Plzeň, 9. Cyhelský, L. Souček, E.: Základy statistiky. EUPRESS, Praha 9. Hindls, R. Hronová, S. Seger, J.: Statistika pro ekonomy. Professional Publishing, Praha 4. Český statistický úřad - http://www.czso.cz/ ) V prvním případě: Bi(4;,5) k 4 4 P,5 tj. 5% 6 Ve druhém případě: Bi(8;,5) k 5 5 8 8.7.6 P 5.,88 tj.,88% 5.. 56 Pravděpodobnější je první případ. ) V prvním případě je pravděpodobnost rovna součtu pravděpodobnosti výhry ve zápasech ze 4 plus pravděpodobnost výhry všech 4 zápasů ze 4. 4 4 P 4,65 tj. 6,5% 4 6
4 P + P 4,5 +,65,5 tj.,5% Ve druhém případě je pravděpodobnost postupu rovna součtu P 5 + P 6 + P 7 + P 8.,94 56.. 8.7 6 8 6 6 P tj.,94%, 56. 8 7 8 7 7 P tj.,%,9 56 8 8 8 8 P tj.,9% P 5 + P 6 + P 7 + P 8,64 tj. 6,4%, což je více než v prvním případě (,5%) a to už je ve shodě s naší prvotní intuicí.