Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci vodovodu musí předcházet podrobná bilance ekonomických přínosů plánované investice, která je podložena optimálním návrhem řešení. Při tomto analytickém procesu se porovnávají náklady na obnovu infrastruktury ve vztahu k eliminaci rizika očekávané škody. Zpravidla není efektivní snaha o okamžité a maximální teoreticky možné snížení škod. Doporučuje se postupovat dle následujícího obecného algoritmu (maximální konvexe součtové křivky dává optimum): Stanovení optimální rekonstrukce finanční náklady 1 8 6 4 2 Optimum 1 2 3 4 5 6 7 8 riziko škody náklady na obnovu součtová křivka Zatímco odhad nákladů na obnovu infrastruktury je často rutinní záležitostí, obtížnější bývá stanovení rizika škod a jeho finanční numerace. Nejčastěji se v praxi vychází z prognózy poruchovosti infrastruktury a následně se předpokládanému počtu poruch přiřazuje jejich finanční ocenění. Poruchy na infrastruktuře jsou náhodné jevy, vyznačují se však některými vlastnostmi obecného charakteru, a proto při jejich prognóze lze s výhodou využít numerických metod založených na statistice a pravděpodobnostním počtu. Poruchy na vodovodních řadech zařazujeme mezi náhodné nespojité (diskrétní) veličiny, které nabývají spočetného počtu hodnot bez ohledu na to, je-li tento počet konečný nebo nekonečný. 1. Obecně pro nespojité náhodné veličiny Pravděpodobnost, že náhodná nespojitá veličina X nabude určité hodnoty x se zapisuje P(X=x) nebo častěji P(x). Všechny hodnoty definičního oboru Ω představují úplný systém neslučitelných jevů a součet pravděpodobností všech možných hodnot x se rovná: x Ω P ( x) = P ( x) = 1 Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot x jsou funkcí těchto hodnot a tato funkce se nazývá pravděpodobnostní funkce (vyjádření tabulkou, grafem, vzorcem). Známe-li P(x), lze vypočítat pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné alespoň x k a nejvýše x r : P(x k) X x r ) = P ( x) x r x= x k x
Rozdělení náhodné veličiny se popisuje distribuční funkcí, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty, která je menší než toto číslo. Distribuční funkce se značí F(x): F(x) = P(X<x). Pro nespojitou náhodnou veličinu X lze distribuční funkci např.zapisovat: F(x) = P ( t), t<x kde x je libovolné reálné číslo. Distribuční funkce má tyto vlastnosti: a.) F(x) 1 b.) distribuční funkce je neklesající c.) distribuční funkce je spojitá zleva d.) jestliže možné hodnoty náhodné veličiny jsou z intervalu <a,b), pak F(a) = a F(b) =1, obecně: F (- ) = a F( ) = 1 e.) P(x k) X x r ) = F(x r ) F(x k ) Rozdělení dvou nespojitých náhodných veličin X,Y je možné popsat sdruženou (simultánní) distribuční funkcí: F(x,y) = P (X<x Y<y). Některá nejčastěji užívaná rozdělení nespojitých náhodných veličin: alternativní (házení mincí), binomické (házení kostkou), Poissonovo (počet vad v ploše, objemu, v časovém úseku), geometrické (počet nezávislých pokusů do prvního úspěchu), negativní binomické (počet neúspěšných pokusů předcházejících n-tému úspěšnému pokusu), hypergeometrické (pro navzájem závislé opakované náhodné pokusy). 2. Poissonovo rozdělení náhodné veličiny (lze je aplikovat na poruchovost vodovodů) Definice: náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení (je Poissonova náhodná proměnná) s parametrem λ, jestliže má pravděpodobnostní funkci x λ λ e pro x =,1, a kde λ > x! q(x) = { jinak Značíme X ~ Po( λ ) a platí: X ~ Po( λ ) E(X) = λ, D(X) = λ, kde E(X) je střední hodnota náhodné veličiny X a D(X) je rozptyl náhodné veličiny X Poznámka: a.) Rozdělení Po( λ ) má náhodná veličina X, která udává počet výskytů jevu A za časové období t, jestliže: jev A může nastat v libovolném okamžiku sledovaného časového období počet výskytů jevu A závisí pouze na délce tohoto časového období a ne na jeho počátku, ani na tom, kolikrát jev A nastoupil před jeho počátkem pravděpodobnost, že jev A nastoupí více než jednou v časovém období délky t konverguje k nule rychleji než t λ = k. t, kde k je průměrný počet výskytů jevu A za časovou jednotku a t je sledované časové období Místo časového období lze uvažovat např. i počet výskytů jevu A v určité ploše, objemu, hmotnosti, délce apod.
b.) Rozdělení Po( λ ) aproximuje rozdělení Bi (n,p). Je-li p <.1 a n >3, potom Bi (n,p) Po( λ ), kde λ = n. p c.) Je-li X ~ Po( λ ), pak pro modus x o náhodné veličiny X platí λ - 1 x o λ d.) Při nezávislosti více Poissonovských veličin X i ~ Po( λ i ) lze vyjádřit směs těchto rozložení: Y = α 1 X 1 +.. α n X n přičemž α 1, α 2,,α n (,1) a platí: α i = 1 3. Příklad aplikace Poissonova rozdělení na poruchovost vodovodních řadů: Zadání - požadavek na řešení: - v hodnocené lokalitě je zapotřebí zjistit: a.) kolik poruch na vodovodních řadech lze očekávat v hodnocené lokalitě maximálně ročně s 95 % pravděpodobností výskytu? b.) jaký roční počet poruch na vodovodních řadech je nejpravděpodobnější v hodnocené lokalitě? Oba požadavky je nutno vyhodnotit: - pro stávající stav, - pro výhled za 1 let bez provedení rekonstrukce, - pro výhled za 1 let s provedením rekonstrukce, která spočívá v obnově veškerého potrubí staršího 5 let Hodnocená lokalita je součástí skupinového vodovodu, ve kterém je provozně vyhodnocena následující stávající poruchovost vodovodních řadů v členění dle 3 kategorií stáří potrubí (jsou evidovány jen poruchy na potrubí,tj. bez armatur a objektů): Poruchovost vodovodního potrubí poruchovost potrubí,6,4,2 do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let poruch / km / rok stáří potrubí Vodovodní řady jsou v hodnocené lokalitě provozně evidovány v členění dle stáří, délky a průměrné roční jednotkové poruchovosti viz. následující tabulka: Velké Meziříčí do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let stávající počet poruch /km/rok,21,25,48 stávající stav 28 18 18 91 výhled za 1 let bez rekonstr. 21 487 12 983 12 611 výhled za 1 let po rekonstr.* 34 98 12 983 Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 5 let
Rozdělení vodov. potrubí dle stáří délka potrubí (m) 4 3 2 1 do 3O let od 3O do 5O let nad 5O let stávající stav výhled za 1 let bez rekonstr. výhled za 1 let po rekonstr.* kategorie stáří Postup řešení: Předpokládáme, že počet poruch za rok je náhodná nespojitá veličina. V dané lokalitě sledujeme 3 navzájem nezávislé kategorie veličin charakterizované odlišnou hodnotou stáří potrubí. Výchozí zadání splňuje všechny podmínky, které musí být splněny, aby bylo možno považovat rozdělení náhodné veličiny (t.j. v našem případě poruchy řadů) za vícerozměrné Poissonovo rozdělení. Předpokládáme tedy, že X i ~ Po( λ i ) kde i = 1,2,3..počet kategorií vodovodních řadů X i počet poruch v i-té kategorii stáří λ i...parametry Poissonova rozdělení, pro které platí: λ i = k i. t i, kde k je průměrný roční počet poruch na jednotkovou délku v dané kategorii a t je sledovaná délka vodovodních řadů v dané kategorii stáří. V našem případě tedy pro stávající stav:,21 λ 1 =. 28 18 = 5,9 X 1 ~ Po( 5,9 ) 1,25 λ 2 =. 18 91 = 4,73 X 2 ~ Po( 4,73 ) 1,48 λ 3 =. = X 3 ~ Po( ) 1 Analogicky se zpracovává výpočet pro další 2 varianty vztažené k výhledu za 1 let. Řešení je provedeno v tabulkové formě, pro usnadnění a automatizaci výpočtu byl vytvořen vlastní jednoduchý výpočtový program. Postupuje se dle vztahu pro pravděpodobnostní funkci q(x): x λ λ e pro x =,1, x! X ~ q(x) = { jinak
Výsledky řešení: Pravděpodobnosti poruch na hodnocených vodovod.řadech dle Poissonova rozdělení Počet Stávající stav Výhled za 1 let bez rekonstr. Výhl.za1 let po rek poruch Do 3 let 3-5 let Do 3 let 3-5 let nad 5 let Do 3 let 3-5 let,269,887,197,3894,235,78,3894 1,1593,4191,4952,12639,1423,556,12639 2,4712,991,11171,2511,436,1991,2511 3,9295,15595,1683,22191,8688,4752,22191 4,13752,18422,18955,187,13148,857,187 5,16276,1741,1716,11689,15917,12183,11689 6,1653,13711,12864,6323,1659,1454,6323 7,13571,9255,8292,2932,13887,14873,2932 8,139,5467,4677,119,158,13313,119 9,661,287,2345,429,767,1592,429 1,396,1356,158,139,4278,7584,139 11,212,583,434,41,2354,4937,41 12,136,229,163,11,1188,2946,11 13,472,83,57,3,553,1623,3 14,199,28,18,1,239,83,1 15,79,9,5,,96,396, 16,29,3,2,,37,177, 17,1,1,,,13,75, 18,3,,,,4,3, 19,1,,,,1,11, 2,,,,,,4, Průměr: 5+4= 9 poruch Průměr: 4+3+6= 13 poruch Průměr: 7+3=1 poruch MAXIM: 1+9= 18 poruch MAXIM: 8+7+1= 25 poruch MAXIM: 11+7=17poruch Pro naše zadání vyhledáme ve výpočtové tabulce maximální počet poruch v dané kategorii, který odpovídá požadované pravděpodobnosti,95. Výsledný počet poruch získáme součtem zjištěného počtu poruch v každé kategorii. Průměrný počet poruch se zjistí z předpokladu nejčastějšího výskytu, názornější přehled je v grafické podobě: Pravděpodobnost počtu poruch - stávající stav pravděpodobnostní funkce q(x),2,15,1,5, do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 do 2 Do 3 let Do 5 let Do 7 let počet poruch : průměrně 5+4=9 poruch /rok
Očekávaný průměrný počet poruch za 1 let bez provedení rekonstrukce řadů: Pravděpodobnost počtu poruch za 1 let - bez rekonstrukce pravděpodobnostní funkce q(x),25,2,15,1,5, Do 3 let Do 5 let Do 7 let do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 do 2 počet poruch: průměrně 4+3+6=13 por./rok Očekávaný průměrný počet poruch za 1 let po provedení rekonstrukce řadů: Pravděpodobnost počtu poruch za 1 let - po rekonstrukci pravděpodobnostní funkce q(x),3,2,1, do 2 do 4 do 6 do 8 do 1 do 12 do 14 do 16 do 18 počet poruch: průměrně 7+3=1 poruch /rok do 2 Do 3 let Do 5 let Do 7 let Souhrnné výsledky řešení: Očekávaný počet poruch v hodnocené lokalitě za rok dle Poissonova rozdělení Velké Meziříčí maximum s pravděpodobn.95 % průměrný počet poruch stávající stav 18 poruch ročně 9 poruch ročně výhled za 1 let bez rekonstr. 25 poruch ročně 13poruch ročně výhled za 1 let po rekonstr.* 17 poruch ročně 1 poruch ročně Pozn. - * je uvažována obnova všech řadů ve stáří nad 5 let Z ÁV Ě R: Z provedené prognózy počtu poruch lze následně poměrně snadno vyčíslit odhad finančních nákladů a stanovit riziko škody (náklady na opravu poruch, průměrná cena uniklé vody, ). Využití této časově nenáročné analytické numerické metody poskytuje provozovatelům a vlastníkům infrastruktury užitečný podklad pro jejich strategické rozhodování v oblasti plánování obnovy. Efektivita této metody se projeví zejména u velkých firem provozujících vodovody v desítkách či stovkách obcí, mezi nimiž je třeba objektivně stanovit priority obnovy. Literatura: Koutková, Moll Úvod do pravděpodobnosti a matem.statistiky (VUT Brno, 21) Hebák, Kahounová Počet pravděpodobnosti v příkladech (SNTL Praha, 1988)