PROTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých Apolloniových úloh postup, který je zajímavým příkladem přenesení řešení rovinných úloh do prostoru. Výsledek řešení těchto planimetrických úloh pak získáme jako kolmý průmět získaného stereometrického řešení do roviny, ve které je úloha zadána. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D, který usnadní řešení Apolloniových úloh bez užití kruhové inverze. Klíčová slova: Apolloniovy úlohy, CABRI 3D, cyklografie. TEREOMETRIC OLUTION APOLLONIU PROBLEM WITH CABRI 3D Abstract: The paper shows the example of solving some Apollonius s problems procedure, which is an interesting example transferring of solutions plane problems in the area. The result of solving these plane tasks then calculated as the orthogonal projection obtained stereometric solutions to the plane in which the problem is submitted. The solution can be constructed as a means of descriptive geometry, as well as using CABRI 3D software that facilitates the solution Apolloniových tasks without the use of circular inversion. Key words: Apollonius s problems, CABRI 3D, cyklography. Apolloniovy úlohy, nazvané podle řeckého geometra a matematika Apollonia z Pergy (žil kolem roku 200 př. n. l.), řeší nalezení kružnice, zadané třemi z následujících prvků: a) bod, kterým hledaná kružnice prochází (označíme B), b) přímka, které se hledaná kružnice dotýká (označíme p), c) kružnice, které se hledaná kružnice dotýká (označíme k). Počet těchto úloh je 5 C 3 3 10. 3 219
Jedná se o následující úlohy: estrojit kružnici, která: 1. prochází třemi danými body, (BBB) 2. prochází dvěma danými body a dotýká se dané přímky, (BBp) 3. prochází dvěma danými body a dotýká se dané kružnice, (BBk) 4. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných přímek, (Bpp) 5. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných kružnic, (Bkk) 6. prochází daným bodem a dotýká se dané přímky a dané kružnice, (Bpk) 7. dotýká se tří daných přímek, (ppp) 8. dotýká se dvou daných přímek a dané kružnice, (ppk) 9. dotýká se dané přímky a dvou daných kružnic, (pkk) 10. dotýká se tří daných kružnic. (kkk) Některé z uvedených úloh jsou triviální (osa úsečky, osa úhlu) a řeší je i žáci základních škol. Na středních školách pak studenti užívají ještě stejnolehlost. Zbývající úlohy jsou pak obvykle řešeny pomocí kruhové inverze. Méně známá je pak metoda řešení pomocí cyklografie, která uvedených 10 planimetrických úloh řeší stereometricky. K řešení uvedených úloh užijeme zjednodušení cyklografie bez zavedení orientace zadaných prvků, což pro naši potřebu bude dostačující. Prostorové úlohy provádíme v nezáporných z - ových souřadnicích. K pochopení následujícího je potřeba základních znalostí a pojmů deskriptivní geometrie. Mějme v rovině kružnici k ; r, kde x; y. Této kružnici přiřaďme v prostoru bod x ; y ; r, viz obr. 1. Obr. 1 Uvažujeme-li nyní množinu kružnic k1, k2, k3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které procházejí daným bodem A, leží množina bodů 1, 2, 3, na kuželové ploše s vrcholem v bodě A, jejíž povrchové přímky svírají s úhel 45, viz obr. 2 a 3. Obr. 2 Obr. 3 220
Uvažujeme-li množinu kružnic se středy v rovině, které se dotýkají přímky p, leží množina bodů 1, 2, 3, v polorovinách a, jejichž hraničními přímkami a zároveň stopami je přímka. Obě poloroviny a svírají s úhel 45, viz obr. 4 a 5. k, k, k, p,,, Obr. 4 Obr. 5 Uvažujeme-li množinu kružnic vnější dotyk s kružnicí k, k, k, ;, ; k r x y se středy,,,, pak množina bodů v rovině,,, ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi a vrcholem této plochy je bod Povrchové přímky popsaného kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 6 a 7. Obr. 6 Obr. 7, které mají leží na kuželové V x ; y ; r. Uvažujeme-li množinu kružnic k 1, k 2, k 3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které mají vnitřní dotyk s kružnicí k ; r, x; y, pak množina bodů 1, 2, 3, leží na kuželové ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi, vrcholem této plochy je bod V x; y; r. Povrchové přímky tohoto kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 8 a 9. Obr. 8 Obr. 9 Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dvou daných přímek v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 obou přímek a jedná se tedy o půdorys polopřímek případně přímek. 221
Rovnice kuželových ploch z obrázků 3, 7 a 9 mají tvar kde vrchol kuželové plochy je A x ; y ; z x x y y z z 2 2 2 A A A. A A A Hledáme-li průnikovou křivku dvou obecných kuželových ploch s vrcholy A x ; y ; z B x ; y ; z B B B, řešíme soustavu rovnic Po úpravách obdržíme rovnici x x y y z z 2 2 2 A A A x x y y z z 2 2 2 B B B 2 2 2 2 2 2 2x x x 2y y y 2z z z x x y y z z 0 A B A B A B B A B A B A,,. a, A A A která je rovnicí roviny. Této rovnici vyhovují souřadnice společných bodů obou kuželových ploch, tedy přesně řečeno je průniková křivka uvedených kuželových ploch také rovinná křivka. Hledáme-li středy kružnic, které se dotýkají dané přímky a procházejí daným bodem v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 3. Vzhledem k tomu, že odchylka povrchových přímek kuželové plochy a odchylka uvedených rovin od roviny je 45, leží hledané středy kružnic na parabole. Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dané přímky a kružnice v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 7 případně 9. Protože odchylka povrchových přímek kuželové plochy a uvedených rovin od je 45, leží hledané středy kružnic opět na parabole. Hledáme-li středy kružnic, které procházejí dvěma danými body, případně daným bodem a dotýkají se dané kružnice, případně dotýkají se dvou daných kružnic v rovině, je výsledným řešením půdorys průsečnic kuželových ploch dle obr. 3, 7, případně 9. Pokud neuvažujeme naše omezení na nezáporné z - ové souřadnice, pak se uvedené kuželové plochy obecně pronikají v obou svých částech a průniková křivka je tedy hyperbola. Řešíme-li tedy deset Apolloniových úloh z úvodu tohoto článku, stačí najít tyto průniky pro dvě dvojice prvků a pak najít jejich průsečíky. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D. Program CABRI Geometrie je program tzv. typu Dynamical Geometry Environment (prostředí dynamické geometrie, zkratka DGE) a je vhodný pro všechny stupně škol, kde se učí geometrie (v rovině - CABRI Geometrie II Plus, v prostoru - CABRI 3D v2). Program CABRI 3D geometrie je kombinací interaktivní prostorové geometrie a matematického softwaru. Tradiční výuka trojrozměrné geometrie je poměrně obtížná a časově 222
náročná. Cabri 3D ulehčuje konstrukci i složitých objektů a tím zároveň odstraňuje zdlouhavé konstrukce a přitom navíc přináší i výhody interaktivní geometrie. Podívejme se nyní na tři základní úlohy, které je nutné v prostoru vyřešit a pomocí nichž lze pak vyřešit všech deset Apolloniových úloh. 1) Bk, BB, kk hledáme průsečnici dvou kuželů; 2) Bp, kp hledáme průsečnici kužele a roviny; 3) pp hledáme průsečnici rovin. Ad 1) Řešení ukážeme na úloze Bk. Obr. 10 Zadání Obr. 11 Dva pomocné kužele Obr. 12 Průsečnice kuželů (hyperbola) Obr. 13 Konstrukce hyperboly h 1 a její kolmý průmět do roviny 223
Obr. 14 Kružnice k, 2 k - vnitřní dotyk s k k - vnější dotyk, Obr.15 Pohled na uvedená řešení kružnice 1, k ; r v nákresně Obr. 16 Pohled na celkové prostorové řešení 224
Ad 2) Řešení ukážeme na úloze Bp. Obr. 17 Pomocný kužel a rovina s jejich průsečnicí (parabola), včetně jejího průmětu do nákresny. Zakresleno jedno z řešení. k ; r Ad 3) Řešení úlohy pp. Obr. 18 Průsečnice pomocných rovin a její průmět do nákresny 225
Příklad: Pro ilustraci daných postupů řešme jednu z Apolloniových úloh Bpk (bod B a kružnice k leží uvnitř téže poloroviny určené přímkou p, bod B leží vně kružnice k), která se obvykle řeší užitím kruhové inverze. Poznamenejme, že úloha má v tomto zadání 3 řešení. Obr. 19 Celkový pohled na řešení v prostoru Obr. 20 kryté povrchy kuželů Obr. 21 kryté další konstrukční prvky Obr. 22 Pohled na celkové řešení (kružnice l, l, l ) v rovině zadání (nákresně) 226
Tato řešení lze tedy provádět s pomocí Cabri 3D a není nutné zavádět nové pojmy a konstrukce (např. metodu kruhové inverze) a úlohu lze tak řešit díky software Cabri 3D i prostředky dostupnými na střední škole. Úlohy je také možno využít ke geometrické definici paraboly a hyperboly jako množiny bodů daných vlastností. Literatura: [1] eifert, L.: Cyklografie, Jednota českých mathematiků a fysiků Praha, 1949. [2] http://www.pf.jcu.cz/cabri/cabri3d/download/cabri_3d_prirucka.pdf Jaroslav Krieg Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/10 370 01 České Budějovice krieg@mail.vstecb.cz Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/10 370 01 České Budějovice vacka@mail.vstecb.cz 227