ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Transkript

1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 2 Analytická geometrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Analytická geometrie 3 Obsah Analytická geometrie... 8 Souřadnice... 8 Souřadnice Varianta A Souřadnice Varianta B Souřadnice Varianta C Vektory Vektory Varianta A Vektory Varianta B Vektory Varianta C Přímka Přímka Přímka Varianta A Přímka Varianta B Přímka Varianta C Polohové úlohy v rovině Polohové úlohy v rovině Varianta A... 36

4 4 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta B Polohové úlohy v rovině Varianta C Metrické úlohy v rovině Metrické úlohy v rovině Varianta A Metrické úlohy v rovině Varianta B Metrické úlohy v rovině Varianta C Přímka, rovina Přímka a rovina Varianta A Přímka a rovina Varianta B Přímka a rovina Varianta C Polohové úlohy v prostoru Polohové úlohy v prostoru Varianta A Polohové úlohy v prostoru Varianta B Polohové úlohy v prostoru Varianta C Metrické úlohy Metrické úlohy... 61

5 Analytická geometrie 5 Varianta A Metrické úlohy Varianta B Metrické úlohy Varianta C Kuželosečky a kulová plocha Kružnice Kružnice Varianta A Kružnice Varianta B Kružnice Varianta C Tečna kružnice Tečna kružnice Varianta A Tečna kružnice Varianta B Tečna kružnice Varianta C Parabola Parabola Varianta A Parabola Varianta B Parabola Varianta C... 90

6 6 Analytická geometrie Tečna paraboly Tečna paraboly Varianta A Tečna paraboly Varianta B Tečna paraboly Varianta C Elipsa Elipsa Varianta A Elipsa Varianta B Elipsa Varianta C Hyperbola Hyperbola Varianta A Hyperbola Varianta B Hyperbola Varianta C Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta A Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta B Elipsa, hyperbola, přímka, tečny

7 Analytická geometrie 7 Varianta C Kulová plocha Kulová plocha Varianta A Kulová plocha Varianta B Kulová plocha Varianta C

8 8 Analytická geometrie Analytická geometrie Souřadnice Soustava souřadnic na přímce Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby OI =1. Pak každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo x = OX, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU OSOU, bod se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p. Soustava souřadnic v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí obě osy jsou navzájem kolmé jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se O xy. Bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy. [ ] dvojice je uspořádaná souřadnice nelze zaměnit!

9 Analytická geometrie 9 Soustava souřadnic v prostoru Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že každé dvě osy jsou navzájem kolmé všechny procházejí jedním bodem na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic O xyz. Bod nazýváme počátek, přímky x; y; z se nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny. Pravotočivá soustava souřadnic:

10 10 Analytická geometrie Levotočivá soustava souřadnic: Vzdálenost bodů v rovině [ ] [ ] Podle Pythagorovy věty: ( ) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodů v prostoru [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

11 Analytická geometrie 11 Střed úsečky dělí úsečku na 2 stejné části v rovině: [ ] v prostoru: [ ]

12 12 Analytická geometrie Souřadnice Varianta A Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB: [ ] [ ] Řešení: [ ] [ ] [ ] Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: [ ] [ ] Řešení: 2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: [ ] [ ] Řešení: 3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý. [ ] [ ] [ ] Řešení: trojúhelník není pravoúhlý (neplatí Pythagorova věta). 4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K. [ ] [ ] [ ] [ ] Řešení: Bod A.

13 Analytická geometrie 13 Souřadnice Varianta B Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l 1 ; l 2 ] platilo l 2 >O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku. Řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

14 14 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH; [ ] [ ] [ ]. Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle. Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH; [ ] [ ] [ ], jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů. Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; [ ] [ ] Řešení: [ ] 4.) Vypočítejte délku těžnice t c trojúhelníku ABC. [ ] [ ] [ ] Řešení:

15 Analytická geometrie 15 Souřadnice Varianta C Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů [ ] [ ] byla. ( ) ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu [ ] byla. Řešení: [ ] [ ] 2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B. [ ] [ ]. Řešení: [ ] [ ] 3.) V kartézské soustavě souřadnic O xyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. [ ] [ ] [ ] Řešení: [ ] 4.) Jsou dány body S 1 ; S 2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A 1 ve středové souměrnosti se středem S 1. Pak najděte obraz bodu A 1 ve středové souměrnosti se středem S 2 a tento obraz označte A 2. Určete vzdálenost bodů A; A 2. [ ] [ ] [ ] Řešení: [ ] [ ]

16 16 Analytická geometrie Vektory Orientovaná úsečka je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým bodem. Její velikost je nula. Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. Dva vektory mají stejný směr, jestliže a) polopřímky jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC. b) přímky jsou totožné a průnikem polopřímek je opět polopřímka. Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho. Každou orientovanou úsečku, která představuje vektor, nazýváme umístěním vektoru.

17 Analytická geometrie 17 Souřadnice vektoru Je-li vektor určen orientovanou úsečkou, pak. [ ] [ ] ( ) ( ) Operace s vektory Součet vektorů ; ;

18 18 Analytická geometrie Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí: Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí: ( ) ( ) Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní. Je-li, pak vektor je opačný k a značíme ho. ( ) Rozdíl vektorů ( ) ( )

19 Analytická geometrie 19 Násobení vektoru číslem Násobek nenulového vektoru reálným číslem je vektor, kde C je bod, pro který platí: a) b) je-li, leží bod C na polopřímce AB Je-li, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB ( ) Platí: pro každé dva vektory a každé R ( ) ( ) ( ) asociativnost násobení vektoru číslem ( ) distributivnost násobení součtu vektorů číslem ( ) distributivnost násobení vektoru součtem čísel Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů je vektor, kde. Lze vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho reálný násobek. Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé. Skalární součin vektorů Velikost vektoru je velikost kterékoliv orientované úsečky, která je jeho umístěním. Platí:. Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0. Pro každý vektor ( ) v rovině platí:. Pro každý vektor ( ) v prostoru platí:. Skalární součin dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.

20 20 Analytická geometrie Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ( ) ( ) v rovině: Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů ( ) ( ) v prostoru: Vlastnosti skalárního součinu komutativnost skalárního součinu vektorů ( ) ( ) asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení číslem ( ) distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání vektorů Velikost úhlu dvou vektorů lze určit použitím skalárního součinu: Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů, které neleží v jedné přímce, je vektor, pro který platí: a) vektor je kolmý k oběma vektorům b) vektor je orientován vůči vektorů pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky c), kde je úhel vektorů.

21 Analytická geometrie 21 Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Užití vektorového součinu: 1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům 2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC Obsah rovnoběžníku ABCD je Obsah trojúhelníku ABC je

22 22 Analytická geometrie Smíšený součin Smíšený součin vektorů v tomto pořadí je číslo, které vypočteme ( ). Užití smíšeného součinu: Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí: ( ), kde. Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu. Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu. Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.

23 Analytická geometrie 23 Vektory Varianta A Jsou dány body [ ] [ ] [ ]. a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce b) Určete číslo tak, aby bod [ ] ležel na přímce AB. a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že. ( ) ( ) body A; B; C leží v jedné přímce b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ) body A; B; C leží v jedné přímce b) Příklady k procvičení: 1.) Vektor ( ) zapište jako lineární kombinaci vektorů ( ) ( ). Řešení: 2.) Určete číslo tak, aby velikost vektoru ( ) byla 10. Řešení: 3.) V trojúhelníku ABC označte vektory. Jako lineární kombinaci vektorů zapište následující vektory: a) b), kde je střed strany BC. Řešení: a) ; b) 4.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby vektor ( ) byl kolmý k vektoru. Řešení:

24 24 Analytická geometrie Vektory Varianta B Je dán vektor ( ). Určete souřadnice vektoru, který svírá s vektorem úhel a jehož velikost je 4. Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru ( ) 2 ( ) ( ) ( ) Varianta A Varianta B Výsledek řešení: ( ) ( ) Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Je dán vektor ( ). Určete tak, aby pro vektor ( ) platilo. Řešení: 2.)Určete vektor tak, aby platilo, kde ( ). Řešení: ( ) ( ) 3.) Jsou dány body [ ] [ ] Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce. Řešení: [ ] [ ] [ ]

25 Analytická geometrie 25 4.) Jsou dány body [ ] [ ]. Určete bod C tak, aby platilo: a) bod C leží na ose x a b) bod C leží na ose y a Řešení: a) [ ] [ ]; b) [ ]

26 26 Analytická geometrie Vektory Varianta C Jsou dány body [ ] [ ] [ ]. a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník. b) Určete reálná čísla tak, aby body [ ] [ ] ležely na přímce AB. a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor není násobkem vektoru. ( ) ( ). Vektor není násobkem vektoru, proto body A, B, C tvoří trojúhelník. b) musí být násobek vektoru, ( ) ( ) musí být násobek vektoru, ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ; Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány vektory ( ) ( ). Určete hodnotu parametru tak, aby platilo. Řešení: 2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde [ ] [ ] [ ] byl 14. Řešení: [ ] [ ]

27 Analytická geometrie 27 3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. [ ] [ ]. Řešení: [ ] [ ] 4.) Je dán vektor ( ) Určete tak, aby pro vektor ( ) platilo. Řešení:

28 28 Analytická geometrie Přímka Přímka je dána dvěma různými body A, B. Vektor se nazývá směrový vektor přímky AB. Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů. 1.) Parametrická rovnice přímky Parametrická rovnice přímky AB je rovnice Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky AB. Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li, jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel, jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB. Mějme v rovině body [ ] [ ] a vektor ( ). Rovnici přímky lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem :

29 Analytická geometrie 29 2.) Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky má tvar, kde a alespoň jedna z konstant je nenulová. ( ) je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky skalární součin a je nula. ( ) ( ) kde

30 30 Analytická geometrie 3.) Směrnicový tvar rovnice přímky Rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo je směrnice přímky. Směrnice přímky je rovna, kde je odchylka přímky od kladné poloosy. Přímka rovnoběžná s osou nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje. Přímka se směrovým vektorem ( ) má směrnici. Přímka kolmá na přímku má směrnici. Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou, nebo jsou obě různoběžné s osou a mají stejnou směrnici. 4.) Úsekový tvar rovnice přímky Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem., kde [ ] [ ] jsou průsečíky s osami soustavy souřadnic.

31 Analytická geometrie 31 Přímka Je dána přímka. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují. a) Přímka je daná bodem [ ] a směrovým vektorem ( ). b) Přímka je daná bodem [ ] a normálovým vektorem ( ). Řešení: a) parametrické rovnice: obecná rovnice: normálový vektor ( ), pro výpočet dosadíme za a souřadnice bodu A směrnicový tvar:, pro výpočet dosadíme do rovnice bod A úsekový tvar: průsečík s osou : [ ] s osou y: [ ] b) parametrické rovnice: ( ) obecná rovnice:, po dosazení bodu B. směrnicový tvar:, po dosazení bodu B úsekový tvar:

32 32 Analytická geometrie Přímka Varianta A Napište obecnou rovnici přímky, která prochází bodem [ :. ] a je rovnoběžná s přímkou Každá rovnoběžná přímka s přímkou má stejný normálový vektor jako přímka ( ) :, dosadíme bod K. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: ) Napište obecnou rovnici přímky která prochází bodem [ ] a je kolmá na přímku :. Řešení: : 2.) Body [ ] [ ] určují přímku. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, [ ] [ ]. Řešení: ) Jsou dány dva body [ ] [ ]. Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky MN; polopřímky NM. Řešení: Osa: ; polopřímka MN: ) Polopřímka : ). 4.) Jsou dány body [ ] [ ]. Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB v bodě A. Řešení:

33 Analytická geometrie 33 Přímka Varianta B Body [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice průsečíku os jeho stran. [ ] ( ) : [ ] ( ) : [ ] ( ) : Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová souřadnice je 1,5 [ ]. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] Příklady k procvičení: 1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky, která prochází bodem [ ] a je kolmá k přímce :. Řešení: : :. 2.) Určete souřadnici bodu [ ] tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde [ ] [ ]. Řešení:. 3.) Body [ ] [ ] [ ] jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště. Řešení: : : : [ ] 4.) Je dána polopřímka {[ ] ( }. Určete souřadnice počátečního bodu A dané polopřímky. Určete tak, aby bod [ ] ležel na dané polopřímce. Řešení: [ ].

34 34 Analytická geometrie Přímka Varianta C Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela počátkem soustavy souřadnic. Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod [ ] vyhovovat rovnici přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za nulu a dostaneme:. ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Je dán trojúhelník EFG, [ ] [ ] [ ]. Určete v parametrickém tvaru rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG. Řešení:. 2.) Je dán trojúhelník KLM, [ ] [ ] [ ]. Vypočítejte souřadnice těžiště T. Řešení: [ ]. 3.) Osy a přímka AB, kde [ ] [ ], určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah. Řešení: 4.) Určete reálné číslo tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li: [ ] [ ] [ ]. Řešení:.

35 Analytická geometrie 35 Polohové úlohy v rovině Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby: 1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení 1 řešení různoběžné, 1 průsečík 0 řešení rovnoběžné různé řešení totožné 2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek Přímky jsou rovnoběžné, jestliže:, kde { }; ( { }). Dvě přímky ( ) a ( ) jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce. Přímky jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé, tj. platí-li ( ).

36 36 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky procházejí; [ ] [ ] [ ] [ ]. ( ) ( ) : ( ) ( ) : Přímky jsou různoběžné, protože Průsečík má x-ovou souřadnici (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici dopočítáme z rovnice přímky MN [ ]. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné; [ ] Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek ; {[ ]} {[ ]}. Řešení: Rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek. {[ ]} {[ ]} Řešení: Různoběžné; [ ] 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek. {[ ]} {[ ]}. Řešení: totožné 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek. : :. Řešení: Různoběžné, [ ]

37 Analytická geometrie 37 Polohové úlohy v rovině Varianta B Určete hodnotu parametru tak, aby přímka procházela průsečíkem přímek : :. po sečtení obou rovnic dostaneme: [ ]. Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem. Varianta A Výsledek řešení: Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček. {[ ]} {[ ]}. Řešení: 2.) Průsečíkem přímek {[ ]} {[ ]} veďte kolmici k přímce {[ ]}. Řešení: 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách : : :. Řešení: [ ] [ ] [ ] 4.) Je dána úsečka KL, kde [ ] [ ]. Určete hodnotu parametru tak, aby úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou [ ] [ ]. Řešení:

38 38 Analytická geometrie Polohové úlohy v rovině Varianta C Zjistěte, zda bod [ ] je vnitřním bodem trojúhelníku ABC, [ ] [ ] [ ]. Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC jako bod B. Přímka AB má rovnici, polorovina s bodem C má rovnici. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve stejné polorovině jako bod C. Přímka AC má rovnici, polorovina s bodem B má rovnici. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve stejné polorovině jako bod B. Přímka BC má rovnici, polorovina s bodem A má vyjádření. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí. Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC. Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány body [ ] [ ] a vektor ( ). Napište analytické vyjádření poloroviny, je-li ( ). Řešení:

39 Analytická geometrie 39 2.) Určete reálné číslo tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením procházela průsečíkem přímek {[ ]} {[ ]}. Řešení: 3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby přímky byly totožné. {[ ]} {[ ]}. Řešení: 4.) Určete všechny hodnoty parametru tak, aby bod [ ] ležel v polorovině. Řešení: )

40 40 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod. Vzdálenost bodu od přímky Postup vidíme z obrázku: 1.) bodem X vedeme kolmici k přímce 2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky 3.) Určíme vzdálenost [ ] :. Pak kolmice má rovnici:. Hledáme průsečík [ ] přímek. ( ) ( ), kde je vypočítaná hodnota parametru. Pak ( ) ( ) Jestliže dosadíme za, dostaneme:

41 Analytická geometrie 41 Odchylka dvou přímek Odchylka přímek je ta velikost úhlu, která leží v intervalu. Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů).

42 42 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta A Na přímce : určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky : byla 3. Má-li bod P ležet na přímce, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky [ ]. Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: Po úpravě dostaneme: Řešíme rovnici s absolutní hodnotou: Dostáváme řešení: a [ ] [ ]. ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] [ ] Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek : a :. Řešení: 2.) Na přímce : najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se základnou BC, kde [ ] [ ]. Řešení: [ ] 3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu [ ] vzdálenost 7. Řešení: [ ] [ ]. 4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde [ ] [ ] [ ]. Řešení:.

43 Analytická geometrie 43 Metrické úlohy v rovině Varianta B Vypočítejte odchylku přímek : :. Určíme normálové vektory obou přímek: ( ) ( ) Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce: ( ) ( ) ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány dvě přímky : :. Určete hodnotu parametru tak, aby přímky svíraly úhel. Řešení: 2.) Vypočítejte odchylku přímek {[ ] } {[ ] }. Řešení: 3.) Vypočítejte odchylku přímek : :. Řešení: 4.) Vypočítejte odchylku přímek : :. Řešení:

44 44 Analytická geometrie Metrické úlohy v rovině Varianta C Body [ ] [ ] [ ] jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice vrcholů. Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana. ( ) ( ) Přímka KM má tedy rovnici:. ( ) ( ) Přímka LM má tedy rovnici:. ( ) ( ) Přímka KL má tedy rovnici:. Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic. { } [ ] { } [ ] [ ]. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ] Příklady k procvičení: 1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde [ ] [ ]. Řešení: [ ] [ ] 2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže [ ] [ ]. Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ]. 3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li [ ] [ ]. Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ]. 4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, [ ] [ ] leží vrchol G na přímce. Určete souřadnice vrcholu G. Řešení: [ ]

45 Analytická geometrie 45 Přímka, rovina 1.) Parametrická rovnice roviny Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy. Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory, zapisujeme ( ). Rovnice se nazývá parametrická rovnice roviny ABC. Můžeme opět rozepsat: 2.) Obecná rovnice roviny Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem, který je k ní kolmý. Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor je kolmý k vektoru ( ). Bod X má souřadnice [ ], bod P má souřadnice [ ] a normálový vektor má souřadnice ( ) Pak můžeme psát: ( ) ( ) ( ) Po úpravě dostaneme

46 46 Analytická geometrie Označíme výraz a máme obecnou rovnici roviny: Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový součin těchto dvou vektorů. 3.) Úsekový tvar rovnice roviny Rovina určená body [ ] [ ] [ ] má rovnici

47 Analytická geometrie 47 Přímka a rovina Varianta A Jsou dány body [ ] [ ]. Rozhodněte, zda body [ ] [ ] leží na přímce KL, a určete tak, aby bod [ ] ležel na přímce KL. Napíšeme rovnice přímky KL: ( ). Dosadíme postupně souřadnice bodů do rovnice přímky KL. bod A neleží na přímce KL. Totéž provedeme s bodem B:. Prostřední rovnice platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že, proto bod B leží na přímce KL. Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C:. Z prostřední rovnice určíme, že ; dosadíme do první rovnice a po dosazení do třetí rovnice zjistíme, že. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL; ;

48 48 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Je dána přímka {[ ] }. Rozhodněte, zda body [ ] [ ] leží na přímce a určete tak, aby bod [ ] ležel na přímce. Řešení: 2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka {[ ] } protíná souřadnicové roviny. Řešení: [ ] [ ] neexistuje 3.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná s přímkou {[ ] }. Řešení: 4.) Napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem [ ] a je rovnoběžná s osou. Řešení:

49 Analytická geometrie 49 Přímka a rovina Varianta B Dokažte, že body [ ] [ ] [ ] určují rovinu a napište její parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina KLM protíná souřadnicové osy. 3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor ( ) ( ) body určují rovinu. ( ) ( ). Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové [ ] [ ] [ ] Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: body určují rovinu; [ ] [ ] [ ] Příklady k procvičení: 1.) Je dána rovina {[ ] }. Vypočítejte průsečíky roviny se souřadnicovými osami. Řešení: [ ] [ ] [ ] 2.) Zjistěte, zda body [ ] [ ] [ ] [ ] leží v jedné rovině. Řešení: neleží

50 50 Analytická geometrie 3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že [ ] [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádření roviny BCV. Řešení: 4.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ]. Napište parametrické vyjádření těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K. Řešení:

51 Analytická geometrie 51 Přímka a rovina Varianta C Dokažte, že přímky {[ ] } {[ ] } určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme dosazením bodu [ ] z přímky do rovnic přímky. bod neleží na přímce přímky určují rovinu. Vypíšeme si směrový vektor přímky : ( ) a určíme vektor daná body v obou přímkách ( ) ( ). Vektorový součin těchto směrových vektorů určí normálový vektor hledané roviny ( ) ( ). Proto rovnice hledané roviny je,kde člen vypočítáme dosazením některého bodu kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice. Varianta A Varianta B Výsledek řešení: Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Dokažte, že přímka {[ ] } a bod [ ] určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Řešení: 2.) Je dána rovina {[ ] }. Napište její obecnou rovnici. Řešení: 3.) Napište obecnou rovnici roviny, ve které leží body [ ] [ ] a rovina je kolmá k rovině :. Řešení: : 4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu [ ] na roviny : : proložte rovinu. Určete její obecnou rovnici. Řešení: :

52 52 Analytická geometrie Polohové úlohy v prostoru 1.) Vzájemná poloha přímek Dvě přímky v prostoru mohou být totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné. Základním kritériem jsou směrové vektory obou přímek. Je-li, jsou přímky totožné nebo rovnoběžné různé. Která z možností to bude, rozhodneme podle toho, zda bod jedné přímky leží na přímce druhé pokud ano, jsou přímky totožné, pokud ne, jsou rovnoběžné různé. Je-li, jsou přímky různoběžné nebo mimoběžné. Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek, v případě společného bodu jsou přímky různoběžné a určujeme průsečík, v případě, že společný bod neexistuje, jsou přímky mimoběžné. 2.) Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka buď leží v rovině (pak je mnoho společných bodů), je rovnoběžná různá s rovinou (žádný společný bod) nebo je různoběžná a pak určujeme 1 společný bod. Řešíme nejsnadněji dosazením parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny a podle počtu řešení rozhodneme o vzájemné poloze. 3.) Vzájemná poloha 2 rovin Dvě roviny mohou být totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Která z možností nastane, závisí na rovnicích obou rovin. V nejjednodušším případě máme obecné rovnice obou rovin a sledujeme normálové vektory obou rovin. Pokud platí, že, pak jsou roviny totožné. Pokud platí, že, pak jsou roviny rovnoběžné různé. Pokud platí, že, pak jsou roviny různoběžné a pak určujeme průsečnici. Při hledání průsečnice dvou různoběžných rovin hledáme dva body, které leží zároveň v první i druhé rovině. To zajistíme tak, že zvolíme dvě ze tří souřadnic a třetí souřadnici dopočítáme pří řešení soustavy dvou rovnic, které získáme dosazením zvolených souřadnic do obou rovnic rovin.

53 Analytická geometrie 53 Polohové úlohy v prostoru Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: {[ ] } {[ ] } Vypíšeme si směrové vektory obou přímek: ( ) ( ). Vektor přímky není násobkem směrového vektoru přímky přímky jsou různoběžné nebo mimoběžné. Budeme řešit jako soustavu, pokud bude mít řešení, jsou přímky různoběžné, pokud ne, jsou mimoběžné. Po sečtení prvních dvou rovnic zjistíme, že Dosazením do 1. Rovnice vypočteme. Nyní obě hodnoty dosadíme do třetí rovnice. ( ), což je výrok pravdivý. Přímky jsou proto různoběžné. Musíme tedy určit průsečík (dosazením např. hodnoty do rovnice přímky ). Průsečík má tedy souřadnice [ ]. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: přímky jsou různoběžné, [ ].

54 54 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: {[ ] } {[ ] } Řešení: přímky jsou rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: {[ ] } {[ ] } Řešení: přímky jsou totožné 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: {[ ] } {[ ] } Řešení: přímky jsou mimoběžné 4.) Určete hodnotu parametru tak, aby přímky byly různoběžné. Pak vypočítejte souřadnice průsečíku přímek {[ ] } {[ ] } Řešení: [ ]

55 Analytická geometrie 55 Polohové úlohy v prostoru Varianta B Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a roviny: a) {[ ] } : b) {[ ] } : c) {[ ] } : Vzájemnou polohu přímky a roviny vyšetřujeme dosazením přímky do rovnice roviny. a) ( ) přímka je různoběžná s rovinou, mají společný 1 bod, jehož souřadnice zjistíme dosazením do rovnice přímky [ ]. b) ( ) ( ) ( ) přímka je rovnoběžná různá s rovinou c) ( ) ( ) přímka leží v rovině Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) [ s rovinou; c) přímka leží v rovině ]; b) přímka je rovnoběžná různá Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky [ ] [ ] a roviny, která je dána body [ ] [ ] [ ]. Řešení: přímka je různoběžná s rovinou, [ ]. 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky {[ ] } a roviny {[ ] }.

56 56 Analytická geometrie Řešení: přímka je rovnoběžná různá s rovinou 3.) Jsou dány body [ ] [ ] [ ] [ ]. Určete, pokud existuje, průsečík úsečky KL a přímky MN. Řešení: [ ]. 4.) Ukažte, že přímka, kde [ ] [ ] je různoběžná s rovinou o rovnici. Potom najděte jejich průsečík. Řešení: [ ].

57 Analytická geometrie 57 Polohové úlohy v prostoru Varianta C Vyšetřete vzájemnou polohu rovin : :. Podle souřadnic normálových vektorů vidíme, že roviny jsou různoběžné, budeme proto hledat rovnici přímky, která je průsečnicí rovin. Hledáme tedy dva body, které leží současně v obou rovinách. Zvolíme si jednu souřadnici každého bodu libovolně, zbylé dvě souřadnice vypočteme ze soustavy rovnic. [ ] dosadíme souřadnice bodu A do rovnic obou rovin [ ]. Totéž provedeme pro bod B: [ ] [ ] Nyní určíme směrový vektor přímky AB, ( ) Průsečnice má tedy rovnici: {( ) }. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: roviny jsou různoběžné, {( ) }.

58 58 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[ ] } {[ ] }. Řešení:roviny jsou rovnoběžné různé 2.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny {[ ] } {[ ] }. Řešení: roviny jsou totožné 3.) Určete hodnoty parametrů tak, aby roviny : : byly a) rovnoběžné; b) různoběžné; c) navzájem kolmé Řešení: a) ; b) ; c) 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin {[ ] } {[ ] }. Řešení: roviny jsou totožné

59 Analytická geometrie 59 Metrické úlohy 1.) Vzdálenost bodu od přímky Postup: a.) Určíme parametrické vyjádření přímky : b.) Z podmínky ( ) určíme tu hodnotu parametru, pro kterou platí (viz obr.). c.) Určíme vzdálenost 2.) Vzdálenost bodu od roviny Bodem P vedeme přímku kolmou k rovině, určíme průsečík R přímky p a roviny a určíme vzdálenost. : ; [ ]; {[ ] }. Hledáme průsečík přímky p s rovinou tak, že rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny. ( ) ( ) ( ) Odtud Tuto hodnotu dosadíme do parametrického vyjádření přímky a dostaneme souřadnice bodu R. Platí ( ), kde je vypočítaná hodnota. Proto.

60 60 Analytická geometrie Vzdálenost bodu [ ] od roviny : je vyjádřena 3.) Odchylka dvou přímek Odchylka přímek ( ) ( ) je číslo, pro které platí: 4.) Odchylka přímky a roviny Je-li přímka p kolmá k rovině, je odchylka přímky p a roviny rovna Pokud přímka p není kolmá k rovině, vedeme jí rovinu kolmou k rovině. Rovina protne rovinu v přímce p. Odchylka přímky p a roviny je pak odchylka přímek p, p. Výhodnější je sestrojit přímku q kolmou k rovině. Jestliže odchylka přímek p a q je, pak 5.) Odchylka dvou rovin Odchylku rovin a snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin. Platí:

61 Analytická geometrie 61 Metrické úlohy Varianta A V trojúhelníku ABC vypočítejte výšku, víte-li, že [ ] [ ] [ ]. Počítáme vzdálenost bodu A od přímky BC. Směrový vektor přímky BC je ( ) ( ). Rovnice přímky BC je: Kterýkoliv bod X přímky BC má souřadnice [ ]. Vektor ( ). Hledáme takovou hodnotu, aby platilo, že přímka AX je kolmá na přímku BC. ( ) ( ) ( ) Bod X má tedy souřadnice [ ] a vzdálenost bodů A, X je ( ) ( ) ( ) Velikost výšky trojúhelníku ABC je. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Velikost výšky trojúhelníku ABC je.

62 62 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od přímky {[ ] }. Řešení: 2.) Vypočítejte vzdálenost bodu [ ] od roviny :. Řešení: 3.) Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin : :. Řešení:. 4.) Na přímce {[ ] } určete bod P tak, aby vzdálenost bodu P od přímky {[ ] } byla 4. Řešení: [ ] [ ].

63 Analytická geometrie 63 Metrické úlohy Varianta B Vypočítejte odchylku průsečnice rovin : : od osy z. Hledáme dva body, které leží v obou rovinách určíme od každého bodu libovolně jednu souřadnici a zbylé dvě dopočítáme ze soustav rovnic, které dostaneme po dosazení bodů do rovnic rovin. [ ] [ ] u obou bodů byla zvolena x-ová souřadnice. ( ) ( ) Dosadíme do vzorce pro velikost odchylky dvou přímek: ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte odchylku přímky {[ ] } od roviny : Řešení:. 2.) Vypočítejte odchylku rovin : :. Řešení:.

64 64 Analytická geometrie 3.) Je dána přímka {[ ] } a rovina :. Určete hodnotu parametru tak, aby platilo. Řešení:. 4.) Je dán bod [ ] a přímka {[ ] }. Na přímce p určete bod tak, aby odchylka přímek a p byla. Řešení: [ ].

65 Analytická geometrie 65 Metrické úlohy Varianta C Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE. Vypočítejte odchylku přímek BK a AG. [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

66 66 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany BC. Vypočítejte odchylku přímky BK od roviny ALG. Řešení:. 2.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany EH, bod L je střed hrany BC. Vypočítejte odchylku rovin BCK a ALH. Řešení:. 3.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku, délku hrany. Označte postupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte vzdálenost bodu V od roviny KLM. Řešení:. 4.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku, délku hrany. Označte postupně středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte odchylku přímek KM a CV. Řešení:.

67 Analytická geometrie 67 Kuželosečky a kulová plocha Kružnice Patří mezi kuželosečky, které můžeme získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny. Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, která je kolmá na její osu. Je to středová kuželosečka, protože má střed souměrnosti. Kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) v rovině danou vzdálenost r (poloměr kružnice), ( ) ( ) Odtud dostáváme středovou rovnici kružnice ( ) ( )

68 68 Analytická geometrie Rovnici můžeme upravit na obecnou rovnici kružnice, kde Pozor! Rovnice je rovnicí kružnice pouze tehdy, jestliže platí: Vnitřní oblast kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost menší než r (poloměr kružnice). ( ) ( ) Vnější oblast kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost větší než r (poloměr kružnice). ( ) ( ) Kruh je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost menší nebo rovnu r (poloměr kružnice). ( ) ( ) Kružnice a přímka Přímka buď s kružnicí nemá žádný společný bod, pak je vnější přímkou kružnice, nebo má s přímkou jeden společný bod, pak je tečnou kružnice, nebo má s kružnicí dva společné body, pak je sečnou kružnice. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice dosazením z rovnice přímky do rovnice kružnice.

69 Analytická geometrie 69 Kružnice Varianta A Napište rovnici kružnice, která má střed [ ] a prochází bodem [ ]. Potom vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x a. Při hledání rovnice kružnice použijeme středový tvar rovnice kružnice, do kterého dosadíme souřadnice středu. ( ) ( ) Pro výpočet poloměru můžeme dosadit do rovnice kružnice za x a y souřadnice bodu K nebo můžeme spočítat vzdálenost bodů S, K. Při dosazení bodu K do rovnice kružnice: ( ) ( ) ( ) Hledaná rovnice kružnice tedy je ( ) ( ). Průsečíky s osami mají vždy jednu souřadnici nulovou. ( ) ( ) Průsečíky s osami jsou [ ] [ ] [ ] [ ] Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ] [ ]

70 70 Analytická geometrie Příklady k procvičení: ) Napište rovnici kružnice jestliže úsečka [ ] [ ] je jejím průměrem Řešení: ( ) ( ) 2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a má střed na přímce. Řešení: ( ) ( ). 3.) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem [ ]. Řešení:. 4.) Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, jejíž rovnice je:. Řešení: ( ) ( ) [ ].

71 Analytická geometrie 71 Kružnice Varianta B Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí rovnici v závislosti na hodnotě parametru. a přímky o Vzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme vyjádřením jedné neznámé (x nebo y) z rovnice přímky a jejím dosazením do rovnice kružnice. Má-li být přímka tečnou, musí být jedno řešení kvadratické rovnice ( ), má-li být přímka sečnou, musí vyjít dvě řešení ( ), má-li být přímka vnější přímkou, kvadratická rovnice nemá řešení ( ). Z rovnice přímky vyjádříme: ( ) ( ) a dosadíme do rovnice kružnice. ( ) ( ) ( ) Tečna: ( ) ( ) Sečna: ( ) ( ) Vnější přímka: ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Tečna: Sečna: ( ) ( ) Vnější přímka: ( )

72 72 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice :. Řešení: Přímka je sečna kružnice. 2.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice : ( ) ( ). Řešení: přímka je tečnou kružnice. 3.) Určete vzájemnou polohu přímky : a kružnice :. Řešení: Přímka je vnější přímkou kružnice. 4.) Určete souřadnice společných bodů os x, y s kružnicí. Řešení: [ ] [ ].

73 Analytická geometrie 73 Kružnice Varianta C Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky : přímce : a poloměr je 5., její střed leží na Mají-li být splněny všechny podmínky ze zadání, musí platit, že ( ), kde m, n jsou souřadnice středu kružnice. První rovnici upravíme: a z druhé rovnice dosadíme ( ) Dopočítáme souřadnici středu Hledané kružnice jsou dvě o rovnicích: ( ) ( ) a ( ) ( ). Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( ) a ( ) ( ). Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě [ ] a dotýká se přímky :.

74 74 Analytická geometrie Řešení: ( ) ( ). 2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body [ ] [ ] a dotýká se osy. Řešení: ( ) ( ) ( ) ( ). 3.) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy. Její střed leží na přímce :. Řešení: ( ) ( ). 4.) Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x, procházejí bodem [ ] a mají střed na přímce, která prochází středy kružnic o rovnicích. Řešení: kružnice neexistuje.

75 Analytická geometrie 75 Tečna kružnice Jestliže bod [ ] je bodem kružnice se středem [ ] a poloměrem r, je bod bodem dotyku kružnice a její tečny t v tomto bodě. Tečna má obecnou rovnici, kde a, b jsou souřadnice normálového vektoru tečny, tedy vektoru. ( ) Tečna má tedy rovnici ( ) ( ) Hodnotu c určíme z podmínky, že tečna t prochází bodem. Tedy ( ) ( ) ( ) ( ) Dosadíme do rovnice tečny a dostaneme: ( ) ( ) ( ) ( ) (1) Bod [ ] leží na kružnici, musí proto jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice, takže je dosadíme za x a. ( ) ( ) Pokud rovnice (1) a (2) sečteme, dostaneme rovnici tečny ve tvaru (2) ( ) ( ) ( ) ( )

76 76 Analytická geometrie Tečna kružnice Varianta A Ověřte, že bod [ ] leží na kružnici :. Potom napište rovnici tečny v bodě A ke kružnici k. Leží-li bod A na kružnici k, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice. ( ) ( ) Rovnost platí, bod A proto leží na kružnici k. Rovnici kružnice si upravíme na středový tvar: ( ) ( ) Tečna kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici: ( ) ( ) ( ) ( ) Tečnu v bodě A najdeme tak, že do rovnice tečny dosadíme za souřadnice bodu A. ( ) ( ) ( ) ( ) Po úpravě dostaneme: souřadnice Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ]. Řešení: 2.) Najděte rovnici tečny kružnice : v bodě [ ]. Řešení:

77 Analytická geometrie 77 3.) Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka {[ ] } tečnou kružnice :. Řešení: { } 4.) Napište rovnice tečen kružnice : v jejích průsečících s přímkou :. Řešení:.

78 78 Analytická geometrie Tečna kružnice Varianta B Napište rovnice tečen kružnice : :, které jsou kolmé k přímce Jakákoliv přímka kolmá k přímce p, má rovnici. Přímka má být tečnou, to znamená, že při řešení vzájemné polohy kružnice a přímky musí vyjít jedno řešení. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice tak, že vyjádříme z rovnice přímky x nebo y a dosadíme do rovnice kružnice. ( ) ( ) Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, jestliže platí:. ( ) ( ) Po úpravě dostaneme ( ) Odtud Hledané tečny jsou: : :. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: : :.

79 Analytická geometrie 79 Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnice tečen kružnice :, které jsou rovnoběžné s přímkou :. Řešení: 2.) Napište rovnice tečen kružnice : ( ) ( ), které jsou rovnoběžné s přímkou :. Řešení:. 3.) Napište rovnice tečen kružnice, víte-li, že směrnice tečny je. Řešení: 4.) Napište rovnici tečny kružnice : tak, aby odchylka tečny a osy x byla. Řešení:

80 80 Analytická geometrie Tečna kružnice Varianta C Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] ke kružnici :. Kružnici upravíme na středový tvar: ( ) Tečna této kružnice v libovolném bodě dotyku [ ] má rovnici: ( ) ( ) Bod M je vnější bod kružnice, musí ležet na tečně, takže jeho souřadnice musí rovnici tečny vyhovovat. ( ) ( ) Protože bod [ ] leží na kružnici musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice dosadíme tedy souřadnici a vypočítáme souřadnici. ( ) Tečny mají tedy rovnice: : : Odchylku tečen vypočítáme podle vzorce pro odchylku přímek: ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

81 Analytická geometrie 81 Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici : z bodu [ ] Řešení: 2.) Určete odchylky tečen kružnic : : ve společných bodech těchto kružnic. Řešení: 3.) Najděte průsečíky kružnic : :. V každém průsečíku určete tečny obou kružnic a úhel, který tyto tečny svírají. Řešení: [ ] [ ]. 4.) Určete m tak, aby přímka : byla tečnou kružnice a určete bod dotyku. Řešení: [ [ ]]

82 82 Analytická geometrie Parabola Parabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy. Parabola je množina všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu F jako od dané přímky d, která bodem F neprochází. Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Osa o paraboly je kolmá na řídící přímku a prochází ohniskem F paraboly a vrcholem V paraboly. Vzdálenost ohniska F od řídící přímky d se nazývá parametr paraboly a značíme ho ( ). Analytické vyjádření paraboly ve vrcholovém tvaru: 1.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko leží nad vrcholem V: ; rovnice řídící přímky: : ; ohnisko [ ]

83 Analytická geometrie 83 2.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem V: ( ) ( ) ; rovnice řídící přímky: : ; ohnisko [ ] 3.) [ ], osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V: ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

84 84 Analytická geometrie 4.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V: ( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ] 5.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V: ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

85 Analytická geometrie 85 6.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V: ( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ] 7.) [ ], osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V: ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ]

86 86 Analytická geometrie 8.) [ ], osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V: ( ) ( ) ; rovnice řídící přímky : ; ohnisko [ ] Vnitřní oblastí paraboly s ohniskem F a řídící přímkou d nazýváme množinu všech bodů X roviny, pro které platí: ( ).

87 Analytická geometrie 87 Parabola Varianta A Napište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku :. Z obrázku je patrné, že parabola má osu rovnoběžnou s osou x, její ohnisko leží nalevo od vrcholu. Pracujeme tedy s rovnicí: ( ) ( ) Vzdálenost vrcholu V od řídící přímky d je rovna Dosadíme do rovnice paraboly souřadnice vrcholu a parametr a dostaneme: ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( )

88 88 Analytická geometrie Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol [ ] a řídící přímku :. Řešení: ( ) ( ) 2.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku :. Řešení: ( ) ( ) 3.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko [ ] a řídící přímku :. Řešení: ( ) ( ) 4.) Určete ohnisko a řídící přímku paraboly o rovnici ( ). Řešení: [ ] :.

89 Analytická geometrie 89 Parabola Varianta B Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou y a parabola prochází bodem [ ]. Parabola s vrcholem v počátku a osou shodnou s osou y má rovnici: Jestliže bod K leží na parabole, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly, proto je dosadíme. Parabola má tedy rovnici. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou x a parabola prochází bodem [ ]. Řešení: 2.) Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol [ ] a víte-li, že prochází bodem [ ] a zároveň platí, že osa je rovnoběžná s osou. Řešení: ( ) ( ) 3.) Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly dané rovnicí. Řešení: [ ] [ ] :. 4.) Určete rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol [ ] a prochází bodem [ ]. Řešení: ( ) ( )

90 90 Analytická geometrie Parabola Varianta C Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ] [ ]. Vidíme, že parabola má osu rovnoběžnou s osou y a ohnisko nad vrcholem, pracujeme tedy s rovnicí ( ) ( ) Máme tři neznámé x, y, z, které vypočítáme dosazením tří bodů do rovnice paraboly. : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) Po umocnění: Od druhé rovnice odečteme první a dostaneme: Od druhé rovnice odečteme třetí a dostaneme:. Pokud dosadíme dostaneme Dopočítáme poslední neznámou dosazením za m a p do kterékoliv ze tří rovnic. Hledaná parabola je ( ) ( ). Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( )

91 Analytická geometrie 91 Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou x a prochází body [ ] [ ]. Ohnisko je [ ]. Řešení: ( ) ( ) 2.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osa je rovnoběžná s osou. Řešení: ( ) ( ) 3.) Napište rovnici paraboly, která prochází body [ ] [ ] [ ]. Její osa je rovnoběžná s osou. ( ) ( ) 4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a paraboly, jestliže : :. Řešení: [ ]

92 92 Analytická geometrie Tečna paraboly [ ] je bod dotyku, [ ] je libovolný bod tečny. Pak tečna paraboly má rovnici: 1.) parabola: ( ) ( ) tečna: ( )( ) ( ) ( ) 2.) parabola: ( ) ( ) tečna: ( )( ) ( ) ( ) 3.) parabola: ( ) ( ) tečna: ( )( ) ( ) ( ) 4.) parabola: ( ) ( ) tečna: ( )( ) ( ) ( ) Poznámka: Osa paraboly a každá přímka s ní rovnoběžná má s parabolou pouze jediný společný bod, tyto přímky však nepovažujeme za tečny paraboly.

93 Analytická geometrie 93 Tečna paraboly Varianta A Napište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ]. Rovnici paraboly přepíšeme do vrcholového tvaru: ( ) ( ) Tečna této paraboly v bodě dotyku [ ] má rovnici: ( )( ) ( ) ( ) Bod K je bodem dotyku, proto jeho souřadnice dosadíme za. ( )( ) tečna má rovnici Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ]. Řešení: 2.) Určete rovnici tečny paraboly v jejím bodě [ ]. Řešení: 3.) Napište rovnici tečny k parabole v jejím bodě [ ] Řešení: 4.) Ověřte, že bod [ ] leží na parabole a potom napište rovnici tečny v tomto bodě. Řešení:

94 94 Analytická geometrie Tečna paraboly Varianta B Napište rovnici tečny paraboly :. rovnoběžné s přímkou Jakákoliv rovnoběžka s přímkou p má rovnici. Pokud to má být tečna, musí při řešení vzájemné polohy paraboly a přímky vyjít jedno řešení. Vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky: a dosadíme do rovnice paraboly: ( ) Po úpravě Musí platit: ( ) Tečna má rovnici: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnice tečen paraboly, které jsou rovnoběžné s přímkou :. Řešení: 2.) Napište rovnice tečen paraboly, které jsou kolmé k přímce :. Řešení:

95 Analytická geometrie 95 3.) Parabola je dána rovnicí. Určete rovnice všech tečen paraboly, které jsou kolmé k přímce. Řešení: 4.) Parabola je dána rovnicí. Určete rovnice všech tečen paraboly, které obsahují bod [ ]. Řešení:

96 96 Analytická geometrie Tečna paraboly Varianta C Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k parabole. Tečna této paraboly v bodě dotyku [ ] má rovnici Bod M leží na této tečně, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici tečny: ( ) Bod dotyku leží na tečně a současně na parabole, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly: Máme tedy dva body dotyku [ ] [ ]. Můžeme tedy napsat rovnice obou tečen: : : Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: : : Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda lze z bodu [ ] sestrojit tečny k parabole. Řešení: nelze 2.) Napište rovnici tečny paraboly procházející bodem [ ]. Řešení:

97 Analytická geometrie 97 3.) Vypočítejte odchylku tečen kružnice a paraboly v jejich společných bodech. Řešení: 4.) Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici, která má od osy paraboly odchylku. Řešení:

98 98 Analytická geometrie Elipsa Elipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu této plochy a neprochází jejím vrcholem. Lze ji také získat jako průnik rotační válcové plochy a roviny, která není s osou válcové plochy rovnoběžná. Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou pevně daných bodů E, F konstantní součet vzdáleností; toto číslo značíme 2a. Bod [ ] je střed elipsy; body E, F se nazývají ohniska elipsy, přičemž platí, kde číslo e se nazývá excentricita ( výstřednost ) elipsy. Přímka EF se nazývá hlavní osa elipsy, body A, B jsou hlavní vrcholy elipsy a platí,. Číslo a je délka hlavní poloosy. Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí, číslo b je délka vedlejší poloosy. Přímka CD se nazývá vedlejší osa elipsy. Z pravoúhlého trojúhelníku SCF platí podle Pythagorovy věty:.

99 Analytická geometrie 99 Analytické vyjádření elipsy: [ ]; hlavní osa leží na ose x: [ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x: ( ) ( ) [ ]; hlavní osa leží na ose y:

100 100 Analytická geometrie [ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y: ( ) ( ) Vnitřní oblast elipsy s ohnisky E, F a s hlavní osou délky všech bodů X roviny, pro které platí:. nazýváme množinu Elipsa a přímka Přímka, která leží v rovině elipsy a má s elipsou jeden společný bod, je tečnou elipsy. Má-li přímka s elipsou dva společné body, nazývá se sečna. Vzájemnou polohu řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.

101 Analytická geometrie 101 Elipsa Varianta A Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosu 5. Střed elipsy je střed úsečky EF [ rovnoběžnou s osou. ; ] podle polohy ohnisek vidíme že elipsa má osu U elipsy platí: Rovnice elipsy tedy je: ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a vedlejší poloosu 3. Řešení: ( ) ( ) 2.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ]. Řešení: ( ) ( ) 3.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ]. Řešení: ( ) ( ) 4.) Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko [ ] a vedlejší vrcholy [ ] [ ]. Řešení: ( ) ( )

102 102 Analytická geometrie Elipsa Varianta B Určete, pro které hodnoty parametru má přímka : s elipsou a) právě jeden společný bod; b) dva společné body; c) žádný společný bod Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy. Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení. Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy. Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení. ( ) ( ) a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: a) ; b) ( ) ( ) c) ( ) Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a elipsy o rovnici. Řešení: p je sečna elipsy; [ ] [ ]

103 Analytická geometrie ) Určete, pro které hodnoty parametru má přímka s elipsou o rovnici právě jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod. Řešení: ( ) ( ) ( ) 3.) Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa na přímce. Řešení: 4.) Vypočítejte délku tětivy elipsy o rovnici, která leží na ose I. A III. kvadrantu. Řešení:

104 104 Analytická geometrie Elipsa Varianta C Napište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed [ prochází body [ ] [ ]. ] a Rovnice elipsy se středem [ ] je: ( ) ( ) V rovnici máme dvě neznámé (a, b), které vypočítáme dosazením obou zadaných bodů do rovnice elipsy za x a. ( ) ( ) ( ) ( ) Řešíme tedy soustavu dvou rovnic Z první rovnice vyjádříme výraz a dosadíme do rovnice druhé Po úpravě dostaneme Hledaná elipsa má tedy rovnici ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( )

105 Analytická geometrie 105 Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem [ ]. Řešení: 2.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed [ ], hlavní poloosa je dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic. Řešení: ( ) ( ) 3.) Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body [ ] [ ]. Řešení: 4.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku a elipsa prochází bodem [ ]. Řešení:

106 106 Analytická geometrie Hyperbola Hyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy. Úhel, který svírá rovina s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osa kužele a strana kužele. Hyperbola je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností; toto číslo značíme 2a. Bod [ ] je střed hyperboly, body jsou ohniska hyperboly. Platí:, je excentricita (výstřednost) hyperboly. Přímka se nazývá hlavní osa hyperboly, body jsou hlavní vrcholy hyperboly. Platí: ; číslo je délka hlavní poloosy. Vedlejší vrcholy hyperbola nemá, body vnímáme jako pomocné body, pro které platí:, číslo je délka vedlejší poloosy, přímka se nazývá vedlejší osa hyperboly. Mezi čísly platí vztah odvozený na základě Pythagorovy věty:, takže Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem hyperboly.

107 Analytická geometrie 107 Analytické vyjádření hyperboly a jejích asymptot: 1.) [ ]; hlavní osa leží na ose x ; rovnice asymptot: : :

108 108 Analytická geometrie 2.) [ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou x ( ) ( ) rovnice asymptot: : ( ) : ( )

109 Analytická geometrie ) S[ ]; hlavní osa leží na ose y ; rovnice asymptot: : :

110 110 Analytická geometrie 4.) S[ ]; hlavní osa je rovnoběžná s osou y ( ) ( ) ; rovnice asymptot: : ( ) : ( ) Speciálním případem je rovnoosá hyperbola. Platí:. Vnitřní oblastí jedné větve hyperboly s ohnisky a hlavní osou délky ( ) nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí ; vnitřní oblastí druhé větve téže hyperboly nazýváme množinu všech bodů roviny, pro které platí.

111 Analytická geometrie 111 Hyperbola Varianta A Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly: Rovnici hyperboly upravíme na středový tvar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z rovnice hyperboly nyní určíme velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy a excentricity: Souřadnice vrcholů a ohnisek tedy jsou: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Asymptoty: ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Asymptoty: ( ) Příklady k procvičení: 1.) Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly: Řešení: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Asymptoty: ( )

112 112 Analytická geometrie 2.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly: ( ) ( ) Řešení: [ ] [ ] [ ] ( ) 3.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly: ( ) Řešení: [ ] [ ] [ ] 4.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly: Řešení: [ ] [ ] [ ]

113 Analytická geometrie 113 Hyperbola Varianta B Napište rovnici hyperboly, která má ohniska [ ] [ ] a hlavní vrchol [ ]. Určíme souřadnice středu hyperboly, jde o střed úsečky [ ]. Vzdálenost bodů je velikost hlavní poloosy, vzdálenost bodů je délka excentricity, takže délka vedlejší poloosy je. Rovnice hyperboly tedy je: ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( ) Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska v bodech [ ] [ ] a hlavní poloosu o délce 8. Řešení: ( ) 2.) Napište rovnici hyperboly s ohnisky [ ] [ ] a vedlejší poloosou o délce 4. Řešení: ( ) ( ) 3.) Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky [ ] [ ]. Řešení: ( ) ( ) 4.) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy [ ] [ ] a jedno ohnisko [ ]. Řešení: ( ) ( )

114 114 Analytická geometrie Hyperbola Varianta C Napište rovnici hyperboly, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed [ ] a prochází body [ ] [ ]. Dosadíme do středové rovnice hyperboly souřadnice středu: ( ) ( ), proto jeho souřadnice musí vyhovovat rovnici hyperboly: ( ) ( ), proto jeho souřadnice musí také vyhovovat rovnici hyperboly: Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme A dosadíme do rovnice první ( ) Po roznásobení závorky Rovnice hledané hyperboly tedy je ( ) ( ) Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: ( ) ( )

115 Analytická geometrie 115 Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem [ ] a má ohniska v bodech [ ] [ ]. Řešení: 2.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice : : a jeden vrchol je [ ]. Řešení: 3.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty mají rovnice : ( ) a jedno její ohnisko je [ ] Řešení: ( ) 4.) Napište rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a její asymptoty jsou : :. Řešení: ( ) ( )

116 116 Analytická geometrie Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Elipsa a přímka Přímka, která leží v rovině elipsy, je tečnou elipsy, má-li s elipsou jeden společný bod. Má-li přímka s elipsou dva společné body, je sečnou elipsy. Tečna elipsy v jejím bodě [ ] má rovnici Tečna elipsy ( ) ( ) v jejím bodě [ ] má rovnici ( )( ) ( )( ) Hyperbola a přímka Asymptota nemá s hyperbolou žádný společný bod, přímka od ní různá, ale s ní rovnoběžná, protíná hyperbolu právě v jednom bodě. Každá další přímka buď protíná hyperbolu ve dvou různých bodech, pak je sečna, nebo má s hyperbolou společný právě jeden bod, pak jde o tečnu, nebo nemá s hyperbolou žádný společný bod. Tečna hyperboly v jejím bodě [ ] má rovnici

117 Analytická geometrie 117 Tečna hyperboly ( ) ( ) v jejím bodě [ ] má rovnici ( )( ) ( )( ) Tečna hyperboly v jejím bodě [ ] má rovnici Tečna hyperboly ( ) ( ) v jejím bodě [ ] má rovnici ( )( ) ( )( )

118 118 Analytická geometrie Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta A Určete, pro které hodnoty parametru má daná přímka s hyperbolou a) právě jeden společný bod b) dva společné body c) žádný společný bod : : O počtu společných bodů rozhoduje diskriminant při řešení kvadratické rovnice, kterou dostaneme při řešení vzájemné polohy přímky a hyperboly. Z rovnice přímky tedy dosadíme do rovnice hyperboly. ( ) Po úpravě ( ) Vyjádříme diskriminant ( ) a) Přímka má s hyperbolou jeden společný bod, pokud je. b) Přímka má s hyperbolou dva společné body, pokud je. ( ) c) Přímka nemá s hyperbolou společný bod, pokud je. ( ) ( ) Poznámka: pro jde o asymptotickou přímku.

119 Analytická geometrie 119 Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:a) ; b) ( ) ; c) ( ) ( ) Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : a hyperboly. Řešení: je asymptotická přímka hyperboly, [ ] 2.) Určete souřadnice všech společných bodů hyperboly : a přímky :. Řešení: [ ] 3.) Určete souřadnice společných bodů hyperboly : a přímky :. Řešení: 4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a elipsy. Řešení: [ ] [ ]

120 120 Analytická geometrie Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta B Ověřte, že bod leží na elipse a potom napište rovnici tečny v bodě elipsy. [ ] : Má-li bod ležet na elipse, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici elipsy. Po dosazení dostaneme Bod je tedy bodem elipsy. Rovnici elipsy nyní upravíme na tvar ( ) Tečna této elipsy v libovolném bodě dotyku o souřadnicích [ ( )( ) Dosadíme souřadnice bodu dotyku ( )( ) Hledaná tečna má rovnici ] má rovnici Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1.) Ověřte, že bod leží na hyperbole a potom napište rovnici tečny v bodě hyperboly. [ ] : Řešení:

121 Analytická geometrie ) Napište rovnice tečen elipsy :, která je rovnoběžná s přímkou :. Řešení: 3.) Napište rovnice tečen hyperboly :, které jsou kolmé k přímce :. Řešení: 4.) Určete délku tětivy, kterou vytíná hyperbola : na přímce. Řešení:

122 122 Analytická geometrie Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta C Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu [ ] k hyperbole. Rovnici hyperboly upravíme na tvar ( ) Libovolná tečna této hyperboly v bodě dotyku [ ] má rovnici ( )( ) Bod má ležet na tečně hyperboly, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat při dosazení za. ( )( ) Hledaný bod dotyku [ ] leží na hyperbole, jeho souřadnice tedy musí vyhovovat rovnici hyperboly ( ) Můžeme tedy napsat rovnice tečen: : ( )( ) : ( )( ) ( ) Po úpravě : : Odchylka tečen je, protože vidíme podle normálových vektorů obou přímek, že přímky jsou na sebe kolmé. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:.

123 Analytická geometrie 123 Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici tečny hyperboly tak, aby odchylka tečny a osy x byla. Řešení: 2.) Pro která reálná čísla m přímka o rovnici a) protíná hyperbolu o rovnici b) dotýká se jí c) nemá s ní společné body? Řešení: a) ( ) ( ) b) { } c) ( ) 3.) Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici, které procházejí bodem [ ]. Řešení: 4.) Napište rovnici tečny elipsy tak, aby odchylka tečny a osy byla. Řešení:

124 124 Analytická geometrie Kulová plocha Kulová plocha (sféra) je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu kulové plochy) danou vzdálenost r, tzv. poloměr kulové plochy. Má-li střed kulové plochy souřadnice [ ] a poloměr kulové plochy je r, pak bod [ ] je bodem kulové plochy právě tehdy, jestliže platí: ( ) ( ) ( ) Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu koule) vzdálenost menší nebo rovnu danému číslu, tzv. poloměru koule. Má-li střed koule souřadnice [ ] a poloměr koule je r, pak bod [ ] je bodem koule právě tehdy, jestliže platí: ( ) ( ) ( ) Vzájemná poloha roviny a kulové plochy (koule) Průnikem kulové plochy (koule) a roviny je kružnice (kruh), bod nebo prázdná množina. Závisí to na vzdálenosti roviny od středu kulové plochy (koule). Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina.