Dynamika I - příklady do cvičení

Dynaika I - příklady do cvičení Poocí jednotek ověřte, zda platí vztah: ( sinβ + tgα cosβ) 2 2 2 v cos α L = L [] v [ s -1 ] g [ s -2 ] 2 g cos β π t = 4k v t [s] v [ s -1 ] [kg] k [kg -1 ] ln 2 L = 2k L [] [kg] k [kg -2 ] s(t) v b 2 b t ( 1 e ) 0 = s [] v 0 [k/hod] b [s -1 ] t [s] L = k g + g 2 2 k v + 2 1 = 80 kg H = 30 L = 12 k = 200 N/ 1

1. cvičení - Kineatika pohybu bodu - příočarý pohyb 1/1 Pozorovatel, stojící na okraji propasti, upustí dolů káen. Za dobu T = 35 s uslyší dopad kaene na dno. Určete hloubku propasti H. Nápověda: Rychlost šíření zvuku ve vzduchu při teplotě 20ºC = 343 /s. Odpor prostředí zanedbejte. Spočítejte, jak dlouho by tento děj trval v Macoše. 1/2 Těleso se z klidu rozjíždí rovnoěrně zrychlený pohybe se zrychlení a 1, dále se pohybuje rovnoěrně konstantní rychlostí v 2, a nakonec zpoaluje až do úplného zastavení rovnoěrně zpoalený pohybe se zrychlení a 3 (a 3 =-a 1 ). Přito á urazit celkovou dráhu L za celkovou dobu T. Navrhněte kineatické paraetry a 1 =-a 3 a v 2. T 40. s L 280. 1/3 (EL_dyn1_01c_A) Loď pluje počáteční rychlostí v0. Po vypnutí otorů se zastavuje tak, že pro její zrychlení platí vztah: a=-b v. Určete: 1) Časový průběh rychlosti a dráhy v=v(t), s=s(t). 2) Za jakou dobu t 1 a na jaké dráze s 1 klesne rychlost na hodnotu v 1. 3) Za jakou dobu t 2 a na jaké dráze s 2 se loď zcela zastaví. v0 5. k. hod 1 b 0.0023. s 1 v1 1. k. hod 1 1/4 Projektil, vystřelený svisle vzhůru ze Zeě, stoupá se zrychlení a, závislý na poloze projektilu a=a(y), kde y je výška projektilu nad povrche Zeě. Počáteční rychlost projektilu je v 0. Určete, jaké axiální výšky H projektil dosáhne. Zayslete se nad otázkou, co je to tzv. první kosická rychlost a jak by se dala určit ze vztahů, které jste dosud použili. v0 230.. s 1 1/5 EL_dyn1_01a_A Bod se pohybuje rovnoěrně zrychlený příočarý pohybe s neznáý zrychlení a. Jsou dány časy t 1 a t 2, které bod potřebuje k tou, aby proběhl dva po sobě jdoucí úseky stejné délky L. Určete zrychlení bodu a. L = 30 t 1 = 6 s t 2 = 4 s 2

2. cvičení - Kineatika pohybu bodu - křivočarý pohyb, pohyb po kružnici 2/1 (EL_ZM_13a_A) V čase t=0 je bod B v ístě B a pohybuje se po kružnici proti sěru hodinových ručiček pohybe rovnoěrně zrychlený s úhlový zrychlení ε. V téže čase je bod A v ístě A a pohybuje se po příce konstantní rychlostí v A. Určete: 1. Jaká usí být úhlová rychlost ω B0 bodu B v ístě B a jeho úhlové zrychlení ε, aby se body A a B potkaly v ístech M a N? 2. Jaká bude obvodová rychlost v B bodu B v ístě N? 3. Jaké bude tečné zrychlení a Bt, norálové zrychlení a Bn a celkové zrychlení a B bodu B v ístě N? L R = 0,8 L = 1,8 v A = 0,5 /s 2/2 Cykloidní pohyb bodu v rovině je popsán vztahy: x = r.(ωt-sinωt) y = r.(1-cosωt) B ω B kde r je geoetrický a ω kineatický paraetr. Určete průběh obou složek rychlosti (v x a v y ) a zrychlení (a x a a y ) i celkové rychlosti v a celkového zrychlení a v čase a nakreslete příslušné grafy. Nakreslete trajektorii bodu (cykloida). Řešte v intervalu t=(0,t), kde T = 2π/ω je perioda. Určete axiální hodnotu rychlosti v ax a axiální hodnotu zrychlení a ax a časy t 1 a t 2, ve kterých je těchto paraetrů dosaženo. r 20. ω 2.3. s 1 2/3 Místa A a B jsou od sebe vzdálena o vzdálenost L ve vodorovné sěru a h ve svislé sěru. Z ísta B vyjede autoobil naznačený sěre pohybe rovnoěrně zrychlený. O čas t 1 později je z ísta A vyhozen šiko vzhůru káen počáteční rychlostí v 0 po úhle ϕ 0. Určete, jaké usí být zrychlení a autoobilu, aby na něj dopadl vyhozený káen. Odpor vzduchu a rozěry autoobilu zanedbejte. L 250. h 3. t1 20. s v0 12.. s 1 ϕ0 30. deg v 0 ϕ0 A N R ε M v A A h a B L C M a/2 v M 2/4 Těleso tvaru rovnostranného trojúhelníku s délkou strany a je kloubově uloženo. Je zadána okažitá rychlost a okažité celkové zrychlení bodu M. Určete tytéž veličiny pro bod C a zakreslete je do obrázku. a 10. c vm 2.. s 1 am 48.. s 2 a M 3

2/5 Káen je vržen šiko vzhůru počáteční rychlostí v 0 po úhle ϕ 0. Vypočtěte: 1) Jaké axiální výšky H káen dosáhne. 2) Místo dopadu kaene. v0 15.. s 1 φ0 35. deg h 1.2. b 22. α 10. deg a 2. v 0 ϕ 0 h a b α 2/6 Káen je hozen rychlostí v pod úhle α na kopci s úhle sklonu β. Určete vzdálenost L, do které káen dopadne. v = 7 /s α = 45 β = 30 2/7 Zaloená tyč se otáčí kole bodu P. Její okažitá úhlová rychlost je ω, okažité úhlové zrychlení je ε. Nakreslete vektory rychlosti a zrychlení bodu M na konci tyče a určete jejich velikosti. b a M P a = 30 c b = 12 c ω = 4 s -1 ε = 10 s -2 ε ω 2/8 Bod se pohybuje po kružnici o poloěru R. Jeho počáteční rychlost je ω 0, pro jeho úhlové zrychlení platí vztah ε = -k ω. Určete, jakou dráhu s urazí, než zastaví. ω = 50 s -1 k = 2 s -1 R = 30 c 4

3. cvičení - Dynaika pohybu bodu - příočarý pohyb 1. píseka - Kineatika pohybu bodu 3/1 Po nakloněné plošině sjíždí dolů těleso o hotnosti počáteční rychlostí v 0. Plošina je skloněná o úhel α, drsnost stykových ploch tělesa a plošiny je vyjádřena součinitele sykového tření f. 1) Určete, jak velkou vodorovnou silou F B usí být těleso bržděno, aby zastavilo na dráze L. 2) Určete, jaká bude brzdná doba t B. v F B = 5 kg L = 3,5 α = 15º v 0 = 4 s -1 f = 0,1 α 3/2 Železniční vůz o hotnosti se pohybuje rychlostí v 0. Proti sěru pohybu působí valivý odpor F V, přío úěrný tíze vozu (F V =k G). Ve vzdálenosti L od nárazníku začne brzdit konstantní brzdnou silou F B. 1) Určete, jaký pohybe se bude vůz pohybovat od okažiku, kdy začal brzdit. Určete časovou závislost jeho rychlosti v=v(t) a s=s(t). 2) Určete, zda vůz narazí na nárazník. Jestliže ano, pak určete, jakou rychlostí v L a za jakou dobu t L vůz narazí. Jestliže ne, určete, za jakou dobu t Z a na jaké dráze L Z vůz zastaví. = 20 t v 0 = 15 k/hod L = 20 k = 0,01 F B = 5 kn v L 3/3 Šiký pásový dopravník dopravuje ateriál pod úhle α vzhůru a vrhá jej na sníženou plošinu. Materiál je nasypáván na pás s počáteční rychlostí ve sěru pohybu pásu v 0. Rychlost pásu je v p. Působení třecí síly je ateriál urychlován a posléze vržen šiko vzhůru. Součinitel sykového tření ezi páse a ateriále je f. Dráha od ísta násypu ke konci pásu je L 1. Určete, zda na dráze L 1 dojde k vyrovnání rychlosti ateriálu a rychlosti pásu. Jestliže ano, určete na jaké dráze L v (<L 1 ) k vyrovnání dojde. Jestliže ne, určete jakou rychlostí v 1 bude ateriál vržen. Dále určete, do jaké vzdálenosti L 2 ateriál dopadne, je-li převýšení konce pásu H 2. Pozn.: Odpor prostředí zanedbejte. Průěr bubnu pásu je veli alý ve srovnání s ostatníi uvedenýi rozěry. v0 1.4.. s 1 L1 4.95. vp 4.. s 1 H2 1.32. α 15. deg f 0.35 L 1 h 2 α v p L 2 5

4. cvičení - Dynaika pohybu bodu - příočarý pohyb 4/1 (EL_dyn1_02c_A) Jako skokan bungee jupingu skáčete z věže výšky H. Jste přivázán(a) na pružné laně tuhosti k. Lano á vlastní nezatíženou délku L. Vaše počáteční rychlost je nulová. Určete: 1) V jaké výšce h nad zeí se zastavíte. 2) Jak by dopadl skokan o hotnosti 120 kg? Pokud by dopadl až na ze, tak jakou rychlostí? 3) Jaká je ezní hotnost, do které se na laně dané délky a dané tuhosti nezraníte? Pozn.: U všech výpočtů zanedbejte odpor vzduchu i rozěry skokana. = 70 kg H = 60 L = 30 k = 130 N/ 4/2 (EL_dyn1_02b_A) Loď o hotnosti pluje axiální konstantní rychlostí v 0 při axiální výkonu otorů. Náhle je chod otorů otočen a hnací síla se stane stejně velkou brzdnou silou. 1) Určete, za jakou dobu T a na jaké dráze L se loď zcela zastaví. Odpor prostředí uvažujte úěrný druhé ocnině rychlosti (F o =k v 2 ). 2) Určete, jakou práci A brzdná síla otorů při brždění vykoná a jaký průěrný výkon P přito bude podávat. = 10 t k = 80 kg/ v 0 = 18 k/hod 4/3 Parašutista o celkové hotnosti je vysazen z helikoptéry s nulovou počáteční rychlostí. Nejprve padá volný páde při zanedbatelné odporu prostředí (F o =0). V čase t 1 se u otevře padák a začne jeho pád brzdit. Odpor prostředí je přío úěrný druhé ocnině rychlosti (F o =b v 2 ). Rychlost parašutisty se po dostatečně dlouhé době ustálí na vust. Určete: 1) Jaký pohybe (z hlediska rychlosti) se parašutista pohybuje v jednotlivých fázích pohybu: před otevření padáku, krátce po otevření padáku, po ustálení rychlosti 2) Dráhu h 1, kterou parašutista urazí v první fázi pádu a rychlost v 1, kterou bude ít na konci této fáze. 3) Koeficient odporu prostředí b ve druhé fázi pádu (otevřený padák). 4) Čas t 2 a dráhu h 2, na které rychlost klesne na dvojnásobek ustálené rychlosti. 5) Čas t 3 a dráhu h 3, na které rychlost klesne na 101% ustálené rychlosti. = 100 kg t1 = 5 s v ust = 7 /s 4/4 Válcové těleso o hotnosti, výšce h a půdorysné průřezu S je zavěšeno na pružině o tuhosti k a volné délce h 0. Současně je ponořeno do kapaliny o ěrné hotnosti ρ a silou F 0 je přitlačováno ke dnu. Výška hladiny kapaliny je H 1, výška závěsu pružiny nad hladinou je H 2. Určete iniální velikost síly F 0, která udrží těleso u dna. Po uvolnění tělesa (síla F 0 přestane působit) se toto dá do pohybu sěre vzhůru. Určete, jakou rychlostí v 1 těleso opustí kapalinu. Pozn.: Nádoba s kapalinou je veli rozěrná, proto zěnu výšky hladiny H 1 při vynořování tělesa ůžete zanedbat. H1 350. H2 530. h0 250. h 380. ρ 1050. kg. 3 S 2500. 2 M 1.1. kg k 120. N. 1 6

5. cvičení - Dynaika pohybu bodu - příočarý pohyb (D'Alebert, zákony o zěně), křivočarý pohyb 5/1 (EL_dyn1_02a_A) Nákladní autoobil jede z kopce počáteční rychlostí v 0. Silnice je skloněna pod úhle α. Auto á zastavit na dráze L. Na korbě je volně uložen náklad o hotnosti. Určete iniální koeficient tření f in ezi náklade a korbou potřebný k tou, aby náklad při brždění neuklouzl. v 0 = 65 k/hod α = 10 L = 150 = 3 t v α 5/2 Těleso o hotnosti je drženo na nakloněné rovině skloněné o úhel α. Je shora pevně spojeno s pružinou o tuhosti k, která je v zabržděné poloze tělesa stlačená o délku L 1. Po odbrždění se těleso začne pohybovat. Jakile pružina dosáhne svou volnou délku, začne na těleso ve sěru pohybu působit síla F. Vypočtěte, jakou rychlost bude ít těleso v okažiku, kdy pružina bude prodloužená o délku L 2. Součinitel sykového tření ezi tělese a nakloněnou rovinou je f. k, α M 30. kg F 200. N α 20. deg f 0.1 k 300. N. 1 L1 0.1. L2 0.2. 5/3 Hotný bod o hotnosti se pohybuje v kruhové drážce o poloěru r, která leží ve vodorovné rovině. Koeficient sykového tření na vodorovné podložce je f 1, na svislé stěně f 2. Určete, jakou dráhu s hotný bod urazí do zastavení, je-li jeho počáteční rychlost v 0. = 2,2 kg r = 310 f 1 = 0,25 f 2 = 0,35 v 0 = 2,8 /s r v f 1 f 2 7

5/4 Tělísko o hotnosti se pohybuje v silové poli, tvořené cívkou, jejíž proud I=I 0 sin(ωt) je funkcí času. Při vstupu do silového pole á tělísko počáteční rychlost ve sěru vodorovné (osa x) v x0, ve sěru svislé (dolů) v y0. Na tělísko působí současně ve sěru podélné osy cívky síla F e =F 0 sin(ωt), a ve svislé sěru tíhová síla G. Určete časový průběh x-ové a y-ové složky rychlosti. Použijte zákona o zěně hybnosti. = 10 g F 0 = 250 N v x0 = 20 /s v y0 = 5 /s 5/5 EL_dyn1_03b_A Kulička o hotnosti je zavěšena na provázku délky s, který je uchycen na svislé tyči. Určete, jakou úhlovou rychlostí ω se usí tyč otáčet, aby provázek svíral s tyčí úhel α. Dále určete, jakou silou S bude naáhán provázek. α s = 0,5 kg s = 0,8 α = 40 ω 8

6. cvičení - Dynaika soustavy hotných bodů 2. píseka - Dynaika pohybu bodu 6/1 Těleso á tvar pravoúhlého trojúhelníka o odvěsnách r 1 a r 2 a je kloubově uloženo. Hota tělesa je koncentrována do hotných bodů o hotnostech 1 a 2 v rozích trojúhelníka. Počáteční a koncová poloha tělesa dle obrázku. Počáteční pohybový stav tělesa je dán rychlostí v 1-0 hotného bodu 1. Těleso se nachází v gravitační poli Zeě, pasívní odpory jsou zanedbatelné. Určete rychlosti v 1-1 a v 2-1 obou hotných bodů v koncové poloze (při pootočení o 90 ). 1 7. kg 2 3. kg r1 0.3. r2 0.75. v1_0 0.2.. s 1 r 1 1 r 2 2 6/2 Člověk o hotnosti 1 skočí na vozík o hotnosti 2, který stojí na vodorovné rovině a je v klidu. Počáteční rychlost člověka je v 10. Určete, jakou rychlostí v c se bude pohybovat vozík s člověke. v 10 v 20 = 0 1 80. kg 2 100. kg h 1. v1 1.2.. s 1 6/3 Tělesa A a B jsou spojena lane vedený přes pevnou kladku. Určete, jakou rychlostí v se bude soustava těles pohybovat v okažiku, kdy tělesa A a B urazí dráhu L (po odbrždění). Předpokládejte, že tělesa jsou dostatečně velká na to, aby se při pohybu nezěnila konfigurace. Úlohu řešte: a) bez uvažování tření a b) s uvažování sykového tření s koeficiente f ezi všei povrchy. A 40. kg B 16. kg L 0.5. α 45. deg f 0.1 6/4 (EL_dyn1_04a_A) Člověk o hotnosti 1 naskočí rychlostí v 10 na vozík o hotnosti 2, který stojí na vodorovné podložce. Po uražení dráhy L přejde vodorovná podložka v nakloněnou rovinu o úhlu sklonu α. Vozík s člověke se pohybuje dolů po dobu T a poto člověk vyskočí z vozíku proti sěru jízdy rychlostí v 1r (relativní vzhlede k vozíku). Určete, jakou rychlostí v 2 bude vozík pokračovat v jízdě dolů. Uvažujte valivý odpor přío úěrný síle, kterou působí vozík na podložku (konstanta úěrnosti k). v 10 1 = 70 kg 2 = 50 kg v 20 = 0 v 10 = 2 /s v 1r = 1 /s L = 1 T = 6 s k = 0,05 α = 3 α 9

7. cvičení - Posuvný a rotační pohyb tělesa 7/1 (EL_dyn1_05b_A) Osobní vozidlo o hotnosti jede rychlostí vo. V určité okažiku začne brzdit konstantní brzdnou silou působící na zadních kolech. Vozidlo á zastavit na dráze L. Koeficient sykového tření ezi vozovkou a koly bez prokluzu je fo, koeficient sykového tření při prokluzu je f. Těžiště vozidla je ve výšce h nad úrovní vozovky, ve vzdálenosti b před zadníi koly. Určete: 1. Velikost zpoalení a z potřebného k zastavení na dráze L 2. Zda dojde k prokluzu zadních kol. 3. Pokud k prokluzu dojde, určete, na jaké dráze L 2 vozidlo skutečně zastaví a příslušnou hodnotu zpoalení a 2. = 800 kg l = 3,4 v 0 T h = 0,8 b = 1,6 h v 0 = 70 k/hod L = 50 f 0 = 0,65 f = 0,5 l b oent setrvačnosti válce, tyče 7/2 Válec o poloěru R a hotnosti rotuje kole osy konstantníi otáčkai n 1. V čase t=0 na něj začne působit brzdný oent, který je funkcí času: M b = k t. Určete: 1. Dobu t z do zastavení válce. 2. Kolikrát se válec běhe brždění otočí. 3. Rychlost v 2 bodu na obvodu válce v čase t 2 od zahájení brždění. 4. Zrychlení a 2 bodu na obvodu válce v téže okažiku. = 5 kg R = 0,5 n 1 = 100 ot/in k = 2 N s -1 t 2 = 1 s 7/3 Tenká tyč o délce L a hotnosti je kloubově uchycena v bodě S. Počáteční poloha tyče je svislá, okažitá poloha tyče je dána úhle ϕ (ϕ 0 = 0). Na konci tyče je bod A, jehož počáteční rychlost je v 0A. Určete velikost konstantního brzdného oentu M B, který je třeba rotační pohyb tyče brzdit, aby tyč zastavila v poloze dané úhle ϕ z. ϕ T L A = 3 kg L = 0,6 v0 = 3,5 /s ϕz = 60º S 10

7/4 (EL_dyn1_05a_A) Bedna o hotnosti je tažena dolů po nakloněné rovině dolů silou F. Koeficient sykového tření ezi bednou a podložkou je f. Úhel sklonu nakloněné roviny je β. Určete: 1. Jaké bude zrychlení bedny a. 2. Jakou axiální silou F' je ožné bednu táhnout, aniž by se překlopila a jaké bude přito její zrychlení a'. a = 20 c c = 80 c F = 200 N b = 30 c d = 90 c = 150 kg f = 0,2 β = 30 7/5 (EL_dyn1_05c_A) Leto uložené kolo je poháněno elektrootore s lineární charakteristikou (viz. graf závislosti hnacího oentu na otáčkách). Počáteční stav kola je klidový. Moent setrvačnosti kola s hřídele je I. Určete úhlovou rychlost kola ω 1 v čase t 1 a počet otočení N 1, které kolo za čas t 1 vykoná. M o = 200 N I = 10 kg 2 ω u = 600 s -1 t 1 = 10 s M h M 0 ω u ω 11

8. cvičení - Posuvný a rotační pohyb tělesa 8/1 Soustrojí je tvořeno poháněcí otore a setrvačníke, spojenýi třecí spojkou. V okažiku sepnutí spojky se otor otáčí otáčkai n M a setrvačník se otáčí stejný sěre otáčkai n S. Moent setrvačnosti setrvačníku je I S, průěr třecí spojky je D, přítlačná síla na spojce je F P a koeficient sykového tření spojky je f. Určete: 1) Dobu t v, za kterou se otáčky setrvačníku vyrovnají s otáčkai otoru. 2) Počet otočení rotoru otoru N M a setrvačníku N S po dobu vyrovnávání otáček. 3) Práci třecí síly, která se ztratí v podobě zahřátí spojky. Pozn.: Charakteristika otoru je "tvrdá", tzn. otáčky jsou konstantní nezávisle na zatížení. D I M n M = 1300 ot/in n S = 250 ot/in I S = 8 kg 2 D = 200 F P = 250 N f = 0,45 8/2 Soustrojí je tvořeno hnací otore o oentu setrvačnosti I M a pevně k něu připojený hnaný stroje o oentu setrvačnosti I R (redukované na hřídel otoru). Charakteristika pohonu (závislost hnacího oentu na otáčkách) je lineární. Záběrový oent je M 0 (hnací oent při nulových otáčkách), otáčky, při nichž hnací oent klesne na nulu, jsou n n. Na soustrojí působí konstantní zatěžující oent M Z (proti sěru pohybu). Určete: 1) Pracovní otáčky n p, na nichž se chod stroje ustálí za dostatečně dlouhou dobu. 2) Dobu rozběhu t r, za kterou dojde k ustálení otáček (n=95%n p ). 3) Kolikrát se stroj v době rozběhu otočí - N r. Motor se rozbíhá z klidu. IM 2. kg. 2 IR 8. kg. 2 Mo 180. N. nn 1500. ot. in 1 Mz 60. N. 8/3 (EL_dyn1_05d_A) Tenká tyč o hotnosti a délce L je otočně uložena v kloubu A, který je ve vzdálenosti x od těžiště tyče. Určete: 1. Jaké úhlové zrychlení ε bude tyč ít v okažiku uvolnění z T horizontální polohy. B A 2. Jaká bude rychlost v B a zrychlení a B bodu B na konci tyče ve x svislé poloze tyče (po otočení o 90 ). L 3. Jaká bude reakce R A v kloubu A v poloze, kdy se tyč otočí o 45. = 20 kg L = 3 x = 0,5 I S 8/4 (EL_dyn1_05e_A) Kvádr o rozěrech a, b a c a ěrné hotnosti ρ se otáčí kole svislé osy procházející jeho těžiště.. V čase t = 0 s je jeho úhlová rychlost je ω 0. V ložiscích působí oenty čepového tření M č1 a M č2. Určete: 1. Za jaký čas t z se kvádr zastaví a kolikrát se v průběhu zastavování otočí (N z ). 2. Rychlost v 1 a zrychlení a 1 bodů v rozích kvádru v čase t 1. M č1 ω a = 80 c c = 15 c M č1 = 3 N ρ = 5000 kg/ 3 b = 20 c ω 0 = 140 rad/s M č2 = 5 N t 1 = 60 s a M č2 b c 12

9. cvičení - Obecný rovinný pohyb tělesa 9/1 Válec o hotnosti a poloěru R leží na nakloněné rovině o úhlu sklonu β. V jisté okažiku je válec odbržděn a účinke vlastní tíhy se začne valit po nakloněné rovině. Vypočtěte, jakou rychlost získá a jakou dráhu urazí za čas t 1. Dále určete iniální koeficient tření nutný k tou, aby se válec valil bez prokluzu. R β = 37 kg R = 0,5 β = 30º t 1 = 1 s 9/2 (EL_dyn1_07b_A) R β F Na válec o hotnosti a poloěru R stojící na rovině začne působit síla F závislá na čase F=k t. Je zadán poloěr valivého odporu ξ. Určete: 1. V jaké čase t 1 bude ít střed válce rychlost v 1. 2. V jaké čase t 2 by se válec odpoutal od podložky a jakou rychlost v 2 by přito ěl střed válce. = 50 kg R = 0,2 k = 300 kg s -3 ξ = 5 β = 20 v 1 = 0,5 /s 9/3 Těleso tvaru dle obrázku stojí na nakloněné rovině o úhlu sklonu β. Na enší průěru je navinuto lanko, na které působí svislá síla F. Určete: 1. Sěr pohybu tělesa (nahoru nebo dolů). 2. Čas t 1, za který těleso urazí dráhu L a rychlost středu tělesa v 1 v toto okažiku. 3. Miniální koeficient tření f in nutný k tou, aby se těleso valilo bez prokluzu. Těleso je vyrobeno z ateriálu o ěrné hotnosti ρ. L = 7,6 β = 10º F = 100 N ρ = 920 kg/ 3 d = 100 r = 150 R = 300 R r b b b β 9/4 (EL_dyn1_07a_A) Těleso válcového tvaru leží na nakloněné rovině. Jeho hotnost je, poloěr R. V jisté okažiku dojde k jeho odbrždění a těleso se začne odvalovat sěre dolů po nakloněné rovině. Po uražení vzdálenosti L 1 těleso narazí na pružinu tuhosti k, která začne brzdit jeho pohyb. Vypočítejte celkovou vzdálenost L, kterou urazí těleso od okažiku odbrždění do okažiku zastavení. Pozn.: Uvažujte lineární pružinu, neuvažujte tření ezi tělese a konce pružiny. Mezi tělese a nakloněnou rovinou nedochází k prokluzu. = 50 kg R = 0,4 k = 3600 N/ α = 20 L 1 = 0,6 13 R L 1 α k

9/5 Válec o hotnosti a poloěru R je uvázán na pružné lanku (poocí vidlice procházející osou válce). Je odbržděn v poloze, kdy lanko á svou volnou délku, a začne se valit dolů. Určete, při jaké protažení lanka L se válec (poprvé) zastaví. Pozn.: Pružné lanko považujte za lineární pružinu s konstantou tuhosti k. Nápověda: Když se válec poprvé zastaví, neusí ít nulové zrychlení (ůže ještě dojít ke kitání válce). k, R β = 25 kg R = 8 c k = 800 N/ β = 30 14

10. cvičení - Dynaika soustav těles - etoda uvolňování 3. píseka - Rotační a obecný rovinný pohyb 10/1 Vypočtěte zrychlení, se který se bude po odbrždění pohybovat daná soustava těles. Soustava je tvořena dvěa břeeny o hotnostech 1 a 2 a kladkou o poloěru r k a hotnosti k. Tělesa jsou spojena lane, jehož hotnost lze zanedbat. Břeeno 1 je taženo po rovné ploše, součinitel sykového tření ezi břeene a plochou je f. Tření v čepu kladky zanedbejte. 1 2 r k 1 = 80 kg 2 = 40 kg k = 20 kg rk = 8 c f = 0,4 10/2 Na buben o hotnosti B a poloěru R je navinuto lano, na jehož konci je zavěšeno břeeno hotnosti. Kotouč je uložen na čepu o poloěru r č, součinitel čepového tření je f č. Kotouč je zabržděn. V jisté okažiku dojde k odbrždění a na kotouč začne působit hnací oent. Určete: 1) Jak velký usí být hnací oent M H, aby se břeeno pohybovalo sěre vzhůru se zrychlení a. Hotnost lana zanedbejte. 2) Počet otáček, které kotouč vykoná, než břeeno dosáhne rychlosti v 1. B R B = 30 kg R = 10 c = 80 kg r č = 3 c f č = 0,1 v 1 = 2 /s a = 0,5 /s 2 10/3 Rotor otoru o oentu setrvačnosti I se otáčí počátečníi otáčkai no naznačený sěre. Je bržděn pásovou brzdou, jejíž raeno á zanedbatelnou hotnost a na jeho konci je závaží hotnosti. Průěr brzdného kotouče je D, koeficient sykového tření ezi brzdný kotouče a páse je f. Určete: 1) Brzdnou dobu t B do zastavení rotoru a počet jeho otočení v průběhu brždění N B. I f ω 2) Brzdnou dobu t B1 a počet otočení N B1 při opačné syslu rotace. I = 3,5 kg 2 = 45 kg f = 0,3 n 0 = 1100 ot/in a = 0,3 D = 0,2 R = 0,7 a D R 15

10/4 Soustava je tvořena otore, který přes řeenový převod I 1 I 23 pohání pevnou kladku, na které je zavěšeno břeeno o r 3 r 2 hotnosti. Určete, jaký hnací oent otoru je r potřebný k vytahování břeene nahoru se zrychlení a. 1 Jsou zadány poloěry jednotlivých kol a oenty setrvačnosti: hřídel s otore a enší řeenový kole á oent setrvačnosti I 1, hřídel s větší řeenový kole a kladkou I 23. Pasivní odpory zanedbejte. I 1 = 0,8 kg 2 I 23 = 0,5 kg 2 = 200 kg r 1 = 10 c r 2 = 25 c r 3 = 15 c a = 0,5 s -2 10/4 (EL_dyn1_09a_A) Břeeno je zvedáno poocí lana navinutého na bubnu o poloěru R. Buben je poháněn přes jednostupňovou převodovku. Na společné hřídeli s bubne je ozubené kolo 2 s počte zubů z 2, které zabírá s hnací ozubený kole 1 s počte zubů z 1. Určete, jaké usí být otáčky n 1 hnacího kola 1, aby se břeeno pohybovalo vzhůru rychlostí v B. R = 15 c z 1 = 27 z 2 = 44 v B = 1,2 /s R z 1 z 2 16

11. cvičení - Dynaika soustav těles - etoda redukce 11/1 Dvoustupňová převodovka je tvořena pastorke (1), předlohový hřídele s kole (2) a pastorke (3) a hnaný hřídele s kole (4). Počty zubů jednotlivých ozubených kol jsou z 1, z 2, z 3 a z 4. Moenty setrvačnosti jsou I 1 (pastorek), I 23 (předlohový hřídel) a I 4 (hnané kolo). Pracovní otáčky pastorku jsou n 1, hnaného kola n 4. Na pastorek působí hnací oent M H (ve sěru pohybu), na hnané kolo působí odporový oent M Z (proti sěru pohybu). Určete velikost hnacího oentu M H potřebnou k tou, aby se převodovka roztočila z klidu na pracovní otáčky za dobu T. I 1 = 1,2 kg 2 I 23 = 3 kg 2 I 4 = 10 kg 2 z 1 = 18 z 2 = 50 z 3 = 21 z 4 = 45 n 4 = 300 ot/in M Z = 1500 N T = 20 s 11/2 Válec o hotnosti v a poloěru R V je tažen po rovině s konstantní zrychlení a poocí vrátku, jehož buben á hotnost b, poloěr R B a oent setrvačnosti I B. Z pasivních odporů je uváženo valivé tření ezi válce a podložkou (raeno valivého odporu ξ), tření ezi lane a nepohyblivý segente (součinitel tření f v ), čepové tření v ložiskách bubnu (součinitel čepového tření f č, poloěr čepu r č ). Součinitel sykového tření ezi válce a podložkou je f. Určete: 1) Velikost potřebného hnacího oentu M H na bubnu vrátku. 2) Zda nedojde k prokluzu válce na podložce. v = 50 kg R v = 180 f = 0,15 ξ = 4 f v = 0,5 R B = 150 B = 45 kg I B = 0,4 kg 2 r č = 60 f č = 0,1 a = 0,2 s -2 R V r č R B 11/3 Soustava těles je tvořena válce o poloěru R a hotnosti V, kladkou o poloěru r k a oentu setrvačnosti I k a břeene o hotnosti B. Určete, s jaký zrychlení se soustava bude po odbrždění pohybovat a za jaký čas t L narazí břeeno do překážky ve vzdálenosti L. V R B r k V = 200 kg Ik = 0,1 kg 2 B = 40 kg RV = 200 rk = 60 L = 3 L 17

11/4 (EL_dyn1_10a_A) Planetová převodovka je tvořena nehybný korunový kole, centrální kole o poloěru r c a oentu setrvačnosti I c, planetový kole o poloěru r p, které je pevně spojeno s nábojový kole o poloěru r b - jejich celková hotnost je p a celkový oent setrvačnosti I p. Spojovací tenká tyč á hotnost t. Na centrální kolo působí konstantní hnací oent M proti sěru hodinových ručiček. Určete: 1. Úhlové zrychlení centrálního kola ε c a zrychlení středu planetového kola a p. 2. Za jaký čas t r dosáhne planetové kolo úhlové rychlosti ω pr, je-li počáteční stav klidový. Pozn.: Korunové kolo leží ve vodorovné rovině. planetové kolo nábojové kolo spojovací tyč I p = 7 kg 2 I c = 3 kg 2 p = 130 kg t = 5 kg r p = 0,35 r c = 0,22 r b = 0,15 M = 100 N ω pr = 300 s -1 centrální kolo korunové kolo 18

12. cvičení - Dynaika soustav těles 12/1 (EL_dyn1_10c_A) Na kladkostroji je zavěšeno břeeno o hotnosti b, které se při odbrždění nachází ve výšce h nad zeí. Určete, s jaký zrychlení a se bude břeeno pohybovat a jakou rychlostí v h a za jaký čas t h dopadne na ze. Poloěr pevné kladky je r 1 a její oent setrvačnosti I 1, poloěr volné kladky r 2, hotnost 2 a oent setrvačnosti I 2. b = 150 kg r 1 = 20 c I 1 = 0,8 kg 2 r 2 = 8 c 2 = 10 kg I 2 = 0,03 kg 2 h = 1 I 1 r 1 I 2, 2 r 2 b 12/2 Na kladkostroji jsou zavěšena břeena o hotnostech 1 a 2. Těleso (1) klesá dolů počáteční rychlostí v 0. Určete, jak velkou brzdnou silou je třeba působit na těleso (2), aby těleso (1) urazilo do zastavení dráhu L. 1 = 580 kg 2 = 235 kg k = 30 kg r k = 0,1 L = 3,8 v 0 = 2,1 /s 12/3 Břeena o hotnosti 1 a 2 jsou spojena lane, které je vedeno přes pevný segent. Soustava je zabržděna v poloze, kdy břeeno 2 je ve výšce h nad zeí. Určete, jaká usí být hotnost břeene 1, aby břeeno 2 dopadlo na ze čtvrtinovou rychlostí, než jakou by dopadlo ze stejné výšky při volné pádu. Uvažujte sykové tření ezi podložkou a břeene 1 a vláknové tření na pevné segentu. 2 = 10 kg h = 2 f = 0,3 f v = 0,4 1 2 19

12/4 Kvádr o hotnosti 1 leží na nakloněné rovině s úhle sklonu β. Shora se kvádru dotýká válec o hotnosti 2 a poloěru R. Určete, zda se po odbrždění dá soustava těles do pohybu. Pokud ano, tak s jaký zrychlení a. Součinitel sykového tření ezi tělesy a podložkou i ezi tělesy navzáje je f. 1 = 10 kg 2 = 50 kg R = 0,2 f = 0,15 β = 5º 1 β 2 R 12/5 (EL_dyn1_10b_A) Ozubené kolo A o poloěru r A a oentu setrvačnosti I A zabírá s ozubený kole B o poloěru r B a oentu setrvačnosti I B. Na kolu B je osazení poloěru r c, na které je navinuto lanko a na konec lanka je připevněno břeeno hotnosti. V čepech ozubených kol uvažujte oenty čepového tření M ča a M čb. Určete: 1. S jaký zrychlení a se bude břeeno pohybovat. 2. Jaká bude rychlost v břeene poté, co po odstranění podložky břeeno urazí dráhu L. = 30 kg r A = 150 r B = 240 r C = 60 L = 75 c I A = 0,015 kg 2 I B = 0,2 kg 2 M ča = 2 N M čb = 4 N 20

12/7 12/8 Soustava těles je tvořena dvěa tělesy o hotnostech A a B a pevnou kladkou o poloěru R, hotnosti k a oentu setrvačnosti Ik. Soustava je zabržděna v poloze, kdy se těleso B dotýká podložky. Určete, s jaký zrychlení a se soustava po odbrždění bude pohybovat a jakou rychlost va bude ít těleso A v okažiku, kdy dopadne na podložku. Proti pohybu kladky působí oent čepového tření M c (poloěr čepu je r c, koeficient čepového tření fc. A = 20 kg B = 6 kg k = 2 kg I k = 0,07 kg 2 R = 8 c r c = 1 c f c = 0,15 Břeeno o hotnosti je uvázáno na konci lana, které je navinuto na bubnu o poloěru R. Tato soustava je odbržděna v poloze, kdy se závaží nachází ve výšce h nad zeí. Určete, jaká usí být hotnost bubnu B, aby břeeno dopadlo na ze poloviční rychlostí, než jakou by dopadlo při volné pádu. V čepu bubnu uvažujte působení oentu čepového tření M č. Pozn.: Pro účel výpočtu oentu setrvačnosti bubnu je ožné buben považovat za válec. Nápověda: Nejdříve z kineatických vztahů určete, s jaký zrychlení a se břeeno bude pohybovat. = 5 kg R = 20 c h = 0.6 M č = 6 N 12/9 Výtah E je přes kladku, která á poloěr r k a oent setrvačnosti Ik, spojen s protizávaží C o hotnosti c. Hotnost výtahu spolu s pasažére je E. Určete hnací oent M H, který usí vyvinout otor M, aby se výtah rozjížděl nahoru se zrychlení a. Na společné hřídeli s otore je buben o poloěru rb, na které je navinuto lano, na které se spouští výtah. Společný oent setrvačnosti otoru a bubnu je IM. E = 800 kg C = 600 kg r k = 15 c I k = 0.6 kg 2 r B = 10 c I = 2 kg 2 a = 0,3 /s 2 21

12/10 Setrvačník o poloěru R a hotnosti je poháněn otore přes řeenový převod. Řeenové kolo na společné hřídeli s otore á poloěr r, společný oent setrvačnosti otoru a řeenového kola je I. Počáteční stav soustavy je klidový. Určete velikost konstantního hnacího oentu otoru M H potřebného k tou, aby poté, co se setrvačník N krát otočí, byla jeho úhlová rychlost ωn. s = 50 kg R = 20 c r = 5 c I = 6 kg 2 N = 15 ω N = 420 ot/in 12/11 Dvě tělesa o hotnostech A a B jsou spojena lane, které je vedeno přes kladku o poloěru r a hotnosti k. Koeficient sykového tření ezi tělese A a nakloněnou rovinou je f, v čepu kladky uvažujte oent čepového tření Mc. Soustava je odbržděna v poloze, kdy těleso B je ve výšce h nad zeí. Určete, s jaký zrychlení a se soustava bude pohybovat a jakou rychlostí v dopadne těleso B na ze. A = 70 kg B = 90 kg k = 30 kg r = 10 c M c = 4 N h = 1,5 β = 40 f = 0,15 13. cvičení 4. píseka - Dynaika soustav těles 22

"Vstupní" příklady k opravný píseká 1. a 2. píseka 5a Na rotačně uložené disku je položeno těleso hotnosti ve vzdálenosti r od svislé osy otáčení. Disk se začne otáčet z klidu s konstantní úhlový zrychlení α. Klidový koeficient sykového tření ezi tělese a diske je fo. Určete, za jaký čas t1 se začne těleso posouvat po disku a jaká bude přito úhlová rychlost disku ω1. = 5 kg r = 0,2 α = 5 s -2 f 0 = 0,5 6a Koule o hotnosti klouže po vedení, které á čast ve tvaru kruhového oblouku o poloěru R a část vodorovnou. Celé vedení leží ve svislé rovině. Obloukovou část považujte za dokonale hladkou; tření na vodorovné části je určeno koeficiente sykového tření f. Určete: 1) Jakou vzdálenost d urazí koule na vodorovné části vedení, než zastaví. 2) Jakou silou N bude vedení působit na kouli v okažiku, kdy se bude nacházet ve vzdálenosti h pod íste, odkud byla vypuštěna. = 1,5 kg R = 2 f = 0,1 h = 1 7a Koule o hotnosti je připevněna na laně délky R. Pohybuje se tak, že ve svislé rovině opisuje kružnici. V horní poloze (ϕ = 90 o ) je rychlost koule v. Určete rychlost koule a napětí v laně ve dvou polohách: ϕ = 45 o a ϕ = 270 o. = 5 kg R = 2 v = 5 /s 23

2a A B Určete velikost sil F a S, kterýi působí kruhová drážka a vodorovná tyč na objíku A o hotnosti v okažiku, kdy objíka B na svislé tyči je ve výšce y, pohybuje se nahoru rychlostí v y a její okažité zrychlení je a y. Poloěr kruhové drážky je r. r y = 100 vy = 600 /s ay = -200 /s 2 A = 0,4 kg r = 300 8a Koule o hotnosti je poocí dvou lanek připevněna ke svislé tyči. Při rotaci kole svislé osy tyče jsou lanka napnuta. Určete: 1. Napětí S 1 a S 2 v obou lankách, je-li úhlová rychlost rotace tyče ω 1. 2. Úhlovou rychlost ω 2, pro kterou bude spodní lanko natažené, ale nebude naáháno žádnou silou. = 10 kg ω = 5 s -1 a = 50 c b = 60 c c = 50 c d = 10c 9a Koule o hotnosti je připevněna na tyči zanedbatelné hotnosti a je přidržována lanke. Určete napětí S v tyči: 1. Když je koule v poloze zobrazené na obrázku. 2. Bezprostředně poté, co je lanko přestřiženo. 3. V okažiku, kdy koule dosáhne nejnižší polohy. = 3 kg L = 2 24

10a Kvádr o hotnosti leží na dokonale hladké ráu, který je rotačně uložen. V klidové stavu je pružina prodloužena o délku l a je naáhána silou Fd. Určete: 1. Sílu P, kterou působí zarážka na kvádr, když se rá otáčí kole svislé osy konstantní úhlovou rychlostí ω. 2. Při jaké úhlové rychlosti ω1 nebude zarážka na kvádr působit žádnou silou? 3. O jakou vzdálenost s se posune kvádr, budeli se rá otáčet úhlovou rychlostí ω2? = 5 kg L = 1 ω 0 = 30 ot/in Fd = 80 N l = 10 c ω 2 = 5 rad/s 25

3. a 4. píseka Buben o poloěru r b je na společné hřídeli s ozubený kole (1) s počte zubů z 1 a odule ozubení o. Toto ozubené kolo zabírá s ozubený kole (2) s počte zubů z 2. Na společné hřídeli s kole (2) je řetězové kolo (3) o poloěru r 3, které je řetěze spojeno s řetězový kole (4) o poloěru r 4. Řetězové kolo (4) je na společné hřídeli s elektrootore. Na bubnu je navinuto lano, na jehož konci je zavěšeno břeeno hotnosti t. Moent setrvačnosti hřídele s elektrootore a řetězový kole (4) je I 4, oent setrvačnosti hřídele s řetězový kole (3) a ozubený kole (2) je I 2, oent setrvačnosti hřídele s bubne a ozubený kole (1) je I b. Záběrový oent otoru je konstantní. Proti pohybu bubnu působí oent čepového tření M čt. Určete: 1. Velikost záběrového oentu M h1 elektrootoru tak, aby se břeeno pohybovalo sěre vzhůru se zrychlení a. 2. Velikost záběrového oentu M h2 pro rovnoěrný pohyb sěre dolů. První úkol řešte etodou uvolňování i etodou redukce, výsledky porovnejte. 1a t = 95 kg r b = 0,32 z 1 = 30 z 2 = 50 r 3 = 0,18 r 4 = 0,1 o = 8 I b = 4,3 kg 2 I 2 = 2 kg 2 I 4 = 5 kg 2 M ct = 10 N a = 0,1 s -2 I b I 2 z 2 I 4 r b z 1 r 3 r 4 t Těleso o hotnosti t je uváděno do pohybu tahe lana navíjejícího se na buben o hotnosti b a poloěru r b. Buben je poháněn elektrootore přes převodový echanisus tvořený řetězový převode s řetězovýi koly (1) a (2) a ozubený převode s koly (3) a (4). Jsou zadány oenty setrvačnosti a poloěry jednotlivých kol. Hnací oent M h otoru je konstantní, jeho oent setrvačnosti je I. Koeficient sykového tření ezi tělese a podložkou je f. Při výpočtu zahrňte vliv čepového tření M ct v čepu bubnu, ostatní pasívní odpory zanedbejte. Zanedbejte i oenty setrvačnosti lana, řetězu a hřídelí. Určete: 1. Zrychlení a, se který se těleso bude pohybovat 2. Dobu t L, za kterou se těleso přesune o vzdálenost L. (Počáteční stav je klidový). První úkol řešte etodou uvolňování i etodou redukce, výsledky porovnejte. f t r č r 3 r b r 4 r 2 r 1 2a t = 100 kg b = 200 kg I = 5 kg 2 r b = 0,5 f = 0,1 M ct = 10 N r 1 = 8 c r 2 = 14 c r 3 = 26 c r 4 = 35 c L = 1 M h = 60 N I 1 = 0,008 kg 2 I 2 = 0,071 kg 2 I 3 = 1,127 kg 2 I 4 = 3,701 kg 2 26

Břeeno C je zvedáno poocí řeenového převodu. Na řeenové kolo A působí hnací oent M, kolo á hotnost A a poloěr r A. Řeenové kolo B spolu s bubne, na které je navinuto lano, ají společnou hotnost B a poloěr setrvačnosti i B. Poloěr kola B je r B a poloěr bubnu r b. Hotnost břeene zavěšeného na laně je C. Hotnost kladky je k, poloěr kladky r k, oent setrvačnosti kladky i k. V čepu kola A působí oent čepového tření M ca, v čepu kola B a bubnu oent čepového tření M cb a v čepu kladky oent čepového tření M ck. Určete: 1. Zrychlení a, se který se břeeno C bude pohybovat. 2. Za jaký čas t 1 se břeeno zvedne o výšku h, pokud pohyb začne z klidu, a jakou rychlost v 1 přito bude ít. První úkol řešte etodou uvolňování i etodou redukce, výsledky porovnejte. 3a A = 15 kg B = 75 kg C = 150 kg k = 10 kg i B = 150 i k = 70 r A = 100 r B = 200 r b = 100 r k = 80 h = 1 M = 100 N M cb = 4 N M ca = 0,9 N M ck = 0,5 N Těleso C o hotnosti C je na své enší průěru připevněno pružinou ke stěně a na své větší průěru á navinuto lano, které je vedeno přes kladku a na jehož volné konci je zavěšeno břeeno A o hotnosti A. Menší průěr tělesa C je d, větší průěr je D, poloěr setrvačnosti je i C, tuhost pružiny je k, hotnost kladky je k, poloěr kladky r k a v čepu kladky působí oent čepového tření M ct. Koeficient sykového tření ezi tělese a podložkou je f. Určete: 1. Jaké zrychlení a bude ít břeeno A v poloze, kdy bude pružina protažena o délku l. 2. Zkontrolujte, zda se v této poloze těleso C valí bez prokluzu. První úkol řešte etodou uvolňování i etodou redukce, výsledky porovnejte. 4a A = 15 kg C = 12 kg k = 5 kg k = 2 N/ l = 5 c M ct = 0,2 N i C = 20 c d = 10 c D = 30 c r k = 10 c f = 0,25 27