Příklad 1. Jak velká vztlakovásíla bude zhruba působit na ocelové těleso o objemu 1 dm 3 ponořené do vody? /10 N/ p 1 = p 2 F 1 = F 2 S 1 S 2.

Transkript

1 VII Mechanika kapalin a plynů Příklady označené symbolem( ) jsou obtížnější Příklad 1 Jak velká vztlakovásíla bude zhruba působit na ocelové těleso o objemu 1 dm 3 ponořené do vody? /10 N/ Stručné řešení: F vz = Vϱ, kde V =1dm 3 = 0,001 m 3 je objem tělesa, ϱ = 1000 k/m 3 hustota vody a =10m/s 2 tíhovézrychlení Číselně F vz =10N Příklad 2 U hydraulického zvedáku je obsah pístů 0,018 m 2 a 0,125 m 2 Působíme-li na menšípíst silou 100 N, jakou sílu vyvine většípíst? Menšípíst se posune o dráhu 14 cm, o jakou dráhu se zvedne větší píst? /F = 694 N, s =2cm/ Stručné řešení: Podle Pascalova zákona je tlak na oba písty stejný p 1 = p 2 F 1 = F 2 S 1 S 2 Odtud S 2 F 2 = F 1 = 694 N S 1 Objem vody V vytlačené zmenšího pístu se přesune do většího pístu Označme s 1 =0,14mposunutí menšího pístu a s 2 posunutí většího pístu Platí, že V = S 1 s 1 V = S 2 s 2 atedy S 1 s 1 = S 2 s 2 tudíž S 1 s 2 = s 1 = 2 cm S 2 Příklad 3 Podmořský batyskaf se nachází v hloubce 1,5 km pod hladinou moře Jak velká tlakovásíla působí najehokruhovéokénko o průměru 20 cm? Jaká hmotnost by ve vzduchu vyvolala stejnou tíhu? Hustotu mořské vodyuvažujte 1030 k m 3 /F = 476 kn, m = 48,5 t/ Stručné řešení: Hydrostatický tlakje p = hϱ tlaková síla je (plocha okénka je S = πd2 4 ) F = ps = hϱs = hϱ πd2 4 Aby síla F byla rovna tíhové síle F G = m, muselobybýt m = F m = F = 476 kn = k = 48,5 t Příklad 4 Do zkumavky jsou nasypány broky Ve vodě sezkumavkaponoří do hloubky h 1 =18cm ze své délky, ve zředěné kyselině sírové do hloubky h 2 = 16 cm Hustota vody je 1000 k m 3 Určete hustotu kyseliny sírové /ϱ = 1125 k m 3 / 1

2 Stručné řešení: V obou případech zkumavka plave, platí tedy rovnost tíhové a vztlakové síly F G = F vz Označme V 1 objem části zkumavky ponořený dovodyav 2 objem části zkumavky ponořený do kyseliny Označme ϱ 1 hustotu vody a ϱ 2 hustotu kyseliny Platí, že m = V 1 ϱ 1 m = V 2 ϱ 2 atedytaké V 1 ϱ 1 = V 2 ϱ 2 po zkrácení adělení V 2 máme V 1 ϱ 2 = ϱ 1 V 2 Přitom V 1 = Sh 1 a V 2 = Sh 2,kdeS je obsahu kolmého průřezu zkumavky a h 1,2 výška ponořené části zkumavky Dostáváme tak, že Sh 1 ϱ 2 = ϱ 1 Sh 2 h 1 ϱ 2 = ϱ 1 = 1125 k/m 3 h 2 Příklad 5 Jakou největšíhmotnostmůže mít člověk, má-li ho ve vodě unést záchranný pás z korku o hmotnosti 2,0 k? S ohledem na to, aby hlava byla nad vodou, uvažujte hmotnost člověka o 20% menší než jakou unese záchranný pás Průměrná hustota lidského těla je asi 1080 k m 3, hustota korku je 220 k m 3, hustota vody je 1000 k m 3 /m =77k/ Stručné řešení: Spočteme nejprve hmotnost člověka tak, aby, pokud je celý podvodouamá nasazený korkový pás, ve vodě ploval Na člověka působí tíhová síla F G1 = V, kde V je objem lidského těla a = 1080 k m 3 jeho průměrná hustota Na korkový pás působí tíhová síla F G2 = m k,kdem k = 2,0 k je hmotnost korku Naopak, lidské tělo je nadlehčováno silou F vz1 = Vϱ, kde ϱ = 1000 k m 3 jehustotavody,akorkovýpás je nadlehčován silou F vz2 = V k ϱ = m k ϱ kde = 220 k m 3 je hustota korku Tíhové avztlakovésíly musí být v rovnováze, tedy platí F G1 + F G2 = F vz1 + F vz2 po dosazení V + m k = Vϱ+ m k ϱ Označíme-li m l hmotnost lidského těla, pak V = m l,atedy m l + m k = m l ϱ + m k ϱ Po zkrácení máme Odtud vyjádříme m l + m k = m l ϱ + m k ϱ m l m l ϱ = m kϱ m l = m k ϱ 1 1 ϱ m k ϱ m l = m k ϱ Číselně m l = 95,72 k Po odečtení 20% máme 0, 8ml = 76,6 k =77k 2

3 Příklad 6 Vodorovným potrubím protéká vodaohustotě ϱ = 1000 k m 3 vširším místě rychlostí1 ms 1 Vužšíčásti s třikrát menším průřezem je tlak 5 kpa Vypočítejte tlak v širším místě potrubí, když předpokládáme ideální proudění ustálené alaminární Řešte nejprve obecně apotomčíselně /p = 9kPa/ Stručné řešení: Platí rovnice kontinuity S 1 v 1 = S 2 v 2 přitom víme, že S 1 =3S 2,atedy 3v 1 = v 2 atedy v 2 = 3 m s 1 Pro ideální proudění platízároveň Bernoulliho rovnice tudíž p ϱv2 1 = p ϱv2 2 p 1 = p ϱ(v2 2 v 2 1) Po dosazení p 1 =9kPa Příklad 7 Nádoba válcového tvaru má vestěně nad sebou dva otvory ve výškách h 1 a h 2 od dna V jaké výšce musí být hladina kapaliny nad dnem nádoby, aby kapalina z obou otvorů dopadala do stejné vzdálenosti od nádoby na vodorovnou rovinu, na které nádoba stojí? (Všechny odpory a ztráty enerie zanedbejte) Řešte nejprve obecně, potom pro hodnoty h 1 =0,3m,h 2 =0,5m/x =0,8m/ Stručné řešení: Označme x výšku kapaliny nad dnem nádoby Z otvoru ve výšce h 1 (který jevhloubce x h 1 ) vytéká kapalina rychlostí v 1 = 2(x h 1 ) Zotvoruvevýšce h 2 (který jevhloubcex h 2 ) vytéká kapalina rychlostí v 2 = 2(x h 2 ) Proud kapaliny opisuje přibližně trajektorii vodorovného vrhu Pro délku vodorovného vrhu d při počáteční rychlosti v zvýšky h platí 2h d = v Protože d 1 = d 2,musíbýt 2h 1 v 1 = v 2h 2 2 Po umocnění a dosazení 2(x h 1 ) 2h 1 =2(x h 2) 2h 2 a odtud (x h 1 )h 1 =(x h 2 )h 2 xh 1 h 2 1 = xh 2 h 2 2 xh 1 xh 2 = h 2 1 h2 2 x = h2 1 h2 2 h 1 h 2 x = h 1 + h 2 Pro dané hodnoty je x =0,8m Příklad 8 Zahradnická hadice s vnitřním průřezem o obsahu S 1 =5,0cm 2 je na konci opatřena nátrubkem s otvorem o obsahu S 2 =1,0cm 2 Znátrubku, který jevevýšce h =80cmnadrovinou záhonu, tryská vodorovným směrem voda Proud vody dopadá nazáhon ve vodorovné vzdálenosti d = 2,0 m Určete: a) jak velkou rychlostí tryskávodaznátrubku, b) jak velkou rychlostíprotékávodaprůřezem hadice Vnitřní tření vody a odpor vzduchu neuvažujte /v 2 =4,95ms 1, v 1 =0,99ms 1 / 3

4 Stručné řešení: Proud vody opisuje přibližně křivku vodorovného vrhu Pro vzdálenost vrhu d zvýšky h rychlostí v 2 platí, že 2h d = v 2, odkud máme, že v 2 = d =4,95ms 1 2h Pro ideální prouděníplatí rovnice kontinuity odkud po dosazení číselně vyjde v 1 = v 2 /5 =0,99m/s S 1 v 1 = S 2 v 2 v 1 = v 2 S 2 S 1 Příklad 9 Voda proudí z hubice postřikovače ve vodorovném směru počáteční rychlostí20ms 1 Určete, do jaké vzdálenosti voda dostříkne, je-li hubice ve výšce 1,0 m nad vodorovnou rovinou Kolik vody proteče hubicí za30min,je-liprůměr ústí hubice 5,0 mm? /d =9m,V = 707 l/ Stručné řešení: Proud vody opisuje přibližně trajektorii vodorovného vrhu Pro jeho délku platí vztah 2h d = v = 9 m Objem vody spočteme podle vztahu V = Q v t = Svt = πd2 4 vt = 707 dm 3 = 707 l Příklad 10 Proud vody tryská zvodorovné trubice o obsahu průřezu 4,0 cm 2 rychlostí 10ms 1 a naráží na svislou stěnu Vypočtěte maximální a minimální sílu,kterouvodanastěnu může působit (závisí na odrazu od stěny) /F max =80N,F min =40N/ Stručnéřešení: Jestliže voda narážíkolmonastěnu a odraz je pružný, pak se vektor její hybnosti převrací azměna je Δp = p ( p) =2p, tedy Δp =2p =2mv Působícísíla je F max = Δp Δt = 2mv Δt Hmotnost vody, kteráproteče za čas Δt hrdlem trubice, je atedy m = ϱv = ϱsvδt F max = 2mv =2ϱSv 2 Δt číselně F max =80N Vpřípadě, že odraz je dokonale nepružný (vodaztratívšechnu kinetickou enerii a po stěně stéká na zem), pak Δp = p Stejným postupem jako výše dostaneme vztah F = Δp Δt = p Δt = mv Δt = ϱsv2 číselně F min =40N Příklad 11 ( ) Široká nádoba válcového tvaru je naplněna kapalinou do výše H Vjakéhloubceh pod hladinou musíme udělat otvor (malý oprotiprůřezu nádoby), aby proud kapaliny z něho tryskající dopadl vrovinězákladny válce nejdále od nádoby? /h = H/2/ 4

5 Stručné řešení: Proud vody tryskající znádoby opisuje přibližně trajektorii vodorovného vrhu Jestliže je otvor ve výšce x nad zemí a voda tryská rychlostí v, pakprodélku d máme 2x d = v Pro rychlost v pak platí, že v = 2(H x) po dosazení máme d = 2x 2(H x) = 2(H x)x Vzdálenost d bude maximální, jestliže bude maximálnísoučin (H x)x = x 2 + Hx Funkce y = x 2 + Hx je kvadratickou funkcí, jejíž parabola obrácena vrcholem vzhůru a právě vesvém vrcholu nabývá maximální hodnoty Matematickou úpravou doplněním na čtverec máme, že ) ( x 2 + Hx = (x 2 Hx)= (x 2 Hx + H2 + H2 4 4 = x H ) 2 + H2 2 4 Největší hodnoty výraz napravo nabývá tehdy, pokud první člen je nulový, tedy pokud x = H/2 Potom hloubka otvoru pod hladinou je h = H x = H/2 Příklad 12 Automobil překonává při stálé rychlosti 80 km h 1 odporovou sílu 0,50 kn Obsah čelní plochy automobilu kolmé nasměr jízdy je 3,5 m 2, hustota vzduchu je 1,3 k m 3 Určete součinitel odporu automobilu /C = 0,45/ Stručné řešení: Pro odporovou sílu platí přibližný vztah odkud vyjádříme Číselně C = 0,45 F = 1 2 CSϱv2, C = 2F Sϱv 2 Příklad 13 ( ) Ocelovou kuličku o průměru 25 mm uvolníme tak, že klesá svisle ke dnu v dostatečně hlubokém jezeře Na jaké hodnotě se ustálí její rychlost? Součinitel odporu je 0,48, hustota vody 1000 k m 3, hustota oceli 7800 k m 3 /v =2,17ms 1 / (Špatný výsledekvpapírech?) Stručné řešení: Na kuličku působí tíhová síla F G,protinípaksíla vztlaková F vz a odpor kapaliny F R, který považujeme za úměrnýdruhémocniněrychlostipři ustálené rychlosti jsou síly v rovnováze a platí po dosazení F G = F vz + F R m = Vϱ+ 1 2 CSϱv2 Pro objem kuličky máme V = 4 3 πr3 = 1 6 πd3,proprůřez S = πd2 4,projejíhmotnostm = ϱ ov = 1 6 ϱ oπd 3 Po dosazení 1 6 ϱ oπd 3 = 1 6 ϱπd Cϱπd2 v 2 odkud vyjádříme, že v = 4d(ϱ o ϱ) 3Cϱ = 2,17 m/s (Hodnota 1, 08 m/s by vyšla, pokud bychom namísto průměru 25 mm uvažovali poloviční průměr 12,5 mm) Příklad 14 ( ) Teplovzdušný balon považujmezakoulioprůměru 8,0 m Hmotnost jeho obalu je 200 k, teplota okolního vzduchu je 15 C a tlak vzduchu činí 1000 hpa Vypočtěte minimální teplotu vzduchu uvnitř balonu, aby se zdvihnul /t =39 C/ 5

6 Stručné řešení: DOPLNIT Příklad 15 Obsah plochy příčného průřezu vodorovného potrubísezužuje z 30 cm 2 na 10 cm 2 Protékáli potrubím voda, ukazují manometrické trubice umístěné v širší a v užší části potrubí rozdíl hladin 40 cm Určete velikost rychlosti v širšíavužšíčásti potrubí /v 1 =1,0ms 1, v 2 =3,0ms 1 / Δh Stručné řešení: Pro ustálené proudění platí rovnice kontinuity S 1 v 1 = S 2 v 2 po dosazení azkrácení máme, že Pro ideální proudění platí Bernoulliho rovnice 3v 1 = v 2 p ϱv2 1 = p ϱv2 2, Po dosazení z předchozího vztahu p ϱv2 1 = p ϱv2 1, p 1 p 2 = 9 2 ϱv ϱv2 1, p 1 p 2 =4ϱv 2 1, odkud vyjádříme, že p1 p 2 v 1 = 4ϱ Přitom p 1 = h 1 ϱ a p 2 = h 2 ϱ, tudíž p 1 p 2 =(h 1 h 2 )ϱ Víme, že rozdíl hladin je h 1 h 2 =40cm =0,4mTudíž Víme, že v 1 = (h 1 h 2 )ϱ (h1 h 2 ) = 4ϱ 4 v 2 =3v 1 = 3,0 m/s = 1,0 m/s Příklad 16 Do trubice tvaru U s oběma otevřenými konci je nalita rtut Jak vysoký sloupec vody musíme nalít do jednoho ramene, aby rtut ve druhém rameni byla o 2,0 cm výše než rtut vrameni prvním Hustota vody je 1000 k m 3,hustotartuti13550km 3 /h =27 cm/ Stručné řešení: Tlak vodního sloupce musí vyvážit tlak rtut ového sloupce nad společnou hladinou rtuti v obou ramenech Platí, že h v ϱ v = h r ϱ r tedy h v = h r ϱ r ϱ v kde h v je výška vodního sloupce, h r =2,0cmvýška rtut ového sloupce, ϱ v hustota vody a ϱ r hustota rtuti Po dosazení dostenemečíselně h v = 27,1 cm Příklad 17 ( ) Na konci homoenní tyčky o hmotnosti 4,0 je na tenké niti zavěšena plná hliníková kulička o poloměru 0,50 cm Tyčku podepřeme o okraj nádoby s vodou tak, aby byla v rovnovážné poloze, jestliže je kulička ponořena do vody právě polovinou svého objemu Určete, v jakém poměru jsou délky l 1, l 2 Hustota hliníku je 2, k m 3 /l 2 : l 1 =1,58:1/ 6

7 l 2 l 1 Stručné řešení: DOPLNIT Příklad 18 ( ) Do otevřené válcové nádoby přitéká plynule voda tak, že za 1,0 s přiteče 0,50 l Ve dně nádoby je otvor o obsahu průřezu 2,0 cm 2 Vjakévýšce se ustálí vodavnádobě? /h =31cm/ Stručné řešení: Je-li v nádobě výška vody h, pak otvorem na dně vytéká vodarychlostí aobjemovýprůtok vytékající vodyje Umocníme-li, dostaneme a odtud v = 2h Q V = Sv = S 2h Q 2 V =2hS2 h = Q2 V 2S 2 Protože objemový průtok vytékajícívodyjestejnýjakopřitékajícívody,tjq V =0, 5 l/s = 0,000 5 m 3 /s, vyjde po dosazení číselně h =0, 3125 m =31cm 7