Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Cvičení 2 Vyjádření náhodně proměnných veličin, Posudek spolehlivosti metodou SBRA, Posudek metodou LHS. Zpracování naměřených dat Tvorba histogramu s neparametrickým rozdělením Tvorba parametrického rozdělení Prostý nosník vystavený spojitému zatížení Příklady k procvičení Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB Technická univerzita Ostrava
Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Vyjádření náhodně proměnných veličin Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB Technická univerzita Ostrava
Náhodné proměnné Zatížení, rozměry, pevnostní charakteristiky (atd.) lze popsat statistickými parametry a za pomoci pravděpodobnostního rozdělení následujících typů: Histogram (neparametrické) X Parametrické rozdělení
Náhodné proměnné Neparametrické NP: jsou popsány hodnotami v jednotlivých bodech nebo intervalech (tabulka, histogram); příklad: české řezivo tř. p.si ro (kg/m3) [Ro-Czech softwood.dis] i hustota kg/m3 absolutní četnost relativní četnost kumulativní rel.četnost f*(x) f(x) F(x) 1 360 380 1 0.01 0.01 2 380 400 7 0.05 0.06 3 400 420 13 0.10 0.16 4 420 440 13 0.10 0.27 5 440 460 29 0.23 0.49 6 460 480 23 0.18 0.67 7 480 500 18 0.14 0.81 8 500 520 11 0.09 0.90 9 520 540 10 0.08 0.98 10 540 560 2 0.02 0.99 11 560 580 1 0.01 1.00 součet 128 1 6
Histogram Histogram 100 90 85 92 90 Četnost výskytu dat ve sloupci 80 70 Minimum Součet četností všech sloupců je celkový počet dat. 60 55 Četnost 50 40 43 46 Maximum 30 25 29 27 20 18 13 10 0 7 1 8 1 0 1 0 0 6 4 0 1 1 1 610.4 615.1 619.9 624.6 629.4 634.1 638.9 643.6 648.4 653.1 657.9 662.6 667.4 672.1 676.8 681.6 686.3 691.1 695.8 700.6 705.3 710.1 714.8 719.6 724.3 Šířka sloupce Hodnoty Střední hodnota sloupce
Tvorba podkladů pro histogram v Excelu Načíst data do Excelu Určit: min, max, počet vzorků, počet tříd Vypočítat: šířku třídy meze (hraniční hodnoty) tříd Určit příslušnost naměřených dat do sloupců Vypočítat četnosti výskytu dat ve sloupcích Uložit histogram: Přenést vytvořená data do formy vstupního textového souboru pro SBRA a PDPV (soubor s příponou dis ) Použít program HisAn
Tvorba podkladů pro histogram v Excelu - pomůcky Tvorba odkazu (tl. F4) : Absolutní : $B$1 Relativní : B1 Kombinace: $B1 nebo B$1 Výpočty: Součet: =suma(data) Maximum: =max(data) Minimum: =min(data) Počet: =počet(data) Četnost: =četnosti(data; horní meze)
610,374 615,122 619,87 624,618 629,366 634,114 638,862 643,61 648,358 653,106 657,854 662,602 667,35 672,098 676,846 681,594 686,342 691,09 695,838 700,586 705,334 710,082 714,83 719,578 724,326 Struktura histogramu pro SBRA a PDPV [Description] Identification=Testovaci histogram Type=Continuous Form=Frequency [Parameters] Min=608 Max=726.7 Bins=25 Total=554 [Bins] 7 1 8 43 25 (pokračujeme) Počet tříd Počet vzorků Četnost v jednotlivých sloupcích 7 1 8 43 25 1 85 18 92 Histogram 0 46 90 29 1 55 13 27 0 0 6 4 0 1 1 1
Tvorba histogramu v HistAn Prvotní data
Tvorba histogramu v HistAn Otevření datového souboru
Tvorba histogramu v HistAn Grafická forma histogramu Nastavení počtu intervalů Textová forma histogramu
Tvorba histogramu v HistAn Statistika souboru dat Výběr: Histogram Parametrické rozdělení
Tvorba histogramu v HistAn Opuštění okna
Tvorba histogramu v HistAn Uložení histogramu do souboru histogram02.dis
Tvorba podkladů pro parametrické rozdělení Určení statistických parametrů Průměr a směrodatná odchylka Vygenerování histogramu pomocí Hist An Pomůcky: Průměr: =průměr() Směrodatná odchylka: =SMODCH.VÝBĚR()
Normálního rozdělení v HistAn
Normálního rozdělení v HistAn
Normálního rozdělení v HistAn
Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Posudek spolehlivosti metodou SBRA Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB Technická univerzita Ostrava
Simulační metoda Monte Carlo a metoda SBRA Metoda Monte Carlo založena na náhodném výběru hodnot náhodných veličin a mnohonásobném opakování výpočtu. Metoda SBRA (Simulation-Based Reliability Assessment) aplikace metody MC na posudek spolehlivosti konstrukcí Anthill for Windows software pro posuzování konstrukcí metodou SBRA
Zadání příkladu Zadaný nosník z I profilu a oceli S235 pravděpodobnostně posuďte z hlediska únosnosti za ohybu: q=dl+ll a b l =6 m Proměnná Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Hodnota Symbol Histogram Rozsah Stálé zatížení DL kn 2,1 DL var DEAD1 <0,818..1> Dlouhodobé zatížení LL kn 3,5 LL var LONG1 <0..1> Modul průřezu W y m 3 1,087 10 4 W yvar Two bounded normal (1;0.01667) <0,95..1,05> Mez kluzu oceli f y kpa 1000 f y,var Tyče-Fy235-01.DIS <200..435>[MPa]
Postup řešení Úvod (zadání problému) Vstupní parametry Transformační vztahy Momenty Průhyby (využití superpozice účinků zatížení) Simulace metodou SBRA Výsledky Vyhodnocení pravděpodobnosti poruchy Závěry (posudek spolehlivosti)
Okno vzorců Zadávání ze spodu na horu
Počet simulací N>200000
Náhodně proměnné Histogramy saved distribution Normální rozdlělení (min, max, mean, STD)
Compile
Výstupní proměnné Proměnné jak o RF a sigma nastavit na LOG
Podmínka pravděpodobnosti poruchy
Vyhodnocení pravděpodobnosti poruchy Analýza funkce spolehlivosti SF 1 (únosnost) P f = P( SF<0)=P(R S <0) < P d = 4,8 10-5 = 3,4 10-5 Obvyklá úroveň spolehlivosti SF 1 <0 Návrh vyhověl z hlediska únosnosti
Vyhodnocení pravděpodobnosti poruchy Analýza funkce spolehlivosti SF 1 (únosnost) P f = P(R S <0)= 3,4 10-5 < P d = 4,8 10-5 Obvyklá úroveň R SF 1 <0, S P f =3,4 10-5 Návrh vyhověl z hlediska únosnosti
Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti Pravděpodobnost poruchy P f = P( SF<0)=P(R S <0) < P d Pravděpodobnostní posudek spolehlivosti nosných konstrukcí
Zadání příkladu 2 Zadaný nosník posuďte z hlediska bezpečnosti (únosnosti) a použitelnosti (omezení průhybu L/350): ocel S235 E=210000 MPa = 5 m Proměnná Nominální hodnota Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Symbol Hodnota Symbol Histogram Rozsah Stálé z. g kn m 1 g nom 5 g var DEAD1 <0,818..1> Krátkodobé z. q kn m 1 q nom 15 q var SHORT1 <0..1> Stálé z. F 1 kn F1 nom 15 F1 var DEAD1 <0,818..1> Dlouhodobé z. F 2 kn F2 nom 5 F2 var LONG2 <0..1> Modul průřezu W m 3 W nom 324 10 6 WI var AREA-S <0,9..1,1> Moment setrvačnosti I m 4 I nom 38,9 10 6 Mez kluzu oceli f y MPa f y,var T235FY01 <200..435>
Zadání příkladu 3 Určete variabilitu brzdné dráhy vozidla dle daných parametrů a stanovte pravděpodobnost nehody při vzdálenosti vozidla od překážky: d lim = 25 m, t 1 = 0,1 s reakční doba brzd, g = 9,81373 m/s² gravitační zrychlení. Náhodně proměnné (viz tabulka dále): V 0 = rychlost vozidla před bržděním (v obci na přehledném úseku), f = koeficient tření povrchu vozovky (mokrý povrch), t 2 = reakční doba řidiče. Malá nápověda: P f = P( SF<0)=P(d lim d <0)
Zadání příkladu 3 Proměnná Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Hodnota Symbol Histogram Rozsah Rychlost vozidla před bržděním (± 10%) v0 m/s 14 v0 var normal N Two bounded (14; 0.46667) <12,6..15,4> Koeficient tření povrchu vozovky (± 20%) f - 0.6 f var normal N Two bounded (0.6; 0.04) <0.48..0.72> Reakční doba řidiče (± 50%) t2 s 0.2 t2 var normal N Two bounded (0.2; 0.03333) <0.1..0.3>
Zadání příkladu 4 Určete pravděpodobnost překročení požadované hodnoty součinitele prostupu tepla u zadané skladby vnější stěny. U n = 0,31 W.m 2.K -1 (dle ČSN 73 0540-2:2007 - Část 2: Požadavky) R si = 0,13 m 2.K.W 1 (Součinitel přestupu tepla na vnitřním líci) R se = 0,04 m 2.K.W 1 (Součinitel přestupu tepla na vnějším líci) Materiál 1 - Omítka 2 1 vápenocementová Materiál 2 Zdivo porotherm 24 P+D Materiál 3- Tepelná izolace polystyren 10 240 100 3 Malá nápověda: U = 1 / ((Ʃ t i /λ i ) + Rsi + Rse ) P f = P( SF<0)=P(Un U <0)
Zadání příkladu 4 Proměnná Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Hodnota Histogram Rozsah Souč. tep. vodivosti 1 Omítka (± 5%) lambda1 Wm -1 K -1 0.99 Two bounded normal N (0.99;0.0165) <0.941..1.039> Tloušťka 1 Omítka (± 20%) tl1 m 0,01 Two bounded normal N (0.01; 0.0067) <0.008..0.012> Souč. tep. vodivosti 2 Porotherm (± 5%) lambda2 Wm -1 K -1 0.37 Two bounded normal N (0.37; 0.00617) <0.352..0.388> Souč. tep. vodivosti 3 TI Polystyren (± 5%) lambda3 Wm -1 K -1 0.04 Two bounded normal N (0.04; 0.00067) <0.038..0.042> Konstanty Symbol Jednotka Hodnota Tloušťka 2 Porotherm tl2 m 0,24 Tloušťka 3 TI Polystyren tl3 m 0,10
Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Posudek metodou LHS Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB Technická univerzita Ostrava
Zadání příkladu Zadaný nosník z I profilu a oceli S235 pravděpodobnostně posuďte z hlediska únosnosti za ohybu. Náhodně proměnné kromě dlouhodobého zatížení proložte vhodným rozdělením. a l =6 m q=dl+ll b Proměnná Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Hodnota Symbol Histogram Rozsah Stálé zatížení DL kn 2,1 DL var Proložit: DEAD1 <0,818..1> Dlouhodobé zatížení LL kn 3,5 LL var Přesně!!! LONG1 <0..1> Modul průřezu W y m 3 1,087 10 4 Wy var normal Two bounded N(1;0.01666667) Mez kluzu oceli f y kpa 1000 f y,var Proložit: Tyče- Fy235-01.DIS <0,95..1,05> <200..435>[MPa]
Náhodně proměnné - zatížení Random variables Zatížení DLvar Prvotní data
Náhodně proměnné - zatížení Načíst
Náhodně proměnné - zatížení Statistické hodnoty
Náhodně proměnné - zatížení Nastavit rozdělení Načíst
Náhodně proměnné - zatížení
Náhodně proměnné - zatížení Pozor!! Aplikovat empirická data
Náhodně proměnné - odolnost Odolnost Wvar
Náhodně proměnné - odolnost fyvar Načíst
Simulace generování dat Monte Carlo General data 200000 Monte Carlo
Transformační model a výpočet Model analysis New model function
Transformační model a výpočet Zadání rovnic
Transformační model a výpočet Funkce spolehlivosti Proměnné
Transformační model a výpočet Analýza modelu
Funkce spolehlivosti Histograms
Citlovostní analýza dlouhodobé zatížení LL Sensitivity analysis Porucha LLvar Korelační součinitel
Analýza spolehlivosti Monte Carlo 200 tis. simulací Reliability P f =3.5e -5 < P d =4.8e -5 RC3 P f =1e -5
Zadání příkladu 2 Zadaný nosník posuďte z hlediska bezpečnosti (únosnosti) a použitelnosti (omezení průhybu L/350): ocel S235 E=210000 MPa = 5 m Proměnná Nominální hodnota Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Symbol Hodnota Symbol Histogram Rozsah Stálé z. g kn m 1 g nom 5 g var DEAD1 <0,818..1> Krátkodobé z. q kn m 1 q nom 15 q var SHORT1 <0..1> Stálé z. F 1 kn F1 nom 15 F1 var DEAD1 <0,818..1> Dlouhodobé z. F 2 kn F2 nom 5 F2 var LONG2 <0..1> Modul průřezu W m 3 W nom 324 10 6 WI var AREA-S <0,9..1,1> Moment setrvačnosti I m 4 I nom 38,9 10 6 Mez kluzu oceli f y MPa f y,var T235FY01 <200..435>
Zadání příkladu 3 Určete variabilitu brzdné dráhy vozidla dle daných parametrů a stanovte pravděpodobnost nehody při vzdálenosti vozidla od překážky: d lim = 25 m, t 1 = 0,1 s reakční doba brzd, g = 9,81373 m/s² gravitační zrychlení. Náhodně proměnné (viz tabulka dále): V 0 = rychlost vozidla před bržděním (v obci na přehledném úseku), f = koeficient tření povrchu vozovky (mokrý povrch), t 2 = reakční doba řidiče. Malá nápověda: P f = P( SF<0)=P(d lim d <0)
Zadání příkladu 3 Proměnná Rozptyl (variabilita) Symbol Jednotka Hodnota Symbol v rovnici Histogram Rozsah Rychlost vozidla před bržděním (± 10%) v0 m/s 14 x1 Two bounded normal N (14; 0.46667) <12,6..15,4> Koeficient tření povrchu vozovky (± 20%) f - 0.6 x2 Two bounded normal N (0.6; 0.04) <0.48..0.72> Reakční doba řidiče (± 50%) t2 s 0.2 x3 Two bounded normal N (0.2; 0.03333) <0.1..0.3> Y =25-(x1*0.1+x1*x3+(x1*x1)/(2*x2*9.81373))
Zadání příkladu 4 Určete pravděpodobnost překročení požadované hodnoty součinitele prostupu tepla u zadané skladby vnější stěny. U n = 0,31 W.m 2.K -1 (dle ČSN 73 0540-2:2007 - Část 2: Požadavky) R si = 0,13 m 2.K.W 1 (Součinitel přestupu tepla na vnitřním líci) R se = 0,04 m 2.K.W 1 (Součinitel přestupu tepla na vnějším líci) Materiál 1 - Omítka vápenocementová Materiál 2 Zdivo porotherm 24 P+D Materiál 3- Tepelná izolace polystyren 1 2 3 Malá nápověda: U = 1 / ((Ʃ t i /λ i ) + Rsi + Rse ) 10 P f = P( SF<0)=P(Un U <0) 240 100
Zadání příkladu 4 Proměnná Symbol Jednotka Hodnota Symbol v rovnici Rozptyl (variabilita) Histogram Rozsah Souč. tep. vodivosti 1 Omítka (± 5%) lambda1 Wm -1 K -1 0.99 x1 Two bounded normal N (0.99;0.0165) <0.941..1.039> Tloušťka 1 Omítka (± 20%) tl1 m 0,01 x2 Two bounded normal N (0.01; 0.00067) <0.008..0.012> Souč. tep. vodivosti 2 Porotherm (± 5%) lambda2 Wm -1 K -1 0.37 X3 Two bounded normal N (0.37; 0.00617) <0.352..0.388> Souč. tep. vodivosti 3 TI Polystyren (± 5%) lambda3 Wm -1 K -1 0.04 x4 Two bounded normal N (0.04; 0.00067) <0.038..0.042> Konstanty Symbol Jednotka Hodnota Tloušťka 2 Porotherm tl2 m 0,24 Tloušťka 3 TI Polystyren tl3 m 0,10 Y = 0.31-(1/ ( (x2/x1 ) + (0.24/x3) + (0.1/x4) + 0.13 + 0.04 ) )