POSUDEK SPOLEHLIVOSTI SOUSTAVY SLOUPŮ S UVÁŽENÍM PODDAJNOSTI VETKNUTÍ

Transkript

1 IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie až Dům techniky Ostrava ISBN POSUDEK SPOLEHLIVOSTI SOUSTAVY SLOUPŮ S UVÁŽENÍM PODDAJNOSTI VETKNUTÍ Abstract Leo Václavek a Pavel Marek 2 The probabilistic safety assessment of a planar steel structure with cantilevered and leaning columns is investigated using SBRA method. The structure is exposed to several variable mutually uncorrelated and correlated loads. The effect of geometrical imperfections is considered. The influence of variabile flexibility of support conditions and variability of Young`s modulus on excess of reference value of displacement is analyzed.. Úvod Pravděpodobnost poruchy konstrukce e ovlivňována náhodnými, statisticky vzáemně nezávislými i závislými veličinami. Označíme-li odolnost konstrukce proměnnou R a účinek zatížení proměnnou S, pak pro rezervu spolehlivosti Z e možno psát Z = R - S = g(x,x 2, X n ) < 0, () kde g(x,x 2, X n ) e funkční závislost, která představue výpočtový model a X,X 2, X n sou náhodně proměnné vstupní veličiny. Při použití přímé simulace Monte Carlo e výše uvedená rovnice opakovaně řešena pro náhodně generované vstupní veličiny a pravděpodobnost poruchy potom vyádřena ako poměr počtu simulací kdy Z < 0 k celkovému počtu simulací. V tomto příspěvku e postup demonstrován na příkladě ocelové konstrukce, s použitím metody SBRA. O metodě SBRA viz [], [2]. 2. Popis konstrukce Rovinná konstrukce na obrázku se skládá ze dvou vetknutých sloupů označených, 2 o délkách l, l 2, dvou sloupů opřených (kyvných) označených 3, 4 o délkách l 3, l 4 a tří příčníků, kterými sou horní konce sloupů kloubově spoeny. Délky příčníků nesou v obrázku vyznačeny. Nezatížená konstrukce vykazue odchylky od geometricky ideálního tvaru. Počáteční zakřivení os vetknutých sloupů sou zahrnuty výpočtovými hodnotami počátečních výchylek f, f 2, excentricity působišť svislých sil F, F 2 sou e, e 2. Imperfekce opřených sloupů, ako např. odchylky svislosti a excentricity v přípoích, sou vyádřeny pomocí ekvivalentních imperfekcí a 3, a 4. Vetknutí sloupů, 2 sou považována za poddaná; předpokládá se lineární závislost mezi momenty M, M 2 ve vetknutích a úhly natočení vetknutých průřezů, zprostředkovaná koeficienty k, k 2. Klouby kyvných sloupů 3, 4 a horní klouby vetknutých sloupů, 2 momenty nezachycuí. Ohybové tuhosti E I, E 2 I 2 vetknutých sloupů sou konstantní po celé délce každého sloupu. Ing. Leo Václavek, CSc., VŠB Technická univerzita Ostrava, Fakulta stroní, Katedra pružnosti a pevnosti, 7.listopadu 5, Ostrava-Poruba, tel. (+420) , leo.vaclavek@vsb.cz 2 Prof.Ing. Pavel Marek, DrSc., (a) ÚTAM AV ČR, Prosecká 76, Praha 9, tel. (+420) , e- mail: marekp@itam.cas.cz, (b) VŠB-Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava - Poruba, tel.: (+420) , pavel.marek@vsb.cz

2 24 Na konstrukci působí svislé síly F, F 2, F 3, F 4 a horizontální síly W, EQ. V dalším výpočtu není uvažováno s teplotními rozdíly vzhledem k montážní teplotě. 3. Odezva konstrukce na zatížení Napěťovou a deformační odezvu konstrukce na vněší silové zatížení umožňue vypočítat vhodný transformační model. V této studii e použitý analytický transformační model sestavený na základě teorie II. řádu. Je respektován vliv posunů a pootočení na velikost silových veličin, zůstáváme v mezích lineární elasticity. Model byl vytvořen za předpokladu, že nedode k vybočení konstrukce z roviny zatížení. Dále se předpokládá δ e a 3 δ δ e 2 a 4 δ W+EQ F F 3 F 2 F 4 f f 2 l l 3 l 4 l 2 H M k 3 H 2 k 2 2 M2 4 Obr.: Konstrukce s vetknutými a opřenými sloupy, poloha sloupů nezatížené konstrukce e vyznačena čárkovaně dostatečně povlovné narůstání vněších silových účinků, a v důsledku toho i napětí a deformací, takže e možné zanedbat dynamické účinky. Případnou interakci mezi vzpěrem tenkostěnného tlačeného prutu a lokálním boulením eho stěn výpočtový model nezahrnue. Rovněž není přímo zahrnut vliv možných zbytkových napětí na únosnost konstrukce. Podrobnosti k odvození transformačního modelu podobné konstrukce lze nalézt v příspěvku [3]. Pro horizontální přemístění δ horních konců sloupů vyde 4 2 ai Fi Z i W + EQ + Fi + 3 li Gili δ =, (2) 4 F F2 Fi + G l G l l kde i Z G = P cos ( ω l ) tg = P ω l ( ω l ), e P + π ( G + ) π f ω l ( ω l ) 2, F ω =, (3),(4) E I F l tg =,2. (5),(6) k ω l =

3 25 Ohybový moment M, přenášený vetknutým průřezem sloupu e Z = + M F δ + e. (7) G G 4. Vstupní hodnoty Délky l, l 2, l 3, l 4 sloupů vstupuí do výpočtu ako konstantní veličiny. Všechny další veličiny vstupuí do výpočtu ako náhodně proměnné. V konkretním simulačním kroku se náhodně proměnná veličina stanoví ako součin eí extrémní hodnoty (síly), resp. eí nominální hodnoty (zakřivení excentricity, imperfekce, průřezové charakteristiky, modul pružnosti v tahu) a náhodně proměnné, reprezentované odpovídaícím ohraničeným histogramem. Zde použité histogramy lze nalézt ve [2], některé z nich viz Dodatek. Každá z vertikálních sil F, F 2, F 3, F 4 e součtem stálého, dlouhodobého nahodilého a krátkodobého nahodilého zatížení. Extrémní hodnoty těchto zatížení sou uvedeny v tabulce. Maximální velikost horizontální síly reprezentuící účinek větru e W = 50kN. Horizontální síla EQ představue účinek zemětřesení na konstrukci. Extrémní hodnota síly EQ e odvozena od velikosti svislých sil působících na konstrukci v okamžiku zemětřesení. V této studii e použito EQ = 0.02 F i, resp F i a histogram Earth65, viz [4], [5]. Tab.: Extrémní hodnoty vertikálních sil a im přiřazené histogramy Extrémní amplitudy zatížení [kn] Součet Síla [kn] Stálé zatížení Dlouhodobé nahodilé Krátkodobé nahodilé F F F F Přiřazené histogramy (viz [],[2]) vzáemně nezávislých zatížení Dead Long2 Short2 Vetknutý sloup e zhotoven z profilu HE 280 B, sloup 2 z profilu HE 320 B. Délky sloupů l, l 2, l 3, l 4, mezní počáteční výchylky f, f 2 zakřivených vetknutých sloupů, kraní hodnoty excentricit e, e 2 vertikálních sil F, F 2 a kraní hodnoty imperfekcí a 3, a 4 připoených kyvných sloupů sou spolu s příslušnými histogramy uvedeny v tabulce 2. Tab.2: Délky sloupů, počáteční výchylky, excentricity, imperfekce a přiřazené histogramy Sloup číslo Délka sloupu [m] Zakřivení, počáteční výchylka [mm] Excentricita síly [mm] Imperfekce [mm] l 6 f 0±20 e 0±30 2 l f 2 0±25 e 2 0±38 3 l a 3 0±27 4 l 4 6 a 4 0±30 Přiřazené histogramy (viz [],[2]) vzáemně nezávislých veličin Normal5 Normal5 Normal5

4 26 Variabilita momentů setrvačnosti I, I 2 průřezových ploch vetknutých sloupů, 2 e zahrnuta pomocí histogramu N-08. Jako náhodné proměnné vstupuí do výpočtu také průřezový modul S (použitý histogram N-08) a plocha průřezu A (použitý histogram N-04) vetknutého sloupu. Nominální hodnota modulu pružnosti v tahu materiálu obou vetknutých sloupů e E = E 2 = 20 GPa. Proměnnost modulu pružnosti byla na základě údaů ve [6] (střední hodnota 20 GPa, směrodatná odchylka 2.6 GPa) zavedena do výpočtu pomocí histogramu N-5, ehož rozsah e 0.85 až.5, střední hodnota e a variační koeficient Obdobné parametry vykazuí data souboru modulů pružnosti v tahu uvedená ve [7]. Tuhost vetknutí sloupů, 2 charakterizuí koeficienty k, k 2 lineární závislosti mezi momentem ve vetknutí a úhlem natočení. Podle [7] byla odhadnuta eich hodnota na k = Nm/rad, k 2 = Nm/rad. Jeich variabilita. e do výpočtu zahrnuta pomocí histogramu N Posudek spolehlivosti Při stanovení pravděpodobnosti poruchy e aplikována metoda SBRA. Programem M- Star e vyhodnocena funkce spolehlivosti () (vzhledem k referenční hodnotě únosnosti resp. použitelnosti konstrukce) a stanovena pravděpodobnost překročení referenční úrovně. Únosnost konstrukce e posouzena vzhledem k vyčerpání pružné oblasti působení vetknutého průřezu sloupu. Za použití výpočtového modelu daného rovnicemi (2),,(7) e analyzována funkce spolehlivosti SF = R Q. Proměnná R e hodnota meze kluzu FY, odpovídaící vlastnostem materiálu sloupu, daná histogramem A36-m, viz [], [2]. Q e napětí od ohybového momentu M a normálové síly F v kraním vlákně vetknutého průřezu sloupu. Vypočtené hodnoty pravděpodobnosti poruchy P f (překročení meze kluzu v kraním vlákně průřezu) sou uvedeny v tabulce 3. Pro výpočet každé z hodnot P f v tabulce 3 bylo použito simulačních kroků. Úroveň spolehlivosti e vyhodnocena srovnáním s návrhovou pravděpodobností poruchy P d podle ČSN (998), Navrhování ocelových konstrukcí, Příloha A. Tab.3: Posudek únosnosti vypočtená pravděpodobnost poruchy a úroveň spolehlivosti Maximální velikost síly EQ Tuhost vetknutí, nominální hodnota [Nm/rad] P f Úroveň spolehlivosti EQ = 0.02 F i ideální vetknutí zvýšená EQ = 0.02 F i k = 8 0 7, k 2 = zvýšená EQ = 0.04 F i ideální vetknutí snížená EQ = 0.04 F i k = 8 0 7, k 2 = snížená Použitelnost konstrukce e vztažena k hodnotě δ tol = 40mm vodorovného přemístění horních konců sloupů. Progranem M-Star e analyzována funkce použitelnosti SF = δ tol - δ, kde δ e přemístění horních konců sloupů vypočtené pomocí rovnic (2),,(6). Vypočtené pravděpodobnosti poruchy P f (pravděpodobnosti překročení přípustného přemístění) sou uvedeny v tabulce 4. Výpočet e proveden bez uvážení vlivu zemětřesení na konstrukci, s uvážením účinku zemětřesení, s konstantními i variabilními hodnotami modulu pružnosti v tahu materiálu vetknutých sloupů a pro konstantní i variabilní hodnoty tuhosti vetknutí. Pro výpočet každé hodnoty pravděpodobnosti překročení tolerovaného přemístění δ tol = 40mm uvedené v tabulce 4 bylo použito simulačních kroků.

5 27 Tab.4: Posudek použitelnosti vypočtené pravděpodobnosti překročení δ tol = 40mm Účinek zemětřesení horizontální síla EQ [N] 0 (0.02ΣF i ) (Earth65) 0 (0.02ΣF i ) (Earth65) 0 (0.02ΣF i ) (Earth65) Tuhosti vetknutí, sloupy, 2 k, k 2 [Nm/rad] Moduly pružnosti v tahu [GPa] E = 20 E 2 = 20 E = 20 (N-5) E 2 = 20 (N-5) ideální vetknutí k = k 2 = ideální vetknutí k = k 2 = k = k 2 = k = k 2 = k = (N-20) k 2 = (N-20) k = (N-20) k 2 = (N-20) Závěr Jak bylo možno předpokládat, tabulky 3 a 4 ukazuí na podstatný vliv horizontálních sil (při současném působení sil vertikálních) na pravděpodobnost poruchy konstrukce. V případě výsledků uvedených v tabulce 3 e nutno mít na zřeteli rovněž významný vliv použitého histogramu (A36-m) meze kluzu na straně odolnosti konstrukce, který není na první pohled zřemý. Výsledky v tabulce 3 i 4 ukazuí, že ve výpočtovém modelu e vhodné vzít v úvahu konečné tuhosti vetknutí. Z tabulky 4 e zřemé, že pro zde použité hodnoty tuhostí k, k 2 dostáváme ve srovnání s ideálním vetknutím zhruba dvonásobnou pravděpodobnost překročení tolerované hodnoty posuvu. Samotná variabilita tuhostí k, k 2 se na výsledku proevila málo. Hodnoty uvedené v prvním sloupci výsledků tabulky 4 byly vypočteny při konstantních vstupních hodnotách modulů pružnosti v tahu E, E 2. Ve druhém sloupci sou hodnoty vypočtené při uvážení variability E, E 2. Je zřemé, že i když se vliv proměnlivosti modulu pružnosti v tahu proevil, není v případě zde posuzované konstrukce významný. Oznámení Příspěvek byl vypracován s podporou Grantové agentury České republiky, viz proekty GAČR 03/0/40 a 05/0/0783. Literatura [] MAREK, P., GUŠTAR, M., ANAGNOS, T., Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press, Inc., Boca Raton, Florida, 995. [2] MAREK, P., BROZETTI, J., GUŠTAR, M., Probabilistic Assessment of Structures using Monte Carlo Simulation. Background, Excercises, Software. Published by ITAM CAS CZ, Prague, Czech Republic, 200.

6 28 [3] VÁCLAVEK, L., MAREK, P., SBRA-Based Reliability Assessment of an Unbraced Frame with Leaning Columns. Engineering Mechanics, Vol.9, No.6, 2002, pp [4] VÁCLAVEK, L., MAREK, P., Posudek pravděpodobnosti poruchy konstrukce vystavené extrémnímu zatížení. In: Sborník z konference Spolehlivost konstrukcí, Dům techniky Ostrava s.r.o., Ostrava, duben 2002, s [5] VÁCLAVEK, L., MAREK, P., Reliability Assessment of an Unbraced Frame with Leaning Columns (Assignment). In: Proceedings of the International Colloquium Euro-SiBRAM 2002, Vol.2 (attached CD), Published by ITAM CAS CZ, Prague, June 24 to 26, [6] KALA, Z., KALA, J., Stabilitní problémy ocelových prutových konstrukcí stochastický přístup.část 4. Stavební obzor, Vol. 0, 200, No.9, s [7] HALDAR, A., MAHADEVAN, S., Reliability Assessment using Stochastic Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York, Dodatek Na obrázcích 2 až 4 sou zobrazeny některé použité histogramy. Podrobnosti o histogramech viz [], [2]. (a) (b) (c) Obr.2: (a) histogram Dead, rozsah 0.88 až, (b) histogram Long2, rozsah 0.0 až.0, maxima ve 0.0, 0,3, 0,625, (c) histogram Short2, rozsah 0.0 až.0, 50% nula (a) (b) (c) Obr.3: (a) histogram Wind, rozsah.0 až.0, (b) histogram Earth65, rozsah.0 až.0, (c) histogram N-5, rozsah 0.85 až.5 Obr.4: Histogram A36-m, rozsah až 500 MPa