Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Transkript

1 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

2 Osnova přednášky Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu Náhodná veličina: diskrétní spojitá Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti: Parametrické Neparametrické (empirické) Pravděpodobnostní funkce Hustota rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtu Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 33

3 Pravděpodobnost Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie. Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po vynásobení 100) V teorii spolehlivosti konstrukcí např. kde P f P s P f... pravděpodobnost, že nastane porucha P s... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 33 1

4 Náhodná veličina Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω. Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti. Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité (diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem. Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1. Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 33

5 Náhodná veličina P (x ) 0,180 0,165 Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny 0,150 0,135 0,120 0,105 0,090 0,075 0,060 0,045 0,030 0,015 0, x Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 33

6 Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí pravděpodobnostní funkce P(x). Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Např. pravdě- x podobnost, že náhodná veličina X leží mezi hodnotami x 1 a x 2 se určí: P 2 x x x Px 1 2 x xx 1 P(x) x 1 P(x 1 ) x 2 P(x 2 ) x n P(x n ) Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 33

7 Distribuční funkce diskrétní veličiny Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkci vztahem: F x P X x Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem Vlastnosti x 1 0 F F x tx P t Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a F(b) = 1. Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 33

8 Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou P (x ) 0,180 Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou Pravděpodobnostní funkce 0,165 0,150 0,135 0,120 0,105 0,090 0,075 0,060 0,045 F (x ) 1,000 Distribuční funkce hodu kostkou 0,030 0,015 0,800 0, x 0,600 0,400 0,200 Distribuční funkce 0, x Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 33

9 Hustota rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti). Je-li j(x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí kde Ω je definiční obor veličiny X. j xdx 1 (Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti nulová). Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti j(x) lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x 1,x 2 >, tedy P 2 x X x jx 1 2 dx x x 1 Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 33

10 Distribuční funkce spojité veličiny Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti j(x) lze definovat distribuční funkci vztahem F x Vlastnosti j t dt 0 Platí, že F a F 1. Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť P x X x Fx F x1 Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti j(x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah j x x df dx Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 33

11 Distribuční funkce spojité veličiny Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Základní principy teorie pravděpodobnosti 10 / 33

12 Pravděpodobnost (četnost) Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy 1. Původní (originální) rozdělení pravděpodobnosti 2. Diskrétní (discrete) rozdělení pravděpodobnosti 3. Čistě diskrétní (pure discrete) rozdělení pravděpodobnosti 4. Po částech rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Intenzita Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 11 / 33

13 Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Neomezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné spojité veličiny Omezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné spojité veličiny Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 12 / 33

14 (Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány analytickou funkcí např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny (např. m střední hodnota a s směrodatná odchylka) f x m s xm 1 2 2s, e 2s 2 Nominální napětí v pásnici Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 0.02 Std Mean Std Mez kluzu Std Mean Std definovány na základě měření, často i dlouhodobých Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 13 / 33

15 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Důležitá spojitá rozdělení pravděpodobnosti: Rovnoměrné rozdělení Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) Exponenciální rozdělení Laplaceovo rozdělení Std Variable 1 Mean Std Logistické rozdělení Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny - Maxwellovo rozdělení parametry (např. střední hodnota a směrodatná Studentovo rozdělení odchylka) Fischerovo-Snedecorovo rozdělení χ² rozdělení (Chí kvadrát) Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 33

16 Normální rozdělení pravděpodobnosti Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti: 2 xm 1 2 2s f x m, s e 2s m... střední hodnota f x m, s 1 e 2s 1 xm 2 ( ) s 2 1 m n i 1 s... směrodatná odchylka n x i s 1 n x i m n i 1 2 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 15 / 33

17 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení pravděpodobnosti m... střední hodnota s... směrodatná odchylka f xm 1 2 2s, x m s e 2s 2 0,1 0,09 0,08 0,07 m 1 n n i 1 ln x i s=0.5 s=0.75 s=1 Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti f lnxm 1 2 2s, x m s x e 2s 2 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 s 1 lnx i m n i 1 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 n 2 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 16 / 33

18 Mez kluzu f y oceli S235 Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 17 / 33

19 Tlaková pevnost betonu Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 18 / 33

20 Krycí vrstva betonu Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 19 / 33

21 Pevnost zdiva Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 20 / 33

22 Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 21 / 33

23 Programový nástroj HistAn Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů. Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika vstupních histogramů Určení tzv. sumárního histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí) Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením Zpracování naměřených (prvotních) dat Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin 22 / 33

24 Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti Histogram omezeného diskrétního (discrete) rozdělení pravděpodobnosti Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 23 / 33

25 Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti Histogram čistě diskrétního (pure discrete) rozdělení pravděpodobnosti Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 24 / 33

26 Struktura datového souboru s definicí histogramu Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje údaje následujícího tvaru: [Description] (1. oddíl datového souboru) Identification= volitelný popis datového souboru Type= Pure Discrete Discrete Continuous (typ empirického rozdělení) [Parameters] (2. oddíl datového souboru) Min= minimální funkční hodnota Max= maximální funkční hodnota Bins= celkový počet tříd daného histogramu Total= součet četností ve všech třídách [Bins] (3. oddíl datového souboru) četnost v 1. třídě četnost ve 2. třídě atd.... Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 25 / 33

27 Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování. Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením s možností volby počtu intervalů. Použití histogramů s parametrickým rozdělením. K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti. Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 26 / 33

28 Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc) Pravděpodobnost pro useknutí parametrického rozdělení Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X 2 Half-Logistic Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 27 / 33

29 Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti Histogram aproximace parametrického rozdělení pravděpodobnosti omezeným diskrétním (discrete) rozdělením pravděpodobnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 28 / 33

30 Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení Charakteristiky odvozených parametrických dat Výběr vhodného rozdělení dle koeficientu těsnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 29 / 33

31 Koeficient těsnosti Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 30 / , y i i i i x y y Y s y Y Y y n s s s i i y y y n s i i Y y Y n s i i i x y Y y n s 2 2,. 1 Y i... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě x i y... střední hodnota ze všech y i rozptyly pro n intervalů 0,1 2 2 y Y s s

32 Reziduální (zbytkový) součet čtverců Rozptyl s 1 n 2 y, x. i y i Y i 2... žádoucí nejmenší hodnota Y i... hodnota funkce hustoty pravděpodobnosti parametrického rozdělení v příslušné hodnotě x i Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 31 / 33

33 vhodná nevhodná Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 32 / 33

34 Závěry Přednáška: byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu, ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné veličiny formou neparametrického (empirického) a parametrického rozdělení pravděpodobnosti, stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů, nastínila použití programového prostředku HistAn. Závěry 33 / 33

35 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Děkuji za pozornost!

36 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Téma 3: Simulační metody typu Monte Carlo Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

37 Osnova přednášky Začlenění metody Monte Carlo do přehledu pravděpodobnostních metod Historie metody Monte Carlo Buffonova jehla První systematické využití metody Monte Carlo Využití metody Monte Carlo k numerické integraci Výhody a nevýhody metody Monte Carlo Zákon velkých čísel Generátory (pseudo)náhodných čísel Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel Vliv vstupních konstant na vygenerovaná pseudonáhodná čísla Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte Carlo Pravděpodobnostní metoda SBRA Metoda Monte Carlo 1 / 34

38 Pravděpodobnostní metody Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky Latin Hypercube Sampling LHS Stratified Sampling - SC Pokročilé simulační metody: Importance Sampling IS Adaptive Sampling AS Directional Sampling DS Line Sampling LS Aproximační metody Přehled např. [Novák, 2005] First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy Response Surface - RS Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV Přehled pravděpodobnostních metod 2 / 34

39 Buffonova jehla Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi, který se roku 1777 pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova čísla náhodným vrháním jehly na linkovaný papír. Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon ( ) Pravděpodobnost jevu, kdy jehla stejné délky, jako je vzdálenost mezi linkami, po dopadu na papír zůstane ležet na papíře tak, že protíná některou z linek, je rovna: p Historie metody Monte Carlo 3 / 34 2

40 Výpočet Ludolfova čísla Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla následujícím způsobem: Obsah čtvrtkružnice: S 1 r 4. 2 Obsah čtverce: Poměr obou ploch: 2 S2 r. r 4. r Základem výpočtu je čtverec o straně r, do kterého se náhodně hází malý předmět. Výsledný poměr počtu všech hodů a hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu Ludolfova čísla. Historie metody Monte Carlo 4 / 34 S S Ludolfovo číslo je S1 4. pak rovno: S 2

41 První systematické využití metody Enrico Fermi ( ) Pravděpodobně první systematické využití metody Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku 1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově objevené částice neutronu. Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam a John von Neumann nebo Nicholas Metropolis. Oba prvně jmenovaní např. s využitím metody Monte Carlo zkoumali v americké Národní laboratoři Los Alamos chování neutronů (jaké množství neutronů projde různými materiály, např. nádrží vody). Stanislaw Ulam ( ) Historie metody Monte Carlo 5 / 34

42 První systematické využití metody Autoři již pracovali v době, kdy mohly používat pro simulování náhodných jevů jednoduché počítače. Název metody pochází právě od Stanislawa Ulama, který ji pojmenoval podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Metoda se dříve používala pod označením statistical sampling statistický výběr. Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý fyzikální generátor náhodných čísel, podobně jako např. hrací kostka). Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích, kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený americký vývoj atomové bomby za 2. světové války). Historie metody Monte Carlo 6 / 34

43 Využití metody Monte Carlo k numerickému integrování Metoda je využívána zejména pro výpočet integrálů hustot pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných, kde běžné metody nejsou efektivní. Metoda Monte Carlo má široké využití od simulaci náhodných experimentů přes numerickou integraci určitých integrálů po numerické řešení diferenciálních rovnic. Z principů prosté simulační metody Monte Carlo vychází řada pravděpodobnostních postupů např. SBRA. Historie metody Monte Carlo 7 / 34

44 Výhody a nevýhody metody MC Metoda Monte Carlo je založena na provádění náhodných experimentů s modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu. Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá přesnost. err B N kde N je počet náhodných experimentů (simulací, simulačních kroků, historií) a B je konstanta, vyjadřující povahu konkrétního příkladu Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet simulací alespoň o dva řády. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 8 / 34

45 Chyba výpočtu simulací Monte Carlo Při pravděpodobnostním posouzení a výpočtu pravděpodobnosti poruchy p f závisí přesnost odhadu nejenom na celkovém počtu simulací N, ale také na řádu určované pravděpodobnosti poruchy p f. Variační koeficient pravděpodobnosti poruchy lze pro malé pravděpodobnosti definovat ve tvaru: 1 v p f N. p f Princip simulačních metod typu Monte Carlo 9 / 34

46 Chyba výpočtu simulací Monte Carlo Např.: Pokud se bude odhad pravděpodobnosti poruchy p f pohybovat v řádu 10-4 a výpočet byl proveden s počtem simulačních kroků N=10 4, variační koeficient pravděpodobnosti poruchy se rovná: v p f 10 Odhad chyby výsledné pravděpodobnosti poruchy p f je tedy 100% Zvýšením počtu simulací N=10 6 pak variační koeficient pravděpodobnosti poruchy dosahuje příznivější hodnoty: 4 1 v p f ,1 a výsledek by se neměl oproti přesnému řešení lišit o 10%. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 10 / 34

47 Zákon velkých čísel Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti. Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny: X 1 X... N N 1 X N kde X 1, X 2,..., X N představuje nekonečnou posloupnost vzájemně nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou m. Se zvyšujícím se počtem historií N bude střední hodnota vygenerované posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě X n m, což lze demonstrovat na jednoduchém příkladu s hrací kostkou. Princip simulačních metod typu Monte Carlo 11 / 34

48 Zákon velkých čísel V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu čísel na jednotlivých stranách roven: m ,5 6 Střední hodnota vržených čísel 5,0 4,5 4,0 Střední hodnota 3,5 3,0 2,5 2, Počet hodů Vývoj vypočtené střední hodnoty vržených čísel Princip simulačních metod typu Monte Carlo 12 / 34

49 Zákon velkých čísel Počty zastoupení jednotlivých čísel v hodech kostkou Počty zastoupení vržených čísel v hodech kostkou Princip simulačních metod typu Monte Carlo 13 / 34

50 Zákon velkých čísel 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% Procentuální zastoupení 10,00% ,00% Číslo Procentuální zastoupení jednotlivých čísel Celkový počet hodů 0,00% Procentuální zastoupení vržených čísel (celkové maximum počtu hodů je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel) Princip simulačních metod typu Monte Carlo 14 / 34

51 Generátory (pseudo)náhodných čísel Fyzikální generátory náhodných čísel Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel U AU Cmod M n1 n Princip simulačních metod typu Monte Carlo 15 / 34

52 Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce Slouží pro generování posloupností náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením. Derrick Henry Lehmer ( ) Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu: U AU Cmod M n1 n kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru (žádoucí nesoudělnost A a M). Princip simulačních metod typu Monte Carlo 16 / 34

53 Numerická integrace metodou Monte Carlo Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných integrálů. I x x h d y y h d f x, y,... dxdy... f x, y,... kde f představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných bodech. V dxdy... Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované oblasti V. Výsledný integrál pak lze definovat: I V N f ; N V. f. N i1 f i Princip simulačních metod typu Monte Carlo 21 / 34

54 Numerická integrace metodou Monte Carlo Odchylku od střední hodnoty funkce f zachycuje směrodatná odchylka: s f ; N N i1 f N f i 2 Podobně lze stanovit i odchylku od střední hodnoty výsledného integrálu I: s N I; N f f i což lze považovat za ukazatel nepřesnosti výpočtu. V N i1 2 Princip simulačních metod typu Monte Carlo 22 / 34

55 Princip simulační metody SBRA Generování omezených rozdělení a transformace na požadované rozdělení U AU Cmod M n1 n Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 27 / 34

56 Odolnost R Posudek spolehlivosti metodou SBRA Např. Marek a kol. CRC Press, Vstupní proměnné charakterizují useknuté histogramy s neparametrickým rozdělením pravděpodobnosti. Analýza funkce spolehlivosti metodou Monte Carlo. Spolehlivost je vyjádřena jako p f < p d, kde p f je pravděpodobnost poruchy, a p d je v normová návrhová pravděpodobnost poruchy: p f = Σ / Σ < p d Účinek zatížení S Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 28 / 34

57 Náhodné veličiny Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky Stálé F hd Dlouhodobé nahodilé F hl 2 Sníh F hsn Dlouhodobé nahodilé F hl 1 Krátkodobé nahodilé F hs Vítr F hs Napětí na mezi kluzu F f y Reprezentace náhodně proměnných veličin histogramem s neparametrickým (empirickým) rozdělením pravděpodobnosti Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 29 / 34

58 Výpočet metodou SBRA, program AntHill Pracovní plocha programu Anthill Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 30 / 34

59 Výpočet metodou SBRA, program AntHill Nápověda programu Anthill (tvorba matematického modelu s využitím aritmetických výrazů a funkcí) Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 31 / 34

60 Koncepty posudku spolehlivosti Koncept Design Pointu (PFD) Pravděpodobnostní alternativa P f = (modré)/(zelené) body R d > S d R R d S d S Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 32 / 34

61 Podstata metody, závěry Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými histogramy s neparametrickým rozdělením pravděpodobnosti, Pravděpodobnost poruchy p f je získána analýzou funkce spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function) s využitím simulační techniky Monte Carlo, Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti p f < p d, kde p d je návrhová pravděpodobnost daná normou, např. ČSN EN 1990, Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet simulačních kroků, Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní. Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 33 / 34

62 Závěry Přednáška: byla zaměřena na základní pravděpodobnostní metodu prostou simulační metodu Monte Carlo, ukázala historii vývoje této pravděpodobnostní metody, vysvětlila podstatu kongruenčních generátorů pseudonáhodných čísel, které se uplatňují při výpočtu simulační metodou Monte Carlo, metodiku výpočtu simulační metodou Monte Carlo demonstrovala na elementárním příkladu, zmínila pravděpodobnostní metodu SBRA, která umožňuje provádět pravděpodobnostní výpočty simulací Monte Carlo. Závěry 34 / 34

63 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Děkuji za pozornost!

64 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava

65 Osnova přednášky Začlenění stratifikovaných a pokročilých simulačních metod do přehledu pravděpodobnostních metod Metoda Latin Hypercube Sampling LHS Podstata metody Aplikace metody v programu FREET Zadání náhodných vstupních veličin Zadání statistické závislosti vstupních veličin Výpočet simulací Definice výpočetního modelu Analýza výsledků simulačního výpočtu Ukázky výpočtu Hlavní rysy ostatních typů simulačních metod Stratifikované a pokročilé simulační metody 1 / 27

66 Pravděpodobnostní metody Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky Latin Hypercube Sampling LHS Stratified Sampling - SC Pokročilé simulační metody: Importance Sampling IS Adaptive Sampling AS Directional Sampling DS Line Sampling LS Aproximační metody Přehled např. [Novák, 2005] First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy Response Surface - RS Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV Metody pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti 2 / 27

67 Zdokonalené simulační metody Klasická simulační technika Monte Carlo se často potýká s problémem malé efektivnosti u složitějších spolehlivostních úloh, u nichž lze provést jen omezený počet simulací. Další nevýhodou přímé metody Monte Carlo je potřeba velkého množství simulací k odhadu pravděpodobnosti poruchy p f, která je obvykle u řešených úloh velmi malá. Východiskem jsou zdokonalené simulační metody (stratifikované, pokročilé), které umožňují odhadnout pravděpodobnost poruchy p f s menším počtem simulací. Stratifikované a pokročilé simulační metody 3 / 27

68 Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Podobně jako u klasické simulace Monte Carlo je i u metody LHS odhad pravděpodobnosti poruchy p f získán z určitého počtu realizací funkce poruchy G(X) n náhodných veličin X = X 1, X 2 až X n. Definiční obor distribuční funkce F(X i ) každé náhodné veličiny X i je ale přitom rozdělen na N intervalů (tříd) o stejné pravděpodobnosti: 1 N Princip LHS: rozdělení definičního oboru distribuční funkce náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody 4 / 27

69 Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Reprezentativní hodnoty dané veličiny jsou při simulaci vybírány na základě náhodných permutací celých čísel j = 1, 2,..., N. Při výpočtu je provedeno právě N simulací, během nichž je každý z intervalů vybrán pouze jednou. Z každého intervalu je vybrána buď jeho střední hodnota, hodnota odpovídající mediánu nebo naprosto náhodně zvolená hodnota, ze které se na základě inverzní distribuční funkce F -1 Xi (X i ) určí odpovídající reprezentativní hodnota x i,j náhodné veličiny X i. Stratifikované a pokročilé simulační metody 5 / 27

70 Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Tímto způsobem lze zajistit, že se při simulacích rovnoměrně pokryje celý rozsah distribuční funkce náhodné veličiny, což vede k uspokojivým odhadům výsledných pravděpodobností při relativně malém počtu simulací. Stratifikované a pokročilé simulační metody 6 / 27

71 Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS Při pravděpodobnostních výpočtech metodou LHS je možno zadat statistickou závislost jednotlivých vstupních veličin pomocí korelační matice, která obsahuje korelační koeficienty mezi jednotlivými náhodnými veličinami. Při výpočtu se pak iteračně (např. metodou simulovaného žíhání) upraví (přeuspořádá) obsah tzv. tabulky náhodných permutací (obsahuje N řádků s příslušnými vygenerovanými hodnotami simulací j = 1, 2,..., N a n sloupců pro každou náhodnou veličinu X 1, X 2,..., X n ) tak, aby se korelační matice výsledných náhodných veličin co nejvíce blížila korelační matici zadané. Stratifikované a pokročilé simulační metody 7 / 27

72 Software Freet (Feasible Reliability Engineering Tool) Víceúčelový Pravděpodobnostní Software pro statistickou, citlivostní a spolehlivostní analýzu. Vyvíjen na Ústavu stavební mechaniky Fakulty stavební VUT v Brně. Verze 1.5 Demo verze ke stažení na Stratifikované a pokročilé simulační metody 8 / 27

73 Freet: zadávání vstupních veličin Freet: zadání náhodné proměnné s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti. Možnost výběru z databáze parametrických rozdělení a zadáním konkrétních hodnot statistických momentů dané náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody 9 / 27

74 Freet: typy parametrických rozdělení Deterministic Normal Lognormal (2par) Lognormal (3par) Weibull min (2par) Weibull min (3par) Weibull max (2par) Weibull max (3par) Raileigh Raileigh negative Beta (4par) Gamma (2par) Gamma negative (2par) Gamma (3par) Gamma negative (3par) Exponential Exponential negative Gumbel min EV I Gumbel max EV I Rectangular Triangular Laplace Pareto Logistic Half-Normal Half-Normal negative Beta Student t Stratifikované a pokročilé simulační metody 10 / 27

75 Freet: zpracování naměřených dat Výběr vhodného parametrického rozdělení ze zadaných naměřených hodnot Stratifikované a pokročilé simulační metody 11 / 27

76 Freet: zadání korelační matice Korelační koeficienty: 0.. statistická nezávislost 0<.. statistická závislost Stratifikované a pokročilé simulační metody 12 / 27

77 Freet: generování simulací Freet: Iterační přeuspořádání obsahu tzv. tabulky náhodných permutací metodou simulovaného žíhání Stratifikované a pokročilé simulační metody 13 / 27

78 Freet: generování simulací Freet: Rozčlenění každého rozdělení pravděpodobnosti na N intervalů (tříd) o stejné pravděpodobnosti Stratifikované a pokročilé simulační metody 14 / 27

79 Freet: generování simulací Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky nezávislé Stratifikované a pokročilé simulační metody 15 / 27

80 Freet: generování simulací Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky závislé (95 %) Stratifikované a pokročilé simulační metody 16 / 27

81 Freet: generování simulací Freet: Tabulka vygenerovaných a přeuspořádaných náhodných permutací Stratifikované a pokročilé simulační metody 17 / 27

82 Freet: generování simulací Freet: Definice výpočetního modelu a dosazení vygenerovaných permutací do tohoto modelu Stratifikované a pokročilé simulační metody 18 / 27

83 Freet: generování simulací p f = 0, < p d = 0, nosný prvek vyhoví třída následků RC2/CC2 Freet: Výsledný odhad rozdělení pravděpodobnosti funkce spolehlivosti, odhad pravděpodobnosti poruchy p f Stratifikované a pokročilé simulační metody 19 / 27

84 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Posuzovanou konstrukcí je železobetonová klenba zasypávané části silničního tunelu. Stratifikované a pokročilé simulační metody 20 / 27

85 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Schéma řešené konstrukce klenby tunelu Posuzovaná část (vrchol klenby) Stratifikované a pokročilé simulační metody 21 / 27

86 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Zatěžovací údaje rozhodující kombinace q=71 kn/m q=+10 C q=142 kn/m q=+10 C q=71 kn/m q=36 kn/m q=36 kn/m q=21 kn/m q=21 kn/m q=146 kn/m q=146 kn/m Stratifikované a pokročilé simulační metody 22 / 27

87 82 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Statický model Y X Přechodové prvky Kontaktní pružiny Stratifikované a pokročilé simulační metody 23 / 27

88 Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Dosažené výsledky, přetvoření tlačeného betonu LSF Eps beton 3 (tlačený) 2e e+004 Rozhodující kritéria Průhyb ve vrcholu Přetvoření tlačené oceli Přetvoření tlačeného betonu Přetvoření tažené oceli Std Mean Std 1e+004 5e Pravděpodobnost překročení limitního přetvoření tlačeného betonu činí ~10-42 Stratifikované a pokročilé simulační metody 24 / 27

89 Metoda Importance Sampling Generování náhodných veličin se provádí odlišným způsobem, než je tomu u klasické metody Monte Carlo. Simulace jsou koncentrovány do oblasti poruchy D f, aby k záporné hodnotě funkce poruchy G(X) < 0 náhodných veličin X = X 1, X 2,... X n záměrně docházelo velmi často. Oblast, která při simulacích nejvíce přispívá k pravděpodobnosti poruchy p f, leží v blízkosti návrhového bodu. Ten je definován jako bod, ležící na hranici poruchy G(X) = 0 s minimální vzdáleností od počátku souřadnic v normalizovaném prostoru náhodných veličin. Do výpočtu vstupuje k tomuto účelu vhodně zvolená váhová funkce h Y (X). Simulace pak probíhá v poněkud rozdílném prostoru než u klasické metody Monte Carlo, kde se odhad pravděpodobnosti poruchy p f blíží její střední hodnotě. Stratifikované a pokročilé simulační metody 25 / 27

90 Metoda Importance Sampling Odhad pravděpodobnosti poruchy p f při simulaci typu Importance Sampling se dá pro N simulací vyjádřit vztahem: kde p f f G X 1 N 1 0 Tímto způsobem lze určit dostatečně přesný odhad i velmi malé hodnoty pravděpodobnosti poruchy p f s relativně malým počtem simulací (N se pohybuje řádově v tisících). N X i fgx. i1 hy Xi pro G pro G f X X X 0 0 Stratifikované a pokročilé simulační metody 26 / 27

91 Závěry Std Mean Std Xlimit Přednáška: byla zaměřena na zdokonalené simulační metody, které oproti klasické simulační metodě Monte Carlo vykazují větší efektivitu výpočtu a umožňují tak pravděpodobnostně řešit složitější spolehlivostní úlohy, představila programový systém Freet, který k odhadu pravděpodobnosti poruchy p f využívá stratifikovanou simulační metodu Latin Hypercube Sampling LHS, nastínila podstatu řešení pokročilou simulační metodou Importance Sampling. Závěry 27 / 27

92 Nominální napětí v pásnici Std Mean Std Děkuji za pozornost!