VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS ON THE PRINCIPLE OF FLUID DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR c. TOMÁŠ MACHŮ prof. Ing. FRANTIŠEK POCHYLÝ, CSc. RNO 4
Vysoké učení echnické v rně, Fakula srojního inženýrsví Energeický úsav Akademický rok: 3/4 ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE suden(ka): c. Tomáš Machů kerý/kerá suduje v magiserském navazujícím sudijním programu obor: Fluidní inženýrsví (3T36) Řediel úsavu Vám v souladu se zákonem č./998 o vysokých školách a se Sudijním a zkušebním řádem VUT v rně určuje následující éma diplomové práce: Pružné spojky na principu ekuin v anglickém jazyce: Flexible couplings on he principle of fluid Sručná charakerisika problemaiky úkolu: Pružná spojka pro roory očivých srojů vyvořena na základě principu slačielné ekuiny. Řešení bude zaměřeno na dynamiku rooru s ohledem na rozběh sroje a přechod přes rezonanci. Maemaický model bude vyvořen za předpokladu změny úhlové rychlosi v závislosi na čase. Cíle diplomové práce: Vypracování lierární a paenové rešerše pružných spojek s plynovými pružinami. Maemaický model plynové pružiny. Maemaický model roorové sousavy o dvou supních volnosi. Příklady odezvy rooru při rozběhu sroje. Ampliudově frekvenční charakerisika roorové sousavy. Návrh konsrukce plynové pružiny. Návrh konsrukce pružné spojky s plynovými pružinami.
Seznam odborné lieraury: Pivoňka, J. a kol.: Tekuinové mechanismy. SNTL Praha 987. Sradio, J.; Michalíček, M.; Mudrik, J.; Slavkovský, J.; Záhorec, O.; Žiaran, S.: Dynamika srojov. Alfa raislava 99. Gonda, J.: Kmianie pružných elies. VSAV raislava 96. Juliš, K.; repa,r. a kol.: mechanika II. díl Dynamika. SNTL Praha 987. Tomáš Machů: Návrh plynové pružiny. akalářská práce. EÚ, FSI, VUT v rně, 9/. Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Franišek Pochylý, CSc. Termín odevzdání diplomové práce je sanoven časovým plánem akademického roku 3/4. V rně, dne 6..3 L.S. doc. Ing. Zdeněk Skála, CSc. Řediel úsavu doc. Ing. Jaroslav Kaolický, Ph.D. Děkan fakuly
ASTRAKT Diplomová práce se zabývá pružnými hřídelovými spojkami, zejména novou kaegorií spojek na principu ekuin. V práci je odvozen maemaický model plynové pružiny a roorové sousavy o dvou supních volnosi. Poslední čás práce se zabývá konsrukční úpravou pružné spojky s plynovými pružinami. ASTRACT The hesis deals wih flexible shaf couplings especially wih new caegory of flexible couplings on he principle of fluid. Mahemaical model of gas spring and roor sysem wih wo degrees of freedom are derivaed in his work. Las par of he work deals wih design modificaion of flexible coupling wih gas springs. KLÍČOVÁ SLOVA pružná spojka, plynová pružina, maemaický model, Laplaceova ransformace, vlasní frekvence, orzní kmiání KEYWORDS flexible coupling, gas spring, mahemaical model, Laplace ransform, naural frequency, orsional oscillaion
ILIOGRAFICKÁ CITACE MACHŮ, T. Pružné spojky na principu ekuin. rno: Vysoké učení echnické v rně, Fakula srojního inženýrsví, 4. 5 s. Vedoucí diplomové práce prof. Ing. Franišek Pochylý, CSc.
PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na éma Pružné spojky na principu ekuin vypracoval samosaně s použiím odborné lieraury a pramenů, uvedených na seznamu, kerý voří přílohu éo práce. 3. kvěna 4. c. Tomáš Machů
PODĚKOVÁNÍ Tímo bych chěl poděkova panu prof. Ing. Franišku Pochylému, CSc. za cenné rady a připomínky při vypracovávání éo práce a za čas, kerý mi věnoval při konzulacích. Dále bych chěl poděkova svým rodičům za podporu po celou dobu sudia a v neposlední řadě aké Ing. Jaroslavu ajkovi za pomoc s programem Maple.
OSAH Úvod... Pružné spojky.... Pružné spojky s nekovovými členy...... Typy pružných spojek s nekovovými členy... 3. Pružné spojky s kovovými členy... 5... Typy pružných spojek s kovovými členy... 6.3 Pružné spojky na principu ekuin... 7.3.. Typy pružných spojek na principu ekuin... 7 Maemaický model plynové pružiny [7, 8].... Odvození rovnice pro sanovení vlasní frekvence plynové pružiny.... Tlakové pulzace v plynové pružině... 4 3 Maemaický model roorové sousavy [7, 3, 3]... 8 3. Odezva na jednokový skok... 3 3. Odezva na buzení sinusovou funkcí... 33 3.3 Odezva na buzení exponenciální funkcí... 36 3.4 Naznačení odvození řešení pro φ... 39 3.5 Ampliudově frekvenční charakerisika... 39 4 Návrh konsrukce pružné spojky s plynovými pružinami... 4 5 Závěr... 4 Seznam příloh... 43 Seznam použiých zkraek a symbolů... 44 Seznam použié lieraury... 46 9
ÚVOD Torzní kmiání a rázy jsou nežádoucí fakory, se kerými se poýká každá roující sousava. Pokud k ěmo fakorům připojíme ješě pořebu kompenzace odchylek os hřídelí, pak jsme nalezli oblas uplanění pružných hřídelových spojek. V dnešní době se mezi nejpoužívanější pružné spojky řadí spojky s nekovovými členy. Tyo spojky velmi dobře lumí rázy. Vlivem okolních podmínek, sárnuí pružných členů či vlivem změny zaížení sousavy může nasa sav, kdy v původně správně naladěné sousavě dojde k orznímu kmiání. V omo případě je zapořebí jednoduše změni paramery spojky. Takové možnosi už pružné spojky s nekovovými členy neposkyují. Právě z ohoo důvodu vznikla nová kaegorie pružných spojek, kerou se zabývá ao práce. Spojky na principu ekuin umožňují jednoduchou změnu svých paramerů pomocí změny laku ekuiny uěsněné v pružných členech. Tao práce navazuje na bakalářskou práci s názvem Návrh plynové pružiny, v rámci keré byla navržena pružná spojka s plynovými pružinami. Cílem diplomové práce je upravi navrženou spojku ak, aby umožňovala kompenzaci odchylek os hřídelí. Zbylá čás práce je věnována maemaickým modelům plynové pružiny a roorové sousavy.
PRUŽNÉ SPOJKY Pružné spojky jsou akové spojky, keré přenáší krouicí momen pomocí pružných členů. Hlavním úkolem ěcho spojek je přenos krouicího momenu a lumení rázů vznikajících např. nerovnoměrným chodem mooru. Dalšími požadavky na yo spojky mohou bý vyrovnávání axiální, radiální a úhlové odchylky os spojovaných hřídelí, odolnos vůči korozi a chemikáliím, epelná odolnos, aj. Podle ypu pružných členů mohou bý pružné spojky rozděleny do ří skupin: pružné spojky s nekovovými členy, pružné spojky s kovovými členy a pružné spojky na principu ekuin. [, ] Čára, kerá udává závislos mezi zaěžujícím krouicím momenem M k a rozdílem úhlů naočení hnacího a hnaného disku φ, se nazývá charakerisika pružné spojky. Rozlišujeme 3 druhy charakerisik: přímková (lineární), nelineární progresivní a nelineární degresivní. Charakerisika je dána vzahem pro orzní uhos spojky k : k dm dϕ k = (.) Spojky s nelineární charakerisikou mají proměnlivou orzní uhos v závislosi na zaížení a a je dána vzahem (.). Všechny spojky s nekovovými členy a spojky s kovovými členy, keré díky svojí konsrukci mohou měni podmínky deformace pružných členů, mají proměnlivou orzní uhos. Spojky s lineární charakerisikou mají uhos konsanní a a je dána vzahem (.). [7, ] M k k = = kons. (.) ϕ Obr.. Charakerisiky spojek; a) lineární (přímková), b) nelineární progresivní, c) nelineární degresivní [7] Velmi důležiou vlasnosí pružných spojek je lumení. Tlumení je dáno velikosí energie, kerá se za jeden pracovní cyklus spojky (zaížení odlehčení) nevraně přemění na epelnou energii. Pracovní cyklus spojky vyjadřují hyserezní smyčky (obr.. ). Vyšrafovaná plocha A T vyjadřuje ulumenou energii a plocha pod odlehčovací křivkou vyjadřuje naakumulovanou energii. Obr.. Hyserezní smyčky [7]
Na obr.. 3 je znázorněna práce pružné spojky. Čás energie rázu je slačením pružného členu přeměněna na poenciální energii (akumulovanou energii). Vyšrafovaná plocha akumulované energie je sejně velká jako plocha rázové energie. Obě plochy vyjadřují práci. Vzhledem k omu, že čas je delší než čas, dojde vlivem akumulace rázu k jeho snížení. Čím poddajnější bude pružný elemen spojky, ím věší bude snížení rázu. Energie naakumulovaná v pružném členu je pak zpěně odevzdána hnané čási spojky. Další čás energie rázu je pak vlivem lumení maeriálu nevraně přeměněna na eplo. Vhodnou volbou pružných členů můžeme ovlivňova dynamiku sousavy spojené spojkou. [7] Obr.. 3 - Princip snižování rázů [7]. Pružné spojky s nekovovými členy Tao kaegorie spojek využívá pro přenos krouicího momenu pružné členy vyrobené z pryže popřípadě z plasu. Dobře lumí rázy a vibrace. Výrobní cena je obvykle nižší než u osaních kaegorií pružných spojek. Jsou éměř bezúdržbové, proože nevyžadují žádné mazání. Díky ěmo vlasnosem paří mezi nejpoužívanější pružné spojky. [,, 3, 9] Dynamické vlasnosi (lumení, uhos) ěcho spojek jsou značně závislé na provozní eploě. Teploa pružných členů může vzrůs buď vlivem okolní eploy, nebo vlivem lumení rázů, jejichž energie je přeměněna na eplo, anebo kombinací ěcho dvou mechanismů. Rozsah přijaelných provozních eplo se odvíjí od použiého maeriálu. Obecně lze říci, že se provozní eploy ěcho spojek přibližně pohybují v rozmezí od -4 C do C. Na obr.. 4 a. 5 je vidě vliv eploy na dynamickou orzní uhos a orzní lumení spojek, keré budou popsány v následujících kapiolách. Přesože se eploy pohybují v doporučeném rozmezí, může vlivem změny orzního lumení a dynamické orzní uhosi dojí k přeladění sysému, keré může mí za následek nežádoucí orzní kmiání sousavy. [3, 9] Nevýhodou ěcho spojek je aké španá odolnos vůči chemikáliím a UV záření, keré značně degraduje maeriál pružných členů. Vlivem UV záření a eploního zaěžování pružných členů dochází k posupnému unavování maeriálu. To má za následek změnu dynamických vlasnosí spojky. Teno nežádoucí jev může, sejně jako práce spojky při vyšších eploách, přeladi sysém spojkou spojený a může dojí k orznímu kmiání. [,, 3, 9]
Obr.. 4 Graf závislosi dynamické orzní uhosi na eploě pružného členu [3] Obr.. 5 Graf závislosi orzního lumení spojky na eploě pružného členu [3]... Typy pružných spojek s nekovovými členy Vzhledem k velkému množsví ypů pružných spojek a jejich variací budou v následujících kapiolách popsány pouze nejpoužívanější pružné spojky s nekovovými členy. Pružná spojka čelní zubová Pružná spojka čelní zubová vychází ze spojky čelní zubové, kerá se skládá z hnacího a hnaného náboje a je spojkou pevnou. Zmenšením zubů jednolivých nábojů vznikne prosor pro pružný člen spojky. Teno člen se nejčasěji vyrábí z pryže nebo plasu. Spojky se vyznačují velmi malými rozměry, jednoduchosí, ichým chodem a v neposlední řadě nízkou cenou. Jedná se o jedny z nejlevnějších spojek vůbec. Umožňují malé axiální, radiální i úhlové odchylky os spojovaných hřídelí. Jsou vhodné pro prašné prosředí. Pokud jsou náboje vyrobeny z maeriálu odolného vůči korozi, pak je možné použií spojek i ve vlhkém prosředí. Věšina maeriálů pružných členů je odolná i vůči olejům a někerým chemikáliím. Díky maeriálu pružného členu jsou od sebe jednolivé náboje elekricky izolovány. [, 6] 3
Spojky jsou vyráběny v nejrůznějších modifikacích. Můžeme se seka s nejrůznějšími vary pružných členů a zubů nábojů. Používají se od ěch nejmenších krouicích momenů až po krouicí momeny o velikosi několika desíek kn.m. Nejčasěji se používají pro spojení kompresorů, čerpadel, veniláorů, apod. [4, 5] Obr.. 6 Čelní zubová spojka [5] Pružná čepová spojka Spojka se skládá z čepů s maicemi, pružných pryžových elemenů válcového nebo soudečkoviého varu, hnacího a hnaného disku. Čepy jsou přišroubovány k hnacímu disku. Na volné čási čepů jsou připevněny pružné elemeny, keré jsou zasunuy v dírách hnaného disku, ím je zajišěn přenos krouicího momenu. Spojky pro přenos vysokých krouicích momenů mají polovinu pružných elemenů zasunuou do hnacího disku a druhou polovinu do hnaného disku. Dovolená hodnoa laku mezi čepem a pružným elemenem se pohybuje v rozmezí od,4 do,8 MPa. Z ohoo důvodu je snaha umísťova osu čepu do co nejvěší vzdálenosi od osy hřídele. Hodnou laku mezi čepem a pružným elemenem můžeme ovlivni aké počem čepů. [, 7] Spojka se vyznačuje ichým chodem a jednoduchou konsrukcí. Dokáže vyrovnáva mírné axiální, radiální i úhlové odchylky os spojovaných hřídelí. Je sejně jako pružná spojka čelní zubová bezúdržbová. Podle zvolených maeriálů je aké vhodná pro prašné, vlhké a chemikáliemi znečišěné prosředí. Jejich použií je vhodné i pro velmi vysoké krouicí momeny (až,3 MN.m). S ěmio spojkami se můžeme seka v oblasi vodních urbín, čerpací echniky, jeřábů apod. [, 8] Obr.. 7 Pružná čepová spojka [8] 4
Pružná spojka s pružnou vložkou (Hardy spojka) Přenos krouicího momenu je zajišěn pomocí pružné vložky s dírami. Skrze yo díry je vložka pomocí čepů připevněna k hnanému a hnacímu disku. Maeriálem pružné vložky nejčasěji bývá pryž vyzužená kordovými vlákny. Spojky pro přenos vyšších krouicích momenů mají do vložky navulkanizovány kovová pouzdra. Pouzdra slouží pro snížení laku mezi čepy a maeriálem vložky. Hardy spojky dokážou vyrovnáva úhlové, axiální a menší radiální odchylky os hřídelí. [7] Obr.. 8 Pružná spojka s pružnou vložkou [9] Obručová pružná spojka (Periflex) Spojka přenáší krouicí momen pomocí pryžové obruče vyzužené kaninou nebo ocelovými dráy. Můžeme se aké seka s obručemi bez výzuhy. Takovéo obruče bývají vyráběny z polyureanu. Obruč je pomocí upínacích prsenců připevněna k hnacímu a hnanému disku. Z důvodu snadné monáže a výměny bývají obruče v jednom nebo více mísech rozděleny kolmo na obvod. V praxi se používá velké množsví varů obručí. [8, ] Tyo spojky lze označi jako velmi poddajné. Vyznačují se nižší orzní uhosí než předchozí ypy spojek. Díky poddajnosi obručí umožňují nejvěší axiální, radiální i úhlové odchylky os spojovaných hřídelí. Sejně jako předchozí ypy spojek jsou bezúdržbové a používají se v podobných odvěvích pro krouicí momeny až do 38 kn.m. [8,, ] Obr.. 9 Pružná obručová spojka [8]. Pružné spojky s kovovými členy Tyo spojky využívají k přenosu krouicího momenu pružných kovových členů, kerými jsou nejčasěji různé ypy ocelových pružin. V porovnání s předchozím ypem spojek mají pružné spojky s kovovými členy delší živonos, věší odolnos vůči vysokým eploám a věší orzní uhos. Při vhodné volbě maeriálu dokážou spolehlivě pracova i ve velmi agresivních prosředích. Jejich lumení je ovšem zanedbaelné. To je jeden z důvodů, proč jsou časo nahrazovány spojkami s nekovovými členy. 5
... Typy pružných spojek s kovovými členy V následujících kapiolách budou opě popsány nejpoužívanější spojky ohoo ypu. Pružná spojka s hadoviými pružinami (ibby) Spojka je složena ze dvou sejných disků. Tyo disky mají po obvodě drážky (zuby), do kerých je umísěna hadoviá pružina. Pomocí éo pružiny je přenášen krouicí momen. Pružina je rozdělena na několik čásí a musí bý mazána. Kvůli rozsřiku maziva je čás spojky s pružinou zakryována a uěsněna ěsněním. [] Spojka má lineární charakerisiku, ale pouze v případě, že zuby disků mají přímkový var a svírají upý úhel. Změnou varu zubů na zaoblený dosáhneme zakřivené charakerisiky spojky. Je o dáno ím, že se pružina s rosoucím krouicím momenem ohýbá kolem boku zubu. Důsledkem oho se mění působišě obvodové síly a ím vzrůsá uhos. [, 3] Obr.. Znázornění změny působišě obvodové síly vlivem zvyšujícího se zaížení [3] Spojky jsou vhodné i pro velmi vysoké krouicí momeny. Nejvěší spojky dokážou přenés krouicí momeny až do velikosí okolo MN.m. Kvůli příomnosi ěsnění nemohou spojky pracova v příliš vysokých eploách. Jejich maximální provozní eploa je edy dána ěsněním a pohybuje se okolo C. Spojka dokáže vyrovnáva axiální, radiální i úhlové odchylky os spojovaných hřídelí. [4, 5] Obr.. Pružná spojka s hadoviými pružinami [5] Disková spojka Název ohoo ypu spojky je přeložený z anglického názvu disc coupling. V češině někdy bývá ao spojka nazývána jako lamelová. Spojka je svou konsrukcí podobná výše uvedené pružné spojce s pružnou vložkou. U diskové spojky je pružný člen vořen jedním nebo více disky. Disky jsou složeny z několika enkých pružných lamel, keré jsou v sesavě spojky doaženy polovinou šroubů k hnacímu náboji a druhou polovinou k hnanému náboji. Šrouby nesmí bý namáhány na sřih, proo jsou předepjaé a krouicí momen je z hnaného náboje přenášen řením na svazek lamel a přes lamely zase řením na hnací náboj spojky. Věšina výrobců vyrábí spojky buď se 4, 6 nebo 8 6
šrouby. Disk je orzně velmi uhý. V jiných směrech je však poddajný a umožňuje spojce vyrovnáva axiální a úhlové odchylky os spojovaných hřídelí. Spojky s vymezovacím členem jsou schopny vyrovnáva i radiální odchylky. [4, 6] Tyo spojky jsou bezúdržbové, proože nevyžadují žádné mazání. Jsou považovány za nejspolehlivější spojky. Používají se pro přenos vysokých krouicích momenů (až 38 kn.m) i při vysokých oáčkách. Používají se až do eplo kolem C a jsou vhodné pro použií i ve velmi znečišěných a agresivních prosředích. [4, 7] Jelikož čás výrobců řadí eno yp spojek mezi spojky pružné a další čás výrobců mezi spojky pevné, lze říci, že eno spojek může bý akovým mosem, mezi spojkami pevnými a pružnými. [8, 7, 8] Obr.. Disková spojka (vlevo) a disková spojka s vymezovacím členem (vpravo) [6].3 Pružné spojky na principu ekuin Jedná se o novou kaegorii spojek. Tyo spojky používají jako pružné členy pružiny se slačielnou ekuinou. Tedy plynové nebo vzduchové (pneumaické) pružiny. Krouicí momen je přenášen ekuinou. U plynových pružin je nuné použií inerního plynu, nejčasěji se používá dusík. Důvodem jsou vysoké laky v pružině a příomnos maziv, keré zajišťují správnou funkci ěsnění. Při naplnění pružiny vzduchem může dojí ke vznícení maziva. Vzduchové pružiny neobsahují žádné ěsnění ani maziva, navíc nejsou lakovány na ak vysoké laky, a proo je u nich možné použií vzduchu jakožo pružného členu. [, ] Důvodem vzniku éo kaegorie spojek je možnos jednoduše měni lak plynu v pružinách a ím ovlivňova dynamické vlasnosi spojky a jejich charakerisiku. Změnou laku v pružinách je edy možné sousavu ladi a měni její vlasní frekvence. Tuo výhodu neposkyují žádné jiné spojky. Dalším důvodem je fak, že plyn uvniř spojky nepodléhá únavě ak jako pružné nekovové členy, a proo si yo spojky dokáží udrže konsanní dynamické vlasnosi. [9, ].3.. Typy pružných spojek na principu ekuin V následujících kapiolách budou popsány dva ypy pružných spojek na principu ekuin: pneumaická pružná spojka (včeně jejích modifikací) a pružná spojka s plynovými pružinami. Pneumaická pružná spojka Teno yp spojky byl vyvíjen Technickou univerziou v Košicích. Spojka používá jako pružné členy vzduchové pružiny. To jsou pryžo-exilní měchy nalakované vzduchem. Jako každá spojka je složena z hnacího a hnaného disku. Mezi ěmio disky jsou zařazeny pružiny, přes keré je přenášen krouicí momen. Při zaížení je polovina pružin ažena a druhá polovina lačena. Pružiny jsou mezi sebou propojeny hadicemi. Každá pružina je aké opařena plnicím venilem. [3] 7
Z obr.. 4 a. 5 je zřeelné, že spojka vykazuje velmi dobrou eploní sálos. Dynamické vlasnosi spojky se vlivem eploního zaížení éměř nemění. Je o způsobeno ím, že s rosoucí eploou klesá uhos pryžo-exilního měchu, ale zároveň rose vniřní lak pružiny. S rosoucím lakem rose aké uhos pružiny. Teno vzrůs uhosi vyrovnává pokles uhosi měchu. [3] Obr.. 3 Pneumaická pružná spojka; hnaný disk, hnací disk, 3 ažená pružina, 4 lačená pružina, 5 spojovací hadice, 6 - plnicí venil [3] Na obr.. 4 můžeme vidě, jak se mění charakerisika spojky s rosoucím plnicím lakem. Spojka má lehce progresivní charakerisiku. Spojku však lze v rozmezí plnicích laků od kpa do 7 kpa považova za lineární. Jelikož je pružina vořena aké pryžoexilním měchem, není přenos krouicího momenu zajišěn čisě přes plynné medium. Při plnicím laku kpa je vliv plynu na charakerisiku x věší než vliv maeriálu měchu. Vliv plynu na charakerisiku rose se soupajícím plnicím lakem a při laku 7 kpa je vliv plynu 9x věší. Je edy možné říci, že plyn má dominanní vliv na vlasnosi spojky. [3] Obr.. 4 Saická charakerisika (vlevo) a dynamická charakerisika (vpravo) pro různé plnicí laky pružin: a kpa, b 3 kpa, c - 5 kpa, d 7 kpa [3] Pro spojku bylo vyvinuo zařízení, keré dokáže plynule měni lak v pružinách a udržova ak konsanní úhel naočení φ při měnícím se zaížení spojky. Spojka má naproso sejnou konsrukci, liší se jen ím, že nemá plnicí venily. Pružiny jsou plněny pomocí regulačního zařízení, se kerým jsou propojeny. [3] 8
Tao spojka je vyráběna polskou firmou FENA, kerá ji nabízí pro krouicí momeny do 4 kn.m. [9] V porovnání s konvenčními spojkami má ao spojka velký poměr rozměrů ku přenášenému momenu. Teno fak byl důvodem modifikace éo spojky. Konsrukce nové spojky je podobná původní až na vzduchové pružiny. Jejich var byl poupraven na klínové vzduchové pružiny. Spojka ak při sejných rozměrech může přenáše až,6x věší krouicí momeny. Díky éo úpravě došlo aké ke zvýšení poddajnosi spojky. Spojka ak umožňuje zkroucení až. Původní spojka měla úhel zkroucení max. 5. Tažené a lačené pružiny jsou propojeny škricími venily, keré mají za úkol zvýši lumení spojky. [9] Obr.. 5 Pneumaická pružná spojka s klínovými vzduchovými pružinami; hnací disk, hnaný disk, 3, 4 opěrné plochy pružin, 5 lačená pružina, 6 ažená pružina, 7 škricí venil propojující (5) a (6), 8 plnicí venil [9] Spojka exisuje ješě ve 3. modifikaci. Tao modifikace se však od prvních dvou spojek svou konsrukcí liší. Spojka se skládá z hnacího a hnaného ělesa. Hnací ěleso je vořeno písy, keré se zalačují do vzduchových pružin umísěných na hnaném ělese. Tao spojka je ješě poddajnější než spojka s klínovými pružinami. Ve varianě se dvěma pružinami dosahuje úhlu zkroucení až 8. Tao variana však umožňuje pružný přenos krouicího momenu pouze v jednom směru oáčení. [5, 6] Obr.. 6 Pružná pneumaická písová spojka; hnací ěleso, hnaný ěleso, 3 vzduchová pružina, 4 opěrná čás, 5 pouzdro pružiny, 6 škricí dýza, 7 pís, 8 plnicí venil, 9 vedení plnicího venilu [6] 9
Pružná spojka s plynovými pružinami Tao čás práce je vzhledem k možnému paenování spojky uajena. Práce dále pokračuje kapiolou č..
MATEMATICKÝ MODEL PLYNOVÉ PRUŽINY [7, 8] V rámci bakalářské práce [] byl odvozen vzah pro určení uhosi plynové pružiny: k p S m = (.) V Určení lumení plynové pružiny je možné pouze na základě experimenu. Při dokmiávání změříme periodu T a ampliudu Y i dvou po sobě jdoucích maxim. Z oho můžeme vypočía logarimický dekremen úlumu ν a vlasní úhlovou frekvenci ω: Y i ν = ln Y i+ π Ω = T Logarimický dekremen úlumu můžeme vyjádři aké jako: ν = π bp kde b p je poměrný úlum. Tao veličina nám poslouží k výpoču lumení b m : bm = bp bkr b kr je kriické lumení, keré je definováno jako: bkr = m ω Výsledný vzah pro lumení je edy: b m ν m ω = π. Odvození rovnice pro sanovení vlasní frekvence plynové pružiny Při odvození uvažujeme jednorozměrné proudění plynu v přímé uzavřené rubici. Z jedné srany je rubice uěsněna písem. Pís vychýlíme z počáeční polohy do polohy. Z polohy se pís vráí zpě do počáeční polohy. V uo chvíli kmiá plyn v rubici vlasní frekvencí. Obr.. - Trubice
Vycházíme ze zjednodušené Navier-Sokesovy rovnice (.) a zjednodušené rovnice koninuiy (.3) pro předpoklad jednorozměrného proudění. q S p + b q + = ρ x p ρ a q + = S x Průok q a lak p jsou funkcí času a polohy. Řešení rovnic (.) a (.3) uvažujeme ve varu: kde s = α + i ω; α, ω R Pro průok definujeme okrajové podmínky: (.) (.3) s q = Q( x) e (.4) s p = σ ( x) e (.5) s q(, ) = Q() e = (.6) s q( L, ) = Q( L) e = (.7) Okrajové podmínky zderivujeme podle času a dosadíme do rovnic (.) a (.3). Dosaneme pak: s s S σ ( x) s Q( x) e s + b Q( x) e + e = ρ x Upravením rovnic získáme: a Q( x) s ρ s σ ( x) e s + e = S x S σ ( x) s Q( x) ( s + b) + e = ρ x a Q( x) ρ σ ( x) s + = S x Řešení rovnic (.8) a (.9) předpokládáme ve varu: x Q( x) = Q sin k π L x σ ( x) = σ cos k π L (.8) (.9) (.) (.) Abychom mohli řešení (.) a (.) dosadi do rovnic (.8) a (.9), je nuné je nejdříve zderivova podle polohy x. Q ( x ) k π Q cos k π x = x L L σ ( x) k π x = σ sin k π x L L (.) (.3)
Nyní můžeme dosadi výrazy (..3) dosadi do rovnic (.8) a (.9). S k π x ( s + b) Q σ sin k π = ρ L L ρ a k π x s σ + Q cos k π = S L L S k π ( s + b) Q σ = (.4) ρ L ρ a k π s σ + Q = (.5) S L Rovnice (.4) a (.5) voří sousavu rovnic. Sousavu můžeme přepsa do maicového varu: Řešením sousavy (.6) je: S k π s + b ρ L Q s S L = ρ a k π σ S k π s + b ρ L = ρ a k π s S L S k π ρ a k π s + b s = ρ L S L ( ) a k π s + b s + = L ( ) V rovnici (.7) roznásobíme závorky a dosaneme kvadraickou rovnici: Řešením kvadraické rovnice je: s a k π + s b + = L b a k π, = ± b 4 s Výraz (.8) vyjadřuje zv. vlasní čísla, kerá bývají zapisována ve varu: s i i L (.6) (.7) (.8) = α ± i ω (.9) Člen α i z výrazu (.9) je reálnou čásí vlasního čísla a vyjadřuje sabiliu sysému. Pokud je α i < pak se jedná o lumený sysém. Pokud je α í = pak je sysém nelumený a v případě, že je α i > pak v sysému dochází k samobuzenému kmiání. Člen i ω z výrazu (.9) je imaginární čásí vlasního čísla. Teno člen vyjadřuje vlasní úhlovou rychlos kmiání sysému, ze keré můžeme urči vlasní frekvence. 3
b V našem případě je člen α =, kde b je lumení, keré nemůže nabýva záporných hodno. Reálná čás vlasního čísla bude vždy α i <. Z oho vyplývá, že se vždy bude jedna o lumený sysém. Mohou zde však nasa dva případy. a k π V prvním případě budeme uvažova b 4. Číslo pod odmocninou rovnice L (.8) bude kladné a rovnice mí dvě řešení v oboru reálných čísel. V omo případě se sysém aperiodicky ulumí. To znamená, že se vlivem počáečního pohybu písu plyn vychýlí a posupně se vrací do počáeční polohy. Pružina nekmiá a nemá žádnou vlasní frekvenci. a k π V druhém případě budeme uvažova b 4. Číslo pod odmocninou L rovnice (.8) bude záporné a řešením rovnice budou dva komplexně sdružené kořeny. Sysém bude kmia vlasní frekvencí, kerou lze vyjádři pomocí vlasní úhlové rychlosi ω: a k π ω = 4 b L Vlasní frekvence sysému edy bude: ω f = π a k π f = 4 b 4 π L (.) (.) Z výrazu (.) je parné, že pokud budeme zvyšova lumení, budou vlasní frekvence sysému klesa a naopak. Pokud se budicí frekvence sysému blíží vlasní frekvenci, kmiá sysém na vlasním varu kmiu.. Tlakové pulzace v plynové pružině Odvození uvažuje sejné předpoklady jako odvození vlasní frekvence plynové pružiny. V omo případě se však pís pohybuje, koná malé kmiy, keré jsou dané budicí funkcí. Ty jsou v porovnání s délkou rubice L zanedbaelné, a proo uvažujeme uo délku konsanní. Při odvození opě použijeme zjednodušené rovnice (.) a (.3) jejichž řešení budeme uvažova ve varu: Pro náš případ plaí následující okrajové podmínky: (, ) ( ) i q x = Q x e Ω (.) i Ω p( x, ) = σ ( x) e (.3) i Ω q(, ) = q e = Q() e Q() = q i Ω i Ω i Ω q( L, ) = q e = Q( L) e = Q( L) = (.4) (.5) 4
Výrazy (.) a (.3) zderivujeme podle a dosadíme do rovnic (.) a (.3): S σ ( x) i Ω i Ω Q( x) + b Q( x) + e = ρ x ρ a Q( x) i Ω σ x + e = S x ( ) i Ω ( ) S σ ( x) b + i Ω Q( x) + = ρ x a Q( x) ρ i Ω σ ( x) + = S x Z rovnice (.6) vyjádříme σ ( x), o zderivujeme podle x a dosadíme do rovnice (.7): ρ a Q( x) ρ a Q( x) σ ( x) = = i i Ω S x Ω S x ( ) Rovnici (.9) upravíme na var: ( x) ρ a Q( x) = i x S x ρ a S Q x Ω S ρ x σ Ω ( ) b + i Ω Q( x) + i = ( b i ) Q( x) + Ω Ω + Q( x) = x i a V rovnici (.3) provedeme následující úpravu: Λ = Q( x) x Řešení rovnice (.3) předpokládáme ve varu: ( b i ) + Ω Ω i a + Λ = Q( x) ( ) ( ) (.6) (.7) (.8) (.9) (.3) (.3) (.3) Q( x) = A sin Λ x + cos Λ x (.33) Konsany A a určíme pomocí okrajových podmínek (.4) a (.5). Konsanu určíme dosazením okrajové podmínky (.4) do rovnice (.33): Q() = q = (.34) Konsanu A získáme dosazením konsany (.34) a počáeční podmínky (.5) do rovnice (.33): A sin Λ L + q cos Λ L = ( ) ( ) cos( Λ L) A = q sin ( Λ L) (.35) 5
Dosazením konsan (.34) a (.35) do rovnice (.33) získáme konečný var průokové funkce: cos( Λ L) Q( x) = q sin ( Λ x) + q cos( Λ x) (.36) sin Λ L ( ) Výslednou lakovou funkci získáme ak, že zderivujeme funkci (.36) podle x a uo derivaci dosadíme do rovnice (.8): ( Λ L) ( Λ L) Q( x) cos = q Λ cos Λ x q Λ Λ x x sin ( Λ L) ( Λ ) ( ) sin ( ) ρ a cos σ ( x) = q Λ cos( Λ x) q Λ sin ( Λ x) i Ω S sin L Výsledná laková funkce má edy var: Člen ( Λ L) ( ) ρ a Λ cos ρ a Λ σ ( x) = q cos Λ x + q sin Λ x i Ω S Λ L i Ω S ρ a Λ q i Ω S sin ( ) ( ) (.37) z rovnice (.37) udává velikos lakové ampliudy. Její velikos můžeme ovlivňova velikosí q. Jelikož je q = v S, můžeme říci, že velikos ampliudy narůsá s rosoucí rychlosí pohybu písu. Pokud budeme uvažova nulové lumení b, pak můžeme upravi člen (.3) na následující var: Dosadíme-li výraz (.38) do členu Ω a Ω a Λ = Λ = (.38) cos sin ( Λ L) ( Λ L) Ω cos a Ω sin a z rovnice (.37) dosaneme: L L (.39) Člen (.39) upravíme pomocí následujícího vzahu, kerý byl získán z rovnice (.) uvažováním nulového lumení b. Dosazením výrazu (.4) do výrazu (.39) získáme: a L k π ω = k π = (.4) L a ω Ω cos k π ω Ω sin k π ω (.4) Z výrazu (.4) je parné, že pokud se k sobě bude blíži vlasní úhlová rychlos ω a budicí úhlová rychlos Ω, bude se jmenovael zlomku zmenšova a ím bude narůsa hodnoa 6
celého zlomku. V rezonanci pak bude hodnoa zlomku rovna nekonečnu a sysém bude kmia na určiém vlasním kmiu. ρ a Λ Do členu q z rovnice (.37) dosadíme výraz (.38). udeme edy určova i Ω S hodnou ampliudy laku při nulovém lumení. Získáme edy: Ω ρ a q q a = ρ a = ρ v a i Ω S i S i Můžeme edy vidě jisou analogii s nárůsem laku při oálním hydraulickém rázu. Teno nárůs laku popisuje Žukovského vzah: p = ρ v a Oproi hydraulickému rázu bude v plynové pružině ampliuda laku značně menší. Je o dáno nižší husoou a nižší rychlosí zvuku. 7
3 MATEMATICKÝ MODEL ROTOROVÉ SOUSTAVY [7, 3, 3] Model se skládá ze dvou roujících hmo J a J, keré jsou spojeny orzní pružinou. Pružina je charakerizována orzní uhosí k a orzním lumením b. Pod roující hmoou J je možné si předsavi roor mooru, kerý pohání roující hmou J přes orzní pružinu, pod kerou si můžeme předsavi pružnou spojku. Obr. 3. Model roorové sousavy spojené pružnou spojkou Vycházíme z pohybových rovnic: J ɺɺ ϕ + b ( ɺ ϕ ɺ ϕ ) + k ( ϕ ϕ ) = J ɺɺ ϕ + b ( ɺ ϕ ɺ ϕ ) + k ( ϕ ϕ ) = M f ( ) k Pro rovnice (3.) uvažujeme nulové počáeční podmínky: ϕ () = ; ɺ ϕ () = ϕ () = ; ɺ ϕ () = (3.) Rovnice (3.) budeme řeši pomocí Laplaceovy ransformace. V první řadě však rovnice roznásobíme: J ɺɺ ϕ + b ɺ ϕ + k ϕ b ɺ ϕ k ϕ = (3.) J ɺɺ ϕ + b ɺ ϕ + k ϕ b ɺ ϕ k ϕ = M f ( ) k Nyní provedeme Laplaceovu ransformaci rovnic (3.): ɶ + ɶ + ɶ ɶ ɶ = s J ϕ s b ϕ k ϕ s b ϕ k ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ ɶ ϕ s J + s b + k s b k = M k f s Sousavu rovnic (3.3) můžeme přepsa do maicového varu: s J ɶ ϕ b b ɶ ϕ k k ɶ ϕ J ϕ b b ϕ k k ϕ ɶ ɶ ɶ M k f ( s) s J φɶ + s φɶ + K φɶ = M + s + = ( s s ) K ( ) (3.3) J + + K φɶ = M (3.4) K Maice v závorce výrazu (3.5) můžeme sečís a dosaneme ak maici A, kerá má var: s J + s b + k s b k A = (3.5) s b k s J + s b + k 8
Rovnici (3.4) můžeme přepsa do varu: Řešením rovnice (3.6) bude: A φɶ = MK (3.6) - φɶ = A M K (3.7) Abychom získali řešení rovnice (3.7), je v první řadě pořeba urči inverzní maici k maici A: A - s J + s b + k s b + k = de A s b + k s J + s b + k ( s J s b k ) ( s J s b k ) ( s b k ) ( s b k ) de A = + + + + ( ) ( ) de A = s J J + s b J + J + s k J + J 4 3 - s J + s b + k s b + k A = 4 3 s J J + s b ( J + J ) + s k ( J + J ) s b + k s J + s b + k Řešením rovnice (3.7) bude: ɶ ϕ = 4 3 ɶ ϕ s J J + s b J + J + s k J + J ( ) ( ) s J + s b + k s b + k s b M k f ( s) + k s J + s b + k Nyní z rovnice (3.8) vyjádříme jednolivá řešení ϕɶ a ϕɶ : (3.8) s b + k ɶ ϕ = M k f ( s) s J J + s b ( J + J ) + k ( J + J ) s (3.9) s J + s b + k ɶ ϕ = M k f ( s) s J J + s b ( J + J ) + k ( J + J ) s (3.) Získaná řešení jsou obrazy Laplaceovy ransformace. Pro získání originálních řešení bude nuné provés zpěnou Laplaceovu ransformaci. Za funkci f ( s) budeme dosazova obrazy Laplaceovy ransformace funkcí, kerými je sysém buzen. Model byl odvozen pro ři různé budicí funkce. V rámci éo práce bylo odvozeno řešení rovnic (3.9) a (3.). Avšak po vykreslení řešení rovnice (3.) bylo zjišěno, že výsledek není správný. Chyba byla nalezena a bude spolu s naznačením odvození popsána v další čási éo kapioly. V následujících kapiolách budou edy odvozeny řešení pouze pro rovnici (3.9). 9
3. Odezva na jednokový skok Jedná se o buzení Heavisideovou funkcí H(). Obr. 3. udicí Heavisideova funkce V první řadě je pořeba provés Laplaceovu ransformaci budicí funkce H(): Obraz budicí funkce (3.) dosadíme do výrazu (3.9). f ( ) = H ( ) L { f ( ) }( s) = (3.) s s b + k ɶ ϕ = M (3.) 3 k s J J + s b ( J + J ) + k ( J + J ) s Kvůli zjednodušení zápisu budeme psá J ( J J ) = +. Pro získání originálu k obrazu (3.) je nuné provés zpěnou Laplaceovu ransformaci. Obraz je složen z 3 funkcí: Φ Originál k Φ (s k ) funkce Φ. Φ = s b + k (3.3) Φ = s J J + s b J + k J (3.4) M k 3 3 Φ = (3.5) s získáme pomocí reziduové věy. V první řadě je však nuné nají nulové body s, s, Φ = J J s b J s k J + + = b J ± b J 4 J J k J = J J 4 J b J + J J k J b = ± i J J J J (3.6) Nulovými body funkce Φ jsou edy komplexně sdružené kořeny kvadraické rovnice a jsou zároveň vlasními čísly sysému. Pro lepší orienaci v komplexních číslech budeme komplexně sdružené číslo označova sejným znakem s pruhem: 4 J b J + J J k J b s = s = + i J J J J (3.7) 3
4 J b J + J J k J b s = s = i J J J J (3.8) Pro zjednodušení výrazů budeme vlasní čísla s, používa ve zkráceném varu: Φ Nyní můžeme aplikova reziduovou věu na výraz Φ. F = L = s = α + i ω (3.9) s = α i ω (3.) ( s ) Φ Φ e Φ s sk k (3.) k = Φ Pro dokončení zpěné Laplaceovy ransformace musíme ješě fukci Φ zderivova podle s. sk Výsledkem reziduové věy bude: Φ = + s J J s b J ( s b + k ) ( s b + k ) s F = e + e J J s + b J J J s + b J Proože zlomky ve výrazu (3.3) jsou konsany, můžeme výraz zjednoduši na var: s s F P e P e s (3.) (3.3) = + (3.4) Nyní provedeme zpěnou Laplaceovu ransformaci funkce Φ 3 (3.5). Jedná se o jednoduchou funkci, jejíž originál můžeme nají ve slovníku Laplaceovy ransformace. [3] M F L M M s! n k = 3 = k = k Originál k obrazu (3.9) získáme pomocí konvoluce: = = ( n ) { ɶ ( )} ( ) ( ) ϕ L ϕ s F τ F τ dτ τ ϕ = P e + P e M dτ s ( τ ) s ( τ ) ( ) k M k s s τ s s τ ϕ = P e τ e dτ P e τ e dτ + M k s s τ τ s τ τ s τ ϕ = P e e e e 3 + s s s s s τ τ s τ τ s τ + P e e e e 3 s s s (3.5) (3.6) 3
Ve výrazu (3.6) dosadíme meze, závorky roznásobíme a upravíme na var: M k s P + s P s P + s P ϕ = s s s s 3 3 3 s 3 s s P + s P s P e + s P e + 3 3 3 3 s s s s (3.7) Ve zlomcích z výrazu (3.7) sčíáme komplexně sdružená čísla, udíž v každém čiaeli dosaneme dvojnásobek reálné čási. Výsledný výraz má reálné čási zapsané jako konsany A A 4. A A4 A ϕ = M k + 3 α + ω ( α + ω ) ( α + ω ) (3.8) α e ( A cos( ω ) + A3 sin ( ω ) ) + 3 ( α + ω ) Konsany A A 4 : ( ) ( ) ( ) 4 J J ( α + ω ) + 4 J J b J α + b J J J b α + ω α + J J k α ω + b J α + ω + b J k α A = A = J J b + ( α ω ) 4 J J ( α + ω ) + 4 J J b J α + b J 3 4 4 ( α 3 α ω ) J J k ( α 6 α ω ω ) b J ( α ω ) 3 ( α ω ) b J k ( α 3 α ω ) + + + + + A = J J b + ( α ω ) 4 J J ( α + ω ) + 4 J J b J α + b J 3 3 3 ( 3 ) J J k ( 4 4 ) b J ( ) 3 b J k ( α 3 α ω ) 3 α ω α + α ω α ω + α + ω α ω + + A = J J b + ( α ω ) 4 J J ( α + ω ) + 4 J J b J α + b J 3 ( α ω ) J J k ( α 3 α ω ) b J ( α ω ) α b J k ( α ω ) 4 + + + + (3.9) (3.3) (3.3) (3.3) Vykreslení závislosi úhlu naočení φ (3.8) na čase Pro vykreslení závislosi je nejprve nuné urči konsany J, J, k, b, a M k. Tyo konsany byly voleny ak, aby sousava přibližně odpovídala sousavě spojené navrženou pružnou spojkou s plynovými pružinami. Pouze konsana lumení byla odhadnua. Za momen servačnosi J byl dosazen momen servačnosi rooru odsředivého čerpadla [33], keré odpovídá přenášenému výkonu 3 kw, pro kerý byla spojka navržena. Za momen servačnosi J byl dosazen momen servačnosi rooru elekromooru o výkonu 3 3
kw [34]. Za orzní uhos k byla dosazena orzní uhos navržené pružné spojky s plynovými pružinami. Za krouicí momen M k byl dosazen momen, na kerý byla spojka navržena. J =,79 kg m J =,79 kg m k = 39,76 N m rad,5 k, 4 b = N m s rad M = N m Obr. 3. 3 Závislos úhlu naočení φ na čase při buzení Heavisideovou funkcí 3. Odezva na buzení sinusovou funkcí Jedná se o buzení funkcí sin ( Ω ). Obr. 3. 4 udicí sinusová funkce Opě jako první určíme Laplaceův obraz budicí funkce: Ω f ( ) = sin( Ω ) L{ f ( ) }( s) = (3.33) Ω + s Obraz budicí funkce (3.33) dosadíme do výrazu (3.9). s b + k Ω ɶ ϕ = M (3.34) k s J J + s b J + J + k J + J s Ω + s ( ) ( ) ( ) 33
Originál k prvnímu zlomku z výrazu (3.34) je sejný jako v předchozí kapiole a je roven výrazu (3.4). Druhý zlomek můžeme rozděli na dvě jednoduché funkce, jejichž originály najdeme pomocí slovníku Laplaceovy ransformace a jejich součin získáme pomocí konvoluce. [3] M k 4 Φ = (3.35) s Ω Φ 5 = (3.36) Ω + s 4 4 sin F = L Φ = Ω (3.37) { } ( ) F = L Φ = M (3.38) 5 5 k { } K získání originálu součinu funkcí Φ 4 a Φ 5 je zapořebí provés konvoluci: 45 4 5 4 5 { } ( ) ( ) F = L Φ Φ = F τ F τ dτ F45 = M k ( sin ( Ω τ )) ( τ ) dτ = M k sin ( Ω τ ) dτ + τ sin ( Ω τ ) dτ sin ( Ω ) cos( ) 45 cos τ Ωτ F = M k ( Ωτ ) (3.39) Ω Ω Ω Dosazením mezí a upravením výrazu (3.39) získáme finální podobu originálu součinu funkcí Φ 4 a Φ 5. sin ( Ω ) F45 = M k (3.4) Ω Ω Originál k výrazu (3.9) získáme obdobně jako v minulé kapiole. Pomocí konvoluce vypočíáme součin funkcí F (3.7) a F 45 (3.4). ( ) ɶ ( ) { } ( ) ( ) ϕ = L ϕ s = F τ F τ dτ ϕ 45 ( Ω ) sin P e P e M dτ s ( τ ) s ( τ ) = ( + ) k Ω Ω s s P e s τ P e s τ ϕ = M k τ e dτ + e sin ( Ω τ ) dτ + Ω Ω s s P e s τ P e s τ + τ e dτ + e sin ( Ω τ ) dτ Ω Ω s s τ s s τ P e e P e e ϕ = M k ( s τ ) + ( s sin ( Ω τ ) + Ω cos( Ω τ )) + Ω s Ω Ω + s s s τ s s τ P e e P e e + ( s τ ) + ( s sin ( Ω τ ) + Ω cos( Ω τ )) Ω s Ω Ω + s 34
Po dosazení mezí a roznásobení závorek výraz upravíme ak, abychom opě sčíali komplexně sdružená čísla a ím se zbavili imaginárních čásí. Výraz poé zjednodušíme pomocí konsan A i. Získáme ak výsledný originál obrazu (3.34). M 4 cos ( ) 8 sin k A7 A4 α A ω A ( ω + ) ϕ = + e + Ω ( α + ω ) ( α + ω ) ( α + ω ) ( 3 A9 A7 ) sin ( ) ( A6 A4 ) cos( ) 4 ( α ω ) ( α ω ) M k Ω + Ω + Ω + Ω Ω + Ω Ω + Ω + + e α 3 3 ( Ω A6 + Ω A4 ) cos ( ω ) + ( Ω A + Ω A8 ) sin ( ω ) 4 Ω ( ) ( ) + Ω α ω + α + ω (3.4) Konsany A A 4 (3.9 3.3) jsou uvedeny v minulé čási. Nyní je pořeba uvés zbývající konsany A 6 A. Konsany A 6 A : A ( ) ( ) J J b α + ω + J J k α + b J α + b J k 6 = 4 J J α + ω + 4 J J b J α + b J A = J J b α + ω α + ( ) ( α ω ) α ( α ω ) ( α ω ) α ( α ω ) 7 4 J J + + 4 J J b J + b J + J J k + b J + + b J k + A = 4 J J b ( α + ω ) α ω + ( α ω ) α ( 3 ) ( ) 8 4 J J + + 4 J J b J + b J + J J k 3 α ω ω + b J α + ω + b J k α ω ( ) ( ) ( ) 4 J J ( α + ω ) + 4 J J b J α + b J J J b α + ω α + J J k α + ω + b J α ω + b J k α A = A 9 ( J J k α b J ) ( ) 4 J J α ω 4 J J b J α b J (3.4) (3.43) (3.44) (3.45) + ω = (3.46) + + + 35
Vykreslení závislosi úhlu naočení φ (3.4) na čase Při vykreslování funkce byly použiy sejné konsany jako v minulém případě. Pro vykreslení je však pořeba ješě zvoli velikos budicí úhlové rychlosi Ω = rad s. Obr. 3. 5 Závislos úhlu naočení φ na čase při buzení sinusovou funkcí 3.3 Odezva na buzení exponenciální funkcí Jde o buzení funkcí ( e β ). Zvěšováním nebo zmenšováním velikosi β měníme rychlos rozběhu, viz obr.. 4. Obr. 3. 6 Exponenciální funkce ( e β ) Posup je sejný jako v předchozích kapiolách. V první řadě je nuné urči Laplaceův obraz budicí funkce. Obraz (3.47) dosadíme do výrazu (3.9). β β f ( ) = ( e ) L{ f ( ) }( s) = (3.47) s + 36 ( β s) s b + k M β ɶ ϕ = (3.48) s J J + s b J + J + k J + J s β + s k 3 ( ) ( )
Pro získání originálu k výrazu (3.48) musíme nejprve nají originál k poslednímu zlomku. Pro zbylé dva zlomky byly originály nalezeny v předchozích kapiolách a jedná se o funkce F (3.4) a F (3.5). Poslední zlomek pojmenujeme jako funkci Φ 6. β Φ 6 = β + s 6 6 { } (3.49) F = L Φ = β e β (3.5) Nyní pomocí konvoluce získáme originál k součinu funkcí Φ a Φ 6. M τ β ( τ ) F = L Φ Φ = β e dτ F k 6 { 6} ( β τ β τ ) β τ M β + e = e β k β 6 3 M k 6 ( β β ) F = + + e β β Originál k obrazu (3.48) získáme konvolucí součinu funkcí F (3.4) a F 6 (3.5). (3.5) ( ) ɶ ( ) { } ( ) ( ) ϕ = L ϕ s = F τ F τ dτ 6 s ( τ ) s ( τ ) k ( ) β τ ( ) β M ϕ = P e + P e β τ β τ + + e dτ M k s s τ s τ s τ τ ( s+ β ) ϕ = e P β τ e dτ P β τ e dτ P e dτ P e + + β + β τ τ ( s + β ) d P e d + P e d P e s s τ s τ s τ e P e τ β τ τ τ M α τ k α α τ τ τ e e P e P 3 ϕ = β β ( α τ ) + β α α α α α τ + P e P e α α + β ( α β ) τ + + α τ α α τ τ τ e 3 + e P β e P β ( α τ ) α α α + α α τ ( α + β ) τ + P e P e α α β + 37
Po dosazení mezí výraz upravíme podobným způsobem jako v minulých případech. Tím získáme výsledný var. M α ( cos ( ) sin 3 ( )) k A A A e A ω + A ω 4 ϕ = β + 3 3 β α + ω ( α + ω ) ( α + ω ) ( α + ω ) α A A e ( A4 cos( ω ) + A8 sin ( ω )) A 7 4 β + + ( α + ω ) ( α + ω ) ( α + ω ) ( α + ω ) ( ( ) ( )) ( ) α β e A cos ω + A5 sin ω e A + β A 6 + + α + ω α + ω + β + β α ( ) [( β ) ( ω ) ( β ) ( ω )] α e A + A6 cos + A5 + A sin + + + α ω β β α (3.5) Konsany A A 4 (3.9 3.3) jsou uvedeny v čási s buzením Heavisideovou funkcí. Konsany A 6 A (3.4 3.46) jsou uvedeny v čási s buzením sinusovou funkcí. Pro komplení řešení zbývá doplni konsanu A 5. Konsana A 5 : A ( ) ( ) J J b α + ω ω + 4 J J k α ω + b J k ω 5 = 4 J J α + ω + 4 J J b J α + b J (3.53) Vykreslení závislosi úhlu naočení φ (3.5) na čase Při vykreslování funkce byly použiy sejné konsany jako v případě buzení Heavisideovou funkcí. Pro vykreslení je však pořeba ješě zvoli velikos konsany β = 3. Obr. 3. 7 Závislos úhlu naočení φ na čase při buzení exponenciální funkcí 38
3.4 Naznačení odvození řešení pro φ Jak už bylo řečeno na začáku éo kapioly, ak při odvození řešení pro φ došlo k chybě. Tao chyba pravděpodobně nasala při použií reziduové věy na zlomek z výrazu (3.). Reziduovou věu je oiž možné použí pouze v om případě, je-li polynom v čiaeli nižšího řádu než polynom ve jmenovaeli. Tao podmínka v omo případě není splněna. V éo čási práce bude naznačen posup řešení ohoo případu. Abychom mohli použí reziduovou věu, je nuné polynom v čiaeli vyděli. Tím nám vznikne nový polynom menšího řádu a konsana. k + b s + J s T + U s = X + + + + + k J b J s J J s k J b J s J J s k + b s + J s X k J + X b J s + X J J s + T + U s = + + + + k J b J s J J s k J b J s J J s (3.54) (3.55) Porovnáním koeficienů jednolivých polynomů v čiaelích výrazu (3.55) určíme neznámé koeficieny T, U a konsanu X. k = k J X + T b = b J X + U J J J X X = = = J J J b J b = + U U = J J k J k = + T T = J J J ( ) b J J ( ) k J J Konsanu X a koeficieny T, U dosadíme do výrazu (3.54). k + b s + J s k ( J J ) + b ( J J ) s = + k J + b J s + J J s J J k J + b J s + J J s ( ) (3.56) Zpěná Laplaceova ransformace prvního zlomku výrazu (3.56) je Diracova funkce. Pro druhý zlomek je už možné použí reziduovou věu. Tyo originály bychom vynásobili s originálem budicí funkce a pomocí konvoluce bychom určili výsledný originál φ. 3.5 Ampliudově frekvenční charakerisika Odvození ampliudově frekvenční charakerisiky vychází ze vzahu (3.4). Pro odvození použijeme pouze čás ohoo vzahu a o čás, ve keré se vyskyuje budicí úhlová rychlos Ω v goniomerických funkcích. u = Výraz (3.57) zjednodušíme na výraz: 3 ( Ω A9 + A7 ) sin ( Ω ) + ( Ω A6 + Ω A4 ) cos( Ω ) 4 Ω + Ω ( α ω ) + ( α + ω ) ( ) cos( ) (3.57) u = A sin Ω + Ω (3.58) 39
Porovnáním výrazů (3.57) a (3.58) můžeme vyjádři konsany A a. Výraz (3.58) můžeme aké napsa ve varu: Ω A9 + A7 A = Ω + Ω + + ( α ω ) ( α ω ) 4 3 Ω A6 + Ω A4 = Ω + Ω + + ( α ω ) ( α ω ) 4 u = Y cos( Ω + ϕ ) ( ) ( ϕ ) ( ) ( ϕ ) (3.59) (3.6) u = Y cos Ω cos Y sin Ω sin (3.6) Pokud nyní porovnáme výraz (3.58) s výrazem (3.6), můžeme vyjádři konsany A a ve varu: Výrazy (3.6) a (3.63) umocníme na druhou a sečeme. A = Y sin ( ϕ ) (3.6) = Y cos( ϕ ) (3.63) Y = A + Y = A + (3.64) Dosazením konsany A (3.59) a (3.6) do vzahu (3.64) dosaneme výsledný vzah pro ampliudově frekvenční charakerisiku. 3 Ω A + A Ω A + Ω A 9 7 6 4 4 4 Y = + Ω + Ω ( α ω ) + ( α + ω ) Ω + Ω ( α ω ) + ( α + ω ) Charakerisiku získáme vykreslením Y v závislosi na budicí úhlové rychlosi Ω.Ω (3.65) Obr. 3. 8 Ampliudově frekvenční charakerisika 4
4 NÁVRH KONSTRUKCE PRUŽNÉ SPOJKY S PLYNOVÝMI PRUŽINAMI Ze sejného důvodu jako v kapiole Pružná spojka s plynovými pružinami je aké ao čás diplomové práce uajena. 4
5 ZÁVĚR Pružné spojky jsou nejpoužívanější kaegorií hřídelových spojek. Za pomocí pružných členů lumí rázy a chrání sousavu před orzním kmiáním. V dnešní době se v echnické praxi můžeme nejčasěji seka se spojkami s nekovovými členy. S dříve hojně používanými spojkami s kovovými členy se dnes už sekáme málokdy. Zmíněné kaegorie spojek mají jisé výhody a nevýhody. Žádná z kaegorií však neposkyuje spolehlivou ochranu vůči orznímu kmiání. Důvodem jsou paramery (orzní uhos a lumení), keré nejdou jednoduše modifikova a ím ladi roující sysém. Právě uo výhodu nabízí spojky na principu ekuin, u kerých můžeme paramery jednoduše měni pomocí změny laku ekuiny. V rámci éo práce byla navržena úprava pružné spojky s plynovými pružinami. Tao úprava umožňuje spojce kompenzova axiální a úhlové odchylky os spojovaných hřídelí a o i při zaížení spojky, což předchozí variana neumožňovala. Došlo aké k razannímu snížení minimálního plnicího laku. Pro yo úpravy bylo však nuné spojku zvěši. Díky odvozenému maemaickému modelu plynové pružiny můžeme přibližně urči nebezpečné vlasní frekvence a lakové pulzace plynu v pružině. Společným použiím maemaického modelu plynové pružiny a maemaického modelu roorové sousavy můžeme urči lak plynu v pružinách spojky pro správné naladění sousavy. 4
SEZNAM PŘÍLOH Výkresová dokumenace PRUŽNÁ SPOJKA S PLYNOVÝMI PRUŽINAMI (vloženo v práci) PÍST (na CD) VNĚJŠÍ DISK (na CD) VNITŘNÍ DISK (na CD) DP/ DP/ DP/ DP/3 43
SEZNAM POUŽITÝCH ZKRATEK A SYMOLŮ A, A - konsany A maice sousavy A T [J] ulumená energie a [m.s - ] rychlos zvuku konsana maice orzního lumení b [s - ] konsana lumení b m [N.s.m - ] součiniel lumení b kr [N.s.m - ] kriické lumení b p [] poměrné lumení b [N.m.s.rad - ] orzní lumení d [m] průměr písu plynové pružiny d s [m] rozečný průměr, na kerém jsou umísěny pružiny e [] Eulerovo číslo F -5, F 45, F 6 zjednodušující funkce F i [N] síla na jeden pís f [Hz] vlasní frekvence i imaginární jednoka i p [] poče pružin J maice momenu servačnosi J, J [kg.m ] momeny servačnosi K maice uhosi k [] konsana k d [N.m - ] dynamická uhos k m [N.m - ] uhos k min [N.m - ] minimální uhos plynové pružiny k [N.m.rad - ] orzní uhos L [m] délka válce plynové pružiny L [m] počáeční délka plynové pružiny M k, M s [N.m] krouicí momen M k maice zaěžujících momenů M k [N.m] počáeční krouicí momen Ms s [N.m] saický krouicí momen Ms d [N.m] dynamický krouicí momen m [kg] hmonos P konsana p [Pa] lak p [Pa] počáeční lak p min [Pa] minimální plnicí lak pružin Q, q [m 3.s - ] průok Q, q [m 3.s - ] počáeční průok S [m ] průřez písu 44
s, s,, s k vlasní čísla T [ C] eploa,, [s] čas T, U konsany V [m 3 ] počáeční objem V V [m 3 ] počáeční objem válce V D [m 3 ] objem přívodního kanálu plynové pružiny v [m.s - ] počáeční rychlos x [m] posunuí x max [m] maximální slačení plynové pružiny X konsana Y [m, rad ] ampliuda α, α i reálná čás vlasního čísla β [] konsana exponenciální funkce Λ konsana ν [] logarimický dekremen úlumu π [] Ludolfovo číslo ρ [kg.m -3 ] husoa ρ [kg.m -3 ] počáeční husoa σ [Pa] lak σ [Pa] počáeční lak τ [s] čas Φ -6 zjednodušující funkce φ, φ - [rad] úhly naočení Ω [rad.s - ] budicí úhlová rychlos ω [rad.s - ] vlasní úhlová rychlos 45
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] lovejoy-inc.com.[online]. [ci. 6. 4. 4]. The Coupling Handbook. Dosupné z WWW: <hp://www.lovejoy-inc.com/hecouplinghandbook_par.aspx> [] HOSNEDL, Sanislav a Jaroslav KRÁTKÝ. Příručka srojního inženýra: obecné srojní čási. Vyd.. Praha: Compuer Press, 999, s. -73. Edice srojaře. ISN 8-76-55-3. [3] HOMIŠIN, Jaroslav a Peer KAŠŠAY. INFLUENCE OF TEMPERATURE ON CHARACTERISTICS PROPERTIES OF FLEXILE COUPLING. Transpor Problems: an Inernaional Scienific Journal [online]., vol. 7, issue 4, s. 3-9 [ci.. 5. 4]. Dosupné z: <hp://search.ebscohos.com.ezproxy.lib.vubr.cz/login.aspx?direc=rue&db=a9h&an=859 38&lang=cs&sie=ehos-live> [4] lovejoy-inc.com.[online]. [ci. 3. 5. 4]. Jaw Type Couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.lovejoy-inc.com/producs/jaw-ype-couplings.aspx> [5] kr.com.[online]. [ci. 3. 5. 4]. ROTEX Torsionally flexible coupling wih T-PUR. Dosupné z WWW: <hp://www.kr.com/roo/img/pool/pdf/produkkaaloge/en/en_gesam/_roex_en.pdf> [6] kr.com.[online]. [ci. 3. 5. 4]. ROTEX Sandard. Dosupné z WWW: <hp://www.kr.com/en/producs/couplings/roex/sandard.hm> [7] Konšruovanie.. vyd. V Žiline: Žilinská univerzia, 9, s. 4-454. Vysokoškolské učebnice. ISN 978-8-87-97-6. [8] siemens.com.[online]. [ci. 3. 5. 4]. FLENDER Sandard Couplings. Dosupné z WWW: <hps://www.auomaion.siemens.com/mcms/infocener/dokumenencener/md/documensu Caalogs/MD FLEcNDER_Sandard_Couplings_EN_.pdf> [9] sgf.de.[online]. [ci. 4. 5. 4]. Flexible flange couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.sgf.de/en/sgf-sueddeusche-gelenkscheibenfabrik-english/producs/flexibleflange-couplings.hml> [] sromag.com.[online]. [ci. 4. 5. 4]. GKN SromaG Periflex TT Top Torque Shaf Coupling. Dosupné z WWW: <hp://www.sromag.com/fileadmin/user_upload/dokumene/druckschrifen_3/upload_ 4/PC_PeriflexTT_8_Kaalog_EN 4.pdf> [] rexnord.com.[online]. [ci. 5. 5. 4]. Rexnord Viva Elasomeric Coupling Produc Shee. Dosupné z WWW: <hp://www.rexnord.com/sies/process/techlibrary/lieraurelibrary/443- Viva_Couplings_WE.pdf> [] MAŠEK, Anonín a Adolf NĚMEC. Spojky. raislava: SVTL, 963. 46
[3] alralieraure.com.[online]. [ci. 6. 5. 4]. G-Flex The Original ibby Grid Coupling. Dosupné z WWW: <hp://www.alralieraure.com/pdfs/p-674-tw-a4.pdf> [4] lovejoy-inc.com.[online]. [ci. 6. 5. 4]. The Coupling Handbook - II. Dosupné z WWW: <hp://www.lovejoy-inc.com/hecouplinghandbook_par.aspx> [5] rexnord.com.[online]. [ci. 6. 5. 4]. Falk Seelflex Grid Couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.rexnord.com/sies/process/techlibrary/lieraurelibrary/m4- _Falk%Seelflex%Grid%Couplings_Caalog.pdf> [6] mayr.com.[online]. [ci. 7. 5. 4]. ROA -DS. Dosupné z WWW: <hp://www.mayr.com/fileadmin/user_upload/dokumenaionen/englisch/roa- DS/ROA-DS_general_caalogue.pdf> [7] rexnord.com.[online]. [ci. 7. 5. 4]. Thomas Flexible Disc Couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.rexnord.com/sies/process/techlibrary/lieraurelibrary/m_thomas%f lexible%disc%couplings_caalog.pdf> [8] bwoods.com.[online]. [ci. 7. 5. 4]. Form-Flex Couplings - Flexible Disc Couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.bwoods.com/producs_mechanical_couplings_formflex.asp> [9] KAŠŠAY, Peer, Jaroslav HOMIŠIN, Rober GREGA a Jozef KRAJŇÁK. Comparaion of seleced pneumaic flexible shaf couplings. Zeszyy naukowe Poliechniki Ślaskiej: TRANSPORT., č. 73. Dosupné z: <hps://www.polsl.pl/wydzialy/rt/zn_t/pelne_eksy/z73/4_zn73_kassayhomisingreg akrajnak.pdf> [] indusrialgassprings.com.[online]. [ci. 8. 5. 4] How do gas springs work? Dosupné z WWW: < hp://www.indusrialgassprings.com/uk/calculae_basics.asp> [] ehow.com.[online]. [ci. 8. 5. 4] How gas springs work. Dosupné z WWW: <hp://www.ehow.com/how-does_537388_gas-springs-work.hml> [] MACHŮ, T. Návrh plynové pružiny. rno: Vysoké učení echnické v rně, Fakula srojního inženýrsví,. 4 s. Vedoucí bakalářské práce prof. Ing. Franišek Pochylý, CSc. [3] HOMIŠIN, Jaroslav. Pneumaic flexible shaf couplings. Transpor Problems: an Inernaional Scienific Journal [online]. 7, vol., issue 3, s. 63 [ci. 9. 5. 4]. Dosupné z: <hp://ransporproblems.polsl.pl/pl/archiwum/7/zeszy3/7z3_8.pdf> [4] fena.pl.[online]. [ci.. 5. 4] Pnaumaic Couplings. Dosupné z WWW: <hp://www.fena.pl/en/docs/pnaumaic-couplings.pdf> [5] HOMIŠIN, Jaroslav, Peer KAŠŠAY a Maej URANSKÝ. High-flexibiliy characerisic of pneumaic flexible shaf couplings. Pneumayka., č.. Dosupné z: <hp://pneumayka.com/archiwum//79.pdf> 47