Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015
Určování výměr určování výměry na plánu nebo mapě je vždy výpočet plochy obecného mnohoúhelníka vodorovným průmětem tohoto obrazce daného hranicemi pozemku je vymezena plocha parcely Pozemek přirozená část zemského povrchu oddělená hranicí od sousedních částí, jedná se o hranici: územně správní katastrálního území vlastnickou držby druhů pozemků rozhraním způsobu využití pozemků
Parcela obraz pozemku, který je geometricky a polohově určen, zobrazen svislým průmětem hranic v katastrální mapě a označen parcelním číslem Výměra parcely vyjádření plošného obsahu průmětu hranic pozemku do zobrazovací roviny v plošných metrických jednotkách velikost výměry vyplývá z geometrického určení pozemku výměra parcely se určuje na čtvereční metry (m ) povoleným násobkem je hektar (1 ha 10 000 m )
Kvalita výměry číselný znak, kterým se v souboru popisných informací v katastru nemovitostí označuje způsob výpočtu výměry parcely Způsob výpočtu výměry Výměra vypočtená ze souřadnic v systému S-JTSK Výměra vypočtena jiným číselným způsobem (z přímo měřených měr nebo ze souřadnic v místním systému) Výměra vypočtena graficky nebo v digitalizované mapě Kvalita 1 0
Výměru lze určovat: z přímo měřených měr v terénu ze souřadnic polárních pravoúhlých ze stran a obvodových úhlů z map a plánů graficko - počtářský způsob (pomocí naměřených hodnot z plánu nebo mapy) rozkladem na jednodušší obrazce převedením na jednodušší obrazce planimetrický způsob (pomocí mechanických pomůcek - planimetrů) kombinací obou způsobů
Určování výměr z polárních souřadnic 3 4 3 3 1 1 α sin s s sinα s s sinα s s P + + i 1 i n 1 i i α sin s s P +
Určování výměr z pravoúhlých souřadnic počítáme na základě L Huilierových vzorců tento způsob možno použít i u výpočtu plochy zaměřené ortogonálně hodnoty délek (staničení) a délky kolmic nám představují pravoúhlé souřadnice v místní soustavě polygon číslujeme ve směru pohybu hodinových ručiček plochu budeme počítat z lichoběžníků: P P 1,,,1 + P,3,3, + P 3,4,4,3 - P 1,4,4,1 vzorec pro výpočet plochy lichoběžníka: P 1 (a + b) v P (a + b) v
y 4 x 3 x 4 y 3 x x 1 y y 1 P + (x 3 (x x y 1 1 4 x ) (y ) (y 3 + y 1 4 + y ) + (x ) + (x 4 x 1 - x 3 ) (y ) (y 4 y 1 + y 1 + ) y 3 ) +
roznásobením, vykrácením a vytknutím x (popř. y) dostaneme: obecně potom platí: plochu počítáme dvakrát, tzn. podle obou vzorců ) x (x y P 1 i i-1 n 1 i i + ) y (y x P 1 i 1 i n 1 i i + x ) (x y ) x (x y ) x (x y ) x (x y P 1 3 4 4 3 3 1 4 1 + + + ) y (y x ) y (y x y ) (y x ) y (y x P 3 1 4 4 3 1 3 4 1 + + +
Určování výměr ze stran a obvodových úhlů výpočet se provádí pomocí Mascheroniho vzorce: P n- i 1,j+ i 1 ( 1) i+ j+ 1 s i s j sin j k+ i 1 ω k dvojnásobná plocha mnohoúhelníka se rovná algebraickému součtu součinů vždy dvou stran a sinu součtu úhlů mezi nimi ležících součiny se tvoří ve všech kombinacích s vynecháním jedné strany siny lichého součtu úhlů jsou kladné a siny sudého součtu úhlů jsou záporné
P s 1 s sinω s1 s3 sin (ω + ω3 ) + s s3 sinω3
Určování výměr rozkladem na jednodušší obrazce pro určení výměry mnohoúhelníka se tento obrazec rozloží na jednodušší obrazce (trojúhelníky, lichoběžníky a čtyřúhelníky) jejich výměru vypočteme podle geometrických vzorců pro výpočet těchto obrazců výsledná výměra je pak součtem výměr těchto jednodušších obrazců jako kontrola je prováděno rozdělení na jiné obrazce P P + 1+ P P3
Výměra trojúhelníka P 1 c v známe základnu c a výšku v: P c v známe dvě strany b, c a jimi sevřený úhel α: (tento vzorec je vhodný při zaměření parcely polární metodou) P bc sinα
známe stranu c a přilehlé úhly α a β: P c v c asinβ P c c sin α sin(α + β) sinβ c sinαsin β sin(α + β) známe všechny strany a, b, c (Héronův vzorec): P s(s a) (s b) (s c) s a + b + c
Výměra lichoběžníka a + b a) P zv v a + b b) P zv v k k c) P 1 v
Výměra čtyřúhelníka v + v P z 1 1
Určování výměr převodem na jednodušší obrazce využití poznatku, že plocha trojúhelníka se nezmění, nezmění-li se jeho základna a výška postupně změníme šestiúhelník na trojúhelník plochu trojúhelníka vypočteme z měr oměřených v plánu
Měření ploch pomocí planimetrů nejpoužívanější mechanické pomůcky podle konstrukce je dělíme na: proužkové - jednoduché, velmi přesné, časově náročné nitkové (harfové) transparentní - osnova rovnoběžek na průsvitné folii objížděcí - pohodlné, rychlé, málo přesné polární přímkové tyčové - konstrukčně nejjedodušší, nejméně přesné
Nitkový planimetr je tvořen žíněmi napnutými v kovovém rámu po přiložení na určovanou plochu vymezují úzké lichoběžníky o konstantní výšce d odpovídající zvolenému rozestupu vláken vlákna jsou barevně odlišená (d, d a 4d) pomocí součtového kružítka se načítají střední příčky lichoběžníků s i rozvor kružítka nastavujeme na jednom z příčných plochových měřítek na jednoduše násobitelnou hodnotu výsledná plocha se určí z počtu celých rozvorů součtového kružítka, které odpovídají plošné jednotce a doměrku, určeného pomocí příčného měřítka
P d(s1 + s + s3 +... + s ) i plocha obrazce se vypočte: P d s i střední příčky d vzdálenost mezi vlákny P nl + z i s i n součet celých rozvorů l plocha jednoho rozvoru z doměrek (zbytek rozvoru)
Alderův nitkový planimetr Příčná plochová měřítka
Polární planimetr roku 1854-1856 jej zkonstruoval Švýcar Amsler skládá se z ramene pevné délky R, které je vymezené pevným pólem P a kloubem O v kloubu O je napojeno rameno proměnné délky r y 3 zakončené snímací značkou H O
snímací značku H při měření ručně vedeme po obrysové čáře určované plochy pojízdné rameno nese odečítací zařízení, tvořené měřícím kolečkem K o poloměru ρ na kolečku se při pohybu snímací značky H odvíjí ujetá dráha U a zaznamenávaná na připojené stupnici jako čtení n můžeme odečítat až 1/1 000 otočky kolečka základní podmínkou pro správné měření je podmínka rovnoběžnosti osy kolečka s pojízdným ramenem pro vyloučení přístrojových chyb se provádí měření plochy ve dvou symetrických polohách (následující strana)
je-li pól mimo obrazec, určí se výsledná plocha podle P r U π ρr 1000 n pokud pól leží uvnitř, připočítává se k ploše získané měřením konstanta c
Postup při planimetrování: nastavení délky objízdného ramene podle tabulky umístíme pól přístroje mimo obrazec > větší přesnost zvolíme výchozí bod na obrazci > přiložíme hrot > přečteme údaj na měřícím kolečku č 1 objedeme hrotem obrazec až do výchozího bodu a přečteme údaj č z rozdílů obou čtení obdržíme hodnotu č č - č 1 plochu vypočteme podle výrazu: P k. č k konstanta pro určité měřítko změníme pól a měření opakujeme výsledná plocha bude průměr z obou měření
chceme-li přesnější hodnoty, opravíme výsledky o srážku papíru pro větší obrazce umístíme pól uvnitř > menší přesnost vhodnější je větší obrazec rozdělit a planimetrovat s pólem vně každou plochu samostatně metoda vhodná pro méně přesné práce (projektování, meliorace)
Digitální planimetr pohodlné, rychlé a přesné měření měřenou plochu udává číselně vybaven množstvím funkcí (nastavení měřítka mapy, jednotek měření a souřadnicového systému) mimo výměr lze určovat i vzdálenosti (oměrky) a v některých případech můžeme snímat i souřadnice lomových bodů parcely je možné jej propojit s počítačem
Vztah mezi plochou na plánu a ve skutečnosti můžeme odvodit z plochy obdélníka: P ab v měřítku 1 : M bude plocha: P P M M a b P M M M P M plocha ve skutečnosti se rovná plocha zjištěná z plánu (mapy) násobená čtvercem měřítka P plocha ve skutečnosti P M plocha v měřítku plánu nebo mapy M měřítkové číslo
Převody mezi měřítky a odchylky P plocha, kterou potřebuji (měřítko M) P plocha, kterou jsme určili v měřítku M dovolené odchylky slouží ke kontrole aritmetického průměru vypočteného z několika měření plochy a koeficient vlivu systematických chyb b koeficient vlivu nahodilých chyb P P plocha v m M měřítkové číslo P P P ap + b 0,001P + M M M 5000 P P
Srážka papíru pro přesné určení (výpočet) výměry parcely je nutné provést určení srážky papíru jedná se o změnu rozměrů mapových listů a plánů je dána vlastnostmi (strukturou) použitého papíru velikost srážky se mění s časem, proto je třeba ji určit před každým měřením papír plánu a mapy mění své rozměry: stářím vlivem vlhkosti změnami teploty tiskem mapy (místní deformace) srážka není rovnoměrná po celé ploše plánu nebo mapy ale pro praktické účely ji určujeme jako průměrnou hodnotu v %
srážce se bráníme: nalepováním plánů a map na hliníkové desky vhodným skladováním použitím kvalitního papíru při tisku mapy velikost srážky se určuje: z rozměrů sekčního rámu mapy ze čtvercové (kilometrové) sítě pouze pro lokální určení (jednotlivé menší parcely) za základní (přesné) rozměry pro výpočet považujeme ty, které byly v době vyhotovení mapy nebo plánu rozeznáváme srážku: délkovou plošnou
Délková srážka srážku určíme porovnáním správných a sražených rozměrů rámu mapy ve směru sekčních čar d 1 3 d + d + d 4 v 1 + 3 v v + v 4 d- d p 100 ( ) d v - v v 100 ( ) v potom odvodíme procentní srážku pro oba rozměry sekčního rámu (délku p, šířku v)
Plošná srážka průměrnou srážku vypočteme v procentech z podélné a příčné procentické srážky podle vztahu: S (%) p (%) + v (%) procentická srážka nám udává opravu v m na 100 m planimetrované plochy Výpočet přesné plochy parcely: sm Sp P P m P P + S m dv d v S p P přesná plocha parcely (opravená o plošnou srážku) P plocha parcely určená z mapy nebo plánu (zatížená chybou ze srážky papíru) S p plošná srážka parcely S m plošná srážka listu mapy P m přesná plocha listu mapy
Určení srážky pomocí čtvercové sítě d 1 d + d v 1 v + v další postup je shodný jako v předcházejícím případě (určení srážky ze sekčního rámu)
Výpočet objemů při zemních pracích se používá název kubatura pro určení množství násypové nebo výkopové zeminy tělesa pravidelného tvaru (krychle, hranol, kvádr, jehlan, kužel) provedeme jednoduchá délková měření výpočet podle známých geometrických vzorců tělesa složitější, ohraničené nepravidelným povrchem pomocí příčných profilů pomocí kótované čtvercové sítě (pomocí výšek) pomocí vrstevnicového plánu
Určení objemu pomocí příčných profilů 1. Pro tělesa s malými rozdíly ploch profilů terén probíhá mezi profily pravidelně plochy profilů se určují planimetrem V 1, ½(P 1 + P ). d 1, P 1, P plochy sousedních profilů d 1, vzdálenost sousedních profilů. Pro dlouhá tělesa se stejnými odstupy profilů V ½ d. (P z + n. P s + P k ) P z, P k plocha začátečního a koncového profilu P s průměr z n mezilehlých profilových ploch 3. Pro tělesa s velkými rozdíly ploch profilů V 1, ⅓ d 1, (P 1 + P + P 1. P ) přesnost výpočtu kubatur závisí na hustotě příčných profilů a na tvaru terénu metoda není vhodná pro členitý terén > hodně profilů > časově náročné > nehospodárné
Určení objemu pomocí kótované čtvercové sítě pro stavby s velkou plochou vytvoříme čtvercovou síť se stranami podle členitosti terénu ke každému vrcholu napíšeme: výšku terénu v t (určenou plošnou nivelací) - dolu navrhovanou výšku v u (červeně) - nahoru pracovní výšku h (i se znaménkem) - vlevo h v u v t interpolací mezi sousedními pracovními výškami zjistíme body nulové čáry - odděluje násypové a výkopové plochy kubaturu počítáme v každém čtverci zvlášť pro výkop i násep V P (h 1 + h + +h n ) / n v členitém terénu je třeba zaměřit i lomové čáry přesnost výpočtu závisí na rozměrech sítě a tvaru plochy
Náčrt čtvercové sítě
Určení objemu z vrstevnicového plánu sestrojení nulové čáry spojením průsečíků vrstevnic terénu a projektu o stejných výškách 1. Pomocí ploch uzavřených terénními a návrhovými vrstevnicemi plochy P 1 až P n se určí planimetrem V v i {⅓P 1 + ½ (P 1 + P ) + ½(P + P 3 ) + + ½(P n-1 + P n ) + ⅓P n } v i vrstevnicový interval v metrech pro méně náročné práce platí: V v i (P 1 + P P n-1 + P n ). Rozdílem objemů určených podle návrhových a terénních vrstevnic 3. Pomocí násypových a výkopových vrstev 4. Zakreslením profilů nebo čtvercové sítě do vrstevnicového plánu další výpočty viz. předchozí strany
Dělení pozemků dělení pozemků se provádí, potřebuje-li: rozdělit pozemek na několik stejných částí oddělit z pozemku část o určité dané výměře v zemědělské a lesnické praxi se tyto úlohy vyskytují: při vytyčování osevních ploch a ploch pro sadbu při oddělování pokusných polí a jiných ploch při rozdělení lesní školky, zahrady, sadu atd. než začneme s dělením pozemku, musíme vhodným způsobem určit a ověřit jeho výměru: zaměřit v terénu a potom vypočítat výměru odměřit výměru z plánu
způsob dělení závisí na: tvaru pozemku (trojúhelník, lichoběžník, rovnoběžník, mnohoúhelník) na směru vedení dělící přímky Postup při oddělování zaměření pozemku pravoúhlou metodou (ortogonální) vyhotovení měřického náčrtu vykreslení situace v měřítku z měr měřického náčrtu ze situačního plánu určíme plochu rozdělením na trojúhelníky a změřením jejich základen a výšek planimetricky
Pozemek tvaru trojúhelníku 1. oddělit část o ploše p, přímou hranici vést z bodu P změříme všechny strany (a, b, c), výšky v a v 1 vypočteme plochu: P s.(s-a).(s-b).(s-c) s (a+b+c) / kontrolně: P (z.v) / vypočteme základnu x AQ z rovnice: p (x. v 1 ) / x p / v 1 tuto vzdálenost naneseme na stranu AB a dostaneme druhý bod dělící přímky Q
. oddělit plochu p přímkou QP rovnoběžnou se stranou BC změříme všechny strany v trojúhelníku a výšku v vypočteme plochu: P s.(s-a).(s-b).(s-c) s (a+b+c) / kontrolně: P (z.v) / z podobnosti trojúhelníků ABC a AQP vypočteme strany a 1, b 1, c 1 trojúhelníka AQP
platí, že plochy podobných trojúhelníků jsou úměrné čtvercům stejnolehlých stran P : p a : a 1 > P : p b : b 1 > P : p c : c 1 > plocha trojúhelníka ABC P plocha trojúhelníka AQP p a 1 a. p/p b 1 b. p/p c 1 c. p/p délku b 1 naneseme na stranu AC a c 1 na stranu AB spojnice koncových bodů b 1, c 1 je hledaná přímka QP pro kontrolu přeměříme > délka musí být shodná s a 1
3. oddělit plochu p přímkou vedoucí z bodu C trojúhelníky ABC a ACP mají společnou výšku v plochy obou trojúhelníků jsou úměrné základnám c, c 1 P : p c : c 1 > c 1 c. p/p délku c 1 naneseme na stranu AB a dostaneme bod P
Pozemek tvaru rovnoběžníku rovnoběžníkový pozemek: čtverec - obdélník - kosočtverec - kosodélník oddělit plochu p od rovnoběžníku musíme určit výšku v 1 rovnoběžníka ABFE stranu AB změříme vzorec pro výpočet plochy rovnoběžníka: p z. v 1 AB. v 1 v 1 p/z p/ab na straně AB vztyčíme na obou koncích kolmice o délce v 1 prodloužená přímka obou konců kolmic protne strany AD a BC v bodech E a F spojnice těchto bodů je hledanou dělící příčkou
Pozemek tvaru lichoběžníku oddělit plochu p tak, aby dělící příčka byla rovnoběžná se stranou AB oddělovanou část plochy p považujeme za rovnoběžník o základně a AB a výšce v 1 vypočteme: v 1 p/a výšky naneseme na konce základny a, spojíme a určíme body M 1 a N 1 změříme M 1 N 1 a 1 a vypočteme plochu p 1 p 1 ½(a+a 1 ). v 1 vypočteme rozdíl mezi plochou p, kterou máme oddělit a již oddělenou plochou p 1 p p p 1 o tento rozdíl musíme předběžně oddělenou část hranicí M 1 N 1 zvětšit nebo zmenšit vycházíme z lichoběžníku M 1 N 1 NM, který považujeme za rovnoběžník o známé ploše p a základně a 1
vypočteme výšku v a naneseme od základny a 1 prodloužená přímka konců výšek protne strany AD a BC v bodech MN tyto body nám určují definitivní dělící přímku (základnu a ) změříme tuto základnu a pro kontrolu vypočteme plochu odděleného lichoběžníka ABNM pokud by se vyskytl znovu rozdíl mezi plochami, vypočetli bychom z něho novou výšku o tuto výšku bychom znovu posunuli dělící přímku MN