2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

Transkript

1 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému řešení Vzdálenosti a odchylky 28 Úlohy k samostatnému řešení Kolmost 3 Úlohy k samostatnému řešení

2 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 Vektory Úlohy k samostatnému řešení 1 Vypočítejte souřadnice vektoru x pro který platí: a) x+ 2a 4 b = o a = ( 8711 ) b = ( 93 5) 4x 8a 2 b = o a = b = ( ) ( ) 2 Je dán vektor u a bod A Najděte souřadnice bodu B je-li A počáteční a B koncový bod vektoru u Vypočítejte velikost vektoru u a) u = ( 21 2 ) A[ 31 ] u = ( 3 4 ) A[ 25 1] u = A 95 4 u = 65 4 A c) ( ) [ ] d) ( ) [ ] 3 Vypočítejte směrové úhly vektoru a : a = a = c) a) ( ) ( ) a = ( 12 5) 4 Vypočítejte odchylku vektorů: a) a = ( 2 41 ) b = ( 31 2) a = 2 48 b = c) ( ) ( = = u ( 31 4 ) v ( 6 8) ) d) u = ( 3 4 ) v = ( 5 55) 5 Najděte vektor c který je kolmý k vektorům a b : a) a = ( 21 6 ) b = ( 7311) a = ( 251 ) b = ( 43 2) c) a = ( 76 2 ) b = ( 6 6) d) a = ( 1 2 ) b = ( 5 4) 6 Najděte souřadnice vektoru x pro který platí: a) x a = 4 x b = 2 x c a = ( ) b = ( 3 23 ) c = ( 61 4) x a = 15 x b = 7 x c a = ( 4 7 ) b = ( 235 ) c = ( 5 211) x a = 23 x b = 6 x c a = 255 b = c = 75 6 c) ( ) ( ) ( ) 7 Vypočítejte obsah trojúhelníka ABC a) c) A[ ] B[ ] C[ ] A[ 111 ] B [ 3 43 ] C[ 3 5 7] A[ 2 45 ] B[ 25 2 ] C[ 68 1] d) A[ 75 3 ] B[ 71 ] C[ 65 6]

3 8 Pomocí smíšeného součinu rozhodněte zda jsou vektory kompalnární: a) a = ( 231 ) b = ( 4 68 ) c = ( 21511) a = ( 68 ) b = ( ) c = ( 987) a = 43 b = c = 679 c) ( ) ( ) ( ) 9 Vypočítejte objem tělesa: a) čtyřboký jehlan kde ABCDV A[ 11 ] B[ 26 ] D[ 59 ] V [ ] ABCDEFGH A[ 135 ] B[ 2 46 ] D[ 25 3 ] E[ 1119] rovnoběžnostěn kde 1 Vypočítejte vnitřní úhly trojúhelníka ABC a) A 111 B 3 43 C A[ ] B[ ] C[ ] [ ] [ ] [ ] c) A[ 2 45 ] B[ 25 2 ] C[ 68 1] d) A[ 75 3 ] B[ 71 ] C[ 65 6] 11 Určete konstanty mn tak aby vektory byly: a) kolineární a = ( m46 ) b = ( 32 n) ortogonální (kolmé) a = ( m21 ) b = ( 363m) a = 1 2 m b = m1 c = c) komplanární ( ) ( ) ( ) 22 Přímka a rovina v prostoru Úlohy k samostatnému řešení 12 Napište rovnice přímky která je dána bodem a směrovým vektorem: a) A[ 235 ] s = ( 6 31) A[ 2 4 ] s = ( 8 1 ) A55 2 s = 4 83 A s = 1 3 c) [ ] ( ) d) [ ] ( ) 13 Napište rovnice přímky která prochází dvěma body: A 21 4 B 39 6 A 457 B 57 4 a) [ ] [ ] [ ] [ ] c) A[ 6 23 ] B [ 6 2] d) A[ 5 79 ] B[ ] 14 Napište rovnice přímky která prochází bodem a je rovnoběžná s danou přímkou: A 2 46 p: x= 1 3 t y = t z = 2 5 t t R a) [ ]

4 A 3 21 p: x= t y= 4 3 t z = 2 + t t R [ ] c) [ ] d) [ ] A 27 p: x= 5 y= t z = 3+ 3 t t R A p: x= 7 6 t y= t z = 4 t t R 15 Přímka je dána jako průsečnice dvou rovin napište její parametrické rovnice a kanonickou rovnici: x+ 2y 3z+ 6= y 4z+ 8= a) p : p : 2x 2y+ 4z 9= 2x + 4z 1= 5x+ y+ z+ 6= x+ 5y 3z 4= c) p : d) p : x 3y+ z 2= x 4y + 4z + 1 = 16 Bodem A veďte přímku kolmo k rovině ρ A 3 25 ρ : 6x+ 2 y 5z+ 12 = a) [ ] [ ] c) [ ] d) [ ] A 47 ρ : x+ 6y 4z+ 4 = A 5 87 ρ : 2x 4z+ 11 = A 4812 ρ : 5x+ 9y+ 2 = 17 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny která prochází třemi body: A 111 B 3 43 C a) A[ ] B[ ] C[ ] [ ] [ ] [ ] c) A[ 2 45 ] B[ 25 2 ] C[ 68 1] d) A[ 75 3 ] B[ 71 ] C[ 65 6] 18 Napište obecnou rovnici roviny která je dána bodem normálovým vektorem: a) A[ 261 ] n = ( 21 4) A[ 2 4 ] n = ( 8 1 ) A55 2 n = 4 83 A n = 1 3 c) [ ] ( ) d) [ ] ( ) 19 Napište obecnou rovnici roviny která prochází bodem A a vektory u v jsou s touto rovinou komplanární: a) A[ 35 ] u = ( ) v = ( 1 2 3) A[ 1 48 ] u = ( 11 ) v = ( 25) c) A[ 7 6 ] u = ( 25 3 ) v = ( 418) A 1 1 u = v = 11 ) d) [ ] ( ) (

5 2 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny která je dána rovnoběžkami p q : p: x= 2 + t q: x= 3 r a) y = 1 3t y = 2+ 3r z = 2 t t R z = 1 2 r r R p: x= 4 2 t q: x= 2 4r y = 2 4t y = 2 8r z = 3+ 5 t t R z = 8+ 1 r r R p: x= 7+ 2 t q: x= 3 2r c) y = 11+ t y = 8 r z = 9 4 t t R z = 5+ 4 r r R 21 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny která je dána různoběžkami p q : p: x= 2 t q: x= 2+ 4r a) y = 4+ t y = 4 3r z = 7 3 t t R z = 7+ 5 r r R p: x= 5 q: x= 5+ 3r y = 2+ t y = 2 2r z = 8 + t t R z = 8+ 5 r r R p: x= t q: x= 6r c) y = 1+ t y = 1 4r z = 9 t t R z = 9+ 7 r r R 22 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny která prochází bodem A a je rovnoběžná s přímkami p q: a) [ ] [ ] c) [ ] A 678 p: x= 1+ 2 t y= t z = 3+ 3 t q: x= r y= 3+ 9 r z= 1 4r A 41 3 p: x= 5 + t y= 1 z = 3 t q: x= 2 y= 3 4 r z= 1 + 2r A 56 p: x= t y= 12 3 t z = t q: x= r y= 3 z= 5r 23 Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici roviny která prochází přímkou a a je rovnoběžná s přímkou b : a) a: x = 7 + t y = 1 4 t z = 2 t b: x= 2 6 r y = 2 + r z = 2 3r a: x = 9 3 t y = 8 + t z = 6+ 2 t b: x = r y = 2 5 r z =8 c) a: x = 5 t y = 6+ 2 t z = 8 t b: x = 11 + r y = 4 r z =

6 24 Napište obecnou rovnici roviny která prochází bodem A a je kolmá k přímce k : a) A 555 k: x= t y= 3 2 t z = 6 + t [ ] [ ] c) [ ] A 41 3 k: x= 5 + t y= 1 z = 3 t A 56 k: x= t y= 12 3 t z = 4 + 8t 25 Napište obecnou rovnici roviny která prochází bodem A a přímkou p : a) A[ 111 ] 2x y+ 3z+ 6= p: 4x+ 5y 3z+ 2= A[ 23 ] y 4z+ 8= p: 2x + 4z 1= c) A[ ] 5x+ y+ z+ 6= p: x 3y+ z 2= 26 Napište obecnou rovnici roviny která prochází přímkou q a je rovnoběžná s přímkou p : 2x 3z+ 4= a) p : q: x= 1 6 t y = 2+ 5 t z = 1+ 4t x+ y + 7= y 4z+ 8= p: q: x= 3 + t y = 4 t z = 2x + 4z 1= 5x+ y+ z+ 6= c) p : q: x= 5 t y = 1 2 t z = t x 3y+ z 2= 23 Vzájemná poloha přímek a rovin Úlohy k samostatnému řešení 27 Rozhodněte o vzájemné poloze dvou přímek určete souřadnice průsečíku jestliže existuje: p: x= 3 2 t q: x= 1+ 2r a) y = 4+ 3t y = 1 3r z = 5 t t R z = 3 + r r R p: x= 4 2 t q: x= 3 2r y = 5+ 4t y = 3+ 4r z = 7 3 t t R z = 5 3 r r R

7 c) d) e) f) p: x= 2+ 4 t q: x= 3+ 9r y = 2+ t y = 1+ 3r z = 3 t R z = 7 4 r r R p: x= 2+ 4 t q: x= 1 2r y = 2 + t y = r z = 3 t R z = 3 4 r r R p: x= 2 2t x+ y z + 7= y = 3 + t q: 2x y+ 3z 69= z = 4 3 t t R p: x= t x+ 2y 3z+ 7= y = 2 t q: 3x+ y+ z 9= z = 3 + t t R p: x= 4+ 5t 2x+ 2y 2z + 7= g) y = 6 3 t q: x+ 3y+ 2z 2 = z = 7+ 2 t t R 28 Rozhodněte o vzájemné poloze dvou rovin určete parametrické rovnice průsečnice jestliže existuje: α :6x+ 4y+ 12z 18= α :6x+ 4y+ 12z 18= a) β :3x + 2y+ 6z 9 = β :3x + 2y+ 6z+ 9 = c) d) e) f) α :6x+ 4y+ 12z 18= β :2x+ 5y+ 5z+ 3 = α : x= 1+ 2u 4 v β : x+ y+ z+ 1= y = 1 u+ 4v z = 2+ 3 u v u v R α : x= 1+ 2u 4 v β :11x+ 1y 4z+ 7= y = 1 u+ 4v z = 2+ 3 u v u v R α : x= 4 + u v β : x= 3+ t r y = 5 u+ 4v y = 6 2t+ 5r z = 6+ 2u+ 4 v u v R z = 1+ 6 t t r R

8 α : x= 4 + u v β : x= 5 r g) y = 5 u+ 3v y = 7+ t+ 5r z = 6+ 2u+ 4 v u v R z = 3+ 3t+ 1 r t r R 29 Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny určete souřadnice průsečíku jestliže existuje: a: x= 6+ 2 t ρ :2x+ 3y+ 5z+ 2= a) y = 5 3t z = 4 + t t R c) d) e) a: x= 6+ 2 t ρ : x 3y 11z+ 53= y = 5 3t z = 4 + t t R a: x= 6+ 2 t ρ :3x+ y 4z 3= y = 5 3t z = 4 + t t R a: x= 2 + t ρ : x= 4+ 2u v y = 4 2t y = 4+ 4u 6v z = 8 3 t t R z = 4+ u 4 v u v R a: x= 2 + t ρ : x= 2+ 3u 2v y = 4 2t y = 1+ u 3v z = 8 3 t t R z = 8 3 u u v R a: x= 2 + t ρ : x= 5 u+ 2v f) y = 4 2t y = 7+ 4u+ v z = 8 3 t t R z = 5 5u+ 4 v u v R 3 Rozhodněte o vzájemné poloze tří rovin: a) α :3x + 2y+ 6z 9= α : x y+ 3z 2= β : 3x 2y 6z+ 13= β :2x 2y+ 6z 9= γ :6x + 4y+ 12z+ 3= γ :5x 4y+ 3z 7= c) α :2x 2y+ 6z 8= d) α : x 4y+ 5z 3= β : 3x 6y+ z+ 1= β :3x 3y+ z 11= γ : x + 8y 7z+ 13= γ : 5x 11y+ 11z 15 =

9 e) α :2x+ y 4z 1= f) α : x y+ z 4= β : x+ y 2z 1= β : 2x 2y+ 6z = γ :4x+ 4y 5z 7= γ : x + 2z 11= 31 Najděte obecnou rovnici roviny která prochází bodem M a patří danému svazku: x+ 2y z+ 4= x+ y z+ 3= a) M [ 1 2 ] M [ 1 4 7] 2x y+ z 5= 2x 2y+ z = 32 Najděte obecnou rovnici roviny která je rovnoběžná s přímkou p a patří danému svazku: x+ 1 y 1 z+ 5 x+ 2y z+ 4= a) p : = = x y+ z 5= x 4 y 3 z+ 6 p : = = 3 4 x+ 2y z+ 4= 2x y+ z 5= 24 Vzdálenosti a odchylky Úlohy k samostatnému řešení 33 Vypočtěte vzdálenost dvou bodů: A 21 4 B 39 6 a) [ ] [ ] A[ 45 7 ] B[ 5 7 4] c) A[ 6 23 ] B [ 6 2] d) A[ 5 79 ] B[ ] 34 Vypočtěte vzdálenost bodu od roviny: a) A[ 21 4 ] ρ : 3x 2y+ 8z+ 12 = A[ 4 4 ] ρ : 3x+ 4y 12z+ 12 = A 1253 ρ :6x+ 8z 18= c) [ ] 35 Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných rovin: a) α :2x+ 5y 4z+ 7 = β :4x+ 1y 8z+ 28 = α :5x 4y+ 7z 14= β :5x 4y+ 7z+ 21= c) α : 3x+ 5y z+ 13= β :3x 5y+ z+ 19= 36 Vypočtěte vzdálenost bodu od přímky: x 1 y z 1 a) A[ 2 46 ] p: = =

10 A 555 p: x= t y= 2 t z = 3 t R [ ] x+ 7 y+ 3 z p: = = c) A[ ] 37 Vypočtěte vzdálenost rovnoběžných přímek: x 1 y z 1 x 3 y 4 z 5 a) p: = = q: = = p: x = 5 y = 7+ 3 t z = 9 4 t t R q: x = 1 y = 8+ 6 r z = 3 8 r r R x + 9 y+ 6 z 1 x 3 y z+ 1 c) p: = = q: = = Vypočtěte vzdálenost mimoběžných přímek: a) : x y z + : x y z + 2 p = = q = = x+ 1 y+ 8 z 3 p: x = 5 y = 7+ 3 t z = 9 4 t t R q: = = x 7 y+ 3 z+12 c) p: x = 4 + t y = 3 z = t t R q: = = Vypočtěte odchylku dvou přímek: p: x= 3+ 2 t q: x= 2+ 4r a) y = 4 3t y = 1+ 9r z = 5+ 7 t t R z = 3 11 r r R p: x= 1+ 3 t q: x= 5+ 4r y = 1 4t y = 4 9r z = 2 + t t R z = 3 2 r r R p: x= 7+ 6 t q: x= 3+ r c) y = 3t y = 2 r z = 3+ 9 t t R z = 4 r r R 4 Vypočtěte odchylku dvou rovin: α : 5x 4y+ 6z 1= a) β : 3x+ 8y+ 9z+ 6= α : x+ 5y+ 2z+ 3= c) β : x + 2y+ 3z+ 1= α :6x+ 4y+ 2z 4= β :3x 2y 5z+ 9=

11 41 Vypočtěte odchylku přímky a roviny: x 1 y+ 1 z 1 a) p: = = ρ : 3x+ 8y+ 9z 5= x 1 y+ 3 z+ 8 p: = = ρ : 4x+ 2y z+ 8= c) p: x = 1+ 5 t y = t z = 7 t R ρ : x 5y+ 6z 13= 25 Kolmost Úlohy k samostatnému řešení 42 Najděte pravoúhlý průmět bodu K do roviny ρ : K 536 ρ : 2x+ 4y z+ 5 = a) [ ] [ ] c) [ ] K ρ : 3x+ 2 y 3z 11 = K 5 55 ρ : 5x 4y+ 4z+ 49 = 43 Najděte pravoúhlý průmět bodu K na přímku p : x 5 y 4 z 5 a) K[ ] p: = = x 3 y 2 z+ 1 K[ 1 ] p: = = x 1 y 2 z+ 5 c) K[ 987 ] p: = = Najděte pravoúhlý průmět přímky m do roviny σ : x 1 y 2 z+ 8 a) m: = = σ :2x+ y 4z + 6= x 19 y 21 z+ 19 m: = = σ :3x+ 4y 4z 12= x 12 y+ 7 z+ 1 c) m: = = σ :5x 4y+ z 3=

12 1 a) x = ( u = 5 B[ ] u = 3 ) x = ( ) 2 a) B[ ] u = 5 5 c) B[ ] d) B[ ] 59 6 u = 77 3 a) α = β = γ = 6 59 α = β = γ = c) α = β = 9 γ = a) ϕ = 9 ϕ = c) ϕ = d) ϕ = a) c = a b = (29 213) c = a b = ( 7 14) c) c = a b = ( ) d) c = a b = ( a) x = 1 21 x = c) x = 67 7 a) S ) ( ) ( ) 2 = 29 j S = 15 j 2 c) S = 1 j 2 d) 13 2 ( ) 2 S = j 8 a) jsou komplanární nejsou kompalnární c) nejsou kompalnární 9 a) V = j V = 45 j 3 1 a) α = β = γ = α = β = 88 5 γ = c) α = 1 29 β = γ = 9 1 d) α = β = 2 55 γ = a) m = 6 n = 3 m = 2 c) m = 1 12 a) x + 2 y 3 z 5 a: x = 2+ 6 t y = 3 3 t z = 5 + t t R a: = = a: x = 8 t y = 2 t z = 4 t R c) x 5 y 5 z 2 a: x= 5+ 4 t y = 5 8 t z = 2+ 3 t t R a: = = d) a: x = 6 t y = 5 z = 4+ 3 t t R 13 a) x 2 y 1 z+4 a: x = 2 + t y = 1+ 8 t z = 4+ 1 t t R a: = = x+ 4 y 5 z 7 a: x = 4+ 9 t y = 5+ 2 t z = 7 11 t t R a: = = c) a: x = 6 y = 2 z = 3 3 t t R d) x 5 y+ 7 z 9 a: x = 5+ 6 t y = 7 5 t z = 9 1 t t R a: = = a) x 2 y 4 z 6 a: x= 2 3 r y = 4+ 4 r z = 6 5 r r R a: = = x 3 y 2 z 1 a: x = 3+ 2 r y = 2 3 r z = 1 + r r R a: = = c) a: x = y = 2 + r z = 7+ 3 r r R

13 d) c) d) x+ 3 y 4 z 7 a: x = 3 6 r y = 4+ 5 r z = 7+ 4 r r R a: = = a) 7 y + 7 x 1 : : 2 z p x= + r y = r z = r r p 2 R = = x 1 2 y + 8 z p: x= + 4 r y = 8 8 r z = 2 r r p: 2 R = = x y+ 2 z+ 4 p: x = 4 r y = 2 4 r z = 4 16 r r R p: = = x+ 2 y z+ 2 p: x= 2+ 8 r y = 7 r z = 2 9 r r R p: = = a) x 3 y+ 2 z 5 p: x = 3+ 6 r y = 2+ 2 r z = 5 5 r r R p: = = x 4 y z 7 p: x = 4 r y = 6 r z = 7 4 r r R p: = = c) p: x = 5+ 2 r y = 8 z = 7 4 r r R d) p: x = 4+ 5 r y = 8+ 9 r z = 12 r R 17 a) α : x = 1+ t 2 r y = 2 2 t z = 1 + t+ r t r R α :2x+ 3y+ 4z 12= α : x = 1+ 2t 4 r y = 1+ 3t+ 4 r z = 1+ 2t+ 6 r t r R α : x 2y+ 2z 1= c) α : x = 2+ 4t+ 8 r y = 4+ t+ 4 r z = 5 3t 6 r t r R α :3x+ 4z 14= d) α : x = 7 + r y = 5 4 t z = 3+ 3t 3 r t r R α :12x+ 3y+ 4z+ 81= 18 a) α : 2x+ y+ 4z 6= α :8x y+ 2= c) α :4x 8y+ 3z+ 14= d) α : x+ 3z+ 18= 19 a) α : 18x+ 15y+ 4z+ 25= α :2x+ 5y 2z+ 34= c) α :5x 2y 35= d) α : 3x+ 3y+ 4z 1= 2 a) α : x = 2 + u+ v y = 1 3 u+ v z = 2 u+ v u v R α : 5x+ y+ 4z+ 9= α : x = 4 2u 2 v y = 2 4 u z = 3+ 5u+ 5 v u v R α :5x+ 2z 26= c) α : x = 7+ 2u 4 v y = 11+ u 3 v z = 9 4u 4 v u v R α :8x 12y+ z+ 67= 21 a) α : x = 2 u+ 4 v y = 4+ u 3 v z = 7 3u+ 5 v u v R α :4x+ 7y+ z 43= α : x = 5+ 3 v y = 2+ u 2 v z = 8+ u+ 5 v u v R α :7x+ 3y 3z 5= c) α : x = u 6 v y = 1+ u 4 v z = 9 u+ 7 v u v R α :3x y+ 2z 17= 22 a) α : x = 6+ 2u+ 3 v y = 7+ 6u+ 9 v z = 8+ 3u 4 v u v R α : 3x+ y+ 11= α : x = 4 + u y = 1 4 v z = 3 u+ 2 v u v R α :2x+ y+ 2z 3= c) α : x = u v y = 5 3 u z = 6+ 8u 5 v u v R α :5x y z+ 1=

14 23 a) α : x = 7 + u 6 v y = 1 4 u+ v z = 2 u 3 v u v R α :13x+ 9y 23z 54 = α : x = 9 3 u+ v y = 8+ u 5 v z = 6+ 2 u u v R α :5x+ y+ 7z 95= c) α : x = 5 u+ v y = 6 + u 4 v z = 8 u u v R α : 4x+ y 18z+ 138 = 24 a) α :3x 2y+ z 1= α : x y 7 = c) α : x 3y+ 8z 63= 25 a) α :12x+ 29y 27z 14 = α : 36x+ 11y+ 28z 16 = c) α :13x 7y+ 5z+ 6 = 26 a) α :22x+ 24y+ 3z 73= α :4x+ y+ 4z 12= c) α :3x y+ z 14= 27 a) přímky jsou totožné přímky jsou rovnoběžné c) přímky jsou různoběžné průsečík je R [ 6 43] d) přímky jsou mimoběžné e) přímky jsou různoběžné průsečík je R[ 1 116] f) přímky jsou mimoběžné g) přímky jsou rovnoběžné 28 a) roviny jsou totožné roviny jsou rovnoběžné c) roviny jsou různoběžné průsečnice je r: x = 21 4 t y = 6 t z = t t R d) roviny jsou různoběžné průsečnice je r: x = t y = t z = 1 t t R e) roviny jsou totožné f) roviny jsou různoběžné průsečnice je 7 r: x= y = 5+ 3 s z = 4+ 6 s s R 2 g) roviny jsou rovnoběžné 29 a) přímka je s rovinou rovnoběžná přímka leží v rovině c) přímka je s rovinou různoběžná průsečík je R[ 14 78] d) přímka je s rovinou rovnoběžná e) přímka leží v rovině f) přímka je s rovinou různoběžná průsečík je R [ 2] 3 a) roviny jsou rovnoběžné nemají žádný společný bod dvě roviny jsou rovnoběžné třetí je s nimi různoběžná nemají žádný společný bod c) roviny jsou různoběžné nemají žádný společný bod tvoří střechu d) roviny jsou různoběžné mají společnou přímku x = t y = 14 t z = 9t e) roviny jsou různoběžné mají společný jeden bod R [ 211] f) roviny jsou různoběžné mají společný jeden bod [ 5 43] R 31 a) 23x+ y+ 4z 25 = x+ y 2z+ 9= 32 a) 7x+ 6y 5z+ 24= 4x 4y+ 3z 6= 33 a) AB = 128 j AB = 14 4 j c) AB = 3 j d) AB = 127 j 34 a) Aρ = 5 47 j Aρ = 185 j c) Aρ = 66 j 35 a) αβ = 1 4 j αβ = 3 69 j c) αβ = 5 41 j 36 a) Ap = 634 j Ap = 755 j c) Ap = 288 j 37 a) pq = 6 j pq = 744 j c) pq = 119 j 38 a) pq = 1 42 j pq = 45 j c) pq = 158 j 39 a) ϕ = 34 2 ϕ = 26 9 c) ϕ = 9 4 a) ϕ = ϕ = 9 c) ϕ =

15 41 a) ϕ = ϕ = 9 c) ϕ = 42 a) K [ 3 1 7] [ 4 8 5] K c) K [ 53 3] 43 a) K [ 453] K [ 1 3 ] c) [ 5 1 4] K 44 a) m : x = 3 16 s y = 4 s z = 7 s s R m : x = 4 s y = 2 s z = 1+ 2 s s R c) m : x = 1 + s y = 1 z = 1 5 s s R