FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU

FYZIKÁLNÍ MODEL KYVADLA NA VOZÍKU F. Dušek, D. Honc Katera řízení procesů, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Univerzita Parubice Abstrakt Článek se zabývá sestavením nelineárního ynamického moelu chování reálného zařízení kyvala na vozíku. Kyvalo je připevněno na vozíku veeném věma tyčemi. Pohyb vozíku ovláán stejnosměrným motorem s permanentními magnety. Cílem příspěvku je sestavit matematický moel zařízení maximálně využívající známé konstrukční, mechanické a elektrické charakteristiky fyzického laboratorního zařízení. Tento nelineární moel je ále linearizován o tvaru stanarního lineárního stavového popisu, ke vstupem je napájecí napětí motoru a výstupem poloha vozíku a úhel kyvala. Lineární moel bue použit pro návrh regulátoru polohy vozíku s kyvalem uržovaným v horní metastabilní poloze. Úvo - určení moelu Laboratorní zařízení kyvalo na vozíku je navrženo a vyrobeno pro potřeby výuky na Kateře řízení procesů FEI Univerzity Parubice v oblasti moelování a simulace, experimentální ientifikace a teorie řízení. V tomto článku je popsáno vytvoření nelineárního moelu zařízení metoou matematicko-fyzikální analýzy vycházející z konstrukce a proveení aného zařízení. Výslený spojitý nelineární matematický moel popisuje ynamiku všech tří záklaních částí (kyvala, vozíku a elektromotoru) včetně vzájemného ovlivňování v závislosti na napájecím napětí motoru. Důraz je klaen na sestavení rovnic vycházejících ze záklaních fyzikálních přestav o působících silách a momentech a respektujících konkrétní konstrukční řešení. Tento přístup umožňuje přímo určit či aspoň ohanout honoty většiny parametrů moelu. Nelineární moel je záklaem pro experimentální ientifikaci, ky buou určeny korekce vybraných parametrů matematického moelu takové, aby ynamické chování moelu maximálně opovíalo průběhům změřeným na reálném zařízení. Pro potřeby návrhu regulace je proveena linearizace nelineárního moelu o tvaru stanarního lineárního stavového moelu. Stavový moel bue záklaem pro návrh a realizaci stavového regulátoru s estimací stavu uržujícího kyvalo v horní metastabilní poloze při pohybu vozíku sleujícího změny žáané polohy. Věrohoný nelineární moel je také přepoklaem pro návrh automatického vzpřímení kyvala z olní stabilní polohy o horní metastabilní polohy. 2 Popis zařízení Celé zařízení bylo po mechanické i elektrické stránce o počátku navrženo pro použití v laboratoři. Záklaem je stojan z hliníkových profilů s věma tyčemi veoucími vozík, na kterém je umístěna osa otáčení tyče kyvala viz obrázek. Kyvalo je volně otočné a jeho poloha je snímána čilem úhlu otočení rotačním magnetickým enkoerem AS54 fy ams AG [] s rozlišením bitů (24 pulsů) na otáčku (viz obrázek 2). Pohyb vozíku je ovláán ozubeným řemenem přes řemenici umístěnou přímo na ose stejnosměrného kartáčového motoru s permanentními magnety Mabuchi C262. Otáčky motoru jsou měřeny ruhým enkoerem AS54 umístěným na ose motoru (viz obrázek 3). Motor je napájen 24 V a jeho otáčky jsou ovláány říicí jenotkou s říicím signálem -5 V, ke nulovým otáčkám opovíá 2.5 V. Nulové napětí vyvolá maximální otáčky jením směrem a Obrázek Stojan s kyvalem a motorem Obrázek 2 Čep kyvala s enkoerem

napětí 5 V maximální otáčky ruhým směrem. Krajní polohy ráhy vozíku jsou opatřeny koncovými spínači. 3 Sestavení matematického moelu Matematický popis zařízení se skláá ze tří samostatných částí, které se vzájemně ovlivňují. Záklaem moelu je popis ieálního chování jenotlivých částí vycházející z bilance působících sil a momentů. Přizpůsobení reálnému chování je osaženo zahrnutím mechanických oporů. Je použita Obrázek 3 Motor s řemenicí nejjenoušší aproximace síla oporu je přímo úměrná rychlosti pohybu či rotace příslušné části. Konstanty úměrnosti buou určeny experimentálně na záklaě vyhonocení měření proveených na zařízení. Sestavení bilancí vychází z principiálního schématu zařízení na obrázku 4, ke je zobrazeno i náhraní elektrické zapojení motoru s oporem vinutí R a inukčností L včetně zroje s vnitřním oporem R z. Motor je propojen převoem P s pohybem vozíku o hmotnosti m v. Pro zjenoušení se přepokláá, že toto propojení (realizované řemenicí o poloměru r) je okonale tuhé (bez pružných prvků). Přepokláá se, že kyvalo je tvořené tyčí konstantního průřezu o hmotnosti m a élce, která na konci závaží o hmotnosti m k. 3. Bilance sil - vozík Na pohyb vozíku mají vliv pouze síly působící v ose jeho pohybu (osa x). Poloha vozíku je označena x. Těžiště tyče (či závaží) kyvala se ve směru osy x pohybují vzhleem k poloze vozíku o relativní vzálenost Δx/2 (či Δx). Na vozík působí síla akcelerační F av, síla oporu F ov a síly vyvolané pohybem kyvala F x (tyč) a F xk (závaží). Všechny tyto síly musí být v rovnováze se silou F, kterou na vozík působí řemen pohonu. Bilanci sil tj. závislost ráhy vozíku x na úhlu natočení kyvala a působící síle F lze popsat rovnicí F av + F ov + F x + F xk = F [kg. m. s 2 = N] () ke F externí síla (tah řemene) F av = m 2 x v síla setrvačná vozíku 2 x F ov = k v síla aproximující opor pohybu vozíku k v [kg.m.s - ] F x = m 2 (x + x) síla setrvačná ramene kyvala 2 2 F xk = m 2 k (x 2 + x) x =. sin (α) F av +F ov +F x +F xk =+F F MF P Mza M m j U m 2r R U=U.z U m v M am +M om =M m -M za U R +U L +U m +U Z =z.u L R Z z síla setrvačná koncového závaží kyvala x Δx/2 relativní změna polohy těžiště závaží kyvala v ose x Δx M ak +M ok +M x =-M g α F.D..9.25 FEI KŘP UPce m F x Fg Obrázek 4 Princiální schéma zařízení m k Fgk F xk x

x 2 x 2 =. cos α(t) α(t) = [ sin α(t) (α(t) )2 + cos α(t) 2 α(t) 3.2 Bilance momentů - kyvalo 2 ] Při popisu rotačního pohybu kyvala je potřeba uvažovat krouticí momenty. Úhel natočení kyvala je označen a jeho klaná honota označuje otáčení proti směru hoinových ručiček. Momenty M ak (v ůsleku akcelerace vozíku), M ok (vyvolaný oporem) a M x (vyvolaný silami F x a F xk působícími v ůsleku změny polohy kyvala vůči vozíku v ose x) musí být v rovnováze s působením momentu M g o gravitační síly g. Gravitační síla je však orientovaná směrem olů a proto je ji potřeba ve formulaci (2) uvažovat se záporným znaménkem. Bilanci momentů (tj. závislost úhlu natočení kyvala na poloze vozíku x) lze popsat rovnicí M ak + M ok + M x = M g [kg. m 2. s 2 = N. m] (2) ke M ak = J 2 α k moment setrvačný kyvala J 2 k = m 3 2 + m k 2 [kg.m 2 ] M ok = k k α moment aproximující opor kyvala k k [kg.m.s - ] M g = m 2 g. sin(α) +. m k g. sin (α) moment působící v těžišti ramena + závaží (gravitace) M x = 2 F x cos(α) +. F xk cos(α) moment působící v těžišti ramena + závaží (vozík) 3.3 Bilance napětí a momentů - motor Popis ynamiky stejnosměrného kartáčového elektromotoru s permanentními magnety vychází ze zapojení na obrázku 4 a je tvořen elektrickou částí (bilancí napětí na jenotlivých částech tj. aplikace Kirhofových zákonů rovnice 3) a mechanickou částí (bilance momentů rovnice 4). Obě části propojuje magnetické pole, které je obecně funkcí protékajícího prouu i. Ze je zaveen zjenoušující přepokla, že magnetické pole je v oblasti pracovních prouů konstantní. Konkrétní honoty jsou zahrnuty v rychlostní konstantě k u a momentové konstantě k m, které lze zjistit nebo opočítat z informací o motoru oané výrobcem. Bilanci napětí a momentů (tj. závislost prouu motoru i a úhlu natočení rotoru motoru j na napájecím napětí z.u a zatížení motoru M za ) lze vyjářit jako U R + U L + U m + U z = z. U [V] (3) ke U R = R. i úbytek napětí na oporu vinutí U L = L i úbytek napětí na inukčnosti vinutí U m = k u φ elektromotorické napětí (rychlostní konstanta) k u [V.s] U Rz = R z i úbytek napětí na vnitřním oporu zroje - z říicí signál pohonu motoru ke M am = J 2 φ m 2 φ M om = k o M am + M om + M za = M m [kg. m 2. s 2 = N. m] (4) moment setrvačný všech rotačních částí (motor, řemenice) moment aproximující opor rotačních částí M za moment zátěže M m = k m. i moment motoru (momentová konstanta) k m [N.m.A - ] 3.4 Vazba mezi motorem a pohybem vozíku Převo otáček motoru na pohyb vozíku je realizován řemenem veeným řemenicí o poloměru r umístěnou na ose motoru. Přepokláá se okonale tuhé spojení, tj. neuvažuje se pružnost řemenu. Za tohoto přepoklau je propojení úhlu natočení motoru j a ráhy vozíku x popsáno algebraickou rovnicí (5), která propojuje jenak úhel natočení motoru j s polohou vozíku x a jenak zátěžový moment motoru M za se silou F působící na vozík. Ve vztazích je uvažována i přípaná převoovka s převoovým poměrem P. V našem přípaě je převoový poměr P=. F = P r M za, φ = P r x [kg. m. s 2 ], [ ] (5)

4 Výslený matematický spojitý moel 4. Nelineární ynamický moel Po konkretizaci jenotlivých sil, momentů a napětí v rovnicích () až (5), vyloučení vazebních sil mezi všemi částmi, osamostatnění nejvyšších erivací a zaveení substitucí slučujících honoty konstantních parametrů ostaneme soustavu tří iferenciálních rovnic ve tvaru vhoném pro simulační výpočty. Výslený moel je 5. řáu. a = m v+m +m k + P2 r 2(J m+j p ) b = c = U L i = c x 3i c 4 + c z 2 x 2 = a 3 b 2 +cos 2 (α) jm P r k m P 2 r 2+k v [ ] a 2 m 3 = [m. s 2 A ] a +m k 2 m 4 = k o [s ] +m k 2 m +m k 2 m +m k 3 [ ] b 2 = m +m k 4 m [ ] b 4 = k k +m k 4 m [m. s ] +m k 4 m +m k b i a 2 +cos 2 (α) x 4 jm 2 α = a cos(α) 3b 2 i + a cos(α).jm 4b.jm c 3 = R+R z L jm = a b 2 + (a b ) cos 2 (α) cos(α) α + b 4 + b jm 2 sin(α) jm x a b 4.jm α + (a b ) (α c 4 = k u L P r )2 sin(α) cos(α) + b g jm cos(α) sin(α) jm ( α )2 a b sin(α).jm g Diferenciální rovnice (6b) popisují časový vývoj pěti stavových veličin (x, v=x,, = a i) v závislosti na počátečních pomínkách a průběhu napájecího napětí motoru vyjářeného říicí proměnnou z. Všechny veličiny mají fyzikální význam a lze je přímo porovnávat s měřenými honotami. Tento moel lze vyjářit v zapojení SIMULINKu (subsystém s honotami parametrů efinovanými v pracovním prostoru MATLABu), které je ukázáno na obrázku 5. (6a) (6b) Obrázek 5 Nelineární moel - SIMULINK

Vstupem uveeného subsystému je říicí signál (říicí proměnná z) opovíající napájecímu napětí elektromotoru a počáteční úhel natočení kyvala. Počáteční honoty ostatních stavových veličin jsou nulové. Výstupem je sloupcový vektor stavových veličin. 4.2 Lineární aproximace nelineárního ynamického moelu Lineární aproximace nelineárního moelu je proveena pro ustálený stav v horní metastabilní pozici tj. =. Tento bo opovíá pracovnímu bou, v okolí kterého bue probíhat stabilizace polohy kyvala při regulaci na žáanou polohu vozíku. Vzhleem k tomu, že nelinearita moelu (6b) je ána goniometrickými funkcemi úhlu natočení kyvala a kvarátem úhlové rychlosti kyvala stačí nahrait goniometrické funkce jejich prvními erivacemi ve zvoleném pracovním boě a zavést novou stavovou proměnnou jako ochylku úhlu natočení kyvala o pracovního bou. Opovíající vztahy jsou ány rovnicemi (7) α α = β cos(α) = cos(π + β) sin(α) = sin(π + β) β ( α )2 = ( β )2 Po osazení o (6b), zaveení nových stavových proměnných rychlosti vozíku v a rychlosti otáčení kyvala a vyjáření v maticovém tvaru ostaneme tvar stanarního stavového moelu [ i x v β ω ] = c 3 c 4 + (b 2+)a 3 (b 2+)a 4 + a b 2 +a b a b 2 +a b a b 2 +a b a [ + 3 b a 4 b a + b g (a b 2 +a b ) (a b 2 +a b ) (a b 2 +a b ) 5 Simulace b g b 4 a b 2 +a b a b 4 (a b 2 +a b )] [ i x v β ω] c (7) + z (8) [ ] Parametry moelu použité v simulačních experimentech jsou shrnuty v tabulce. Honoty koeficientů oporu pohybu vozíku k v a oporu otáčení kyvala k k jsou ohanuty tak, aby oby o ustálení přibližně opovíaly chování reálného zařízení. Tyto honoty jsou v tabulce v silně ohraničených polích a buou určovány v rámci experimentální ientifikace. Parametry motoru tj. opor vinutí R, rychlostní konstanta k u, momentová konstanta k m a konstanta oporu k o (honoty v šeých polích) jsou opočítány z rovnic (3,4) tak, aby opovíaly charakteristikám motoru (prou i a otáčky při běhu naprázno, prou i s a moment M s při nulových otáčkách honoty tučně) převzatých z okumentace motoru. Honota inukčnosti vinutí L byla změřena. Tabulka Simulační experimenty honoty parametrů Symbol Rozměr Honota Význam g m.s -2 9,8 gravitační konstanta m v kg,396 hmotnost vozíku k v kg.m.s -,6 koeficient oporu pohybu vozíku (oha) m kg,4 hmotnost ramene kyvala m k kg hmotnost závaží kyvala m,525 élka ramene kyvala k k kg.m.s -.ra -, koeficient oporu otáčení kyvala (oha) J k kg.m 2,3675 moment setrvačnosti celého kyvala U V 9 napětí zroje R z,5 vnitřní opor zroje L H, -3 inukčnost vinutí motoru rpm 455 ra.s - 476.47 otáčky motoru při nulové zátěži (M za =) i A.5 prou motoru při nulové zátěži (M za =)

Symbol Rozměr Honota Význam M s N.cm 3. N.m.37 maximální zátěž motoru (=) i s A 2.5 prou motoru při maximální zátěži (=) R 7.6 opor vinutí motoru R=U i s k u V.s.ra -,37484 rychlostní konstanta motoru k u = U R.i ω k m N.m.A -.52 momentová konstanta motoru k m = M s i s k o N.m.s -.ra -,6372-5 koeficient oporu otáčení motoru k o = M s i i s ω J m g.cm 2 45. kg.m 2 45. -7 moment setrvačnosti rotoru motoru J r kg.m 2-5 moment setrvačnosti ostatních částí pohonu (oha) r m 7-3 poloměr řemenice 5. Verifikace nelineárního ynamického moelu Záklaní verifikace správnosti ovozených vztahů vychází z fyzikální přestavy. Výsleky řešení moelu musí principiálně opovíat chování reálného zařízení. Lze přepověět (či experimentálně zjistit) chování reálného zařízení v určitých speciálních situacích. Některé situace a přepokláané chování jsou shrnuty v Tabulce 2 A B C Tabulka 2 Simulační experimenty pomínky a očekávané chování Experiment bez oporu (k v = k k = ), opojený motor, metastabilní poloha s počáteční ochylkou s opory (k v, k k ) le tabulky, opojený motor, metastabilní poloha s počáteční ochylkou s opory (k v, k k ) le tabulky, připojený motor, olní stabilní poloha kyvala Počáteční stav x=v= = =-Δ x=v= = =-Δ x=v= == U =puls Vozík ustálené trvalé kmity okolo počáteční polohy s konstantní amplituou tlumené kmity, ustálení v počáteční poloze x= pohyb po obu trvání napájecího napětí, ustálení v nové poloze Očekávané chování Kyvalo ustálené trvalé kmity s konstantní amplituou opovíající počáteční poloze tlumené kmity, ustálení v olní stabilní poloze = počáteční výchylka v opačném směru než je směr pohybu vozíku, ustálení v poloze = V grafech na obrázcích 6-7, opovíajících experimentům A-B le tabulky 2, jsou zaznamenány časové průběhy polohy vozíku x a úhlu otočení kyvala po obu s. V přípaě experimentu C je obrázek 8 oplněn o průběh napájecího napětí motoru U, prouu motoru i a průběh otáček motoru. Ve všech přípaech je splněno očekávané chování, že směr pohybu vozíku a směr otáčení kyvala jou proti sobě. 5.2 Porovnání nelineárního a linearizovaného ynamického moelu Aproximace nelineárního moelu (8) moelem lineárním byla proveena v okolí horní metastabilní polohy. Velikost okolí tj. rozsah úhlu natočení kyvala, ke je aproximace vyhovující, lze ohanout z výsleku simulačního experimentu zobrazeného na Obrázku 9. Jsou porovnány průběhy polohy vozíku, úhlu natočení kyvala a prouu motoru v prvních vou sekunách po změně napájecího napětí motoru z na 3 V. Na začátku je vychýleno o 2 oprava (=78) vůči horní metastabilní poloze. Pohyb vozíku vyvolaný otáčením motoru působí proti páu kyvala a jeho pohyb poněku zpomaluje. Z průběhů je zřejmé, že největší rozíly jsou v poloze kyvala. Ale i ze jsou rozíly o cca 2 relativně malé. Proto lze lineární moel použít pro regulaci polohy vozíku s kyvalem, poku přípané poruchy způsobí jen relativně malé výchylky kyvala. obélníkový puls v čase s, élce.5 s a velikosti 3 V (napájecí napětí motoru)

.4 Poloha vozíku x v Poloha (m).2 -.2 k v =. -.4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Úhel kyvala Stupně (eg) - k k =. -2 2 3 4 5 6 7 8 9 Obrázek 6 Experiment A.4 Poloha vozíku x v Poloha (m).2 -.2 k v =.6 -.4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Úhel kyvala Stupně (eg) k k =. - 2 3 4 5 6 7 8 9 Obrázek 7 Experiment B Poloha vozíku Poloha (m).2. x v 2 3 4 5 6 7 8 9 Stupně (eg) Napětí (V), Prou (A) 2 Úhel kyvala -2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 Napětí a prou motoru 2 4 6 8 u i Otáčky (rpm) 2 Otáčky motoru 2 4 6 8 time (s) Obrázek 8 Experiment C

Poloha vozíku Poloha (m)..8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 x v x v,lin Stupně (eg) 2 - Úhel kyvala lin -2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Prou (A).4.2..8 Prou motoru i i lin.6.2.4.6.8.2.4.6.8 2 6 Závěr Obrázek 9 Porovnání nelineárního a linearizovaného moelu V sestaveném matematickém moelu mají všechny veličiny fyzikální význam a honoty 5 parametrů moelu z 8 celkem lze přímo určit na záklaě známých parametrů zařízení. To umožňuje ve fázi verifikace moelu pomocí simulace jenouše porovnávat získané průběhy s přestavou o chování reálného zařízení. Tento přístup také výrazně experimentální ientifikaci, protože je potřeba určit pouze 3 neznámé parametry (navíc s ohanutelnými počátečními honotami). Po ientifikace neznámých parametrů nelineárního moelu z naměřených at na reálném zařízení bue na jeho záklaě vytvořen aproximační iskrétní lineární ynamický moel. Tento bue využit k návrhu a realizaci stavového regulátoru polohy vozíku s uržováním kyvala v horní metastabilní poloze. Protože měřeny jsou pouze vě veličiny (poloha vozíku a poloha kyvala), bue lineární iskrétní moel využit i k návrhu a realizaci estimátoru stavu. Simulace řízení zařízení popsaného spojitým nelineárním moelem pomocí iskrétního lineárního regulátoru s estimací stavu umožní získat přestavu o chování regulátoru za ieálních pomínek a určit výchozí honoty volitelných parametrů (např. velikost intervalu vzorkování), které buou použitelné při zahájení experimentů na reálném zařízení. 7 Literatura [] ŠREJTR, Josef. Technická mechanika II: Kinematika I.část. Praha: SNTL, 954, 256 s. [2] HORÁK, Zeněk a František KRUPKA. Fyzika: Svazek. Praha: SNTL, 976, 424 s. [3] Technical Guie: MABUCHI MOTOR. MABUCHI MOTOR Co., Lt [online]. 25 [cit. 25-9- 29]. Dostupné z: http://www.mabuchi-motor.co.jp/en_us/technic/inex.html František Dušek, Daniel Honc Katera řízení procesů Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Parubice nám. Čs. legií 565 532 Parubice e-mail: frantisek.usek@upce.cz