Elastické deformace těles

Transkript

1 Eastické eformace těes 15 Na oceový rát ék L 15 m a průměru 1 mm zavěsíme závaží o hmotnosti m 110 kg přičemž Youngův mou pružnosti ocei v tahu E 16 GPa a mez pružnosti ocei σ P 0 Pa Určete reativní prooužení rátu ε a to za je či není překročena mez pružnosti Řešení: ezi poměrnou eformací ε a napětím σ patí při ineárně pružném chování Hookeův zákon tj L F π σ E ε ε S F mg L ES Z přechozích vztahů již snano vjáříme reativní prooužení rátu ε a napětí v rátu σ jako L ε L mg π E 01% σ F S mg π 1 Pa σ < σ P

2 16 Určete o jaký úhe ϕ se zkroutí oceová hříe ék 1 m a průměru cm jestiže je namáhána kroutícím momentem 100 Nm a jaké je imání tečné napětí τ vznikající v průřezu ou pružnosti v tahu ocei E 10 GPa a Poissonovo číso µ 0 Řešení: Na obrázku je znázorněna všetřovaná situace Eementární trubice hříee o pooměru toušťce a éce se zkroutí o úhe ϕ a pro poměrné posunutí γ patí ϕ tg γ ϕ ϕ γ Vzheem k tomu že >> ϕ můžeme uvažovat s ostatečnou přesností tg γ & γ Pro tečné napětí poté patí z Hookeova zákona τ G γ ke G je mou pružnosti ve smku jenž vpočteme ze vztahu E G 077 GPa ( µ + 1) Tečné napětí je áno poměrem tečné sí F k poše mezikruží S π tj F ϕ τ G S a pro veikost kroutícího momentu můžeme vpočítat

3 / Gϕ Gϕ F S p 0 ke p je poární moment setrvačnosti průřezu Pro kruhový průřez můžeme vpočítat / / π p S π 0 0 Pro úhe zkroucení hříee te ostáváme ϕ 1 Vzheem k smetrii průřezu πg hříee bue vznikat imání tečné napětí na okraji tj pro / τ ϕ G 7 Pa π

4 17 Vpočtěte průhb ávk w při zatížení osobou o hmotnosti m 0 kg uprostře jejího rozpětí Lávka je tvořena řevěným prknem o šířce a 0 cm a toušťce b 5 cm které je ve vzáenosti 5 m poepřeno věma pevnými poporami Dáe určete imání možné zatížení ávk F jestiže imání ovoené namáhání v průřezu 15 Pa ou pružnosti řeva ve směru namáhání σ E 15 GPa a hustota řeva ρ 50 kg/m Řešení: Lávka se bue chovat jako prostý nosník zatížený vastní vahou (spojité zatížení q abρg & 167 N/m ) a osaměou siou F mg 75 N (tíha osob) uprostře rozpětí Bueme seovat eformaci nosníku vzheem k tzv neutrání vrstvě která rozěuje nosník na tačenou a taženou část (tj není namáhána a eformována při siovém působení na nosník) q F Příčný průřez nosníku tato vrstva protíná v tzv neutrání ose Seujme te jak se při R w R eformaci posune nějaký bo P v neutrání vrstvě resp jiný bo L ve směru ék nosníku (bo P a L eží v jenom příčném průřezu nosníku a jsou o sebe vzáen z) Svisá posunutí bueme označovat w voorovná u a pootočení průřezu ϕ Bueme-i přepokáat že průřez i po eformaci zůstávají rovinné a eformace nosníku jsou maé potom pro posunutí bou L patí w u( L) u( u u( z tg ϕ u( z Reativní prooužení ε ibovoné vrstv která je vzáena z o neutrání os průřezu bue u( L) u( ε z Při ohbu nepůsobí v průřezu normáová sía a tuíž bo v neutrání vrstvě při eformaci ve směru (natočení průřezů) nemění svoji poohu tj u ( / 0 Normáové napětí σ v ané vrstvě průřezu určíme poe Hookeova zákona σ Eε Eementární sía F působící na eement průřezu S je te rovna F σs Výsenice těchto si v rovině průřezu se musí rovnat nue z P z L u( u (L) L P u w p ϕ F E 0 z S E S S

5 tj statický moment S musí být roven nue což patí pro těžišťovou osu (tj neutrání osa prochází těžištěm) Eementární sía F vvoá v průřezu moment sí z F a te cekový moment vzheem k neutrání ose průřezu je poté E z S ke je moment setrvačnosti průřezu vzheem k neutrání ose průřezu Přechozí iferenciání rovnice nám určuje svisý průhb nosníku při čistém ohbu (tzv rovnice ohbové čár) V přípaě naší ávk nejprve určíme reakce R v poporách ze siové pomínk rovnováh R F + q R ( F + q) / Dáe vpočteme ohbový moment () v obecném místě průřezu nosníku tj a z b < 0 / > ( ) R q / < / > ( ) R q / F( / ) aimání moment v průřezu bue v místě ke / 0 (tj / ) a bue mít veikost F q + 19 Nm aimání napětí v tahu a taku buou právě v místě imáního momentu v krajních váknech průřezu tj σ b 6 16 Pa < σ ab ke pro moment setrvačnosti obéníkového průřezu vzheem k neutrání ose vpočteme b / b / z 1 z S a z a ab 1 b / b / Pro imání zatěžovací síu F poté ovoíme z přechozího vztahu pro napětí

6 σ q F ab 15 N 6 Nní určíme průhb nosníku při aném zatížení Vzheem k smetrii zatížení a uožení nosníku můžeme určit průhb pouze pro jenu jeho poovinu (průhb () v ruhé poovině nosníku určíme pouze záměnou - za ve výseném vztahu pro průhb) Průhb bue spojitá funkce pro kterou bue patit / w w / 0 a 0 resp w 0 Dosazením o iferenciání rovnice pro průhb ostaneme 1 q R a její vojnásobnou integrací poe vpočteme w 1 q R + C1 6 a w R C1 C q ntegrační konstant zjistíme osazením okrajových pomínek a te průhb nosníku w 1 1 ( q R ) + ( 6R q ) aimání honotu průhbu w obržíme osazením / 1 q 1 5q 1 5q w 5 cm R F + F + & Eab