Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012
Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic
Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Linearizace nelineární soustavy Stabilita rovnovážných stavů 2 Věta Grobmanova Hartmanova 3 Uzavřené trajektorie
Úvod Fázové portréty lineárních soustav v rovině jsou globální fázové portréty - systém trajektorií pokrývá celou rovinu. U nelineárních soustav obvykle vyšetřujeme lokální fázové portréty v okolí rovnovážných stavů a ty pak skládáme, abychom získali výsledný globální fázový portrét. Poznámka Následující náčrty fázových portrétů jsou převzaty ze skript A. Klíč, M. Kubíček: Matematika III - Diferenciální rovnice, VŠCHT Praha, 1992, ISBN 80-7080-162-X.
Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Mějme nelineární soustavu ẋ = v 1 (x, y) ẏ = v 2 (x, y). Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je izolovaný rovnovážný stav této soustavy, t.j. platí v 1 (x 0, y 0 ) = v 2 (x 0, y 0 ) = 0, a existuje okolí r.s. S 0 takové, že v něm neleží žádný další r.s. Taylorův rozvoj v 1, v 2 v bodě (x 0, y 0 ), (x, y) O(x 0, y 0 ), v 1 (x, y) = v 1 (x 0, y 0 ) } {{ } + v 1(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + v 1(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + R 1 (x, y) x y = 0 v 2 (x, y) = v 2 (x 0, y 0 ) } {{ } + v 2(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + v 2(x 0, y 0 ) (y y 0 ) + R 2 (x, y) x y = 0
Klasifikace rovnovážných stavů nelineárních soustav Označme a 11 = v 1(x 0, y 0 ) x a 21 = v 2(x 0, y 0 ) x a 12 = v 1(x 0, y 0 ) y a 22 = v 2(x 0, y 0 ) y Dostaneme Jacobiho matici J v bodě S 0, S 0 = (x 0, y 0 ): ( ) v 1 (x 0, y 0 ) a11 a J(S 0 ) = 12 = x a 21 a 22 v 2 (x 0, y 0 ) x v 1 (x 0, y 0 ) y v 2 (x 0, y 0 ) y Zaved me transformaci souřadnic z 1 := x x 0, z 2 := y y 0. Pak r.s. S 0 = (x 0, y 0 ) přejde v r.s. (z 1, z 2 ) = (0, 0). Dostaneme soustavu ż 1 = a 11 z 1 + a 12 z 2 + R 1 (z 1, z 2 ) ż 2 = a 21 z 1 + a 22 z 2 + R 2 (z 1, z 2 ).
Linearizace nelineární soustavy Linearizace nelineární soustavy Je-li okolí bodu S 0 dostatečně malé, budou čísla z 1 = x x 0, z 2 = y y 0 a zbytky R 1 (z 1, z 2 ), R 2 (z 1, z 2 ) velmi malá, t.j. R 1 = O(x x } {{ } 0 )2, R 2 = O(y y 0 } {{ } )2. z 1 z 2 Zanedbáním zbytků dostaneme soustavu lineárních diferenciálních rovnic: ż 1 = a 11 z 1 + a 12 z 2 = ż = J(S ż 2 = a 21 z 1 + a 22 z 0 ) z 2 } {{ } linearizace nelineární soustavy v okolí r.s. S 0 = (x 0, y 0 ) ż = J(S 0 ) z... rovnice ve variacích soustavy ẋ = v 1 (x, y), ẏ = v 2 (x, y), J(S 0 )... matice linearizace. Fázové portréty soustav lineárních diferenciálních rovnic už umíme, jen je ted provádíme jen v malém okolí rovnovážného stavu.
Linearizace nelineární soustavy Příklad 1 rovnic Načrtněte fázový portrét soustavy nelineárních diferenciálních ẋ = ln(y 2 x) ẏ = x y 1. Řešení Nejprve určíme rovnovážné stavy: ln(y 2 x) = 0 x y 1 = 0 = y 2 x = 1 y + x = 1 = soustava má dva rovnovážné stavy S 1 = (0, 1), S 2 = (3, 2). 1 2y ( ) ( ) J(x, y) = y 2 x y 2 x 1 2 1 4 = J(S 1 ) =, J(S 1 1 2 ) =. 1 1 1 1 Charakteristická rovnice a vlastní čísla J(S 1 ): λ 2 + 2λ + 3 = 0 = λ 1,2 = 1 ± i 2 = S 1 je stabilní ohnisko. Obdobně, charakteristická rovnice a vlastní čísla J(S 2 ): λ 2 + 2λ 3 = 0 = λ 1 = 1, λ 2 = 3 = S 2 je sedlo (nestabilní).
Linearizace nelineární soustavy ( 2 1 ) a Poznámka Vlastnímu číslu λ 1 = 1 odpovídá vlastní vektor h 1 = ( ) 2 vlastnímu číslu λ 2 = 3 odpovídá vlastní vektor h 2 =. Vektory h 1 1 a h 2 určují směry, ve kterých z S 2 (pro λ > 0) vycházejí separatrix sedla, resp. (pro λ < 0) vcházejí separatrix do S 2.
Linearizace nelineární soustavy Věta Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je rovnovážný stav nelineární soustavy ẋ = v 1 (x, y), ẏ = v 2 (x, y). (1) Necht J(S 0 ) je příslušná matice linearizace a necht obě vlastní čísla matice J mají nenulové reálné části. Pak je fázový portrét nelineární soustavy (1) v jistém okolí rovnovážného stavu S 0 kvalitativně stejný jako fázový portrét soustavy ż = J(S 0 )z v okolí počátku. (2)
Linearizace nelineární soustavy Definice Necht S 0 = (x 0, y 0 ) je izolovaný rovnovážný stav soustavy (1), J(S 0 ) příslušná matice linearizace s vlastními čísly λ 1, λ 2, která neleží na imaginární ose. Pak 1) Je-li λ 1 λ 2 > 0, λ 1, λ 2 R, nazýváme rovnovážný stav S 0 uzlem. 2) Je-li λ 1 λ 2 < 0, λ 1, λ 2 R, nazýváme rovnovážný stav S 0 sedlem. 3) Je-li λ 1,2 = a ± ib, a b 0 nazýváme rovnovážný stav S 0 ohniskem. Tedy kromě případu, kdy λ 1, λ 2 leží na imaginární ose, můžeme klasifikaci fázových portrétů nelineárních soustav v okolí rovnovážného stavu převést na klasifikaci fázových portrétů linearizace těchto soustav v okolí počátku.
Stabilita rovnovážných stavů Stabilita rovnovážných stavů Věta Necht S 0 je rovnovážný stav soustavy (1). Necht J(S 0 ) je příslušná matice linearizace. Mají-li obě vlastní čísla matice J(S 0 ) záporné reálné části, je S 0 asymptoticky ljapunovsky stabilním rovnovážným stavem. Existuje-li vlastní číslo matice J(S 0 ) s kladnou reálnou částí, je rovnovážný stav S 0 ljapunovsky nestabilní. Vrat me se k Příkladu 1. S 1 = (0, 1), J(S 1 ) má vl. č. 1 ± i 2 = S 1 je ljapunovsky stabiní S 2 = (3, 2), J(S 2 ) má vl. č. λ 1 = 1, λ 2 = 3 S 2 je ljapunovsky nestabiní.
Stabilita rovnovážných stavů Definice Rovnovážný stav soustavy ẋ(t) = v(x(t)) je ljapunovsky stabilní O ε(x 0 ) O δ (x 0 ) takové, že x O δ (x 0 ) je ϕ x(t) O ε(ϕ x0 (t)) t 0. Rovnovážný stav soustavy ẋ(t) = v(x(t)) je asymptoticky ljapunovsky stabilní je ljapunovsky stabilní a lim t ρ(ϕ x0 (t) ϕ x(t)) = 0 x O δ (x 0 )
Stabilita rovnovážných stavů Homeomorfismus Uvažujme nyní dvě soustavy ẋ = v(x), x M 1 R 2, ϕ(t, x) fázový tok na M 1, (3) ẋ = u(x), x M 2 R 2, ψ(t, x) fázový tok této soustavy na M 2. (4) Definice Říkáme, že fázové portréty soustav (3) a (4) jsou topologicky ekvivalentní, jestliže existuje homeomorfismus h : M 1 M 2, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. platí h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)). Poznámka h : M 1 M 2 je homeomorfismus h je prosté, h a h 1 jsou spojitá.
Stabilita rovnovážných stavů Poznámka Necht soustavy (3) a (4) jsou topologicky ekvivalentní prostřednictvím homeomorfismu h. Pak (i) h zobrazuje stabilní (nestabilní) r.s. soustavy (3) na stabilní (nestabilní) r.s. soustavy (4), (ii) h zobrazuje uzavřené trajektorie na uzavřené o stejné periodě, (iii) h zobrazuje ω limitní množiny trajektorií soustavy (3) na ω limitní množiny trajektorií soustavy (4), (iv) h zobrazuje homokliniky (heteroknliniky) soustavy (3) na homokliniky (heterokliniky) soustavy (4). Definice Necht trajektorie γ x odpovídá řešení ϕ x(t) soustavy ẋ = v(x(t)). Existuje-li posloupnost {t i } i=1, lim t i = taková, že existuje i lim ϕx(t i) = z R n, nazýváme bod z ω limitním bodem trajektorie γ x. i Množina všech ω limitních bodů = ω limitní množina trajektorie γ x. Značíme ω(γ x) nebo jen ω(x).
Stabilita rovnovážných stavů Je-li x 1 rovnovážný stav soustavy ẋ = v(x(t)), γ a trajektorie řešení ϕ a(t), pro které platí (i) (ii) lim t ϕ a(t) = x 1 lim t ϕ a(t) = τ 1 Říkáme, že trajektorie γ a vchází do r.s. x 1 ve směru vektoru τ 1. Podobně, platí-li pro r.s. x 2 (i) (ii) lim t ϕ b(t) = x 2 lim t ϕ b(t) = τ 2 Říkáme, že trajektorie γ b příslušná řešení ϕ b (t) vychází z r.s. x 2 ve směru vektoru τ 2. Poznámka Platí-li jen první vztah a lim t ϕ a(t) neexistuje, říkáme, že trajektorie končí v bodě x 1 (trajektorie vchází do r.s. spirálovitě). Obdobně neexistuje-li lim t ϕ b(t), trajektorie začíná v r.s. x 2.
Stabilita rovnovážných stavů Poznámka h : M 1 M 2 homeomorphismus (prosté, spojité zobrazení, h 1 také spojité) Topologická ekvivalence = vztah mezi fázovými toky soustav: h(ϕ(t, x) ) = ψ(t, h(x)) } {{ } } {{ } M 1 M 2 Topologická ekvivalence h nerozliší uzel a ohnisko (např. dikritický uzel lze zobrazit homeomorfně na fázový portrét stabilního ohniska). Aby bylo možno rozlišit uzel a ohnisko, musí být h difeomorfismus, t.j. h musí být prosté, spojité a parciální derivace h i h 1 musí být také spojité.
Stabilita rovnovážných stavů Diferencovatelně ekvivalentní soustavy Mějme opět dvě soustavy ẋ = v(x), x M 1 R 2, (5) ẋ = u(x), x M 2 R 2, (6) kde M 1, M 2 jsou oblasti v R 2, h : M 1 M 2 homeomorfismus, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. fázové portréty soustav jsou topologicky ekvivalentní h(ϕ(t, x)) = ψ(t, h(x)) } {{ }. přepíšeme ve tvaru ψ t (h(x)) = h(ϕ t (x)), kde h je difeomorfismus, h(x) = h(x 1, x 2 ) = (h 1 (x 1, x 2 ), h 2 (x 1, x 2 )) a h 1 (x) h 1 (x) h (x) = x 1 x 2 h 2 (x) h 2 (x) = h(x) x x 1 x 2 je derivace difeomorfismu h (Jacobiova matice zobrazení h).
Stabilita rovnovážných stavů Definice Říkáme, že fázové portréty soustav (5) a (6) jsou diferencovatelně ekvivalentní, jestliže existuje difeomorfismus h : M 1 M 2, který zobrazuje trajektorie první soustavy na trajektorie druhé soustavy při zachování orientace, t.j. platí ψ t (h(x)) = h(ϕ t (x)). Poznámka ẋ = v(x), x M 1 R 2, x r.s. této soustavy, y = h(x )... r.s. soustavy ẋ = u(x), x M 2 R 2. Necht J(x )... matice linearizace 1. soustavy v r.s. x J(y )... matice linearizace 2. soustavy v r.s. y = h(x ) Pak J(y ) = h (x ) J(x ) (h (x )) 1 = Matice linearizace v rovnovážných stavech obou soustav, které si odpovídají při difeomorfismu h, jsou podobné. Mají tedy stejná vlastní čísla. Závěr Diferencovatelná ekvivalence rozliší uzel a ohnisko.
Věta Grobmanova Hartmanova Věta (Grobmanova Hartmanova) Necht soustava ẋ = v(x), x R n, má izolovaný r.s. x takový, že příslušná matice linearizace J(x ) má všechna vlastní čísla s nenulovými reálnými částmi. Pak existuje O(x ) takové, že na O(x ) je fázový portrét soustavy ẋ = v(x) topologicky ekvivalentní s fázovým portrétem lineární soustavy ẋ = J(x ) x, t.j. fázové toky soustav ẋ = v(x) (nelineární) a ẋ = J(x ) x (lineární) jsou topologicky ekvivalentní prostřednictvím vhodného homeomorfismu. Poznámka Připomeňme, že topologická ekvivalence nerozliší fázový portrét uzlu a ohniska. Pro n = 2 (rovinné soustavy) lze ukázat, že má-li matice linearizace J(x ) vlastní čísla λ 1,2 = a ± ib, a b 0, pak trajektorie mají v okolí x tvar spirál, které končí v r.s. x (je-li x stabilní), je-li x nestabilní, trajektorie mají tvar spirál, které se odvíjejí od x.
Uzavřené trajektorie Věta (Bendixonovo kritérium) v rovině, Mějme soustavu diferenciálních rovnic ẋ = v(x), x = (x 1, x 2 ) R 2, i.e., ẋ 1 = v 1 (x 1, x 2 ) ẋ 2 = v 2 (x 1, x 2 ). Jestliže div v(x) = v 1(x) x 1 + v 2(x) x 2 0 na nějaké jednoduše souvislé oblasti D R 2, pak soustava ẋ = v(x) nemá v oblasti D žádnou uzavřenou trajektorii γ D.
Příklad Soustava diferenciálních rovnic v rovině: x = y + x(1 x 2 y 2 ), y = x + y(1 x 2 y 2 ), i.e., v 1 (x, y) = y + x(1 x 2 y 2 ), v 2 (x, y) = x + y(1 x 2 y 2 ). v 1 x = 1 3x 2 y 2, v 2 y = 1 x 2 3y 2. divv(x) = 2(1 2(x 2 + y 2 )) = 0 x 2 + y 2 = 1 2. divv(x) > 0 x 2 + y 2 < 1 2 = uvnitř kružnice nemůže podle Bendixonova kritéria ležet žádná celá uzavřená trajektorie. Poznámka Vnějšek kružnice není jednoduše souvislá oblast a větu nelze použít. Nevím nic o existenci uzavřené trajektorie vně kruhu.