ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx b) (x 2 + 2) x dx c) x + 3 d) 8 x(x 2 4) dx e) ( x + 2 x (2x + )( x) dx ) 2 dx f) x 2 + 2 x 2 + 4x + 3 dx g) x + 3 x 2 + 3 dx h) 3x 2 + 8 dx i) 3x + 2 x 2 + x + dx j) (e x + e x ) 2 dx k) ( 3x)e x dx l) (x 3) 2 e 5x dx m) (ln x + ln 2 x) dx n) cos 2 x dx o) sin 3 x dx p) x 2 ln(x + ) dx r) e x cos x dx s) e 2x sin 3x dx 2. Ve stejném sou dnicovém systému znázorn te grfy funkcí, resp. k ivek; vy²et ete, zd tyto grfy ur ují omezenou ást roviny (znázorn te): ) y = 2x, y = 6 x, y = ; b) y = 2x, y = 6 x, x = ; c) y = x, y = 3x, x = ; d) y = x, y = 3x, y = ; e) x + y = 4, xy = ; f) y = 4 x 2, y = x 2 ; g) y 2 = x, x = 5; h) y = x 2, y 2 = x; i) y = x 2, y = x 3 ; j) y = 2x, y =, x = 8; k) y = e x, y = e x, y = 2; l) y = e 2x, y = e 2x, x = 4; m) y = e x, y = e 2x, x = 6; n) y = 2 x, y = 5, x = ; o) y = e x, x = 5, y =, x = ; p) y = ln x, y = ln 2 x; r) x 2 + y 2 = 2, x 2 + y 2 = 4, y = ; s) y = x, y = 2x, x 2 + y 2 = 4; t) x 2 + 2y 2 =, y =, x = ; u) x 2 + y 2 = 2, y 2 = x. II. Výpo et ur itého integrálu dné funkce n dném intervlu P edpokládejme, ºe funkce f(x) je pro x, b mírou zm ny n jké funkce F (x), tudíº pltí f(x) = df, nvíc funkce f(x) je v tomto intervlu, b spojitá. Pk dx celkovou zm nu veli iny F (x) pro hodnoty x mezi x =, x = b, tedy v intervlu, b, njdeme pomocí primitivní funkce f(x) k dné funkci f(x) (integrováním funkce f(x)) následným výpo tem rozdílu hodnot F (b) F (). Uvedený postup se nzývá výpo et ur itého integrálu dné funkce v dném intervlu zn í se jko f(x) dx ( teme: ur itý integrál funkce f(x) v mezích od po b); tudíº hodnot ur itého integrálu je reálné íslo, které po ítáme jko
f(x) dx = F (b) F (), p i emº F (x) je (n jká) primitivní funkce k funkci F (x) n uvedeném intervlu. Pouºíváme tké zápis f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (); tto formule se nzývá Newtonov Leibnizov formule n výpo et ur itého integrálu. Proto lze vytvo it následující tbulku jko nlogii k tbulce neur itých integrál : b π/2 π/2 π/2 π/2 x n dx = [ ] x n+ n + = n + k dx = k [x] b = k (b ) e x dx = [e x ] b = eb e cos x dx = [sin x] π/2 = sin x dx = [ cos x] π/2 = cos 2 x dx = 2 sin 2 x dx = 2 [x + sin x cos x]π/2 = π 4 [x sin x cos x]π/2 = π 4 Substitu ní metod n výpo et ur itého integrálu: g(u(x)) u (x) dx = u(b) u() g(t) dt; pouºijeme substituci do neur itého integrálu u(x) = t, u (x) dx = dt pk p i této substituci trnsformujeme tké meze: pro x = máme novou dolní mez t = u(), pro x = b je nová horní mez t = u(b). Ilustr ní p íkld: Po ítejme 8x(x 2 + ) 3 dx. e²ení. Kldeme substituci u = x 2 +, du = 2x dx trnsformujeme meze: dolní mez x = se trnsformuje n novou dolní mez u =, podobn horní mez x = n u = 2, proto 2 8x(x 2 + ) 3 dx = 4u 3 du = [u 4 ] 2 = 6 = 5. Metod per prtes n výpo et ur itého integrálu: u v dx = [u v] b u v dx. Ilustr ní p íkldy: v mezích); e x e x dx = [ x e x ] e x dx = e [e x ] = 2 e e ln x dx = [x ln x] e dx = e (e ) =. 2 + (kºdý len sou tu je
Ur itý integrál jko plo²ný obsh rovinné oblsti Jestliºe y = f(x) je nezáporná funkce, která je spojitá n uzv eném intervlu, b jestliºe jko O ozn íme rovinnou oblst ur enou grfem funkce pro x, b, osou o x svislými p ímkmi x =, x = b, pk plo²ný obsh A(O) (A jko plo²ný obsh - "re") oblsti O je ur en hodnotou ur itého integrálu A(O) = f(x) dx (jednotek plo²ného obshu). Kv li p ehledu ve výpo tu je vhodné zpst oblst O pomocí systému nerovností: pro sou dnice x, y bodu P [x, y] O máme x b, y f(x). Obecn : jestliºe y = f(x), y = g(x) jsou dv nezáporné funkce, ob spojité n uzv eném intervlu, b tkové, ºe pro v²echn x, b pltí g(x) f(x), pk plo²ný obsh A(O) rovinné oblsti O ur ené systémem nerovností x b, g(x) y f(x) je ur en hodnotou ur itého integrálu A(O) = (f(x) g(x)) dx (jednotek plo²ného obshu). Oblst O ur ují nyní grfy funkcí g(x), f(x) pro x, b, os o x svislé p ímky x =, x = b; její plo²ný obsh vypo ítáme jko rozdíl plo²ných obsh dvou oblstí, které ur ují funkce f(x), resp. g(x). ƒíslo - hodnotu ur itého integrálu m ºeme interpretovt jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti tké v jiných souvislostech. Ilustr ní p íkld. Vypo ítejme plo²ný obsh rovinné oblsti ur ené obloukem prboly y = x 2 + 4x 3 osou o x. e²ení. Máme y = (3 x)(x ), proto integr ní meze jsou x =, x = 3; oblst O zpí²eme pomocí nerovností jko x 3, y (3 x)(x ): A(O) = 3 ( x 2 + 4x 3) dx = ] 3 [ x3 3 + 2x2 3x = 4 3 (jednotek plo²ného obshu). Úlohy. Dráh rychlost. Ur itý objekt se pohybuje tk, ºe jeho rychlost po t minutách odte je v(t) = 5 + 2t + 3t 2 metr z minutu. Jká je velikost dráhy objektu v pr b hu 2. minuty? V pr b hu 4. minuty? 2. Dráh objektu - jko plo²ný obsh rovinné oblsti. Rychlost ur itého objektu v(x) v metrech z minutu se v pr b hu prvních 2 minut jeho pohybu m nil: od z átku pohybu (x = ) do 4. minuty byl v(x) =, 5x m/min, od 4. do. minuty byl konstntní v(x) = 2 m/min od. do 2. minuty byl v(x) =, 8x 6 m/min. Vypo ítejte, jk velkou dráhu v metrech ujel objekt ) z první 4 minuty; b) z 2 minut? Znázorn te grcky. 3
3. R st po tu obyvtel. Výzkumy ukzují, ºe x m síc odte populce ur ité oblsti roste mírou 3 + 5x 2/3 lidí z m síc. O kolik vzroste populce této oblsti v pr b hu následujících 8 m síc? Jestliºe se uvedený trend dále nezm ní, o kolik vzroste populce v pr b hu 27 m síc odte? 4. P íjem z výrobního z ízení. Ur ité výrobní z ízení p iná²í t let od instlce p íjem mírou f(t) = e,4t (v dolrech z rok). Vypo ítejte p íjem, který p inese z ízení ) z prvních 5 let, b) z prvních let jeho uºívání. Znázorn te p íjem grcky jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 5. Výkonnost. Po t hodinách práce je prcovník ur ité továrny schopen vyprodukovt te,5t výrobk z hodinu. Jestliºe prcovník z íná prcovt v 8, hod., kolik výrobk vyrobí ) mezi 9,, hod., b) mezi, 2, hod.? 6. Výkonnost. Po t hodinách práce první prcovník ur ité dílny vyrábí rychlostí Q (t) = 6 2(t ) 2 výrobk z hodinu, ztímco druhý prcovník vyrábí rychlostí Q 2 (t) = 5 5t výrobk z hodinu. () Jestliºe ob prcovníci p i²li do práce v 8, hod., o kolik výrobk více vyrobí první prcovník ve 2, hod. ve srovnání s druhým prcovníkem? (b) Znázorn te e²ení úlohy () jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 7. Biologie - r st. Ur itá kultur kvsinek roste rychlostí, 3e,t grm z hodinu. Vypo ítejte, jké celkové mnoºství kvsinek se vytvo í p i uvedeném r stu ) z první 2 hodiny, b) z prvních 5 hodin. Znázorn te tto mnoºství grcky jko plo²ný obsh rovinných oblstí. 8. T ºb ropy. Podle údj získných z první t i roky t ºby ropy v oblsti mnºment ropné spolo nosti odhduje, ºe t rok od z etí vrt bude rop z loºisk erpán mírou R(t) = t + + tisíc brel z rok, kde t 5. Vypo ítejte, kolik tisíc brel ropy vyt ºí spole nost ) z prvních 5 let t ºby; b) od 5. do. roku t ºby. Znázorn te grcky. 9. T ºb ropy. e²te p edchozí úlohu, jestliºe R(t) = t t 2 + 25 + 4, p i emº te t 25, pro ) prvních let t ºby, b) od 5. do 5. roku t ºby. Znázorn te.. Celková spot eb. V ur itém stát dopyt po benzínu roste exponenciáln mírou 5 procent z rok. Jestliºe spot eb v sou snosti jsou 4 miliony litr benzínu z rok, kolik benzínu se spot ebuje ve stát b hem následujících 3 let?. Spot eb energie. P edpokládejme, ºe v ur ité oblsti poptávk po rop roste exponenciáln mírou procent z rok. Jestliºe spot eb v sou snosti je 3 milion litr ropy z rok, kolik ropy se spot ebuje v této oblsti v pr b hu následujících let? 2. Zhromº ování prost edk fondu. Odhduje se, ºe t m síc odte rostou v d sledku kmpn médií nn ní p ísp vky do ur itého fondu mírou R(t) = 5e,2t dolr z m síc, ztímco výdje n tkovou kmp z stávjí podle p edpokld n konstntní mí e 676 dolr z m síc. () Kolik m síc bude kmp médií pro fond zisková? (b) Jký istý p íjem p inese kmp z období v ()? 4
(c) Interpretujte grcky znázorn te istý p íjem jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 3. Zhromº ování p ísp vk n chritu. Odhduje se, ºe t týdn odte vzrostou nn ní p ísp vky n chritu mírou R(t) = 6537e,3t dolr z týden, ztímco n výdje chrity se musí vynkládt konstntní ástk 593 dolr z týden. () Kolik týdn bude zhromº ování p ísp vk pro chritu ziskové? (b) Jk vysoký istý výnos p inese zhromº ování p ísp vk z období v ()? (c) Interpretujte grcky znázorn te uvedený istý výnos jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 4. Vypo ítejte ur ité integrály, interpretujte pomocí plo²ného obshu vhodné rovinné oblsti: ) xe x dx; b) π x sin x dx; c) π x 2 sin x dx; d) e ln x dx; e) e i) 2 m) x ln x dx; f) 2 x x 2 9 dx; g) 4 3 x 2 3x + 2 dx; h) x 2 + dx; 4 x 2 x dx; j) e + 2x x( + ln x) dx; k) x x 2 dx; l) 3 dx; x + x 2 x + 3 dx; n) 9 + x 2 2x 2 + 3 dx 5. Plo²ný obsh trojúhelníku. Pomocí ur itého integrálu vypo ítejte plo²ný obsh trojúhelníku, který ur ují p ímky (znázorn te grcky): ) y = 4x, y =, x = 5; b) y = + 2x, y = x, x = 2; c) y = 2x, y = 6 x, y = ; d) y = 2x, y = 6 x, x = ; e) y = 4 x, y = 4 2x, 2y = 4 x. 6. Plo²ný obsh trojúhelníku. Pomocí ur itého integrálu vypo ítejte plo²ný obsh trojúhelníku ABC, jestliºe: ) A[, ], B[, 3], C[, 25]; b) A[, ], B[3, 2], C[3, 5]. Znázorn te. 7. Plo²ný obsh rovinné oblsti. Ur itým integrálem vypo ítejte plo²ný obsh rovinné oblsti ur ené pomocí grf k ivek (oblst znázorn te grcky): ) y = 6x x 2, y = ; b) y = x, y = x + 2 pro x 3; c) y =, y = sin x pro x π; d) y = ln x, y = pro x e; e) y = x 2 2x, y = x; f) y = x 2, y = x 2 /4, y =. (Pom ck pro f): vyuºijte symetrii oblsti.) 8. Plo²ný obsh rovinné oblsti. Ur itým integrálem vypo ítejte plo²ný obsh rovinné oblsti ur ené grfy k ivek (oblst znázorn te grcky): ) y = x 2, y 2 = x; b) y = x 2 x 6, y = x 2 + 5x + 4; c) y = x 3, y = 4x; d) y = 2x 3, y 2 = 4x; e) xy = 4, x + y = 5; f) y = x 2, y = x 3 ; g) y = x n, y =, x = ; h) y = x 2 3x + 2 os o x pro x, 3. 9. Dokºte, ºe pro integrovtelnou ) sudou funkci f(x) pltí f(x) dx = 2 f(x) dx; b) lichou funkci f(x) pltí f(x) dx = ; 5
c) spojitou periodickou funkci f(x) pltí (T je period funkce) +T f(x) dx = T f(x) dx. 2. Plo²ný obsh rovinné oblsti. Ur itým integrálem vypo ítejte plo²ný obsh rovinné oblsti, kterou ur ují grfy k ivek (oblst znázorn te grcky): ) y = cos x pro x π/2; b) y = sin x, y = cos x osou o x pro x π/2; c) y = sin x, y = cos x osou o y v. kvdrntu. 2. Plo²ný obsh rovinné oblsti. Ur itým integrálem vypo ítejte plo²ný obsh rovinné oblsti omezené grfy k ivek (oblst znázorn te grcky): ) y = e x, y = e x, x = ln 2; b) y = e x, y =, x =, x = ; c) y = ln x, y = ln 2 x; d) kruºnicí x 2 + y 2 = 8 prbolou y 2 = 2x; e) y = x 2, y = 2 + x 2 22. St ední hodnot funkce. Vypo ítejte st ední hodnotu funkce v dném intervlu, b znázorn te grcky: ) f(x) = + x,,, resp., ; b) f(x) = x 2,,, resp., ; c) f(x) = x(2 x),, 2 ; d) f(x) = e x,, ; e) f(x) = sin x,, π ; f) f(x) = cos x,, π 2 ; g) f(x) = x 3 + x 2,, ; h) f(x) = ln x,, e. 23. St ední (pr m rná) hodnot ceny. Záznmy ukzují, ºe t m síc po. lednu ur itého roku cen dr beºe v lokální síti velkých prodejen byl P (t) =, 6t 2, 2t +, 2 dolr z kg. Ur ete pr m rnou cenu z kg dr beºe (znázorn te grcky) ) z první 3 m síce roku, b) z prvních 6 m síc roku. 24. St ední hodnot funkce - nn ní rezervy. Finn ní rezervy (v tisícech dolr ) ur ité spole nosti x m síc po. lednu ur itého roku jsou ur eny p ibliºn funkcí C(x) = + 2x x 2 ( x 2). Vypo ítejte st ední hodnotu nn ních rezerv (znázorn te grcky) v pr b hu ). tvrtletí, b) 2. tvrtletí, c). pololetí, d) celého roku. 25. Pr m rná rychlost. Rychlost objektu v(x) v metrech z minutu se v pr b hu prvních 2 minut pohybu m nil následovn : od z átku pohybu (x = ) do 4. minuty byl v(x) =, 5x m/min, od 4. do. minuty byl konstntní v(x) = 2 m/min od. do 2. minuty byl v(x) =, 8x 6 m/min. Vypo ítejte st ední hodnotu rychlosti objektu, t.j. pr m rnou rychlost (znázorn te grcky): ) z první 4 minuty; b) z prvních minut; c) z 2 minut; d) mezi 4. 2. min.; e) mezi 8. 2. min.; f) mezi. 2. minutou. 26. Dráh rychlost, pr m rná rychlost. Ur itý objekt se pohybuje tk, ºe jeho rychlost po uplynutí t sekund odte je v(t) = + t metr z sekundu. Jkou dráhu ujede objekt z prvních 5 sekund? Jká je jeho pr m rná rychlost z uvedených 5 sekund? 27. St ední hodnot funkce. ) Prol ºlbu klesá do hloubky h metr rovnom rn z obou strn tk, ºe jeho ²í k n povrchu je metr v hloubce h metr má ºlb ²í ku 6
b metr. Vypo ítejte st ední hloubku ºlbu. b) Prol (jiného) ºlbu má tvr prbolického úseku ²í ky hloubky h metr. Vypo ítejte st ední hloubku tohoto ºlbu. 28. St ední hodnot funkce - koncentrce látky. P i lék ském vy²et ení se do krevního ob hu pcient podává injek n ur itá kontrstní látk rovnom rn v pr b hu 2 minut. Koncentrce kontrstní látky (v miligrmech n litr) po t minutách je ur en p ibliºn jko C(t) = +, 5t 2 +, 25t 4, kde t 2. Vypo ítejte st ední hodnotu koncentrce v pr b hu ) prvních 3 sekund plikování injekce, b) první minuty, c) v pr b hu celých 2 minut plikování. Znázorn te grcky. 29. St ední hodnot funkce - stv zásob. Obchodník dostává dodávky po 2 kg ur itého zboºí. Zboºí se prodává rovnom rn mírou 3 kg z týden. Jestliºe nákldy n skldování zboºí jsou,2 centu n kg zboºí z týden, jké budou celkové nákldy obchodník n skldování zboºí z dl²ích 4 týdn? Znázorn te grcky. 3. St ední hodnot funkce - stv zásob. Ve skldu je uloºen zásob 6 kg ur ité suroviny, která odchází do výroby rovnom rn tímto zp sobem se zásob vy erpá práv z rok. Jký je pr m rný stv zásob ve skldu ) z první polovinu roku, b) z celý rok? Znázorn te grcky. 3. St ední hodnot funkce - stv zásob. Výrobce plstových výrobk dostává 45 blení pot ebné suroviny kºdých 3 dní; surovin se ve výrob spot ebuje nerovnom rn x dní po kºdé tkové dodávce je ve skldu f(x) = 45 x2 2 blení suroviny. ) Vypo ítejte st ední hodnotu zásob ve skldu; znázorn te grcky. b) Jestliºe nákldy n skldování blení suroviny jsou 2 centy z den, ur ete pr m rné denní nákldy n skldování. 32. St ední hodnot funkce - stv zásob. Obchod dostává kºdých 6 dní v jedné dodávce 6 krbic tletické obuvi; obuv se prodává nerovnom rn x dn po dodání je ve skldu f(x) = 6 2 5x krbic. Vypo ítejte st ední hodnotu zásob ve skldu; znázorn te grcky. 33. St ední hodnot funkce - stv zásob. Vypo ítejte v p edchozí úloze pr m rné denní nákldy n skldování, jestliºe nákldy n skldování jedné krbice jsou,5 centu. 34. St ední hodnot funkce - stv zásob. Velkoobchod dostává v jedné dodávce 2 blení ur itého druhu okolády kºdých 3 dní; okolád se prodává mloobchodník m rovnom rn tkovým zp sobem, ºe x dní po p íchodu dodávky je n skld p esn f(x) = 2 4x blení. ) Vypo ítejte st ední hodnotu zásob ve skldu. b) Jestliºe nákldy n skldování blení okolády jsou 3 centy z den, ur ete pr m rné denní nákldy n skldování. 35. ƒistý výnos z výrobního z ízení. Jestliºe se ur ité výrobní z ízení pouºívá x let, pk generuje p íjem mírou R = R(x) dolr z rok nákldy n jeho pouºívání rostou mírou C = C(x) dolr z rok. () Vypo ítejte, z jké období je pouºívání výrobního z ízení ziskové. (b) Jký je istý výnos z pouºívání výrobního z ízení z období ur ené v úloze ()? 7
(c) Znázorn te istý výnos grcky pomocí plo²ného obshu ur ité rovinné oblsti. e²te tyto úlohy pro R(x), C(x): ) R(x) = 625 x 2, C(x) = 4 + 5x 2 ; 2) R(x) = 625 8x 2, C(x) = 468 + 3x 2 ; 3) R(x) = 5575 5x 2, C(x) = 975 + 2x 2 ; 4) R(x) = 5 2x 2, C(x) = 2 + x 2. 36. Zisk z investování. P edpokládejme, ºe x let odte bude první investi ní plán vytvá et p íjem mírou R (x) = 5+x 2 dolr z rok, ztímco druhý investi ní plán mírou R 2 (x) = 2 + 5x dolr z rok. ) Vypo ítejte, jk dlouho bude druhý investi ní plán ziskov j²í neº první plán znázorn te R (x), R 2 (x) grcky. b) Vypo ítejte rozdíl v zisku, jestliºe se v období podle ) bude investovt podle druhého plánu, znázorn te zisk jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 37. Investování. e²te p edchozí úlohu pro funkce R (x), R 2 (x) ( s x je ve význmu roky): ) R (x) = + x 2, R 2 (x) = 22 + 2x; b) R (x) = 6e,2x, R 2 (x) = 6e,8x. 38. Sklon zákzník ke spot eb. Dná je funkce poptávky zákzník D(q) po ur itém zboºí (v dolrech z kus - jednotku zboºí). Vypo ítejte celkové mnoºství pen z, které je zákzník ochoten utrtit n nákup q kus (jednotek) zboºí, znázorn te grcky funkce poptávky sklonu zákzník ke spot eb jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti: ) D(q) = 2(64 q 2 ) dol./kus, q = 6; b) D(q) = c) D(q) = 4, 5q + 2 dol./kus, q = 2. 3 (, q + ) 2 dol./kus, q = 5; 39. Sklon zákzník ke spot eb. e²te p edchozí úlohu, jestliºe: ) D(q) = 3 4q + 3 dol./kus, q = ; b) D(q) = 4e,5q dol./kus, q = ; c) D(q) = 5e,4q dol./kus, q = 5. 4. Spot ebitelský p ebytek. Dná je funkce poptávky D(q) zákzník po ur itém zboºí. Vypo ítejte spot ebitelský p ebytek, jestliºe trºní cen z jednotku zboºí je p, znázorn te grcky funkci poptávky spot ebitelský p ebytek jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti: ) D(q) = 2(64 q 2 ) dol./kus, p = ; b) D(q) = 5 2q 3q 2 dol./kus, p = 7; 3 c) D(q) = dol./kus, (, q + ) 2 p = 2. 4. Spot ebitelský p ebytek. e²te p edchozí úlohu, jestliºe: ) D(q) = 4, 5q + 2 dol./kus, p = 2; b) D(q) = 4e,5q dol./kus, p =, 46; (c) D(q) = 3e,4q dol./kus, p =. 42. Spot ebitelský p ebytek. P edpokládejme, ºe funkce poptávky po ur itém zboºí je D(q) = 23 q 2 funkce nbídky zboºí je S(q) = q2 + 2q + 5 (tto nbídk tudíº ur uje cenu, z kterou se mnoºství q výrobk dodává n trh). Jestliºe se uvedené mnoºství 3 8
prodá z rovnováºnou cenu (poptávk nbídk jsou stejné), vypo ítejte spot ebitelský p ebytek. Znázorn te p ebytek grcky jko plo²ný obsh ur ité rovinné oblsti. 43. Spot ebitelský p ebytek. e²te p edchozí úlohu, jestliºe funkce poptávky, resp. nbídky jsou D(q) = 6 q + 3, S(q) = q + 2 3 44. P íjem z prodeje. Výrobce kol p edpokládá, ºe x m síc odte budou zákzníci kupovt 5 kol z m síc z cenu P (x) = 8 + 3 x dolr z jedno kolo. Jký je celkový p íjem výrobce z prodeje kol v pr b hu následujících ) 4 m síc, b) 6 m síc? 45. P íjem z prodeje. Výrobce kol p edpokládá, ºe x m síc odte budou zákzníci kupovt f(x) = 5 + 6 x kol z m síc z cenu P (x) = 8 + 3 x dolr z jedno kolo. Jký je celkový p íjem výrobce z prodeje kol v pr b hu následujících ) 4 m síc, b) 9 m síc? 46. Pokles hodnoty. Odprodejní hodnot ur itého výrobního z ízení klesá v pr b hu let tk, ºe mír poklesu hodnoty se m ní v se; jestliºe je z ízení x let stré, mír (rychlost), jkou se m ní jeho hodnot, je 22(x ) dolr z rok. O kolik klesne hodnot z ízení v pr b hu ) 2. roku, b) 4. roku pouºívání? Znázorn te grcky. 47. P íjem z prodeje. P edpokládá s, ºe poptávk po ur itém výrobku roste exponenciáln mírou 2 procent z rok. Jestliºe je v sou snosti poptávk 5 výrobk z rok cen tohoto výrobku z stává nezm nen 4 dolr z kus, jký bude p íjem výrobce z prodeje v pr b hu ) následujícího roku, b) následujících 2 let? 48. Lorenzov k ivk rozloºení p íjm. Vypo ítejte koecent nerovnosti pro Lorenzovu k ivku znázorn te grcky, jestliºe f(x) = x2 2 + x 2 je p edpis pro Lorenzovou k ivku. Vypo ítejte tké, jké procento z celkových p íjm v tomto p ípd dostává dolních 25 % domácností, resp. dolních 5 % domácností; znázorn te grcky. 49. Lorenzov k ivk rozloºení p íjm. Vypo ítejte koecent nerovnosti pro Lorenzovu k ivku, jestliºe Lorenzov k ivk je ur en p edpisem (znázorn te grcky): ) 3x2 5 + 2x 5 9x2 ; b) + x 3x2 ; c) 25 + 22x 25 ; d) 9x2 25 + 6x 25 ; e) 5x2 6 + x x2 ; f) 6 6 + 5x 6 ; g) 3 x(x2 + 2). Pro k ivky ), b) vypo ítejte, jké procento z celkových p íjm dostává dolních 25 % domácností, resp. dolních 5 % domácností; znázorn te grcky. e²ení úloh:. 5 m, resp. 49 m 2. ) 4 m; b) 76 m 3. 336 osob, resp. 539 osob 4. ) 5535,7 dolr ; b) 2 295,62 dolr 5. ) 69,6 výrobk ; b) 3,9 výrobk 6. ) o 62 výrobk 7. ),664 grm ; b),946 grm 8. ) 9,55 tisíc brel ; b) 78,77 tisíc brel 9. ), b): 5 ln 5 + 4 =. 2, 5. 2,947 milion litr. 55,48 milion litr 2. ) 5 ln 5 6537 (si m síc ); b) si 4 852,62 dolr 3. ) ln 676 3 593, tedy 9
si 8 týdn ; b) si 5 69,26 dolr 4. ) ; b) π; c) π 2 4; d) ; e) /4(e 2 + ); f) /5(ln 5 ln 9); g) 2 ln 2 ln 3; h) 5/2 ln 3 2; i),7454; j) ln 2; k) /3; l),452; m),3744; n),24 5. ) 5; b) 6; c) 2; d) 6; e) 8/3 6. ) ; b) 6 7. ) 36; b) 2; c) 2; d) ; e) 9/2; f) 4/3 8. ) /3; b) 343/3; c) 8; d) 5/6; e) 5/2 8 ln 2; f) /2; g) n + ; h) /6 2. ) ; b) 2 2; c) 2 2. ) /2; b) e ; c) 3 - e; d) 2π + 4/3, 6π 4/3; e) π 2/3 22. ) 3/2; ; b) 2/3, 2/3; c) 2/3; d) e - ; e) 2/π; f) 2/π; g) /3; h) /e 23. ),8 dolr, b),32 dolr 24. ) 6; b) 34; c) 25; d) 25 25. ) m/min; b),6 m/min; c) 3,8 m/min; d) 4,5 m/min; e) 5,3 m/min; f) 6 m/min 26. 42 m, 2,8 m/sek. 27. st ední hloubk ºlbu je: ) h/2 (v n m ²í k ºlbu ( + b)/4); b) 2h/3 28. ),448; b) 365/3 (si,267); c) 37/5 (si 2,467) 29. 2 dolr 3. ) 45 kg; b) 3 kg 3. ) 3 blení; b) 6 dolr 32. 2 krbic 33. dolr 34. ) 6 blení; b) 8 dolr 35. ) 9 let; b) 2 5 dolr ; 2) 8 let; 2b) 768 dolr ; 3) 2 let; 3b) 28 8 dolr ; 4) let; 4b) 2 dolr 36. ) 5 let; b) 687,5 dolr 37. ) 2 let, 8 dolr ; b) 25 ln(8/3) (si 24,5 m síc ), p ibliºn 474,75 dolr 38. ) 624 dolr ; b) dolr ; c) 6 ln 2 dolr 39. ) 75 ln(43/3) dolr ; b) 8( e,5 ) dolr ; c) 25( e,6 ) dolr 4. ) (q = 3) 36 dol.; b) (q = 3) 66 dol.; c) (q = 4) 92 dol. 4. ) (q = 36) 8 ln 72; b). (q = 25) 8( e,25 ) 286, 5 =.. e 284, 3 dol.; c) (q = 25) 75 275 42. q = 3, p = 4 dolr, proto 8 dolr 43. q = 2, p = dolr, proto 6 ln 2 8 dolr 44. ) 68 dolr ; b) 74 dolr 45. ) 7 74 dolr ; b) 396 369 dolr 46. ) pokles o 87 dolr, b) pokles o 43 dolr 47. ) 22 3,4 dolr, b) 48 7,74 dolr 48. /6; 5,625 %, resp. 37,5 % 49. ) /5; b) 3/; c) /25; d) 3/25; e) 5/8; f) /8; g) /6; pro k ivku ) 3,75 %, 35 %; pro k ivku b) 8,25 %, 27,5 % e Pojmy, vzthy, ozn ení Mír zm ny celková zm n funkce n intervlu Metody výpo tu ur itého integrálu dné funkce n dném intervlu Vlstnosti ur itého integrálu Ur itý integrál jko plo²ný obsh rovinné oblsti (Newton v integrál) Plo²né obshy sloºit j²ích oblstí St ední hodnot (verge vlue) funkce n dném intervlu Aplikce ur itého integrálu v ekonomii: - istý p ebytek zisku z investování (net excess prot) - istý výnos z výrobního z ízení (net erning from industril equipment) - Lorenzov k ivk rozloºení p íjm - spot ebitelský podniktelský p ebytek (consumer surplus, producer surplus) - problém skldování (inventory problem) 4. únor 24
Oprvy Do textu úloh nebo do výsledk byly zneseny tyto oprvy: 5. ) oprven výsledek: má být 69,6 výrobk 26. v celém textu úlohy jednotky jsou m/sek. 4. b) oprven výsledek: má být 8( e,25 ) 286, 5. = 284, 3 dol.