11. cvičení z Matematické analýzy 2

Transkript

1 11. cvičení z Mtemtické nlýzy prosince (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y 3 ) dz dy dx. x +y Cylindrické souřdnice jsou tvru: tj. Φ :, + ), π R R 3, kde Φ : Φ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 1 x r cos ϕ y r sin ϕ z z det Φ r. neboli tedy () Oblst integrce je E : x & y x & x + y z E : x & x + y & x + y z E : x + y z, což je kužel s výškou poloměrem podstvy tké, který stojí n svém vrcholu v počátku. Jko prmetrizci E si vezmeme Můžeme tedy psát x x : r z & ϕ π. (x + y ) dz dy dx (x + y ) dv x +y EΦ()

2 z π r r dv r 3 dϕ dr dz π z π z dz π π. r 3 dr dz neboli (b) Oblst E je popsán jko ekvivlentně E : 1 x 1 & 1 x y 1 x & x + y z x y E : x 1 & y 1 x & x + y z x y E : x + y 1 & x + y z x y což je prostě oblst ležící nd kruhem o poloměru 1 v rovině xy je sevřen mezi grfy dvou funkcí (celkově vypdá jko čočk ). Ještě si pro pořádek ověříme, že průmět oblsti do roviny xy je skutečně kruh o průměru 1 (jink by totiž zdání nemělo smysl). Zřejmě le je x + y x y x + y 1 tkže je to v pořádku. V cylindrických souřdnicích Φ je prmetrizcí E Φ() množin Pk můžeme psát 1 1 x 1 1 x x y x +y (x + y ) 3 dz dy dx EΦ() (x + y ) 3 dv r 3 r dϕ dz dr π 1 1 r π r r 3 dϕ dz dr π 1 ( 1 r 3 (1 r ) dr π 1 ) π 6 3. r r r 3 dz dr 11. (sférické souřdnice) Zpište integrál pomocí sférických souřdnic pk ho spočítejte: 3 9 x 3 9 x 9 x y z x + y + z dzdydx, Pge

3 Oblst E je popsán jko E : 3 x 3 & 9 x y 9 x & z 9 x y neboli což je prostě jen E : x 3 & y 9 x & z 9 x y ekvivlentně E : x 9 & y + x 9 & z + x + y 9 & z E : x + y + z 9 & z což je horní polokoule s poloměrem 3 středem v počátku souřdnic. Ve sférických souřdnicích x (r sin ϑ) cos ϕ Ψ : y (r sin ϑ) sin ϕ z r cos ϑ je prmetrizcí E Ψ() množin Pk můžeme psát : r 3 & ϕ π & ϑ π 3 9 x 3 9 x 9 x y z x + y + z dzdydx EΨ() z x + y + z dv r cos ϑ r r sin ϑ dϕ dϑ dr 3 r dr π cos ϑ sin ϑ }{{} sin ϑ 3 π π π dϑ 1 dϕ 35 5 π r cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ dr [ ] cos ϑ π 81 5 π (sférické souřdnice) Vypočtěte těžiště těles E : x + y + z R & z tn(α ) x + y, s hustotou σ 1, kde R > α (, π ) jsou prmetry. Těleso E je průnikem koule o poloměru R kužele s vrcholovým úhlem α, jehož špičk je ve středu koule. Výhodné tedy bude použít opět sférické souřdnice Ψ : x (r sin ϑ) cos ϕ y (r sin ϑ) sin ϕ z r cos ϑ Pge 3

4 Prmetrizce E Ψ() pk bude : r R & ϕ π & ϑ α Pro těžiště musíme nejdříve spočítt hmotnost: m 1 dv EΨ() R α π r sin ϑ dv r sin ϑ dϕ dϑ dr π R α r sin ϑ dϑ dr π(1 cos α ) R r dr 3 πr3 (1 cos α ). Protože těleso E je rotčně symetrické podle osy z, budou x-ová i y-ová souřdnice těžiště obě nulové. Zbývá tedy spočítt z-ovou souřdnici těžiště: T 3 1 m π m R EΨ() z dv 1 m r 3 cos ϑ sin ϑ dϕ dϑ dr 1 m R α π 3 sin ϑ r dϕ dϑ dr α r 3 dr sin ϑ dϑ πr 8m (1 cos α ) 3R 16 1 cos α 3R 1 cos α 8 (1 + cos α ). 11. (křivkový integrál z funkce) Integrujte funkci f(x, y) x+y 1+x x podél křivky : y od bodu A (1, 1 ) do bodu B (, ). Integrál spočítáme podle vzthu b f ds f(ϕ(t)) ϕ (t) dt, kde ϕ je vhodná prmetrizce křivky, tj. zobrzení ϕ :, b R n, které je spojité po částech spojitě diferencovtelné n intervlu, b (to bychom mohli křivky nvzovt n sebe), ϕ je prosté n, b ž n konečně mnoho vyjímek t 1,..., t n, b (křivk může protínt sm sebe), ϕ(, b ). Jko prmetrizci si zvolíme ϕ(t) uvedené podmínky. Pk je Tkže f ds 1 ) (1 t, (1 t) pro t, 1, které zřejmě splňuje všechny ϕ (t) ( 1, t 1) ϕ (t) 1 + (t 1). 1 t + (1 t) 1 + (1 t) 1 + (t 1) dt t + u + u du (1 t) dt [ ] u1 t du dt Pge

5 11.5 (délk křivky) Částice se pohybuje tk, že poloh v čse t je určen jko ϕ(t) kterou urzí v čsovém intervlu, 1. ( ) t cos t, sin t,. rčete délku dráhy, Křivk leží v plášti válce x + y 1 je to postupně se rozthující šroubovice. Délk křivky se pk vypočítá jko integrál z konstntní funkce f 1 podél dné křivky l() b 1 ds ϕ (t) dt. Máme tedy tkže dostáváme l() 1 ds 1 ϕ (t) 1 + t dt ϕ (t) ( sin t, cos t, t ) sin t + cos t + t 1 + t, [ ] tsinh(α) dtcosh(α)dα rcsinh(1) 1 + sinh (α) cosh(α) dα rcsinh(1) ln( ) cosh (α) dα ln(1+ ) ( e α + e α ) dα 1 1 ln(1 + ) + 1 [e α e α] αln(1+ ) 1 8 α ln(1 + ) ln(1 + ( ) ) 3 ln(1+ ) ( (1 + ) + 1 ln(1 + ). + e α + e α dα ) 1 (1 + ) Poznámk k substituci: Protože grf funkce u 1 + t je částí hyperboly (u t 1), je vhodné použít substituci pomocí hyperbolických funkcí cosh(α) eα + e α sinh(α) eα e α. Jde o rozkld funkce e α n sudou lichou funkci, tj. e α cosh(α) + sinh(α). Podobně se pro prmetrizci kružnice u 1 t zse používjí goniometrické funkce sin(α) cos(α). Tké vzthy vypdjí v něčem podobně: cosh (α) sinh (α) 1, cosh (α) + sinh (α) cosh(α), sinh (α) cosh(α) cosh (α) sinh(α) Vyřešením kvdrtické rovnice dostneme vyjádření inverzní funkce pro t sinh(α): rcsinh(α) ln (t + ) 1 + t. (Dostneme ji z kvdrtické rovnice e t α 1 e t v proměnné e t.) 11.6 (křivkový integrál z vektorového pole) Pge 5

6 Njděte práci síly F (y + z, z + x, x + y) vykonné n částici podél křivky s prmetrizcí ϕ(t) (t, t, t ), t, 1. Její orientce je dán touto prmetrizcí. Integrál spočítáme podle vzthu F d s b F (ϕ(t)) ϕ (t) dt. Máme tedy F d s 1 (t + t, t + t, t + t ) ϕ (t) (1, t, t 3 ) 1 t t 3 dt 1 3t + 5t + 6t 5 dt [t 3 + t 5 + t 6] 1 3. Pge 6