Matematika II: Testy

Transkript

1 Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv

2 Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Je funkce ln primitivní funkcí k funkci?. Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu cos sin 3 d? () sin = t cos = t sin 3 = t 3. Kolik konstnt bude potřeb určit při rozkldu funkce R() = 3 4 n prciální zlomky? () Chceme vypočítt délku prboly y = n intervlu,. Jký vzth pro výpočet je správný? () + 4 d + 4 d + d 5. Potřebujeme určit definiční obor funkce z = log( y) + rctn. Které omezující podmínky jsou správně? () y y > y 6. Je-li funkce v bodě spojitá A, pk je v tomto bodě diferencovtelná. Pltí toto tvrzení? 7. Může eistovt lokální etrém i v bodě, který není stcionárním bodem funkce, tj. některá z prciálních derivcí v něm neeistuje? 8. Máme rovnici y (4) + y = + y 3. Kterého řádu je dná diferenciální rovnice? () druhého řádu čtvrtého řádu prvního řádu 9. Mějme rovnici y = y + y. O jký typ diferenciální rovnice se jedná? () lineární homogenní ektní. Která z rovnic je chrkteristickou rovnicí k diferenciální rovnici y 3y =? () r 3r = r 3 = r 3 =. Mějme rovnici y 3y = e 4 cos. Jedná se o speciální prvou strnu lze tedy k řešení využít metodu neurčitých koeficientů?

3 Mtemtik II - testy 7. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Pltí následující? 3 cos d = 3 d cos d. Jkou funkci zvolíte v metodě per prtes z u při výpočtu integrálu sin ( 3)d? () 3 sin 3. Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 4 sin + d? () sin = t cos = t univerzální 4. Jký je správný vzth pro určení obshu útvru ohrničeného dvěm funkcemi, kde f () g(), přímkmi =, = b ( < b)? () b ( f () g()) d b (g() f ()) d 5. Zkuste odhdnout, co bude grfem funkce z = 9 y. () horní polorovin kulové plochy se středem v [,,] poloměrem 3 kulová ploch se středem v [,,] poloměrem 3 dolní polorovin kulové plochy se středem v [,,] poloměrem 9 6. Je funkce z = y y diferencovtelná v bodě A = [, ]? 7. Pltí následující tvrzení? Eistují-li v bodě nulové prciální derivce prvního řádu, pk je v bodě lokální etrém. 8. Kolik funkcí vyhovuje rovnici y 3 sin =? () jedn konečně mnoho žádná 9. Nlezli jsme obecné řešení homogenní lineární DR ve tvru y = ce po plikci metody vrice konstnty funkci c() = e e + c. Jk bude vypdt obecné řešení dné lineární rovnice v úplném tvru? () y = ( e e )e + c y = e + c y = ( e e + c)e. Chrkteristická rovnice má kořeny r, = ±4i. Jk vypdá fundmentální systém řešení? () y = cos 4i, y = sin 4i y = cos 4, y = sin 4 y = e cos 4, y = e sin 4. Jkou metodu zvolíte při řešení rovnice y + y 3y = 3 cos? () metodu neurčitých koeficientů metodu vrice konstnt

4 Mtemtik II - testy 7. Řy 93 - Test 3 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci sin 4? (). Lze integrál metodou? e cos d řešit substituční 3. Jký první krok zvolíte při výpočtu integrálu cos 4 d? () sin = t cos = cos = t + cos 4. Pltí pro lichou funkci následující tvrzení? () ne no f ()d = 5. Chceme určit objem rotčního těles, které vznikne rotcí útvru ohrničeného křivkmi y = rcsin, y = n intervlu, kolem osy. Jký vzth pro výpočet je správný? () π π rcsin d rcsin d rcsin d 6. Které oznčení je správné pro prciální derivci 3. řádu, která vznikne derivcí smíšené prciální derivce. řádu f podle y? y () f y y 3 f y 3 f y y 7. Pltí následující tvrzení? Funkce f : R R má spojité prciální derivce v bodě právě tehdy, když je v tomto bodě diferencovtelná. 8. Nlezli jsme obecné řešení rovnice ve tvru y = c. Chceme njít prtikulární řešení pro počáteční podmínku y() =. Jká je hodnot konstnty c? () c = c = 5 c = 5 9. Mějme rovnici ( 3 + )y = y +. O jký typ diferenciální rovnice se jedná? () lineární homogenní ektní. Určete chrkteristickou rovnici k diferenciální rovnici 8y + 5y =. () 8r + 5r = r + 5r = 8r + 5 =. Jk vypdá tvr prtikulárního řešení pro rovnici y 4y = ( + )e? () (A + B)e (A + B + C)e (A 3 + B + C)e

5 Mtemtik II - testy 7. Řy 94 - Test 4 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Eistuje k funkci funkce primitivní? () ne no n intervlu (, ) 3. Jkou metodu zvolíte při výpočtu integrálu sin d? () substituční per prtes 3. Jkou substituci zvolíte při výpočtu integrálu sin 5 d? () sin = t univerzální cos = t 4. Pltí následující rovnost? 4 () ne no 4 (3 e )d = 3 d 4 e d 5. Který vzorec je správný pro výpočet obshu kruhu se středem v [, ] poloměrem r? () π π r sin tdt r sin t cos tdt 6. Kolikrát budete derivovt podle proměnné, 8 f pokud víte, že 3 y 3 y? () 3-krát 6-krát -krát 7. Určete směrový vektor normály ke grfu funkce f (, y) v bodě A. () s n = (A), f ) y (A), s n = (A), f ) (A), y s n = y (A), f ) (A), 8. Mějme rovnici y 3 sin y =. Jedná se o seprovtelnou diferenciální rovnici? 9. Mějme zdnou nehomogenní lineární diferenciální rovnici y = 4y +. Jký tvr je správný pro příslušnou homogenní lineární rovnici? () y = y 4y = y = 4y. Jk vypdá tvr prtikulárního řešení pro rovnici y 4y = 3 cos? () A cos A cos + B sin A cos. Vypočtěte wronskián fundmentálního systému řešení y = e 3 cos, y = e 3 sin. () W = e 3 cos sin W = e 6 cos W = e 6

6 Mtemtik II - testy 73. Řy 95 - Test 5 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Pltí následující rovnost? (3e 4 ln )d = 3 () ne no. Chceme vypočítt integrál e d 4 ln d 3 + d. Je substituce 3 + = t správně zvolená? 3. Zjistěte výpočtem zd pltí: 3 d = 3 () pltí 4 pltí 4 d 4. Jký je správný vzth pro určení objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi f () g() kolem osy pro ; b? () π π b b ( ) g () f () d ( ) f () g () d π b (g() f ()) d 5. Jkou hodnotu má f y 3y y v bodě [, ]? () 6 funkce f (, y) = 6. Mějme sestvenu mtici z druhých prciálních derivcí v bodě (, y ). Pokud má funkce v bodě (, y ) lokální mimum, která kombince musí pltit. () determinnt mtice je větší než nul (D > ) f (, y ) > determinnt mtice je větší než nul (D > ) f (, y ) < determinnt mtice je menší než nul (D < ) f (, y ) < 7. Potřebujeme určit definiční obor funkce z = sin + ln( + ). Které omezující podmínky jsou správně? () = + > = + > ln( + ) > ln( + ) 8. Mějme zdnou diferenciální rovnici y = 4y +. Jký tvr je správný po seprci proměnných? () dy 4y + = d d = (4y + )dy dy 4y = d 9. Mějme rovnici yd + ( + y)dy =. Jedná se o homogenní diferenciální rovnici?. Chrkteristická rovnice má kořeny r, = 5. Jk vypdá obecné řešení dné homogenní diferenciální rovnice? () y = C e 5 + C e 5 y = Ce 5 y = C e 5 + C e 5. Jkou metodu zvolíte při řešení rovnice y 4y = sin? () metodu neurčitých koeficientů metodu vrice konstnt

7 Mtemtik II - testy 74. Řy 96 - Test 6 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Ke které funkci je funkce F() = 4 3 cos ln( ) primitivní? 3 () f () = ( cos sin + ) 3 + ( ) f () = 4 cos sin. Lze řešit integrál ln d substituční metodou? 3. Je integrál π sin d roven (zkuste vyjít z grfu funkce obshu plochy)? 4. Který integrál je správně po plikci substituční metody při výpočtu () t dt t 3 π 4 tn 3 d? π 4 t dt t 3 t dt t 3 5. Chceme určit obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky dné prmetrickými rovnicemi pro = t +, y = 3 t kolem osy. Jký vzth pro výpočet je správný? () π 3 π π (3 t)dt 3 3 (3 t)dt (t + )dt 6. Který vzth je správný pro výpočet tečné roviny ke grfu funkce v bodě A = [, b, c]? () z = c f (, b)( ) f y(, b)(y b) z = c + f (, b)(y b) + f y(, b)( ) z = c + f (, b)( ) + f y(, b)(y b) 7. Mějme funkci f (, y) = + y 3, která má v počátku stcionární bod. Jedná se o etrém? 8. Máme rovnici y = 3. O jký typ diferenciální rovnice jde? () seprovtelná homogenní lineární 9. Mějme rovnici + y + y =. Jk vypdá zkrácený tvr této lineární rovnice? () y + y = y = y = + y. Máme obecné řešení zkrácené rovnice y = C + C e nlezené funkce při použití metody vrice konstnt C () = cos + c C () = + + c. Jk bude vypdt obecné řešení úplné rovnice? () y = c + c e + cos + + y = c cos + c e + + y = c + c e + cos + ( + )e

8 Mtemtik II - testy 75. Řy 97 - Test 7 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Lze při výpočtu integrálu použít nznčený postup? (3 sin )d = 3 d sin d. Jk volit funkce u () v() při výpočtu integrálu e d? () u =, v = e u = e, v = u = e, v = 3. Je integrál π π sin d roven (zkuste vyjít z grfu funkce obshu plochy)? 4. Který integrál je správně po plikci substituční metody při výpočtu () e tdt tdt e ln d? e t dt 5. Chceme určit objem koule o poloměru r >. Jký vzth pro výpočet je správný? () π π π r r r r r r (r )d (r + )d r d 6. Kolikrát budete derivovt podle proměnné y, 7 f pokud víte, že y y? () -krát 4-krát 3-krát 7. Určete normálový vektor tečné roviny ke grfu funkce f (, y) v bodě A. () n = (A), f ) y (A), n = (A), f ) (A), y n = y (A), f ) (A), 8. Mějme rovnici yy 3 sin y =. Jedná se o seprovtelnou diferenciální rovnici? 9. Mějme zdnou nehomogenní lineární diferenciální rovnici + y = 4y +. Jký tvr je správný pro příslušnou homogenní lineární rovnici? () + y = + y 4y = y 4y =. Jk vypdá tvr prtikulárního řešení pro rovnici y + 8y = 3? () A B A 3 + B + C A + B + C. Vypočtěte wronskián fundmentálního systému řešení y = e, y = e. () W = e W = e W = 3e

9 Mtemtik II - testy 76. Řy 98 - Test 8 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Ke které funkci je funkce F() = rcsin ln( ) primitivní? () f () = f () = f () = 4 4. Jkou substituci použijete při výpočtu integrálu d? ln 3 () ln 3 = t ln = t ln 3 = t 3. Pltí následující vlstnost? b f ()d = b f ()d 4. Který integrál je správně po plikci metody per prtes při výpočtu π () [ cos ] π + π sin d sin d? π [ cos ] π + π [ cos ] π cos d cos d 5. Chceme vypočítt délku prboly y = n intervlu 3, 3. Jký vzth pro výpočet je správný? () π π π d + 6 d 6 d 6. Které oznčení je správné pro prciální derivci 3.řádu, která vznikne derivcí smíšené prciální derivce.řádu f podle? y () f y 3 f y 3 f y y 7. Nlezli jsme obecné řešení rovnice ve tvru y = + c. Chceme njít prtikulární řešení pro počáteční podmínku y() = 4. Jká je hodnot konstnty c? () c = c = c = 8 8. Mějme rovnici ln y y =. O jký typ diferenciální rovnice se jedná? () lineární homogenní seprovtelná 9. Určete chrkteristickou rovnici k diferenciální rovnici y + 5y =. () r + 5 = r + 5 = r + 5r =. Jk vypdá tvr prtikulárního řešení pro rovnici y + y = ( + ) sin? () (A + B) sin + (C + D) cos (A + B) sin + C cos (A + B) sin

10 Mtemtik II - testy 77. Řy 99 - Test 9 Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Ke které funkci je funkce F() = 4 + cos primitivní? () f () = 4 + sin f () = 4 sin f () = + 4 sin. Lze řešit integrál metodou? 3. Pltí následující rovnost? 3 3 ( ln )d = e 3 e d substituční + 3 d ln d 4. Kolik konstnt bude potřeb určit při rozkldu funkce R() = 4 5 n prciální + 4 zlomky? () Jký je správný vzth pro určení objemu útvru ohrničeného děm funkcemi, kde f () g(), přímkmi =, = b ( < b), který rotuje kolem osy? () b b b ( f () g ())dt (g () f ())dt ( f () g()) dt 6. Pltí následující tvrzení? Eistují-li v bodě nulové prciální derivce prvního řádu, pk není v bodě lokální etrém. 7. Kolik funkcí vyhovuje rovnici y + 4 ln = y? () jedn konečně mnoho žádná 8. Nlezli jsme obecné řešení homogenní lineární DR ve tvru y = ce po plikci metody vrice konstnty funkci c() = e + c. Jk bude vypdt obecné řešení dné lineární rovnice v úplném tvru? () y = + c y = + ce y = 9. Chrkteristická rovnice má kořeny r, =. Jk vypdá fundmentální systém řešení? () y = cos, y = sin y = e, y = e y = e, y = e. Jkou metodu zvolíte při řešení rovnice y + 4y = cos? () metodu neurčitých koeficientů metodu vrice konstnt

11 Mtemtik II - testy 78. Řy 3 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit Ostrv. Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci f () = e +? (). Jk volit funkce u () v() při výpočtu integrálu ln d? () u = ln, v = u =, v = ln u = ln, v = ln 3. Pltí pro sudou funkci následující tvrzení? f ()d = 4. Kolik konstnt bude potřeb určit při rozkldu 4 funkce R() = 3 n prciální zlomky? () Jký je správný vzth pro určení obshu útvru ohrničeného dvěm funkcemi, kde f () g(), přímkmi =, = b ( < b)? () b b b ( f () g())d (g() f ())d (g() f ())d 6. Máme rovnici y (3) + y = ln y. Kterého řádu je dná diferenciální rovnice? () třetího řádu čtvrtého řádu prvního řádu 7. Mějme rovnici + yy =. O jký typ diferenciální rovnice se jedná? () lineární homogenní ektní 8. Která z rovnic je chrkteristickou rovnicí k diferenciální rovnici y 3y =? () r 3 = r 3r = r 3 = 9. Mějme rovnici 4y + y = sin cos. Jedná se o speciální prvou strnu lze tedy k řešení využít metodu neurčitých koeficientů?