Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Transkript

1 Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4

2 Obsh Výpočet obshu rovinného obrzce 2 Výpočet objemu rotčního těles 3 Výpočet délky křivky 4 Nevlstní integrál z neohrničené funkce 5 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu 6 Obecná definice nevlstního integrálu Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 4

3 Výpočet obshu rovinného obrzce Výpočet obshu rovinného obrzce Obsh obrzce ohrničeného grfem kldné funkce f osou x n intervlu, b : S = b f (x) dx. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 4

4 Výpočet obshu rovinného obrzce Příkld Určete obsh obrzce ohrničeného grfy funkcí y = x y = x 3. Průsečíky: x = x 2 = x 3 = ( S = 2 x dx ) x 3 dx = 2 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 4

5 Výpočet obshu rovinného obrzce Obsh obrzce ohrničeného grfy funkcí f g, f (x) > g(x) n intervlu, b : S = b [f (x) g(x)] dx. Přitom nemusí n celém intervlu, b pltit f (x) nebo g(x). připočtením vhodné konstnty k oběm funkcím posuneme celou oblst nd osu x (konstnty se v integrálu odečtou) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 4

6 Výpočet obshu rovinného obrzce Příkld Určete obsh obrzce ohrničeného grfy funkcí f (x) = 2x g(x) = x 2 x. Průsečíky: x = x 2 = 3 S = 3 [ 2x (x 2 x ) ] dx = 9 2 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 4

7 Výpočet obshu rovinného obrzce Příkld Odvod te vzorec pro obsh kruhu. y = r 2 x 2 r y = r 2 x 2 x 2 + y 2 = r 2 y = ± r 2 x 2 r S = 4 r 2 x 2 dx = πr 2 [x = r sin t] Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 4

8 Příkld Výpočet obshu rovinného obrzce Nkreslete určete obshy obrzců ohrničených křivkmi: () xy = 6, x + y = 7 (b) y = 2 x, y = 2 x, y = x 2, x = (c) x y 2 b 2 = (ploch leží v I. kvdrntu) () S = 6 [ ] (7 x) 6 x dx = ln 6 (b) S = ( 2 x x ) 2 ( 2 dx + 2 x x ) 2 dx = ln ln 2 (c) S = 4 b 2 x 2 dx = πb Příkld [x = sin t] Určete k (k > ) tk, by obsh obrzce ohrničeného přímkou y = kx prbolou y = 4x x 2 měl hodnotu 9 2 [. 4 k [ (4x x 2 ) kx ] ] dx = 9 2 k = Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 4

9 Výpočet objemu rotčního těles Výpočet objemu rotčního těles Objem rotčního těles, které vznikne rotcí funkce f kolem osy x n intervlu, b : V = π b [f (x)] 2 dx. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 4

10 Příkld Výpočet objemu rotčního těles Určete objem těles vzniklého rotcí rovinného obrzce omezeného grfy funkcí f (x) = (x 2) 2 + g(x) = x + kolem osy x. V = π = π 4 4 = 7 5 g 2 (x) dx π 4 f 2 (x) dx [(x + ) 2 ((x 2) 2 + ) 2 ] dx [x 2 = t] Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4

11 Výpočet objemu rotčního těles Příkld () Určete objem rgbyového míče, který vznikne rotcí funkce y = sin x v intervlu, π. (b) Určete objem rotčního kužele o poloměru r výšce v, který vznikne rotcí úsečky o krjních bodech [, ] [v, r] kolem osy x. (c) Určete objem pneumtiky (nuloidu) o poloměru r velikosti R, která vznikne rotcí kružnice o rovnici x 2 + (y R) 2 = r 2, R > r, kolem osy x. () V = π π [sin(x)]2 dx = 2 π2 (b) V = π v ( r v x)2 dx = 3 πr 2 v (c) 2π 2 Rr 2 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4

12 Výpočet délky křivky Výpočet délky křivky Délk křivky grfu funkce f n intervlu, b : l = b + [f (x)] 2 dx. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 4

13 Výpočet délky křivky Příkld Určete délku křivky: () y = x 3, x, 4 3 [ x = t] (b) y = ln x, x 3, [ 8 + x 2 = t, ] dx = x 2 A 2 2A ln x A x+a [ ] (c) x 2 + y 2 = r 2 dx = rcsin x A 2 x 2 A () l = x dx = 27 (b) l = x 2 dx = + 2 ln 3 2 (c) l = 4 r + x 2 dx = 8 r 2 r 2 x 2 + x 2 r 2 x 2 dx = 2πr Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 4

14 Výpočet délky křivky Už umím integrovt - zkusím jednoduchý příkld Příkld Spočtěte obsh plochy pod křivkou x 2 n intervlu,. [ x 2 dx = ] = 2??! x (to je nějké divné) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 4

15 Nevlstní integrál Výpočet délky křivky Určitý integrál jsme definovli pro: konečný intervl, b ohrničenou funkci f :, b R Nevlstní integrál - některá z podmínek pro definici integrálu není splněn: Integrál z neohrničené funkce Integrál n neohrničeném intervlu. Je-li integrovná funkce f neohrničená v okolí nějkého bodu, nebo je-li některá mez integrálu nevlstní, řekneme, že f zde má singulritu. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 4

16 Výpočet délky křivky Jk to tedy mám (správně) vyřešit? Příkld Spočtěte obsh plochy pod křivkou x 2 n intervlu,. x 2 dx = 2 x 2 dx = lim t + t x 2 dx = (diverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 4

17 Nevlstní integrál z neohrničené funkce Nevlstní integrál n, b se singulritou v b Necht f je funkce definovná n intervlu, b) v levém okolí bodu b je neohrničená. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná v intervlu, t pro kždé t (, b). Potom výrz L = b t f (x) dx = lim f (x) dx t b nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu, b se singulritou v bodě b. () Existuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L R, potom říkáme, že integrál b f (x) dx konverguje je roven číslu L. (b) Neexistuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L = ± nebo limit neexistuje, potom říkáme, že integrál b f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 4

18 Nevlstní integrál z neohrničené funkce b t f (x) dx = lim f (x) dx = lim F(t) F() t b t b Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 4

19 Nevlstní integrál z neohrničené funkce Příkld Spočtěte x x 2 dx. x t dx = lim x 2 t = x 2 = t = = x x 2 dx (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 4

20 Nevlstní integrál z neohrničené funkce Nevlstní integrál n, b se singulritou v Necht f je funkce definovná n intervlu (, b v prvém okolí bodu je neohrničená. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná v intervlu t, b pro kždé t (, b). Potom výrz L = b b f (x) dx = lim f (x) dx t + t nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu, b se singulritou v bodě. () Existuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L R, potom říkáme, že integrál b f (x) dx konverguje je roven číslu L. (b) Neexistuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L = ± nebo limit neexistuje, potom říkáme, že integrál b f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 4

21 Nevlstní integrál z neohrničené funkce Příkld Spočtěte 2 x dx. 2 2 dx = lim x t + t x dx = (diverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 4

22 Nevlstní integrál z neohrničené funkce Nevlstní integrál n, b se singulritou v c Necht f je funkce definovná n intervlu, b s výjimkou bodu c, < c < b, v jehož okolí je neohrničená. Necht f je Riemnnovsky integrovtelná v intervlu, s t, b pro kždé s (, c) t (c, b). Potom výrz b f (x) dx = c b f (x) dx + f (x) dx c nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu, b se singulritou v bodě c. () Konvergují-li ob nevlstní integrály n prvé strně předchozí rovnosti, potom říkáme, že integrál b f (x) dx konverguje je roven jejich součtu. (b) Diverguje-li lespoň jeden nevlstní integrál n prvé strně předchozí rovnosti, potom říkáme, že b f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 4

23 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Nevlstní integrál n intervlu, ) Necht f je ohrničená funkce definovná n intervlu, ) Riemnnovsky integrovtelná v intervlu, t pro kždé t >. Potom výrz t L = f (x) dx = lim f (x) dx t nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu, ). () Existuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L R, potom říkáme, že integrál f (x) dx konverguje je roven číslu L. (b) Neexistuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L = ± nebo limit neexistuje, potom říkáme, že integrál f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 4

24 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu t f (x) dx = lim f (x) dx = lim F(t) F() t t Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 4

25 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Příkld Spočtěte x 2 + dx. t x 2 dx = lim + t x 2 + dx = π 2 (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 4

26 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Příkld Spočtěte sin x dx. t sin x dx = lim sin x dx = neex. t (diverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 4

27 Příkld Spočtěte Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu 3x 2 +2x 3 (x 2 +)(x+)(x+2) dx. = lim t 3x 2 + 2x 3 (x 2 + )(x + )(x + 2) dx = t [ t = lim = lim t 2x x 2 + x + x + 2 dx ln x 2 + ln x + ln x + 2 [ ln x 2 + (x + )(x + 2) ] t 2x x 2 + x + x + 2 dx ] t = ln 2 (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 4

28 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Nevlstní integrál n intervlu (, b Necht f je ohrničená funkce definovná n intervlu (, b Riemnnovsky integrovtelná v intervlu t, b pro kždé t < b. Potom výrz b b L = f (x) dx = lim f (x) dx t t nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu (, b. () Existuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L R, potom říkáme, že integrál b f (x) dx konverguje je roven číslu L. (b) Neexistuje-li vlstní limit předchozího výrzu, tj. L = ± nebo limit neexistuje, potom říkáme, že integrál b f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 4

29 Nevlstní integrál n neohrničeném intervlu Příkld Spočtěte ex dx. e x dx = lim t t e x dx = (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 4

30 Obecná definice nevlstního integrálu Obecná definice nevlstního integrálu Nevlstní integrál jsme zvedli pro funkce se singulritou jen v jedné mezi integrálu. V obecném přípdě rozdělíme integrční intervl n dílčí intervly tk, by integrovná funkce v kždém z těchto intervlů měl singulritu jen v jedné mezi. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 4

31 Obecná definice nevlstního integrálu Obecná definice nevlstního integrálu f (x) dx = d f (x) dx+ d f (x) dx+ d 2 b f (x) dx+ d 2 f (x) dx+ b f (x) dx Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 4

32 Obecná definice nevlstního integrálu Obecná definice nevlstního integrálu n, b Necht f je definovná n, b, kde může být b může být, ž n konečně mnoho bodů, v jejichž okolí je neohrničená. Necht existují čísl c < c 2 < < c n z (, b) tk, že integrály c f (x) dx, c2 c f (x) dx,..., b mjí singulritu pouze v jedné mezi. Potom výrz b f (x) dx = c f (x) dx + c2 c f (x) dx + + c n f (x) dx () b nzýváme nevlstní integrál funkce f n intervlu, b. c n f (x) dx () Konvergují-li všechny nevlstní integrály v (), potom říkáme, že integrál b f (x) dx konverguje je roven jejich součtu. (b) Diverguje-li lespoň jeden nevlstní integrál v (), potom říkáme, že b f (x) dx diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 4

33 Obecná definice nevlstního integrálu Příkld Spočtěte x 2 x 6 + dx. x 2 x x 6 + dx = 3 = t = 3 = lim t 3 t t 2 dt + lim + t 3 t t 2 + dt t 2 + dt = π 3 (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 4

34 Obecná definice nevlstního integrálu Příkld Spočtěte dx. x 2 dx x 2 = lim t + t dx t + lim x 2 t dx x 2 = π (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 4

35 Příkld Spočtěte Obecná definice nevlstního integrálu dx x(x+). = lim u + dx = x(x + ) u 2dt t 2 dt + lim + u dx + x(x + ) u 2dt t 2 + dt = π dx x(x + ) = x = t 2 (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 4

36 Obecná definice nevlstního integrálu Příkld Spočtěte 2 x 2 x+ x dx. 2 x 2 x + dx = x 2 = x dx + = 2 + lim t t =... (diverguje) 2 x dx + x(x ) + dx = x 2 dx + lim x t + 2 x dx t x dx Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 4

37 Obecná definice nevlstního integrálu Příkld Spočtěte ) obsh plochy pod křivkou x n intervlu, ). b) objem těles, které vznikne rotcí křivky x kolem osy x n intervlu, ). S = V = π t dx = lim x t t dx = lim x 2 π t x dx = x 2 dx = π (diverguje) (konverguje) Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 4

38 Obecná definice nevlstního integrálu Příkld Určete následující nevlstní integrály: () 2 x ln x dx (b) ln x dx (c) 9 3 x dx (d) xe x 2 dx (e) (f) x(x 2 +) dx e x +e x dx [ln x = t] [u = ln x, v = ] [ x = t 3 ] [ x 2 = t ] [ ] x x x 2 + [e x = t] () diverguje (b) (c) 9 2 (d) 2 (e) 2 ln 2 (f) π 2 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 4

39 Bonus Obecná definice nevlstního integrálu Co když nevlstní integrál f (x)dx diverguje? Npř. xdx = lim t t t2 xdx + lim xdx = + t 2 (diverguje). V některých přípdech můžeme tomuto integrálu přiřdit hodnotu - tzv. hlvní hodnotu integrálu (Cuchy principl vlue). p.v. t [ x 2 xdx = lim xdx = lim t t t 2 ] t t =. Tedy hlvní hodnot integrálu může existovt, i když nevlstní integrál diverguje. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 4

40 Obecná definice nevlstního integrálu Hlvní hodnot integrálu n intervlu (, ) Necht f je ohrničená funkce definovná n intervlu (, ) Riemnnovsky integrovtelná. Potom číslo L = p.v. t f (x)dx = lim f (x)dx t t nzýváme hlvní hodnotou integrálu funkce f n intervlu (, ) z předpokldu, že limit předchozího výrzu existuje je vlstní. Jink říkáme, že hlvní hodnot neexistuje. Jestliže nevlstní integrál konverguje, pk je jeho hodnot rovn hlvní hodnotě integrálu. Jestliže ) f (x) je sudá funkce b) existuje hlvní hodnot integrálu p.v. f (x)dx, pk f (x)dx konverguje jeho hodnot je rovn hlvní hodnotě integrálu. Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 4