Časová hodnota peněz ve fnančním rozhodování podnku 1.1. Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření Fnanční rozhodování podnku je ovlvněno časem. Peněžní prostředky získané dnes mají větší hodnotu než tytéž peníze získané v budoucnost. Čím dříve peníze budeme mít, tím dříve je můžeme nvestovat a nkasovat zsk např. ve formě úroku. Koruna získaná dnes má větší hodnotu, než koruna získaná zítra. Proč? Důvody jsou následující: Inflace Zhodnocení, výnos Rzko Časový faktor platí u podnkových aktvt, které mají delší horzont než 1 rok. Patří sem nejvíce oblast rozhodování o budoucích nvestcích. Současné peněžní prostředky může podnk fnančně nvestovat a okamžtě tak dostávat za to zaplaceno ve formě úrokových výnosů. Abychom mohl spočítat, o co větší hodnotu má koruna obdržená dnes než koruna obdržená pozděj, musíme se nejprve seznámt s pojmy úročení a současná hodnota. 1
Úročtel Ilustrujme s postup oceňování našeho vkladu na jednoduchém příkladu: Představme s, že vám váš strýček předložl následující nabídku. Když mu půjčíte 1000 EUR, vrátí vám přesně za rok 1100 EUR. Předpokládejme, že strýčkově slbu lze plně důvěřovat a že s vaší zápůjčkou není spojena žádná nejstota. Buď se vám bude zdát nabídka výhodná a půjčíte strýčkov 1000 EUR, nebo mu půjčt odmítnete. Pro co by jste se rozhodl vy? Př analýze takto předložené stuace je v prvním kroku nutné znát výnos z možné půjčky tj: HB = HP*(1 + ) = 1000*(1+0,1) = 1100 EUR = 1100 / 1000 1 = 0,1 = 10% HB budoucí hodnota HP - počáteční hodnota - úroková sazba Půjčíte-l strýčkov peníze, vyděláte ze rok 10%. Ve druhém kroku musíte zvážt, kam jnam byste mohl oněch 1000 EUR vložt, tj. jaké je alternatvní použtí vašch 1000 EUR. Výnos rzko musí být př nvestčním rozhodování posuzovány současně. S vaší nvestcí není spojeno praktcky žádné rzko nesplacení. Proto př hodnocení toho, zda 10% je hodně nebo málo, byste měl vycházet z údajů o výnosech na fnančních trzích, které jsou rovněž bezrzkové, těm jsou nejčastěj státní cenné papíry. Dalším faktorem, který je nutno do hodnocení zahrnout je čas, 10% výnos je výnos roční, proto př vyhledávání výnosů stáních cenných papírů je třeba vycházet ze státních cenných papírů, které jsou emtovány pouze na dobu jednoho roku. V České republce v roce 2008 ční roční výnos bezrzkových cenných papírů tj. státních dluhopsů 3,8%. Strýčkova nabídka 10% se tedy za předpokladu bezrzkovost a roční splatnost ukazuje jako velm štědrá. Obdobný postup je př exstenc rzka. Za této stuace se opět vychází z dostupných výnosů na fnančních trzích, se kterým je ale spojeno přblžně stejné rzko. Jedná se např. o frmy hodnocené stejným ratngem. 2
Odúročtel Postupujme podobně jako př výpočtu výnosu, ale hledejme nyní částku, kterou bychom musel dnes mít a nvestovat na daný alternatvní výnos tj. současnou hodnotu, když známe budoucí hodnotu, včetně výnosu. Protože výnos z bezrzkového aktva např. u státních pokladnčních poukázek ční 2,45% a protože známe budoucí hodnotu 1100 EUR, potom výpočet současné hodnoty je: Známe budoucí hodnotu 1100 EUR HB a zjšťujeme hodnotu součastnou HS. HS = HB * 1 / (1+*n) 1100 = HS * (1 + 0,0245) HS = 1100 / 1,0245 = 1 073,7 EUR. HS = 1 073,7 EUR n počet let Pokud by strýček potřebovat půjčt na fnančních trzích 1100 EUR na jeden rok, musel by zaplatt pouze 1000 * 1,0245 = 1024,5 EUR. U strýčka tedy exstuje určtá překážka, která mu znemožňuje vstoupt na fnanční trhy, kde by s mohl půjčt levněj tj. za 1024,5 EUR, místo za 1073,7 EUR. Jednoduché úročení Př jednoduchém úročení se počítá úrok vždy z původní vložené částky. Např. př 4% úroku na 5 let budeme úročt hodnotu 1000 EUR. Parametry 1. rok 2. rok 3. rok 4. rok 5. rok Úrok 40 Kč 40 Kč 40 Kč 40 Kč 40 Kč Celková částka 1 040 Kč 1 080 Kč 1 120 Kč 1 160 Kč 1 200 Kč Formalzace předchozího výsledku bude následující. Označíme-l: - úrokovou sazbu v desetnném vyjádření P 0 - částku určenou k uložení na účet na začátku období (tj. pro čas t = 0), n - počet období pak platí: 3
P 1 = P 0 + P 0 * P 2 = P 0 + P 0 * * 2 P t = P 0 + P 0 * * t P o =1000 Kč P 1 =1040 Kč P 2 =1080 Kč P 3 =1120 Kč P 4 =1160 Kč P 5 =1200 Kč t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 Jak je patrné z časové osy, k okamžku, kdy uložíme na bankovní účet částku 1000,- Kč, začíná se částka úročt. P 0 současná hodnota, P 1 až P 5 - hodnoty budoucí Časová osa směřuje zleva doprava. To znamená, že nyní známe současnou hodnotu, kterou je 1000 EUR ukládaných na úročený bankovní účet. Neznámé jsou budoucí hodnoty současných 1000 EUR. Po časové ose se můžeme pohybovat obráceným směrem. Známe např., že za 5 let obdržíme 1200 EUR. Uzavíráme tedy smlouvu, která nám slbuje za 5 let přnést 1200 EUR. Kolk budeme dnes ochotn za tuto smlouvu zaplatt? Př přepočtech mez současným a budoucím hodnotam je vždy nutné kalkulovat s alternatvním výnosem na fnančních trzích. Předpokládejme tedy úrokovou sazbu 4%. Současná hodnota odúročtel Od budoucí hodnoty k hodnotě současné Budoucí hodnota úročtel P 5 =1200 P o =??? EUR t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 Otázka typu Kolk by jste byl ochotn zaplatt za 1 200 EUR, které získáte za 5 let? je otázkou po současné hodnotě částky 1 200 EUR. Víme-l že platí: 4
P t = P 0 + P 0 * * t = P 0 * /1 + / t 1 Potom hledáme P 0 = P t * (1 + * t) 1 1200 P 0 = 1200 * (1+0,04*5) = 1,2 = 1000 EUR Současná hodnota za kterou získáme 1200 EUR za 5 let je ve výš 1000 EUR. Pokud ze současných hodnot počítáme hodnoty budoucí, využíváme prncpu úročení. Pokud opačně, tj. když z budoucích hodnot kalkulujeme hodnoty současné, tak využíváme prncpu odúročení (dskontování). Úročení jednoduché Odúročení (dskontování) jednoduché P t = P 0 + P 0 * * t 1 P 0 = P t * (1 + * t) Pt budoucí hodnota P0 počáteční hodnota úroková sazba t počet let Složené úročení Úročtel O složeném úročení hovoříme v případě, kdy se úročí jak původní částka, tak přpsané úroky. Celkový stav bankovního účtu po jednom roce zůstává př obou typech úročení shodný, a to 1040,- Kč. Následující rok se ale lší v tom, že úročena není pouze původní částka 1000,- Kč, ale 1040,- Kč. Na účtu tedy bude: 1040 + 1040 * 0,04 tj. 1081,60 Kč. P 1 = P 0 * (1+) (BH)P t = (SH)P 0 * (1+) t t počet let úroková sazba 5 Budoucí
Porovnejme nyní, jak se bude vyvíjet úročení v jednotlvých letech př obou typech úročení: Parametry 0. rok 1. rok 2. rok 3. rok 4. rok 5. rok Jednoduché úročení 1000 1040 1080 1120 1160 1200 Složené úročení 1000 1040 1081,6 1124,9 1169,9 1216,7 Na tomto případě vdíme, který způsob úročení vede k rychlejšímu nárůstu částky na účtu. V případě jednoduchého úročení roste částka lneárně (jde o lneární funkc), př úročení složeném roste částka exponencálně (jedná se o exponencální funkc). V našem případě, kdy úroková sazba není přílš vysoká, není rozdíl zase tak velký. Ncméně s růstem původní částky, s růstem úrokových sazeb a s růstem období se budou rozdíly zvyšovat. Úročení vícekrát ročně V rámc složeného úročení je nutné ještě zmínt stuac, kdy jsou úroky přpsovány častěj než pouze na konc každého ročního období. Pokud úrok budeme vyplácet např. měsíčně, potom po prvním měsíc dostaneme: P 1/12 = P 0 * (1+ 12) Na konc celého roku bude celková částka čnt: P 12/12 = P 0 *(1+ / 12) 12 Budou-l v rámc jednoho období úroky přpsovány m-krát, potom na konc roku bude celková částka P t na účtu následující: P t = P 0 * (1+ m ) m *t 6
Skutečná výnosová míra za dané (v našem případě roční) období se nazývá efektvní úroková míra. Pokud se bude rovnoměrně m-krát v roce přpsovat k úročené částce m-tna úroku, efektvní roční úroková sazba e bude: e = (1 + / m) m 1 Spojté úročení Jž víme, že pokud stejná část úroku v průběhu roku přpsována k úročené částce, tak konečná hodnota na konc roku bude: P t = P 0 * (1+ m ) m Budeme-l př stejné frekvenc přpsování část úroků k úročené částce pokračovat v dalších období, pak pro období v čase t platí: P t = P 0 * (1+ m ) mt Poněkud obtížně představtelná může být stuace, kdy úroky budou přpsovány nekonečně častokrát (každou mnutu, každou sekundu, každou mlsekundu ). To by znamenalo, že m se blíží nekonečnu. lm (1 + m ) mt = e t Výsledkem je e t, kde e je tzv. Eulerovo číslo a rovná se přblžně 2,71828. Př tomto způsobu přpsování úroků (spojtém) se původní částka nebude úročt výrazem (1 + ), ale velčnou rovnou výrazu e t. Tomuto způsobu úročení se říká spojté úročení. Pro vztah př kalkulac budoucí hodnoty platí: P t = P 0 * e t Pro výpočet současné hodnoty platí: P 0 = P t * e -t 7
Zůstaňme u našeho příkladu s 1000 Kč. Kolk bychom měl na účtu za 5 let př spojtém úročení př úrokové sazbě 4% p.a.? P t = P 0 * e t = 1000 * e 0,04*5 = 1 221,4 Kč Př porovnání s výsledkem pro jednoduché úročení 1 200,- Kč a s výsledkem pro složené úročení tj. 1 216,7 Kč, je vdět, že spojté úročení vede ještě k vyšším výnosům, než úročení složené. Př výpočtu současné hodnoty tj. př opačném postupu postupujeme: P 0 = P t * e -t = 1 221,4 * e -0,04*5 = 1 000 Kč Příklad: Roční úroková míra ční 10% (tj. 10% p.a.) Bankovní ústav přpsuje úroky k úročené částce každý den. Jaká bude roční efektvní úroková míra? Jaká by byla úroková míra př kvartálním přpsování úroků? Jaká bude úroková míra př denním přpsování úroků? Jaká bude úroková míra př spojtém úročení? Jak velká částka by byla na účtech za 10 let př uvážení všech čtyřech typů přpsování úroků? Za deset let by všechny tř úrokové sazby čnly: e 1,10-1 = (1 + 0,1) 10 1 = 1,5937 e 4,10-1 = (1 + 0,1/4) 4*10 1 = 1,6857 e 365,10-1 = (1 + 0,1/365) 365*10 1 = 1,7179 e e - 1 = e 0,1*10 1 = 1,7173 Za deset let by úročená částka př přpsování úroků vždy ke konc období vzrostla o 159,37%, v případě kvartálního přpsování úroků o 168,51% a o 171,79% př každodenním přpsování. Př spojtém úročení by úročená částka vzrostla o 171,83%. Jak je z výsledků vdět, rozdíly mez každodenním úročením a úročením spojtým nejsou př 10% p.a. úrokové sazbě přílš velké. 8
Př jakém rozhodování používáme faktor času? 1) Př rozhodování o nvestcích se posuzuje efektvnost jednotlvých nvestčních varant s různou dobou žvotnost. Čím delší doba výstavby, tím déle jsou peněžní prostředky umrtveny, nepřnášejí žádné efekty, an v podobě nejnžších depoztních úroky. Také výnosy během doby žvotnost je třeba posuzovat z hledska času: očekávané výnosy v budoucnost jsou méně hodnotné než výnosy získané okamžtě. 2) Př kalkulac výhodnost jednotlvých forem fnancování fxního majetku př hledání optmální kaptálové struktury např. pomocí vlastního kaptálu, úvaru oblgací č pomocí leasngu se srovnávají náklady, které souvsí s použtím různých druhů kaptálu po dobu žvotnost např. úrokové náklady z úvaru, nájemné př leasngové formě fnancování. Tyto náklady jsou vynakládány v jednotlvých letech žvotnost, je nezbytné jejch úroveň aktualzovat, tj. převést na současnou hodnotu. 3) Př stanovení prodejní, č nákupní ceny podnku, nebo jeho jednotlvých složek konkrétní tržní cena je ovlvněna poptávkou a nabídkou na trhu. Jedna z metod aktualzované hodnoty majetku se opírá o kaptalzac výnosů během určté doby jejíž trvání ovlvňuje tržní cenu. Jaké známe metody pro vyjádření faktoru času? Jsou to metody složeného úrokování. 1) Budoucí hodnota jednorázového vkladu úročtel 2) Současná hodnota peněz odúročtel 3) Budoucí hodnota pravdelných plateb (anuty) střadatel 4) Budoucí platba pro dosažení budoucí hodnoty fondovatel 5) Kaptálová obnova (pravdelné splácení kaptálu) - umořovatel 6) Současná hodnota budoucích plateb (anuty) - zásobtel 9
1) Budoucí hodnota jednorázového vkladu - Úročtel Př složeném úrokování (kdy se úrok počítá nejen z vkladů, ale z dosud přpsaných úroků se stanoví pomocí úročtele: HB = HS * (1+ ) n HB hodnota konečná (budoucí hodnota) HS - hodnota počáteční (jstna) - úroková míra n (t) - počet let Hodnoty úročtele (1 + ) n najdete v tabulkách složeného úrokování pro různou výš úrokové míry a různý počet let.budoucí hodnota peněz se používá ke všem propočtům, kde se zachycuje růst o stejné procento (např. budoucí hodnota vkladů podnku na účtu v bance, hodnota nvestčních vkladů s ohledem na faktor času apod.) Příklad: Akcová společnost Metrostav ve svém fnančním plánu na 5 let předpokládá, že se pokusí zajstt pravdelný růst dvdendy o 7% ročně. Stávající dvdenda, vyplácená akconářům ční Kč 250,-. Jaká bude výše dvdendy v 5. roce? Hk = 250 (1+0,07) 5 = 250 x 1,403 = 351 Kč Dvdenda v 5. roce se 7% ročním růstem bude mít hodnotu 351,- Kč. 2) Současná hodnota peněz (dskontovaná hodnota) odúročtel 1 HS = HB * ( 1 + ) n HS hodnota současná HB - hodnota budoucí - úroková míra n (t) - počet let 10
Odúročtel nebol dskont se používá tam, kde je třeba budoucí příjem nebo výnos převést na současnou hodnotu ( např. př stanovení současné hodnoty budoucích příjmů z nvestc, př určení ceny majetku z očekávaných příjmů apod. 3) Budoucí hodnota pravdelných plateb - Střadatel (1 + ) n - 1 HB = A * HB - celková výše úspor A - částka pravdelných úspor (anuta) Pomocí střadatele se určuje celková budoucí hodnota pravdelných vkladů (úspor) včetně úroků na určté období. Předpokládá se, že se pravdelné částky pravdelně ukládají koncem každého roku. Určí nám kolk naspoříme, budeme-l pravdelně spořt určtou částku peněz. Používá se pro: stanovení výše rezervních fondů, určení konečné hodnoty pravdelných úspor, výpočet hodnoty pravdelně vkládaných peněžních prostředků do nvestc apod. 4) Fondovatel Pravdelná platba pro dosažení budoucí hodnoty A = HB * (1 + ) n - 1 Pomocí fondovatele určíme současnou hodnotu pravdelných vkladů koncem každého období, zajšťující požadovanou konečnou hodnotu. 11
Nebo-l kolk musíme pravdelně spořt, abychom naspořl požadovanou částku peněz. 5) Umořovatel Kaptálová obnova Nebo-l anutní splácení úvěru a placení úrokových plateb. K = U * (1+ ) n (1+ ) n - 1 K roční splátka úvěru a úroků U - poskytnutý úvěr Pomocí umořovatele se umořuje výše pravdelných splátek (úmor) a úrokových plateb z dosud nezaplaceného úvěru. Dá se také využít pro výpočet ročních odpsů a úroku př propočtu efektvnost nvestc pomocí metody ročních nákladů. Můžeme také využít pro výpočet splátek u hypotéčního, nebo nvestčního úvěru. 6) Zásobtel Současná hodnota pravdelných budoucích plateb nebo výnosů (1 + ) n - 1 HS = HB * *(1 + ) n HS částka, která zajšťuje budoucí výnos HB pravdelný budoucí výnos Významem je tento vzorec podobný odúročtel, pokud hodnota budoucích výnosů je každý rok ve stejné výš. Zásobtel se používá pro: výpočty současné hodnoty pravdelných budoucích výnosů během určté doby, 12
výpočet dskontovaných provozních nákladů nvestční varanty, jestl-že jsou roční náklady stejné pro výpočet vntřního výnosového procenta př pravdelných peněžních příjmech z nvestce apod. 13