SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ŠKOLNÍ ROK 2014/2015

Obsah Úvodem... 3 1 Dělitelnost přirozených čísel... 4 2 Obvody a obsahy rovinných útvarů... 6 3 Lineární rovnice... 8 4 Pythagorova věta... 10 5 Mocniny a odmocniny... 12 6 Racionální čísla... 14 7 Převody jednotek... 16 8 Konstrukční úlohy... 18 9 Tělesa... 21 10 Slovní úlohy... 24 11 Poměr, úměra, procenta... 27 12 Výrazy... 29 Na závěr... 31

Úvodem Milí deváťáci a deváťačky! (možná i někteří mladší) Uvažujete o studiu na SPŠ strojní a stavební v Táboře? To jsme rádi, i my si myslíme, že je to dobrá škola, proto tu taky jsme Asi víte, že od letošního roku se na všechny studijní obory všech středních škol dělají povinné přijímací zkoušky. Na naši školu to bude písemný test z matematiky, jehož výsledky se přičtou k bodům za prospěch na konci 8. a v pololetí 9. třídy. Není to nic hrozného, ještě před 5 lety se přijímačky běžně konaly. A když to zvládli žáci tehdy, zvládnete to taky! Koneckonců, s matematikou se během studia u nás budete často potkávat, na ZŠ vám nedělá problémy, proto se taky hlásíte na školu našeho typu. Ale jako ve sportu: kdo chce mít dobré výsledky, musí trénovat. Proto jsme pro vás připravili malou sbírku typických úloh, které byste měli zvládnout. Vypočítejte si je, podobné vás mohou potkat u přijímacích zkoušek. 11. ledna, při našem druhém dni otevřených dveří, si můžete přijít vyzkoušet, jak máte natrénováno: uspořádáme pro vás tzv. přijímačky nanečisto. Hodně úspěchů v poctivé přípravě a štěstí u vlastní zkoušky vám přeje matematická sekce komise přírodních věd 3

1 Dělitelnost přirozených čísel Co by měl žák umět o znaky dělitelnosti čísel a použít je o rozeznat prvočíslo a číslo složené o rozložit přirozené číslo na součin prvočinitelů o určit největšího společného dělitele dvou, tří, čtyř přirozených čísel o určit nejmenší společný násobek dvou, tří, čtyř přirozených čísel o řešit slovní úlohy vedoucí k určení a přirozených čísel Ukázkový příklad Při vystoupení taneční skupiny vytvářejí tanečníci pětistupy, šestistupy, čtyřstupy a trojstupy. Jaký musí být nejmenší počet tanečníků? Řešení: Tanečníci tvoří: pěti, šesti, čtyř a troj stupy, z toho plyne, že celkový počet tanečníků musí být beze zbytku dělitelný: pěti, šesti, čtyřmi i třemi. Obráceně tedy - celkový počet tanečníků je společný násobek čísel: : Nejmenší počet tanečníků je tedy 60. 4

Další příklady 1/ Najdi nejmenší společný násobek čísel a největšího společného dělitele čísel. 2/ Doplň vynechanou číslici tak, aby číslo bylo dělitelné čtyřmi. Uveď všechny možnosti: 3/ Klempíř měl rozstříhat pás plechu o rozměrech a na co největší čtverce tak, aby nevznikl žádný odpad. Vypočítej délku strany jednoho čtverce. Kolik čtverců nastříhal? 4/ Tři parníky vypluly ze stejného přístavu ve stejnou dobu na své trasy. První se vracel do tohoto přístavu třetí den, druhý se vracel čtvrtý den a třetí se vracel šestý den. Kolikátý den od vyplutí nejdříve se opět všechny v tomto přístavu setkaly? 5/ Švadlena odhadla počet metrů v balíku látky asi na. Pak zjistila, že může beze zbytku nastříhat látku buď na kostýmy po nebo na šaty po nebo na haleny po. Kolik bylo látky v balíku? (Hol) 5

2 Obvody a obsahy rovinných útvarů Co by měl žák umět o znát a umět používat Pythagorovu větu o znát a umět používat základní vzorce pro obvod rovinných útvarů o znát a umět používat základní vzorce pro obsah rovinných útvarů o vyjádřit neznámou ze vzorce Ukázkový příklad V obdélníku je vzdálenost jeho středu od přímky AB o větší než od přímky. Obvod obdélníku je. Urči rozměry obdélníku. Řešení: Rozměry obdélníku jsou a. 6

Další příklady 1/ Čtverec má úhlopříčku. Vypočítej jeho obvod. 2/ Vypočítej délku úhlopříčky a délku ramene v rovnoramenném lichoběžníku, který má základny, a výšku. 3/ Klempíř měl zhotovit trubku s průměrem. Mohl ji zhotovit z plechového obdélníku s rozměry a? 4/ Výška trojúhelníku příslušná ke straně má délku a dělí stranu na dvě části o délkách a. Vypočítej obvod trojúhelníku. 5/ Obvod rovnoběžníku je, délka jedné strany je. Vypočítej délku druhé strany a obsah rovnoběžníku, je-li výška na delší straně. (Hol) 7

3 Lineární rovnice Co by měl žák umět o umět úpravy používané při řešení rovnic (tzv. ekvivalentní úpravy) o znát možné speciální výsledky rovnice (nekonečně mnoho řešení, žádné řešení) Ukázkový příklad Řešení: 1) Každý člen rovnice násobíme pouze jednou. 2) Roznásobíme závorky 3) Zapíšeme výsledek Zk.: Levá strana se rovná pravé, zkouška nám vyšla. 8

Další příklady 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (Ste) 9

4 Pythagorova věta Co by měl žák umět o znát Pythagorovu větu o umět použít Pythagorovu větu pro výpočet třetí strany pravoúhlého trojúhelníku, zná-li zbylé dvě Ukázkový příklad Strana čtverce měří. Vypočítejte, o kolik % je úhlopříčka tohoto čtverce větší než jeho strana. Řešení: 10 Úhlopříčka je tedy větší o.

Další příklady 1/ Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech a má výšku. Vypočítejte: a) Velikost úhlopříčky podstavy b) Velikost tělesové úhlopříčky 2/ Král smrků v pralese Boubín na Šumavě rostl šikmo. Jeho vychýlení od svislé osy činilo, rostl do výšky. Jak dlouhý byl jeho kmen? 3/ Do kružnice je vepsán čtverec. Vypočítejte jeho stranu. 4/ Žebřík dlouhý je spodním koncem opřen od zdi. Do jaké výšky dosahuje na zdi horní konec žebříku? 5/ Chodník obchází park do pravého úhlu a má délky a. Město se rozhodlo, že zkratku po přeponě vyasfaltuje. O kolik metrů bude cesta kratší? (Ste) 11

5 Mocniny a odmocniny Co by měl žák umět o znát pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem a mocnitelem nula (násobení, dělení, umocňování mocnin) o znát pravidla pro počítání s odmocninami o umět bez kalkulačky druhé a třetí mocniny a odmocniny některých přirozených čísel ( ; ; ; o umět zapsat číslo pomocí zápisu Ukázkový příklad Řešení: Při umocňování mocniny se mocnitelé násobí Při násobení mocnin o stejném základu se mocnitelé sčítají Při krácení (dělení) mocnin se stejným základem se mocnitelé odečítají 12

Další příklady 1/ Vypočítejte: 2/ Zjednodušte: 3/ Určete bez použití kalkulačky: = 4/ Zapište ve tvaru jediné mocniny (odmocniny): 5/ Zapište čísla pomocí zápisu, kde : 13 (Kol)

6 Racionální čísla Co by měl žák umět o pojmy: přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, navzájem opačná čísla, převrácená čísla (resp. převrácené hodnoty) o pořadí provádění početních operací a způsob odstraňování závorek o počítání s číselnými zlomky (tzn. sčítání, odčítání, násobení, dělení), krácení a rozšiřování zlomků, složené zlomky, smíšená čísla, základní tvar zlomku o počítání s desetinnými čísly, vztah mezi zlomkem a desetinným číslem Ukázkový příklad Řešení: 14

Další příklady 1/ Určete: a) opačné číslo k číslu b) převrácené číslo k číslu 2/ Vypočítejte: 3/ Který zlomek je větší, nebo? O kolik? 4/ Vypočítejte a výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku: 5/ Vypočítejte a výsledek vyjádřete zlomkem v základním tvaru: 15 (For)

7 Převody jednotek Co by měl žák umět o veličiny a jejich jednotky probírané ve fyzice na ZŠ o násobné a dílčí předpony před názvem jednotek o převod jednotek v desítkové soustavě pohybem desetinné čárky, příp. zápisem čísel ve tvaru kde (viz. kapitola mocniny a odmocniny) o převody jednotek obsahu a objemu (např. odvozením z převodů jednotek délky zdvojnásobením, resp. ztrojnásobením počtu desetinných míst, o které posouváme ) o převody jednotek času (tzn. v šedesátkové soustavě) o převody jednotek hustoty, rychlosti, apod. o převod jednotek zapsaných zlomkem do zápisu součinu se záporným mocnitelem Ukázkový příklad Převeďte: Řešení: 16

Další příklady 1/ Převeďte na uvedené jednotky 2/ Převeďte na uvedené jednotky a) b) 3/ Převeďte na uvedené jednotky a) b) c) d) 4/ Převeďte na uvedené jednotky a) b) 5/ Převeďte na uvedené jednotky a) b) c) d) 17 (For)

8 Konstrukční úlohy Co by měl žák umět o náležitosti konstrukčních úloh: náčrt útvaru s rozborem vlastností, zápis konstrukce /postup/, vlastní konstrukce, diskuze/počet řešení/ popř. kontrola o konstrukce základních geometrických útvarů (osa úsečky, kružnice opsaná a vepsaná, rozdělení úsečky v poměru, ) o znalost základních geometrických pojmů a jejich vlastností Ukázkový příklad Sestrojte trojúhelník, znáte-li velikost strany, velikost těžnice a velikost těžnice. Řešení: Nejdůležitější částí úlohy je náčrtek a rozbor. V něm určíme, kde budou hledané body ležet. V rozboru neuvádíme konkrétní hodnoty, užíváme symboly. Náčrtek: Rozbor: 18

Popis konstrukce: Zapíšeme, co rýsujeme a jak rýsujeme. Nyní uvádíme konkrétní hodnoty. 1) 8) 2) 9) 3) 10) 4) 11) 5) 12) 6) 13) 7) 14) Vše rýsujeme tenkou plnou čarou. Výsledný obrázek zvýrazníme silnější čarou. Konstrukce: Diskuse o počtu řešení: Úloha má ve zvolené polorovině právě jedno řešení. Pokud má úloha více řešení, musíme narýsovat všechny. 19

Další příklady 1/ Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: 2/ Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: 3/ Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: 4/ Sestrojte trojúhelník, je-li dáno: poloměr kružnice opsané. 5/ Sestrojte kosočtverec, je-li dána velikost strany, a velikost úhlopříčky. (Noj) 20

9 Tělesa Co by měl žák umět S tělesy se setkáváme v běžném životě, jak uvidíte z následujících úloh. o vždy si musíte ujasnit, v jakých jednotkách budete úlohu řešit. o než napíšete odpověď na položenou otázku, zamyslete se nad její smysluplností. (Když například odpovíte, že 300 litrů vody nalité do 340 litrového sudu zaplní 0,088 % jeho objemu, jste poněkud mimo ) o také při zaokrouhlování se řídíme nejen matematickým pravidlem, ale i zdravým rozumem. Ukázkový příklad Do sudu ve tvaru válce s poloměrem podstavy a výškou bylo nalito vody. Kolik procent objemu sudu voda vyplnila? (Výsledek zaokrouhlete na celé číslo) Řešení: Úlohu budeme řešit v litrech ( ) Objem sudu: (zaokrouhlíme na 340 litrů) 21

Trojčlenka Voda vyplnila přibližně objemu sudu. (Pokud nepřevedete na, objem vypočítáte v, dosadíte do trojčlenky s, dostanete se k výsledku. Porovnání s pouhým odhadem by vás mělo upozornit na chybu!) Další příklady 1/ Krychle na obrázku má stranu velikosti. Určete obsah obdélníku. Výsledek zaokrouhlete na celé číslo. 22

2/ Zahradní bazén má dno ve tvaru kruhu o průměru. Jeho výška je, ale napuštěná voda dosahuje pod horní okraj. Kolik dekagramů přípravku na úpravu vody musíme nasypat, je-li dávkování přibližně na vody? (Zaokrouhlete na celé číslo) 3/ Písek je uložen ve dvou plných přepravkách. První má tvar kvádru o rozměrech x x, druhá x x. Určete nejmenší možnou výšku přepravky se čtvercovým dnem o rozměrech x, do které sesypeme písek z obou přepravek. Výsledek zaokrouhlete na desítky centimetrů. 4/ Vnitřní stěny zahradního zapuštěného betonového bazénu, který má tvaru kvádru o rozměrech dna x a výšce, mají být natřeny ochranným nátěrem. Kolik litrových balení musíte koupit, když výrobce udává spotřebu na? 5/ Kolik betonových sloupků na plot o rozměrech x x můžeme naložit najednou na přívěsný vozík s nosností? Hustota betonu je přibližně. (Noj) 23

10 Slovní úlohy Co by měl žák umět o řešit slovní úlohy vedoucí na lineární rovnici o jedné neznámé o řešit slovní úlohy vedoucí na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých o řešit slovní úlohy o pohybu, řešit slovní úlohy o společné práci o pozorně si přečíst zadání a označit neznámou (neznámé) o zapsat jednotlivé informace ze zadání jako matematické výrazy o sestavit rovnici (rovnice) a vyřešit ji o provést zkoušku dosazením do zadání a ověřit si, zda vypočítaný výsledek dává smysl, zapsat logicky správnou odpověď Ukázkový příklad Stádo mamutů při putování za potravou ušlo za tři dny. Druhý den ušlo dvakrát více než první den. Třetí den o méně než druhý den. Kolik ušli mamuti třetí den? Řešení: první den... druhý den... třetí den... celkem... první den... druhý den... třetí den... celkem... Třetí den ušli mamuti 24

Další příklady 1/ Během války v Afghánistánu přivezli Američané do země dálkově řízené protitankové střely. První rok odpálili na teroristy polovinu z dovezeného množství, druhý rok tři čtvrtiny zbytku a na třetí rok jim zbylo ještě 120 řízených protitankových střel. Kolik dálkově řízených protitankových střel Američané do Afghánistánu přivezli? a) 840 střel b) 960 střel c) 1020 střel d) úloha nemá řešení 2/ Do táborského Kauflandu přivezli 50 čtvrtkilových balení másla dvojího druhu. Levnější máslo z Polska stálo 29 Kč, dražší biomáslo z jižních Čech bylo za 31 Kč za balení. Kolik kterého másla bylo v dodávce, jestliže její celková cena byla 1494 Kč? a) jsem vegan, máslo nejím b) každého másla bylo 25 balení c) levnějšího másla 22 balení, dražšího 28 balení d) levnějšího másla 28 balení, dražšího 22 balení e) neumím úlohu vyřešit, takže se vymluvím učiteli, že do Kauflandu nechodím 3/ Výkopové práce zajišťovalo devět lidí, kteří, jak to tak v životě chodí, mají dvojí výkonnost pracovití a líní. Všichni dohromady vyhloubili za jeden den 420 metrů výkopu. Kolik bylo kterých, jestliže pracovitější člověk vyhloubí za týden (7 dní) 420 metrů výkopu a líný za stejnou dobu 280 metrů výkopu? 25

4/ V Sezimově Ústí došlo k loupeži. Zloděj prchal z místa činu na kole směrem na Soběslav rychlostí. Mezitím občané nahlásili vše na policii a začalo vyšetřování. Pes Ron zachytil stopu a běžel za prchajícím zlodějem, ale vyrazil až 2,5 hodiny po krádeži. Kapitán Ptáček mu vydal rozkaz Rone, abych dostal prémie, musíš dostihnout zloděje za 45 minut. Jakou rychlostí musí Ron běžet, aby splnil rozkaz? a) b) c) d) e) 5/ V Bradavicích se dějí věci. Kouzla nefungují, protože národ skřetů, který chce zotročit všechny obyvatele Bradavic, má funkční odkouzlovátor. Hradby na obranu před skřety je tedy nutné postavit ručně. Lord Voldemort společně s učedníkem Harry Potterem postaví svůj úsek hradby za 20 hodin. Lord se před Harrym vytahuje: Kdybych tuto hradbu stavěl sám, tak by byla hotová za 30 hodin. Jak dlouho by stejnou hradbu stavěl samotný učedník Harry Potter? a). b). c). d). e) Harry se raději nechá zotročit skřety, než aby sám pracoval 26 (Pas)

11 Poměr, úměra, procenta Co by měl žák umět o pozorně si přečíst zadání o u procent pochopit, co je základ, procentová část a počet procent o jednoduché úlohy řešit zpaměti přes 1 procento o řešit procenta trojčlenkou jako přímou úměru o rozlišit přímou a nepřímou úměru o řešit nepřímou úměru úvahou nebo pomocí trojčlenky o u slovních úloh napsat logicky správnou odpověď Ukázkový příklad Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka, je-li jejich poměr. Řešení: Součet vnitřních úhlů trojúhelníka je. dílů 1 díl... 12 dílů... 15 dílů... 9 dílů... Zk.: Velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka jsou. 27

Další příklady 1/ Vytrvalostního závodu v běhu se zúčastnilo 75 závodníků, 25% trasy běželi polní cestou, trasy vedlo lesem a zbývajících podél řeky. Kolik kilometrů měřil závod? a) b) c) d) 2/ V trojúhelníku ABC jsou úhly v poměru. Velikost úhlu a) b) je: c) d) 3/ Z plné nádrže vody bylo vypuštěno 60% objemu nádrže a potom 25% zbytku. Kolik % vody zůstalo v nádrži? a) b) c) d) 4/ Tomáš, který udělá 120 kroků po za minutu, dojde z města na zastávku za 55 minut. Vzdálenost zastávky je: 5/ Určete měřítko mapy, jestliže na mapě představuje ve skutečnosti. 28 (Pas)

12 Výrazy Co by měl žák umět o uvědomit si rozdíl mezi konstantou /číslem/ a proměnnou o zopakovat si: co vše může obsahovat výraz o pojmy opačný výraz, hodnota výrazu, členy výrazu o sčítání a odečítání výrazů o násobení výrazů /jednočlenů a mnohočlenů/, vytýkání před závorku o vzorce, rozklady výrazů na součin o lomené výrazy, podmínky platnosti, úpravy lomených výrazů - krácení Ukázkový příklad Zjednodušte následující výraz, stanovte podmínky platnosti: Řešení: Upravíme čitatele: uvnitř závorky lze zaměnit pořadí sčítanců, zbylé dva členy tvoří známý dvojčlen vzorec. Jmenovatele upravíme vytýkáním. V tuto chvíli nelze krátit!!! V čitateli je součet, nikoliv součin. Z obou částí čitatele vytkneme společný dvojčlen/ čitatel je převeden tímto na tvar součinu/, také jmenovatel dále rozepíšeme na součin. Podmínky /z celého průběhu řešení/: jmenovatel byl upraven na součin, žádný z jeho činitelů nesmí být roven 0 29

Další příklady 1/ Výraz : a) nelze zjednodušit b) je roven c) je roven d) je roven 2/ Při úpravě výrazu vyšel Markétě výsledek, Petrovi, Simoně a) Simona b) Petr. Správný výsledek má: c) Markéta d) žádný z nich 3/ Zjednodušte následující výraz a vypočtěte jeho hodnotu pro : a) b) c) d) žádná z možností 4/ Upravte na součin: 5/ Vypočtěte, udejte podmínky platnosti: (Tra) 30

Na závěr Zvládli jste všechny příklady? Výborně, těšíme se na vás! U vlastní zkoušky počítejte s trochou nervozity, řešte klidně v libovolném pořadí příkladů. Začněte tím, který se vám zdá být nejlehčí. Dobře si přečtěte zadání a zamyslete se, jak postupovat. Pokud se do některého příkladu zamotáte, raději neztrácejte čas a přejděte na jiný, na konci se k nedořešenému můžete vrátit. Odpovězte na vše, na co se vás v zadání ptají. A nezapomeňte na závěrečnou kontrolu. Měli jste s řešením některé kapitoly problémy? Ještě je čas je odstranit. Začněte znovu: nejdříve si pozorně projděte vyřešený úvodní příklad. Pokud něčemu nerozumíte, zeptejte se kamarádů nebo svého vyučujícího matematiky na ZŠ. A pak začněte řešit sami. Řešte v klidu, soustředěně. Výsledky příkladů jsou správně, máte je pro vlastní kontrolu. Pevné nervy a vytrvalost, ono to nakonec půjde! 31