11. Prostý tah a tlak

p11 1 11. Prostý tah a tlak 11.1. Definice Prostý tah(tlak) je namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se vzájemně oddalují (přibližují) a následně izotropně deformují (tj. mění velikost, ale nemění tvar), jedinou nenulovou složkou VVÚ je normálová síla N, deformace jsou z hlediska statické rovnováhy prvku nepodstatné. prostá pružnost prutové předpoklady Na základě tohoto vymezení odvodíme vztahy pro napětí a deformace. Poznámka: jako prizmatický označujeme prut, jehož příčný průřez je v každém bodě střednice stejný a hlavní centrální osy mají stejný směr (nešroubovitý). OBSAH další

p11 2 11.2. Geometrické vztahy Jsou to vztahy mezi posuvy a přetvořeními. Délková a úhlová přetvoření vyjádříme v závislosti na typu změny vzájemné polohy příčných průřezů při zatěžování. Při tahovém (tlakovém) zatížení prutu se průřezy ψ 1, ψ 2 jednonásobně elementárního prvku Ω 1, vzdálené o dx, oddálí (přiblíží) o deformační posuv du, který je stejný pro všechny body ψ. Pravé úhly α, β se nezmění. Těmto deformacím odpovídají následující složky tenzoru přetvoření. (Poznámka: Neurčujeme všechny složky T ε, ale pouze ty, které mají některý index x. Tak je podle zavedené konvence označena normála příčného průřezu, takže ε x, γ xy a γ xz definují jeho polohu a pomocí Hookova zákona z nich určíme odpovídající složky napětí. Ostatní složky T σ jsou podle napjatostních prutových předpokladů nulové. Podobně tomu bude i u ostatních typů namáhání prutů.) ε x = du dx γ xy = γ xz = 0 (řezy zůstanou kolmé ke střednici) prvek Protože posuv du je stejný pro všechny body ψ (du(y, z) = konst.), ε x (y, z) = du dx = konst. Přetvoření jsou tedy konstantní v celém příčném průřezu.

p11 3 Totéž platí i pro délková přetvoření v příčných směrech ε y a ε z, která jsou rovněž nenulová, opačného znaménka než ε x (ε y = ε z = µε x ). ε x 0 0 V prutu vzniká trojosý stav deformace. Tenzor přetvoření T ε = 0 ε y 0. 0 0 ε z tenzor přetvoření 11.3. Rozložení napětí v příčném průřezu Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí lineární závislost σ x (y, z) = Eε x (y, z). Protože ε x (y, z) = konst., je i σ x (y, z) = konst. = σ (v ψ rozloženo rovnoměrně). σ y = σ z = 0 - vyplývá z prutových předpokladů napjatostních (v ψ je prutová napjatost). Pro smykové napětí platí vztah τ ij = E 2(1 + µ) γ ij = Gγ ij, (G je pro izotropní materiál konstanta závislá na E a µ). Protože γ xy = γ xz = 0, je i τ xy = τ xz = 0. Z prutových předpokladů plyne τ yz = 0. σ x 0 0 V prutu vzniká jednoosá napjatost. Tenzor napětí T σ = 0 0 0. 0 0 0 Hookův zákon prutové předpoklady G T σ

p11 4 11.4. Závislost mezi VVÚ a napětím Při známém rozložení napětí po průřezu již vnitřní síly nepředstavují nekonečný počet neznámých parametrů (pro σ = konst. dokonce pouze jediný) a je možné určit závislost normálového napětí σ na VVÚ. Použijeme k tomu podmínky statické ekvivalence mezi soustavou elementárních sil dn i = σ x ds i v příčném průřezu a jejich silovou výslednicí N i působící v těžišti příčného průřezu. Sestavíme použitelné podmínky statické ekvivalence (3D soustava rovnoběžných sil ν = 3): F x : ψ ψ σ x ds = N, statické podmínky σ x = konst. σ x ds = σ x ds = N σ = N S ψ ψ Ve výsledném vztahu už obvykle index x u napětí vynecháváme, protože ostatní složky napětí jsou nulové. Podmínka statické ekvivalence, z níž jsme vztah odvodili, však platí pouze tehdy, jsou-li splněny všechny použitelné podmínky statické ekvivalence. Pro použitelnost vztahu je tedy nutné zkontrolovat splnění zbývajících dvou podmínek statické ekvivalence. statická ekvivalence

p11 5 M y : ψ ψ zσ x ds = M oy, ψ M z : ψ yσds = M oz. statické momenty Z definice prostého tahu plyne M oy = M oz = 0. Pak lze obě podmínky upravit do tvaru ψ z σds = σ ψ z ds = σu y = 0, ψ yσds = σ ψ yds = σu z = 0. Podmínky SE jsou splněny, protože osy y a z procházejí těžištěm (U y = 0, U z = 0). 11.5. Extrémní napětí Pro posuzování mezních stavů je důležité znát místa a extrémní hodnoty napětí v příčném průřezu. Jak jsme odvodili, u prostého tahu (tlaku) je napětí po průřezu rozloženo rovnoměrně, tedy všechny body průřezu jsou stejně nebezpečné a extrémní napětí je proto přímo dáno odvozeným vztahem σ ex = N S. mezní stavy

p11 6 11.6. Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce projeví zvýšením pružné energie napjatosti A = W (práce vynaložená na trvalou deformaci A Q = 0). Na trojnásobně elementární prvek Ω 3 působí vnitřní elementární síla σds i. Změnu délky dx tohoto prvku označíme du. Deformační práce vnitřní elementární síly (uvažujeme lineárně pružné těleso) A σds = 1 2 (σds)du. Po dosazení za du = εdx a ε = σ/e dostaneme vztah pro energii napjatosti uvažovaného elementárního prvku ve tvaru deformační práce W Ω3 = A (σds) = 1 2 (σds)εdx = 1 σ 2 2 E dsdx. Vztažením energie napjatosti na jednotku objemu dostáváme měrnou energii napjatosti (nazývanou také hustota energie napjatosti) Λ = W Ω 3 V Ω3 = W Ω 3 dsdx Λ = 1 2 σε = 1 2 σ2 E Tyto vztahy platí obecně pro jednoosou napjatost určenou napětím σ nezávisle na typu namáhání prutu.

p11 7 Pro prostý tah platí σ = N S a energie napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω 1 pak je 1 σ 2 W Ω1 = 2 E dxds = N 2 2ES 2 dxds = N 2 dx 2ES 2 ds = N 2 2ES dx. ψ ψ ψ V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti W l = l 0 W Ω1 = l 0 N 2 2ES dx.

p11 8 11.7. Vyjádření deformační charakteristiky střednice Základní deformační charakteristikou u prostého tahu je posuv bodu střednice ve směru střednice. Délkové přetvoření střednice ε x = du/dx. Protože jsou splněny prutové předpoklady, zůstává střednice spojitá a posuv u(x) je spojitou funkcí. Pro hookovský materiál ( εx = σ x E ) a prostý tah ( σ x (x R ) = N(x R) S(x R ) u(x R ) = x R ) je posuv bodu střednice daného souřadnicí x R x m ε x dx = x R x m N(x) ES(x) dx, prutové předpoklady hookovský materiál σ x (x) kde x m je souřadnice bodu střednice, ve kterém je nulový posuv (obvykle vazba k základnímu tělesu). Příklad 432 Modul pružnosti E se také teoreticky může měnit po délce střednice (v příčném průřezu však musí být konstantní, aby nedošlo k porušení předpokladů prostého tahu), ale v praxi se může vyskytnout jedině skoková změna (různé materiály po délce prutu). Je-li v určitém úseku střednice N(x) = konst., E(x) = konst. a S(x) = konst. a umístíme-li bod střednice s nulovým posuvem do počátku souřadnicového systému (x m = 0), pak Příklad 433 předpoklady u(x R ) = Nx R ES, kde ES se označuje jako tuhost příčného průřezu v tahu.

p11 9 11.8. Deformace příčného průřezu Kromě podélných posuvů příčných průřezů při tahovém (tlakovém) namáhání prutu nastane i změna jejich příčných rozměrů. Poissonův součinitel udává poměr velikostí příčného přetvoření ε y nebo ε z k podélnému přetvoření ε x, tedy ε y = ε z = µε x Protože přetvoření v obou příčných směrech jsou stejná a konstantní po průřezu, tvar příčného průřezu se nezmění. Z definice přetvoření konstantních po průřezu plynou vztahy pro změnu rozměrů obdélníkového průřezu a a b: a a 0 = a = ε y a 0 = µε x a 0, b b 0 = b = ε z b 0 = µε x b 0. 11.9. Rozbor napjatosti prostého tahu Doposud jsme vyšetřovali napětí v příčném průřezu (s plochou S), tj. v řezu kolmém na střednici, tedy napětí v jediném řezu vedeném zvoleným bodem střednice. Napjatost jsme však definovali jako množinu napětí ve všech řezech, které lze vést daným bodem. Pro posouzení mezních stavů potřebujeme znát napjatost, tedy napětí v libovolném řezu ρ vedeném daným bodem. napjatost

p11 10 Pro určení napjatosti uvolníme prvek jedním příčným a jedním obecným řezem, jehož normála svírá se střednicí prutu úhel α; jeho plocha bude S ρ = cos S α. V příčném průřezu uvolněného prvku působí napětí σ = p a v průřezu ρ působí soustava vnitřních elementárních plošných sil f ρ ds ρ rovnoběžných s osou x. f ρ je obecné napětí a v důsledku homogenní napjatosti prutu můžeme předpokládat, že je po řezu ρ rozloženo rovnoměrně. Z podmínky statické rovnováhy plyne homogenní napjatost Fx = 0 : σs + f ρ S ρ = 0 f ρ = S S ρ σ = σ cos α. Obecné napětí f ρ rozložíme do významných směrů průřezu ρ, a tím dostaneme jeho složky normálovou: σ ρ = f ρ cos α = σ cos 2 α = σ 2 (1 + cos 2α), smykovou: τ ρ = f ρ sin α = σ sin α cos α = σ 2 sin 2α. Tyto vztahy vyjadřují závislost obecného napětí f ρ a jeho složek σ ρ a τ ρ na napětí σ v příčném průřezu a na poloze řezu ρ vzhledem ke střednici prutu. Napjatost v prutu je tedy napětím σ určena, protože z něj lze určit napětí v libovolném řezu ρ. Z rozboru těchto vztahů vyplývá: a) α = 0 o σ ρ = σ τ ρ = 0 b) α = 90 o σ ρ = 0 τ ρ = 0 c) α = 45 o σ ρ = σ 2 τ ρ = σ 2 = τ ex zde je extrémní smykové napětí

p11 11 Je vidět, že existují 2 řezy, v nichž je smykové napětí rovno nule, tj. řezy svírající se střednicí úhel 0 o a 90 o. Pokud bychom řez otáčeli kolem všech os v prostoru, nalezli bychom ještě další roviny s nulovým smykovým napětím. Jednou z nich je přímo rovina nákresny na uvedených obrázcích. Je tedy zřejmé, že existují 3 vzájemně kolmé roviny, v nichž je smykové napětí rovno nule. Tyto roviny se nazývají hlavní roviny napjatosti. Normálová napětí v těchto rovinách se nazývají hlavní napětí, značíme je σ 1, σ 2, σ 3 a řadíme podle velikosti tak, aby platilo σ 1 σ 2 σ 3. Směry těchto napětí jsou dány průsečnicemi hlavních rovin a tvoří tzv. hlavní souřadnicový systém. Jeho předností je zjednodušení tenzoru napětí do tvaru T σ = σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 v němž je napjatost dána pouze třemi nezávislými složkami hlavních napětí. Zbývající tři složky tenzoru napětí definují polohu hlavního souřadnicového systému, která však u homogenního izotropního materiálu není podstatná. Pro vyšetřovanou jednoosou tahovou napjatost platí σ 1 = σ = N S, σ 2 = σ 3 = 0, pro napjatost tlakovou je σ 1 = σ 2 = 0, σ 3 = σ = N S < 0., napjatost tenzor napětí

p11 12 11.9.1. Grafické znázornění napjatosti Umožňuje názornou představu o napjatosti a snadné určení extrémních hodnot složek obecného napětí. Pro jeho odvození využijeme vztahů pro napětí v řezu ρ, jehož normála svírá se střednicí prutu úhel α: Rovnice upravíme 1 + cos 2α σ ρ = σ 2 umocníme a sečteme: σ ρ = σ cos 2 α, τ ρ = σ sin 2α. 2 = σ 2 + σ 2 cos 2α σ ρ σ 2 = σ 2 cos 2α, τ ρ = σ sin 2α 2 ( σρ σ 2 ) 2 + τ 2 ρ = ( σ 2 cos 2α ) 2 + ( σ2 sin 2α ) 2 ( σρ σ ) 2 2 + τ 2 ρ = ( ) σ 2(cos 2 2 2α + sin 2 2α) ( σρ σ 2 ) 2 + τ 2 ρ = ( σ 2 ) 2 V této rovnici jsou jen dvě proměnné veličiny (σ ρ, τ ρ ), které můžeme použít jako základ souřadnicového systému, tvořícího Mohrovu rovinu napjatosti. Mohrova rovina napjatosti je rovina, na jejíž souřadné osy vynášíme napětí normálové σ ρ a smykové τ ρ působící v jistém řezu ρ vedeném vyšetřovaným bodem.

p11 13 Odvozená rovnice je rovnicí kružnice ((x m) 2 + (y n) 2 = r 2 ) v Mohrově rovině napjatosti se středem na ose σ ρ ve vzdálenosti σ 2 od počátku a s poloměrem r = σ 2. Nazývá se Mohrova kružnice napjatosti prostého tahu (σ > 0) resp. tlaku (σ < 0). Bod na Mohrově kružnici (se souřadnicemi σ ρ, τ ρ ) znázorňuje obecné napětí f ρ v bodě rovinného řezu určeného úhlem α. Celá kružnice tedy znázorňuje napětí ve všech řezech, které můžeme vést určitým bodem prutu, tj. napjatost v tomto bodě při prostém tahu (tlaku). Je důležité si uvědomit, že průvodič bodu Mohrovy kružnice vedený z jejího středu opisuje dvojnásobný úhel (2α) než je úhel odklonu normály řezu α od střednice prutu (plyne z odvození, v němž figuruje úhel 2α). Z Mohrovy kružnice jasně vyplývá: Průsečíky Mohrovy kružnice s vodorovnou osou určují velikosti hlavních napětí. V bodu C (2α = 0 o, rovinný řez kolmý ke střednici) a v bodu D (2α = 180 o, tj. rovinný řez rovnoběžný se střednicí) jsou smyková napětí nulová. Maximální smykové napětí τ max je v řezu pod úhlem 45 o (2α = 90 o ) a má velikost τ max = σ 2. Ve dvou protilehlých bodech A, B Mohrovy kružnice jsou smyková napětí stejně velká, ale s opačnými znaménky. Těmto bodům v prutu odpovídají složky napětí ve dvou vzájemně kolmých rovinných řezech ρ (dán úhlem α) a ρ (dán úhlem β) viz následující obrázek.

p11 14 Stejný závěr získáme i analyticky. Bodem střednice vedeme řez ρ daný úhlem α a k němu kolmo řez ρ daný úhlem β. β = π 2 + α, 2β = π + 2α, sin 2β = sin 2α, τ β = σ 2 sin 2β = σ 2 sin 2α = τ α Tento vztah vyjadřuje větu o sdruženosti smykových napětí: Smyková napětí ve dvou vzájemně kolmých řezech vedených bodem tělesa jsou stejné velikosti a směřují buď obě do průsečnice řezů anebo od ní. Závěry i rovnice odvozené z Mohrova diagramu napjatosti jsou znaménkově v rozporu se závěry vycházejícími z rovnic statické rovnováhy elementárního prvku. Tento rozpor je obsažen v samotném Mohrově zobrazení, protože sdružená smyková napětí v Mohrově diagramu mají rozdílná znaménka. To vyžaduje zavedení odlišné znaménkové konvence pro smyková napětí v Mohrově rovině: Smykové napětí považujeme za kladné, jestliže má smysl vnější normály řezu e n pootočené o 90 o ve smyslu pohybu hodinových ručiček. sdruženost smykových napětí konvence

p11 15 11.10. Oblasti použitelnosti prostého tahu prutů Prostá pružnost prutů vychází z prutových předpokladů, ze statické rovnováhy prvku v nedeformovaném stavu. Tyto dva základní výchozí předpoklady umožnily odvodit jednoduché vztahy pro popis napjatosti a deformace prutů. Při řešení praktických problémů s využitím teorie prosté pružnosti je důležité posouzení její použitelnosti. Toto hodnocení vyžaduje širší znalosti, protože téměř vždy dochází k určitému porušení výchozích předpokladů. Proto se v základním kurzu omezíme jen na kvalitativní posuzování použitelnosti, zejména z hlediska splnění prutových předpokladů. prutové předpoklady

p11 16 11.10.1. Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu a) Spojitě proměnný příčný průřez Uvažujme přímý prut kruhového příčného průřezu, který se podél střednice spojitě mění. Kuželovitost prutu je dána úhlem α mezi površkou a osou kužele. Prut je zatížen na koncích silou F, tzn. jediným VVÚ po celé délce střednice je konstantní normálová síla o velikosti N = F a prut je namáhán tahem. Z prutu uvolníme dvěma limitně blízkými příčnými řezy jednonásobně elementární prvek Ω 1 o délce dx. Z něj dále uvolníme prvek Ω 2 válcovým řezem s osou na střednici prutu a s podstavou o ploše S 1. Na čelní stěně prvku Ω 2 působí normálová napětí σ. Aby tento prvek byl ve statické rovnováze, musí na válcovém řezu působit smyková napětí τ. Podle věty o sdruženosti smykových napětí pak budou stejně velká smyková napětí působit i v příčných průřezech. Předpokládáme-li podobně jako u prizmatického prutu konstantní rozložení napětí σ v příčném průřezu S 2 resp. ds, pak podmínka statické rovnováhy je Fx = 0 : σds τ2πrdx = 0 Plochu ds lze zjednodušeně vyjádřit jako ds = 2πrdr, čímž dostáváme σ2πrdr = τ2πrdx τ σ = dr dx Smykové napětí je tedy přímo úměrné poměrné změně tloušťky prutu, vyjádřené pro kuželový prut poměrem dr/dx.

p11 17 Vlivem smykového napětí působícího v příčných průřezech je porušena jednoosost tahové napjatosti, následkem je jejich borcení (deplanace). Nezůstávají tedy rovinné a neplatí pak přesně prutové předpoklady. Odchylky jsou tím větší, čím větší jsou změny průměru prutu. Aby smykové napětí bylo alespoň o řád menší než napětí normálové a odchylku od prutových předpokladů bylo možné zanedbat, musí platit dr/dx < 0, 1, tedy kuželovitost prutu α musí být menší než 0,1 rad 6 o. Tuto mezní hodnotu lze řádově brát i pro jiné tvary příčných průřezů. Pozor! Smyková napětí jsme odvodili za předpokladu, že v průběhu zatěžování zůstávají příčné průřezy rovinné. V důsledku působení τ však nezůstanou rovinné, takže ani smyková napětí neodpovídají přesně odvozenému vztahu. prutové předpoklady

p11 18 b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby) vruby: { konstrukční - vytvářeny účelově, jsou funkční (drážky, zápichy, otvory, osazení) defekty - důsledek reálné výroby (vměstky, bubliny, trhliny) V místech vrubů vzniká většina provozních lomů. Bylo zjištěno a lze dnes snadno doložit výpočty s využitím MKP, že vruby způsobují místní koncentraci přetvoření a tím i koncentraci napětí (v blízkém okolí vrubu není v příčném průřezu prutu napětí rozloženo rovnoměrmě); lokálně se mění napjatost tělesa, v okolí vrubu vzniká obecná trojosá napjatost; čím menší je poloměr zaoblení vrubu, tím je vyšší extrémní napětí v kořeni vrubu, vrubový účinek má výrazně lokální charakter.

p11 19 Pro usnadnění pevnostního posuzování vrubů byla vypracována metodika založená na korekci prosté pružnosti prutů, která určuje extrémní hodnoty napětí v kořeni vrubu σ ex z nominálního napětí σ n pomocí součinitele koncentrace napětí α = σ ex /σ n. Nominální napětí σ n = N/S je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti a pevnosti, tj. z předpokladu rovnoměrného rozložení napětí po průřezu v místě vrubu. Hodnoty součinitelů koncentrace napětí α byly stanoveny výpočtem za využití MKP nebo fotoelasticimetrie pro různé tvary vrubů a různé způsoby namáhání a zpracovány do grafů. U každého grafu je obvykle uvedeno, v kterém průřezu se počítá nominální napětí σ n, k němuž se vztahuje součinitel α. Při pevnostních výpočtech součástí s vruby je nutno důsledně rozlišovat, zda je materiál ve stavu křehkém nebo tvárném. Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu křehkém, pak v okamžiku, kdy σ ex = σ Rt, vzniká v místě koncentrace napětí křehká trhlina. Ta zvyšuje koncentraci napětí, protože má menší poloměr zaoblení svého kořene než konstrukční vrub. Při zatížení se pak trhlina nekontrolovaně šíří až do porušení křehkým lomem. Proto nelze připustit, aby špička napětí dosáhla meze křehké pevnosti. napětí α grafy σ Rt

p11 20 Je-li materiál prutu s vrubem ve stavu houževnatém, pak v okamžiku, kdy je splněno σ ex = σ K, dochází v místě koncentrace napětí ke vzniku plastických deformací. Ty sníží koncentraci napětí (napětí nemůže výrazně překročit mez kluzu) a zvýší koncentraci přetvoření - dojde k otupení špičky vrubu. Vliv vrubu je tedy nutno vždy zhodnotit z hlediska možnosti křehkého chování. Vznik trojosé napjatosti v okolí kořene vrubu může vést ke vzniku křehkého lomu i u materiálu, který se v případě hladké zkušební tyče choval jako houževnatý! Pokud se na základě rozborů a zkušeností vyloučí možnost křehkého porušení, je možné volit bezpečnosti nízké (např. 1,5), protože další záloha únosnosti prutu je v plastické oblasti. Protože však zatížení většiny strojních součástí není statické, ale časově proměnné, může tato opakovaná plastická deformace vést k únavovému porušení. Posouzení rizika únavového lomu však vyžaduje použití jiných postupů, které nejsou součástí tohoto kurzu. V případě křehkého materiálu bývá volena bezpečnost vůči meznímu stavu křehké pevnosti až k R (10; 15). Vrub jako náhlá změna příčného průřezu je podstatný z hlediska napjatosti a porušování, je většinou nepodstatný z hlediska deformačních charakteristik prutu. σ K bezpečnost deformační charakteristiky

p11 21 11.10.2. Vliv šroubovitosti prutu Prut považujeme za šroubovitý, jestliže hlavní centrální osy příčných průřezů nejsou vzájemně rovnoběžné. Šroubovitý prut lze vytvořit tak, že neměnný průřez se kolem střednice posouvá a zároveň rotuje. Šroubovitost prutu můžeme kvantitativně vyjádřit veličinou dϕ/dx, kde ϕ je úhel natočení hlavních centrálních os vzhledem k osám výchozího průřezu. Šroubovitost, podobně jako kuželovitost, způsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech. Bude-li změna polohy sousedních průřezů (charakterizovaná poměrem dϕ/dx) dostatečně malá, bude i smykové napětí oproti normálovému zanedbatelné (τ σ). Pak můžeme použít vztahů pro prostý tah. hlavní osy

p11 22 11.10.3. Proměnnost VVÚ podél střednice přímého prutu Proměnnost normálové síly může být způsobena buď působením osamělých sil nebo spojitého zatížení (objemových sil). a) zatížení v izolovaných řezech Pokud v ose prutu působí osamělé síly, je použitelnost modelu omezena následovně: prutové předpoklady jsou splněny až v dostatečné vzdálenosti (ve smyslu Saint Venantova principu) od náhlých změn zatížení, v jejichž okolí je vždy nehomogenní napjatost, osamělé síly v praxi nelze zavést, aniž by vznikl vrub (otvor, osazení, drážka) nebo porušení předpokladu o prutové napjatosti (sevření do kleštin - tlak v příčném směru nelze do teorie prutů zahrnout). Saint Venantův princip prutové předpoklady

p11 23 b) zatížení objemovými silami Uvažujme prizmatický prut v silovém poli s intenzitou rovnoběžnou s osou prutu. Praktická aplikace: a) prut svislý tíhové pole, b) prut rotující okolo osy kolmé na střednici pole odstředivých sil. Priklad 402 Priklad 404 Normálová síla a napětí jsou podél střednice proměnné, ale napětí je v průřezech rozloženo rovnoměrně. Je tedy použitelná prostá pružnost prutů (smykové napětí není podstatné). Napětí, posuv v bodě R střednice a energii napjatosti prutu délky l počítáme podle vztahů, respektujících proměnnost normálové síly: σ(x R ) = N(x R), u(x R ) = S x R 0 N(x) l dx, W (l) = ES 0 N 2 (x) 2ES dx.

p11 24 11.10.4. Zakřivení střednice prutu Budeme uvažovat prut, jehož střednice je spojitá a hladká křivka. Charakter namáhání prutů se zakřivenou střednicí závisí na tvaru střednice prutu (typ křivky, rovinnost, prostorovost, otevřenost, uzavřenost), vztahu velikosti poloměru křivosti střednice k charakteristickému rozměru příčného průřezu (slabě a silně zakřivené pruty), typu silové soustavy působící na prut. U zakřiveného prutu nemůže nastat prostý tah, ale vždy nastane kombinované namáhání. Existuje však zakřivený prut, který lze přibližně řešit jako prut zatížený prostým tahem rovinný tenkostěnný kroužek (prstenec), rotačně symetricky zatížený. Zatížení může být dvojího typu: zakřivené pruty kombinované namáhání a) rovnoměrným tlakem na vnitřní nebo vnější povrch, např. nalisovaný kroužek (kroužek nasazen na jiné rotačně symetrické těleso s přesahem), Příklad 405 b) odstředivými silami, tj. rotující kroužek. Příklad 413 Příklad 412

p11 25 Jde tedy o rotačně symetrickou úlohu. Na základní prvek Ω 1 uvolněný z kroužku budou působit rotačně symetrické složky napětí: v příčných průřezech obvodová napětí σ t, na válcových řezech radiální napětí σ r. U tenkostěnných kroužků (h R) lze napětí σ r vzhledem k napětí σ t zanedbat, takže jediným významným napětím pak je napětí σ t, které bude po průřezu přibližně konstantní a vzniká zde přibližně jednoosá homogenní napjatost jako u prostého tahu. homogenní napjatost tah

p11 26 Oba případy zatížení lze řešit stejným postupem, pouze u zatížení odstředivými silami je zahrneme v duchu d Alembertova principu do rovnice statické rovnováhy prvku Ω 1 v radiálním směru: df 2N sin dϕ 2 = 0 sin dϕ 2. = dϕ 2 N = df dϕ zatížení tlakem p rotující kroužek df p = pds = pbrdϕ N p = df p dϕ = pbr σ tp = N p S = N p bh = pr h df o = dma ω = ρrdϕbhω 2 R N o = df o dϕ = ρr2 bhω 2 σ to = N o S = N o bh = ρ(rω)2

p11 27 Změnu poloměru střednice R (posuv v radiálním směru) určíme z obvodového přetvoření (je homogenní z důvodu osové symetrie): ε t = 2π(R + R) 2πR 2πR = R R Protože napjatost je jednoosá, platí zjednodušený tvar Hookova zákona ε t = σ t E R = R σ t E

p11 28 11.11. Řešení úlohy PP u prutů namáhaných prostým tahem (tlakem) 11.11.1. Volný prut Odvodili jsme vztahy pro výpočet napětí, energie napjatosti a deformačních posuvů prutu namáhaného prostým tahem (tlakem) při splnění prutových předpokladů: σ(x R ) = N(x R) S(x R ), u(x R) = x R 0 N(x) dx, W (l) = ES(x) l 0 N 2 (x) 2ES(x) dx. prutové předpoklady Jsou-li veličiny N(x) a S(x) a tedy i σ(x) konstantní podél střednice, je integrace triviální.

p11 29 Jsou-li N(x) a S(x) proměnné (ovšem tak, že namáhání lze považovat za prosté), pak musíme obecně střednici prutu rozdělit na intervaly, v nichž každá veličina je vyjádřena jediným funkčním vztahem. Hranice těchto intervalů jsou pak v těch bodech střednice, v nichž dochází ke změně funkce popisující zatížení nebo příčný průřez. Posuv určitého bodu střednice je algebraickým součtem prodloužení jednotlivých úseků, na které jsme rozdělili střednici prutu od vztažného bodu. Tato prodloužení mohou být od silového působení u(x R ) = V případě teplotního zatížení se k nim přičítá teplotní dilatace kde α je součinitel teplotní roztažnosti. u T (x R ) = α T x R, x R 0 N(x) ES(x) dx.

p11 30 Ze všech možných mezních stavů se v tomto kurzu omezíme na mezní stav deformace - funkčně přípustná deformace se mění na funkčně nepřípust- MS nou, mezními hodnotami jsou mezní posuvy bodů střednice ev. mezní úhly natočení deformace v těchto bodech. Bezpečnost vůči meznímu stavu deformace je dána poměrem mezní ku provozní hodnotě deformačního parametru k D = u M u resp. k D = ϕ M ϕ. mezní stav pružnosti - po překročení vznikají makroplastické deformace, mezní MS pružnosti hodnotou je mez kluzu σ K, která se určuje experimentálně. Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti k K = σ K. σ bezpečnost Bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti k K se vztahuje k jednomu bodu prutu. Proto obecně v každém bodě prutu bude její hodnota různá, tedy k K = k K (x, y, z), (x, y, z) Ω. Pro posuzování spolehlivosti prutu je třeba nalézt bod, kde je k K minimální, a příčný průřez, který obsahuje tento bod. Pro ně se používají názvy: nebezpečný bod prutu - bod prutu, v němž je k K nejmenší, nebezpečný průřez prutu - příčný průřez, který obsahuje nebezpečný bod. Bezpečnost k K prutu je pak bezpečnost určená v jeho nebezpečném bodě. Jelikož u prostého tahu (tlaku) jsou napětí σ po průřezu rozdělena rovnoměrně, nebezpečnými body jsou všechny body nebezpečného příčného průřezu.

p11 31 11.11.2. Vázaný prut V blízkém okolí vazby existuje oblast, kde není prut namáhán prostým tahem, protože se nepodaří realizovat vazbu tak, aby nebyly porušeny v jejím okolí prutové předpoklady. V této oblasti jsou extrémní napětí vyšší než vypočtené teorií prostého tahu. Pokud je potřebujeme znát přesněji, použijeme např. MKP. prutové předpoklady MKP Postup při řešení vázaných prutů 1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. uvolnění 2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. Jedinou netriviální podmínkou podmínky statické rovnováhy je silová podmínka v ose x ( F x = 0). SR 3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ ν. Mohou nastat tyto případy: a) s = 0 prut je uložen staticky určitě pokračujeme bodem 7, body 4 6 statický vynecháme. rozbor b) s 1 prut je uložen staticky neurčitě pokračujeme bodem 4. Priklad 403

p11 32 4. Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou u prutů částečné namáhaných tahem (tlakem) určeny posuvem tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité. uvolnění 5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového a teplotního působení se zohledněním výrobních nepřesností (přesahy nebo vůle). Deformační podmínky mohou být a) homogenní kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu, Příklad 414 b) nehomogenní kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledku Příklad 417 výrobních nepřesností (např. montážní přesah nebo vůle vymezené před svařením) nebo teplotní dilatace, Příklad 418 c) podmíněné podle velikosti posuvu může prut zůstat buď staticky určitý nebo Příklad 437 se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost vazby). Musíme určit, který z těchto možných stavů se uskuteční. Příklad 408 Poznámka: v případě kombinace tuhých a pružných vazeb je třeba při částečném uvolnění zachovat tuhou vazbu (těleso zůstává jako celek vázáno nepohyblivě) a pro sestavení nehomogenních deformačních podmínek uvolňovat vazby pružné; jinak by těleso nebylo vázáno nepohyblivě a nastal by problém s odlišením deformačních posuvů od pohybu tělesa jako celku. deformace 6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolněného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu. Deformace je nutno vyjádřit jako funkce silových účinků pomocí vztahů pro posuv bodu posuv střednice nebo Castiglianovy věty. 7. Řešíme sestavenou soustavu rovnic určíme všechny silové vazbové parametry. 8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu. Castiglianova věta

p11 33 11.11.3. Soustavy s pruty namáhanými prostým tahem (tlakem) Modelové soustavy s pruty můžeme rozdělit do 3 skupin: a) soustavy sestavené pouze z prutů, z nichž každý je vázán rotační vazbou k základnímu vazby tělesu, b) soustavy tvořené pruty vázanými rotační vazbou s tuhými tělesy (jejichž deformace jsou oproti deformacím prutů zanedbatelné), c) prutové soustavy, které jsou výpočtovým modelem příhradové konstrukce (konstrukce prutová železničních mostů, jeřábové věže, atd.). soustava Tyto soustavy bývají v praxi provedeny s nepohyblivými vazbami, nikoliv rotačními. Výpočtový model s rotačními vazbami lze pro tyto soustavy použít jen tehdy, jestliže momenty ve vazbách jsou zanedbatelné, k čemuž je nutné splnění těchto podmínek: pruty jsou přímé a štíhlé (tj. délka nejméně o řád větší než tloušťka), pruty jsou zatíženy pouze silami ve styčnících nebo na tuhém tělese (aby nenastal významný ohyb), soustava zůstane po zavedení rotačních vazeb nepohyblivá (tj. staticky určitá nebo neurčitá). vazby

p11 34 Za uvedených podmínek představuje každý prut binární nezatížený člen (člen pouze se dvěma vazbami k okolí), jehož vazby k ostatním prutům, resp. fiktivním styčníkovým tělesům (styčníkům) i k základnímu tělesu jsou rotačními kinematickými dvojicemi (u prostorových úloh sférickými). Z rovnováhy každého takového prutu potom plyne, že obě vazebné síly působící na prut musejí být stejně velké a jejich nositelky totožné se střednicí prutu. Těmto dvěma silám budeme říkat prutové síly. Vzhledem ke stejné velikosti představují tyto dvě síly společně jediný neznámý parametr. Na základě uvedených skutečností lze pojem prutová síla vymezit takto: Prutová síla je označení pro každou ze dvou stejně velkých vnějších vazebných sil působících na přímý prut a ležících na společné nositelce totožné se střednicí prutu, jestliže další vnější zatížení prutu je zanedbatelné. Prutová síla (vnější) vyvolává v prutu stejně velkou normálovou sílu N (vnitřní), takže prut je namáhán pouze tahem (je-li N kladná) nebo tlakem (je-li N záporná). Uvolnění prutů za těchto podmínek již není třeba provádět a uvolňujeme pouze styčníky. uvolnění prutu

p11 35 a) Soustavy prutů vázaných k základnímu tělesu Graficky znázorníme pouze uvolnění styčníku. Protože orientaci kladné prutové síly volíme vždy tak, že je orientována ven z prutového tělesa (v prutu předpokládáme tah), budou kladné prutové síly orientovány ven ze styčníku (podle zákona akce a reakce). i) Soustava staticky určitá Z rovnic statické rovnováhy styčníku určíme stykové síly, které jsou rovny normálovým silám v jednotlivých prutech. Příklad 422 Příklad 415 ii) Soustava staticky neurčitá Postupujeme podle obecného algoritmu řešení staticky neurčitých úloh, uvedeného pro jeden prut v předchozí kapitole. Příklad 426 Příklad 427 Příklad 430 Příklad 409

p11 36 Energie napjatosti i-tého prutu délky l i zatíženého prostým tahem je W (i) = l i 0 N 2 i (x) 2E i S i (x) dx. napětí Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napjatosti soustavy, posuvy styčníku. Pro posuvy styčníku je nutno téměř vždy použít Castig- lianovu větu. Energie napjatosti však musí být určena pro celou soustavu. energie napjatosti posuv Castiglianova věta Tedy posuv u J působiště síly F J, působící na prut o délce l i, ve směru této síly je u J = W l i = F J 0 N(x) ES(x) N(x) dx. F J Protože u soustav s pruty je N(x), E(x) i S(x) po celé délce jednotlivých prutů konstantní, bude energie napjatosti soustavy tvořené n pruty n n W = W (i) Ni 2 l i = i=1 i=1 2E i S i a posuv u J působiště osamělé síly F J ve směru této síly je u J = W F J = n i=1 N i l i E i S i N i F J.

p11 37 b) Soustavy prutů s tuhými tělesy i) Soustava staticky určitá Z rovnic statické rovnováhy tuhých těles (jejichž deformace je proti deformaci Příklad 434 prutů nepodstatná) určíme stykové síly, které jsou rovny normálovým silám v jednotlivých prutech. ii) Soustava staticky neurčitá Úplné uvolnění provádíme uvolněním tuhého tělesa. Částečné uvolnění pro for- Příklad 435 mulaci vazbových deformačních podmínek může být libovolné, ale nejvhodnější je uvolnění prutů ve vazbách se základním tělesem, jehož deformaci neuvažujeme, takže příslušné kinematické vazbové parametry jsou nulové. Deformační podmínky mohou být homogenní, nehomogenní a podmíněné. Známe-li normálové síly v prutech můžeme určit napětí v prutech, energii napjatosti soustavy, posuvy kteréhokoliv bodu soustavy. c) Prutové soustavy i) Soustava staticky určitá U prutové soustavy, která je vně i vnitřně staticky určitá, vyřešíme normálové síly v prutech postupnou styčníkovou metodou ev. obecnou styčníkovou metodou, tj. z rovnic statické rovnováhy styčníků. Příklad 410 deformační podmínky napětí energie napjatosti posuv prutová soustava Příklad 308 Příklad 416 Příklad 420 Příklad 421 částečné

p11 38 ii) Soustava staticky neurčitá Pro určení normálových sil v prutech potřebujeme navíc s deformačních podmínek, které vycházejí z částečného uvolnění. a) vně staticky neurčitá Statický rozbor: µ ex = 4, ν = 3 s ex = µ ex ν = 4 3 = 1 s in = p (2k 3) = 5 (2 4 3) = 0 Úloha je vně 1x staticky neurčitá a vnitřně staticky určitá Úplné uvolnění provádíme uvolněním prutové soustavy od základního tělesa. Příklad 424 Příklad 428 Příklad 429 Příklad 425 Příklad 431 statický rozbor Příklad 302 Prutovou soustavu (tvořící při vzájemné nepohyblivosti prutů tzv. prutové těleso) částečně uvolníme (na úroveň staticky určitého uložení vůči základnímu tělesu) a sestavíme deformační podmínky (homogenní, nehomogenní, podmíněné). částečné uvolnění

p11 39 b) vnitřně staticky neurčitá Statický rozbor: µ ex = 3, ν = 3 s ex = µ ex ν = 3 3 = 0 s in = p (2k 3) = 6 (2 4 3) = 1 Úloha je vně staticky určitá a vnitřně 1x staticky neurčitá. Částečné uvolnění pak znamená uvolnění s in prutů ve styčníku, zavedení normálové síly na konci uvolněného prutu a síly stejně velké, opačně orientované do styčníku, s nímž byl prut spojen (princip akce a reakce), sestavení vazbové deformační podmínky v místě uvolnění prutu, která vyjadřuje vzájemný posuv obou rozpojených bodů. deformační podmínky Příklad 423 c) vně i vnitřně staticky neurčitá je kombinací předchozích dvou typů statické Příklad 303 neurčitosti, musíme sestavit oba typy deformačních podmínek. Příklad 436 Nyní nezávisle na typu statické neurčitosti vyřešíme z rovnic statické rovnováhy styčníků a deformačních podmínek normálové síly v prutech, z nich určíme napětí v prutech. Posuvy styčníků určíme Castiglianovou větou z energie napjatosti celé soustavy. napětí Castiglianova věta

p11 40 11.12. Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 404 Příklad 414 Příklad 417 Příklad 418 Příklad 419 Příklad 422 Příklad 426 Příklad 427 Příklad 430 Příklad 432 Příklad 433 Příklad 434 Příklad 435 Příklad 436 Příklad 437 Neřešené příklady Příklad 401 Příklad 402 Příklad 403 Příklad 405 Příklad 406 Příklad 407 Příklad 408 Příklad 409 Příklad 410 Příklad 411 Příklad 412 Příklad 413 Příklad 415 Příklad 416 Příklad 420 Příklad 421 Příklad 423 Příklad 424 Příklad 425 Příklad 428 Příklad 429 Příklad 431 předchozí OBSAH následující kapitola