1 Metoda konečných prvků (MKP)

1 METODA KONEČNÝCH PRVKŮ (MKP) 1 1 Metoda konečných prvků (MKP) Přibližná metoda pro řešení problémů popsaných diferenciálními rovnicemi Motivace v problémech mechaniky spojitého prostředí (kontinua) Diskretizace: Nahrazení spojitého prostředí diskrétním modelem Původně navržena Courantem v roce 1943 [2] (matematik) a nezávisle Turnerem a kol. [3] (inženýři) Základní aspekty matematický, fyzikální, inženýrský a algoritmický Z inženýrského hlediska lze chápat MKP jako vhodné zobecnění deformační metody

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 2 2 Základní rovnice mechaniky Předpoklady Malé posuny a malá přetvoření Materiál se chová lineárně a pružně Dynamické účinky jsou zanedbatelné Základní typy rovnic Geometrické rovnice 2.1 Statické rovnice 2.2 Konstitutivní rovnice 2.3 Okrajové podmínky 2.4

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 3 Trojrozměrný problém Oblast Hranice Poloha Posuny Deformace Napětí Ω Γ x = {x, y, z} T u(x) = {u(x), v(x), w(x)} T ε(x) = {ε x (x), ε y (x), ε z (x), γ yz (x), γ zx (x), γ xy (x)} T σ(x) = {σ x (x), σ y (x), σ z (x), τ yz (x), τ zx (x), τ xy (x)} T

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 4 Jednorozměrný problém Oblast Hranice Poloha Posuny Deformace Napětí a, b x u(x) ε(x) = ε x (x) σ(x) = σ x (x)

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 5 2.1 Geometrické rovnice: u ε Složkový zápis A ε x (x) ε y (x) ε z (x) γ yz (x) γ zx (x) γ xy (x) Trojrozměrný problém = 0 0 x 0 0 y 0 0 z 0 z y 0 z x 0 y x u(x) v(x) w(x) Jednorozměrný problém ε(x) = T u(x) ε(x) = d u(x)

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 6 2.2 Statické rovnice: A(σ) = 0 x 0 0 0 0 y 0 0 0 z z y Trojrozměrný problém z 0 x y x 0 σ x (x) σ y (x) σ z (x) τ yz (x) τ zx (x) τ xy (x) + X(x) Y (x) Z(x) = 0 0 0 σ(x) + X(x) = 0 dσ x (x) Složkový zápis B Jednorozměrný problém + X(x) = 0 dn x(x) + f x (x) = 0 Jednorozměrné podmínky rovnováhy ve vnitřních silách představují

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 7 podmínky rovnováhy zapsané v napětích zintegrované po průřezu A(x) Podmínka rovnováhy v libovolném bodě průřezu A(x) ntegrace po průřezu d A(x) dσ x (x) ( dσx (x) A(x) σ x (x) dy dz + } {{ } N x (x) + X(x) = 0 ) + X(x) A(x) X(x) dy dz } {{ } f x (x) dy dz = 0 = 0 Výsledek dn x (x) + f x (x) = 0 Obdobným způsobem odvoďte zbývající podmínky rov- Domací úkol 1. nováhy na prutu.

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 8 2.3 Konstitutivní rovnice ε σ Předpokládáme lineárně pružný izotropní materiál Složkový zápis C σx(x) σy (x) σz (x) τyz (x) τzx(x) τxy (x) =λ(x) Trojrozměrný problém 1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 ν ν 1 ν 0 0 0 0 0 0 1 2ν 0 0 2 0 0 0 0 1 2ν 0 2 0 0 0 0 0 1 2ν 2 σ(x) = D(x) ( ε(x) ε 0 (x) ) εx(x) εy (x) εz (x) γyz (x) γzx(x) γxy (x) Jednorozměrný problém σ(x) = E(x) ( ε(x) ε 0 (x) ) λ(x) = E(x) (1+ν(x))(1 2ν(x)), oedometrický modul E oed(x) = λ(x)(1 ν(x)) ε 0 (x) vyjadřuje počáteční deformace, typicky od teplotních účinků

2 ZÁKLADNÍ ROVNCE MECHANKY 9 2.4 Okrajové podmínky Statické (přirozené) okrajové podmínky Složkový zápis D Trojrozměrná úloha: x Γ p σx(x) ] σy (x) [ n x(x) 0 0 0 nz (x) ny (x) 0 ny (x) 0 nz (x) 0 nx(x) 0 0 nz (x) ny (x) nx(x) 0 σz (x) τyz (x) τzx(x) { px (x) p y (x) p z (x) } = { 0 0 0 } τxy (x) n(x)σ(x) p(x) = 0 Jednorozměrná úloha: x p N x (x) N x (x) = 0 Kinematické (podstatné) okrajové podmínky Trojrozměrná úloha: x Γ u Jednorozměrná úloha: x u u(x) u(x) = 0 u(x) u(x) = 0

3 DEFORMAČNÍ VARANTA ŘEŠENÍ 10 3 Deformační varianta řešení u(x) GR ε(x) KR SR { }} { σ(x) A(σ) = 0 Lamého rovnice pružnosti x Ω Trojrozměrná úloha ( ( )) D(x) T u(x) ε 0 (x) + X = 0 x Γ u u(x) u(x) = 0 ( ) x Γ p n(x) D(x)( T u(x) ε 0 (x)) p(x) = 0 x d Jednorozměrná úloha ( )) E(x)A(x) ε0 (x) x u u(x) u(x) = 0 x p N(x) N(x) = 0 ( du(x) + f x (x) = 0 Funkci u(x) resp. u(x) splňující všechny předchozí rovnice nazveme silným řešením rovnic pružnosti.

4 SLABÁ FORMULACE PODMÍNEK ROVNOVÁHY 11 4 Slabá formulace podmínek rovnováhy 4.1 Jednorozměrná úloha Podmínky rovnováhy platí v libovolném bodě x pro všechny váhové funkce δu(x) ( ( ( )) ) d du(x) δu(x) E(x)A(x) ε0 (x) + f x (x) = 0 (1) Kinematické okrajové podmínky (u(x) u(x)) x u = 0 Pro jednoduchost předpokládáme, že u(x) = 0 Statické okrajové podmínky ( Nx (x) N x (x) ) x p = 0

4 SLABÁ FORMULACE PODMÍNEK ROVNOVÁHY 12 ntegrace per partes f(x)g (x) = [f(x)g(x)] b a g(x)f (x) Tedy g(x)=n x (x) f(x) { }} { δu(x) ( {( ( }} { d du(x) ) E(x)A(x) (x))) ε0 = [δu(x)nx (x)] u + [ δu(x)n x (x) ] ( ( )) d(δu(x)) du(x) p E(x)A(x) ε0 (x) Po dosazení do původní podmínky (1) 0 = [δu(x)n x (x)] u [ δu(x)n x (x) ] p { ( ( )) d(δu(x)) du(x) + E(x)A(x) ε0 (x) } δu(x)f x (x)

4 SLABÁ FORMULACE PODMÍNEK ROVNOVÁHY 13 Pokud váhová funkce δu(x) splňuje kinematické okrajové podmínky na u, vypadává z předchozího vztahu člen [δu(x)n x (x)] u. Dostáváme + d(δu(x)) ( E(x)A(x) du(x) ) = δu(x)f x (x) d(δu(x)) E(x)A(x)ε 0 (x) + [ δu(x)n x (x) ] p (2) Slabé řešení rovnic pružnosti: funkce u(x), splňující kinematické okrajové podmínky a rovnost (2) pro všechny váhové funkce δu(x) splňující kinematické okrajové podmínky rovnic pružnosti Silné řešení Slabé řešení Statické rovnice Přesně V průměru Kinematické okrajové podmínky Přesně Přesně Statické okrajové podmínky Přesně V průměru

4 SLABÁ FORMULACE PODMÍNEK ROVNOVÁHY 14 4.2 Trojrozměrná úloha Vážená (zprůměrovaná) forma podmínek rovnováhy Ω δu(x) T( σ(x) {( ( }} )){ D(x) T u(x) ε 0 (x) +X(x) ) = 0 δu(x) splňuje kinematické okrajové podmínky Statické okrajové podmínky Γ p δu(x) T n(x)σ(x) = Γ p δu(x) T p(x) ntegrace per partes Clapeyronův teorém f(x) T g(x) = Ω Γ f(x) T n(x)g(x) Ω ( T f(x)) T g(x)

4 SLABÁ FORMULACE PODMÍNEK ROVNOVÁHY 15 Tedy Ω Ω δu(x) T ( ( ( ))) D(x) T u(x) ε 0 (x) ( ) T ( ) T δu(x) D(x) T u(x) ε 0 (x) = Γ p δu(x) T p(x) Slabé řešení: Najdi u(x), u(x) = u(x) = 0 na Γ u, které splňuje ( ) T ( ) T δu(x) D(x) T u(x) = δu(x) T X(x) + Ω Ω ( T δu(x)) T D(x)ε 0 (x) + Ω Γ p δu(x) T p(x) pro všechna δu(x), která splňují kinematické okrajové podmínky. Domací úkol 2. Jaká je souvislost slabého řešení s principem virtuálních posunutí? [5, kap. 5]

5 DSKRETZACE 16 5 Diskretizace když jsou podmínky na řešení zeslabené, jedná se stále o nekonečnědimenzionální úlohu (platí pro všechny δu(x) resp. δu(x)). Nutno převést na úlohu s konečným počtem parametrů tzv. diskretizace. 5.1 Jednorozměrná úloha Funkci u(x) hledáme ve tvaru u 1 u(x) n N i (x)u i i=1 = [N 1 (x), N 2 (x),..., N n (x)] u 2. u n = N(x)r N i (x) jsou známé bázové funkce a r i jsou neznámé koeficienty lineární kombinace; n je počet stupňů volnosti úlohy

5 DSKRETZACE 17 Pokud je dán vektor r, můžeme vypočítat hodnoty posunů v libovolném bodě x u(x) N(x)r přetvoření v libovolném bodě x ε(x) d N(x)r = B(x)r napětí v libovolném bodě x σ(x) = E(x) ( ε(x) ε 0 (x) ) E(x) ( B(x)r ε 0 (x) ) Pro určení vektoru r je nutno specifikovat n nezávislých podmínek. Jejich konkrétní podoba závisí na volbě váhových funkcí δu [1, str.!!!]. Volba ve tvaru δu(x) N(x)δr, vede na tzv. Galerkinovu metodu (δr n 1 je nezávislé na r).

5 DSKRETZACE 18 Po dosazení předchozích aproximací do (2) dostáváme podmínku δr T B(x) T E(x)A(x)B(x)r = δr T N(x) T f x (x) [ ] + δr T B(x) T E(x)A(x)ε 0 (x) + δr T N(x) T N x (x) která musí být splněna pro všechna δr. Člen δr T můžeme z předchozí rovnosti vytknout, jelikož není funkcí x: p, ( ) ( δr T B(x) T E(x)A(x)B(x) r = δr T N(x) T f x (x) ( ) + δr T B(x) T E(x)A(x)ε 0 (x) + δr T [ N(x) T N x (x) ] p )

5 DSKRETZACE 19 Tato rovnice bude splněna pro všechna δr, pouze pokud bude r řešením soustavy lineárních rovnic K r = R f + R 0 + R p Jednotlivé členy Symetrická matice tuhosti K n n K = B(x) T E(x)A(x)B(x) (3) Vektor zobecněného zatížení od objemových sil R f n 1 R f = N(x) T f x (x) (4) Vektor zobecněného zatížení od počátečních deformací R 0n 1 R 0 = B(x) T E(x)A(x)ε 0 (x) (5)

5 DSKRETZACE 20 Vektor zobecněného zatížení od povrchových sil R pn 1 R p = [ N(x) T N x (x) ] p (6) R. Courant A.-L. Cauchy G. Lamé R. Hooke B.G. Galerkin

5 DSKRETZACE 21 5.2 Trojrozměrný problém Aproximace u(x) u(x) v(x) w(x) n N i (x) i=1 u i v i w i u 1 = N 1 (x) 0 0... N n (x) 0 0 0 N 1 (x) 0... 0 N n (x) 0 0 0 N 1 (x)... 0 0 N n (x) v 1 w 1. u n v n w n

5 DSKRETZACE 22 Tedy u(x) N(x)r Pokud známe 3n-rozměrný vektor r, můžeme určit hodnoty posunů v libovolném bodě x u(x) N(x)r přetvoření v libovolném bodě x ε(x) = T u(x) T N(x)r = B(x)r napětí v libovolném bodě x σ(x) = D(x) ( ε(x) ε 0 (x) ) Galerkinova metoda váhové funkce volíme ve tvaru δu(x) N(x)δr. D(x) ( B(x)r ε 0 (x) ) další postup úplně stejný jako pro jednorozměrnou úlohu

6 PRNCP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 23 Domací úkol 3. Odvoďte matici tuhosti a vektor zobecněného zatížení pro trojrozměrnou úlohu pružnosti. 6 Princip metody konečných prvků Speciální případ Galerkinovy metody, šikovná volba bázových funkcí N i Řešenou oblast rozdělíme na n uzlových bodů. Neznámé u i, v i a w i mají nyní fyzikální význam posunů daných uzlových bodů Každému uzlovému bodu přísluší jedna bázová funkce, jejíž hodnota je v daném uzlu rovná jedné, zatímco v ostatních uzlech je nulová.

6 PRNCP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 24 Jednorozměrná úloha Dvojrozměrná úloha Bázová funkce může být vyskládána z příspěvků od jednotlivých prvků. Jednorozměrná úloha Dvojrozměrná úloha

6 PRNCP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 25 Jednotlivé matice a vektory z rovnic (3) (6) stačí určit pouze jednou pro daný typ prvku. Z fyzikálního hlediska mají úplně stejný význam jako v deformační metodě (koncové síly od posunů uzlů, koncové síly od zatížení a poklesu podpor) Zpětné vyskládání zaručíme tzv. lokalizací příspěvků jednotlivých prvků Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -001: str. 12: integrace per partes, opraven člen f(x) na f (x) (na chybu upozornila A. Kučerová) Opravy verze 000: str. 8: doplněn vztah pro E oed, str. 13, 16, 17, 18: oprava gramatiky, (na chyby upozornil J. Šejnoha), str. 8: opraven třetí řádek matice tuhosti, str. 10, jednorozměrná úloha, připsán člen d/, str.17 opraveno w na δu, str.18: v první rovnici opraveno + na = (chyby nalezené v průběhu přednášky), doplněné citace Opravy verze 001: str. 6: pro větší názornost doplněny podmínky rovnováhy v napětích (vylepšení navrhl P. Gruber) Opravy verze 002: str. 14: opraven člen δu na f (na chybu upozornil J. Šejnoha)

6 PRNCP METODY KONEČNÝCH PRVKŮ 26 Opravy verze 003: str. 10, 11, 14: opravena znaménka u X a f x. (na chyby upozornila J. Egrtová) Opravy verze 004: Označeny důležité vztahy, opraveno označení pro řádkové matice z A na A. Doplněny vektorové verze obrázků. Opravy verze 005: Opraveny překlepy na str. 16 a 19. (na chyby upozornil M. Jandera) Verze 006

A GEOMETRCKÉ ROVNCE 27 A Geometrické rovnice Podrobné odvození viz [4, str. 9 11] ε x (x) = u(x) x ε y (x) = v(x) y ε z (x) = w(x) z γ yz (x) = v(x) + w(x) z y γ zx (x) = w(x) x γ xy (x) = u(x) y + u(x) z + v(x) x

B STATCKÉ ROVNCE 28 B Statické rovnice σ x (x) + τ xy(x) x y τ xy (x) + σ y(x) x y τ zx (x) x + τ yz(x) y Podrobné odvození viz [4, str. 16 19] + τ zx(x) z + τ yz(x) z + σ z(x) z + X(x) = 0 + Y (x) = 0 + Z(x) = 0

C KONSTTUTVNÍ ROVNCE 29 C Konstitutivní rovnice σ x (x) = σ y (x) = σ z (x) = τ yz (x) = τ zx (x) = τ zx (x) = E ( (1 ν(x))εx (x) + ν(x)(ε y (x) + ε z (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) E ( (1 ν(x))εy (x) + ν(x)(ε x (x) + ε z (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) E ( (1 ν(x))εz (x) + ν(x)(ε x (x) + ε y (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) E (1 2ν(x) γ yz (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) 2 E (1 2ν(x) γ zx (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) 2 E (1 2ν(x) γ zx (x) ) (1 + ν(x))(1 2ν(x)) 2 Podrobné odvození viz [4, str. 28 32]

D STATCKÉ OKRAJOVÉ PODMÍNKY 30 D Statické okrajové podmínky σ x (x)n x (x) + τ xy (x)n y (x) + τ zx (x)n z (x) p x (x) = 0 τ xy (x)n x (x) + σ y (x)n y (x) + τ yz (x)n z (x) p y (x) = 0 τ zx (x)n x (x) + τ yz (x)n y (x) + σ z (x)n z (x) p z (x) = 0 Podrobné odvození viz [4, str. 14 15]

REFERENCE 31 Reference [1] P. Brož and P. Procházka, Metoda okrajových prvků v inženýrské praxi, SNTL, Praha, 1987. [2] R. Courant, Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society 49 (1943), 1 23. [3] M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and L. J. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex structures, Journal Aeronautical Science 23 (1956), 805 824. [4] J. Šejnoha and J. Bittnarová, Pružnost a pevnost 10, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997. [5], Pružnost a pevnost 20, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1998.