1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

Transkript

1 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové rovině desky zůstávají rovinnými i po defor-

2 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ maci, nejsou však nezbytně kolmé ke střednicové rovině desky ( ) w(x, y) u(x, y, z) = ϕ y (x, y)z = γ xz (x, y) z v(x, y, z) = ϕ x (x, y)z = ( γ yz (x, y) w(x, y) y ) z Předpoklady poprvé formulovány Reissnerem [3] a Mindlinem []. S. Germain G. R. Kirchhoff S. Poisson E. Reissner S. P. Timošenko

3 GEOMETRICKÉ ROVNICE 3 Geometrické rovnice Základní neznámé: w(x, y), ϕ x (x, y) a ϕ y (x, y) Nenulové složky deformace ε x (x, y, z) = u = ϕ y z = κ x(x, y)z ε y (x, y, z) = v y = ϕ x γ xy (x, y, z) = u y + v = y z = κ y(x, y)z ( ϕy y ϕ ) x z = κ xy (x, y)z γ xz (x, y) = u z + w = ϕ y(x, y) + w (x, y) γ yz (x, y) = v z + w y = ϕ x(x, y) + w (x, y) y Membránové složky deformace (v rovině xy) ε m (x, y, z) = {ε x (x, y, z), ε y (x, y, z), γ xy (x, y, z)} T

4 GEOMETRICKÉ ROVNICE 4 Smykové složky deformace (v rovinách kolmých na rovinu xy) γ(x, y) = {γ xz (x, y), γ yz (x, y)} T Maticový zápis pro membránové složky ε x (x, y, z) ε y (x, y, z) = γ xy (x, y, z) κ x (x, y) κ y (x, y) κ xy (x, y) ε m (x, y, z) = κ(x, y)z z

5 GEOMETRICKÉ ROVNICE 5 (Pseudo)křivosti ohybové plochy desky κ x (x, y) 0 κ y (x, y) = 0 y κ xy (x, y) y 0 = y 1 0 y κ(x, y) = T S ϕ(x, y) ϕ y (x, y) ϕ x (x, y) ϕ x (x, y) ϕ y (x, y)

6 3 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 6 Maticový zápis pro smykové složky γ xz (x, y) γ yz (x, y) = y w(x, y) + γ(x, y) = w(x, y) + S ϕ(x, y) ϕ y (x, y) ϕ x (x, y) 3 Konstitutivní rovnice Posledním z předpokladů je zanedbání normálového napětí σ z zbývajícím složkám napětí vůči V každé vrstvě (z = konst) lze tedy aproximovat trojrozměrnou napjatost rovinnou napjatostí

7 3 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 7 Membránové účinky σ x (x, y, z) σ y (x, y, z) = τ xy (x, y, z) E(x, y) 1 ν (x, y) σ m (x, y, z) = D m (x, y)ε m (x, y, z) 1 ν 0 ν ν ε x (x, y, z) ε y (x, y, z) γ xy (x, y, z) Smykové účinky τ xz (x, y) τ yz (x, y) = G(x, y) 0 0 G(x, y) τ xz (x, y) τ yz (x, y) τ(x, y) = G(x, y)i γ(x, y)

8 4 STATICKÉ ROVNICE 8 4 Statické rovnice Uvažujeme pouze zatížení působící ve směru osy z Podmínky rovnováhy σ x (x, y, z) τ xy (x, y, z) τ zx (x, y) + τ xy(x, y, z) y + σ y(x, y, z) y + τ yz(x, y) y + τ zx(x, y) z + τ yz(x, y) z = 0 (1) = 0 () + Z(x, y, z) = 0 (3) Po přenásobení podmínky rovnováhy (1) proměnnou z a její integraci podle z dostáváme h ( σx (x, y, z) + τ xy(x, y, z) y + τ ) zx(x, y) z dz = 0 z

9 4 STATICKÉ ROVNICE 9 Podtržený člen upravíme pomocí integrace per partes h τ zx (x, y) z dz = [τ zx (x, y)z] h z h h τ zx (x, y) dz Tedy h σ x (x, y, z)z dz + y h τ xy (x, y, z)z dz h τ zx (x, y) dz = 0 m x(x, y) + y m xy(x, y) q x (x, y) = 0 Obdobně integrací () s vahou z vyjde kde m xy(x, y) + y m y(x, y) q y (x, y) = 0, m y (x, y) = h σ y (x, y, z)z dz.

10 4 STATICKÉ ROVNICE 10 Integrací (3) vyplyne poslední podmínka rovnováhy h ( τzx (x, y) + τ yz(x, y) y ) + Z(x, y, z) dz = 0 h τ zx (x, y) dz + y h τ zy (x, y) dz + h Z(x, y, z) dz = 0 q x(x, y) + y q y(x, y) + p(x, y) = 0 Detailnější odvození viz domácí úkol č., přednáška 1. Domácí úkol. Proč se při odvozování neuvažovaly integrály (1) dz, () dz a (3)z dz? Odvoďte podmínky rovnováhy obdobným způsobem jako v přednášce, str. 5.

11 4 STATICKÉ ROVNICE Maticový zápis podmínek rovnováhy Poloha charakterizována vektorem x = {x, y} T Momentové podmínky rovnováhy 0 0 y y m x (x) m y (x) m xy (x) q x (x) q y (x) = 0 0 m(x) q(x) = 0 (4) Silové podmínky rovnováhy { y } q x (x) q y (x) + p(x) = 0 T q(x) + p(x) = 0 (5)

12 4 STATICKÉ ROVNICE 1 4. Maticový zápis konstitutivních rovnic Cílem je vyjádřit vztah mezi základními deformačními neznámými (ϕ a w) a měrnými vnitřními silami (m a q) Vztah pro měrné momenty m m x (x) m y (x) = m xy (x) h σ x (x, z) σ y (x, z) τ xy (x, z) z dz m(x) = σ m (x, z)z dz = D m (x)ε m (x, z) dz h h = h D m (x)κ(x)z dz = h3 (x) 1 D m(x)κ(x) = D b (x)κ(x) m(x) = D b (x) T S ϕ(x) (6)

13 5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY 13 Vztah pro měrné posouvající síly q q(x) = k(x) τ(x) dz = k(x) G(x)I γ(x) dz h h = k(x)g(x)ih(x)γ(x) = D s (x)γ(x) q(x) = D s (x) ( w(x) + S ϕ(x) ) (7) 5 Okrajové podmínky 5.1 Posouvající síly Kinematické okrajové podmínky: x Γ qu w(x) w(x) = 0

14 5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY 14 Statické okrajové podmínky: x Γ q (Γ = Γ qu Γ q ) q x (x)n x (x) + q y (x)n y (x) q(x) = 0 q x (x) { n x (x) n y (x) } q y (x) q(x) = 0 n(x) T q(x) q(x) = 0

15 5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY Ohybové namáhání Kinematické okrajové podmínky: x Γ mu ϕ(x) ϕ(x) = 0 Statické okrajové podmínky: x Γ m (Γ = Γ mu Γ m ) n x(x) 0 n y (x) m x (x) m x (x) m y (x) 0 n y (x) n x (x) m y (x) = m xy (x) n(x)m(x) m(x) = Momenty m často zadávány v soustavě souřadnic n t m x (x) m y (x) = n x(x) n y (x) m n (x) n y (x) n x (x) m nt (x) m(x) = T (x) T m l (x)

16 5 OKRAJOVÉ PODMÍNKY 16 Příklady Typ Γ qu Γ q Γ mu Γ m Vetknutí Kloub Volný okraj Vetknutí Kloub Volný okraj

17 6 SLABÉ ŘEŠENÍ 17 6 Slabé řešení Vyjdeme z maticového zápisu podmínek rovnováhy; viz (4) a (5). Pro všechna δϕ = 0 na Γ mu a δw = 0 na Γ qu tedy musí platit δϕ(x) T ( m(x) q(x) ) dx = 0 δw(x) ( ) T q(x) + p(x) dx = 0 Slabou formulaci momentové podmínky rovnováhy (4) upravíme použitím Clapeyronova vztahu 0 = δϕ(x) T ( m(x) q(x) ) dx Clayperon = m na Γ m {}}{ δϕ(x) T n(x)m(x) dx Γ m δϕ(x) T q(x) dx ( T δϕ(x)) T m(x) dx

18 6 SLABÉ ŘEŠENÍ 18 Slabou formulaci silové podmínky rovnováhy (5) upravíme pomocí Gaussova- Greenova vztahu f(x) T g(x) dx = f(x)n(x) T g(x) dx ( f(x)) T g(x) dx Dostáváme tedy 0 = Gauss = + δw(x) Γ ( ) T q(x) + p(x) q na Γ q {}}{ δw(x) n(x) T q(x) dx Γ q δw(x)p(x) dx dx ( δw(x)) T q(x) dx

19 6 SLABÉ ŘEŠENÍ 19 Výsledné vztahy ( ) T T δϕ(x) m(x) dx + ( δw(x)) T q(x) dx = δϕ(x) T q(x) dx = Γ q δw(x)q dx + δϕ(x) T m(x) dx Γ m δw(x)p(x) dx Dosazením z konstitutivních rovnic (6) a (7) získáme řídicí rovnice pro danou úlohu Postup diskretizace je stejný jako u předchozích úloh Analogicky k modelování ohýbaných nosníků musíme ošetřit smykové ztuhnutí prvku Podrobnější diskusi lze nalézt v [1, kapitola 3.6] nebo v [4, Kapitoly 3 a 4]

20 7 MINDLINOVSKÉ VS KIRCHHOFFOVSKÉ DESKY 0 7 Mindlinovské vs kirchhoffovské desky Mindlin Kirchhoff t/l < 1/3 < 1/10 Normála přímá přímá, kolmá Neznámé w, ϕ x a ϕ y w ϕ y = w/, ϕ x = w/y Podmínky rovnováhy momentové a silová silová + momentová Statické okrajové podmínky Momenty m x, m y, m xy m x, m y Posouvající síly q x, q y q x + m xy /y q y + m xy / Rohy rohové síly okrajová vrstva

21 7 MINDLINOVSKÉ VS KIRCHHOFFOVSKÉ DESKY Mindlin 1 Kirchhoff k = mxy = myx Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů a nepřesností (na chyby upozornil J. Šejnoha) Opravy verze 001: str. 9: změněno integraciÿ na integracíÿ (na chybu upozornil M. Šejnoha), rozšíření domácího úkolu

22 REFERENCE Verze 001 Reference [1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol. I, ES ČVUT, Praha, 199. [] R. D. Mindlin, Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates, Journal of Applied Mechanics 18 (1951), [3] E. Reissner, The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates, Journal of Applied Mechanics 1 (1945), [4] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor, Finite element method: Volume, Solid mechanics, fifth ed., Butterworth-Heinemann, 000.