Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala"

Transkript

1 Úvod do "Boundary Elements Method" Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky SNA 07, ledna p. /46

2 . Úvod.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Úvod do BEM.. Úvod - p. 2/46

3 Vnitřní a vnější okrajová u = f v Ω, + okrajové podmínky na Ω du ) u = g na Ω, dn = h na Ω,... ; Ω R N... omezená oblast s dost hladkou hranicí N 2). u = f v R N \ Ω, + okrajové podmínky na Ω, + podmínky v ) ) u = O x N 2 pro x.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Úvod do BEM.. Úvod - p. 3/46

4 Příklad. { u = f v Ω, u = 0 na Ω. Klasické řešení: u C 2 Ω) CΩ),... u v dx = Ω Ω fv dx.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Slabé řešení: u W,2 0 Ω),... Platí: u je dost hladké slabé řešení u je klasické řešení. Neplatí: u je klasické řešení u je slabé řešení. Úvod do BEM.. Úvod - p. 4/46

5 Ale! Příklad. { u = f v B 0) R 2, u = 0 na B 0). 2 ux, y) = x2 y + x 2 + y 2 =: fx, y), 2 x2 y 2 ) 3 ux, y) := x 2 y 2 C B 0)) CB 0)), B 0) u 2 dxdy = B 0) u je klasickým řešením. ) 2+ ) 2 x y dxdy = x2 y 2 x2 y 2. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. = 2π 0 r 2 r r dr = 2π 2 0 2r+) + 2 r) r) dr =, a proto u / W,2 0 B 0)); u není slabým řešením. Úvod do BEM.. Úvod - p. 5/46

6 Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na kouli. kde DK) { u = 0 v BR x 0 ), u = ϕ na B R x 0 ), R > 0, x 0 R N, B R x 0 ) = {x R N : x x 0 < R}, ϕ C B R x 0 ) ). Věta. Bud ux) := ϕx), x B R x 0 ), κ N R B R x 0 ) ϕy) R2 x x 0 2 x y N ds y, x B R x 0 ), kde κ N je povrch jednotkové koule v R N. κ N = 2πN/2 ΓN/2), Pak u C B R x 0 ) ) C B R x 0 ) ) je jediným klasickým) řešením úlohy DK) a platí u ϕ.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Γk) = k )!, Γk + 2 ) = 2k )!! 2 π, k 2k )!! = 2k )2k 3) 3. κ = 2, κ 2 = 2π, κ 3 = 4π, κ 4 = 2π 2, κ 5 = 8 3 π2, κ 6 = π 3, κ 7 = 6 5 π3, κ 8 = 3 π4,... Úvod do BEM.. Úvod - p. 6/46

7 Řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rov. na vnějšku koule. DVK) Věta. Bud ux) := u = 0 v R N \ B R x 0 ), u = ϕ na B R x 0 ), ϕ C B R x 0 ) ), ) u = O x N 2 pro x. ϕx), x B R x 0 ), κ N R ϕy) x x 0 2 R 2 ds x y N y, x x 0 > R. B R x 0 ). Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. Pak u C R N \ B R x 0 ) ) C R N \ B R x 0 ) ) je jediným klasickým) řešením úlohy DVK). Úvod do BEM.. Úvod - p. 7/46

8 N = Věta Gauss). Necht Ω R N, kde N, je omezená oblast s dost hladkou hranicí. Pak u C Ω) i {,..., N} : Ω u x i dx = Ω u n i ds n = n, n 2,..., n N )... jednotkový vektor vnější normály). u C a, b ) : b a u dx = [u] b a = ub) ua),. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. u, v C a, b ) : b a b a u v dx = [uv] b a uv) dx = [uv] b a, a proto b a uv dx. Úvod do BEM.. Úvod - p. 8/46

9 Ω u x i dx = Ω u n ids N = 2 Další důsledky Gaussovy věty: Věta Green). Bud Ω R 2 a f, f 2 ) : R 2 R 2 třídy C na Ω. Pak f2 ) x f dxdy = y Ω Ω) f, f 2 ) ds.. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. N = 3 Věta Gauss - Ostrogradskij). Bud Ω R 3 a f, f 2, f 3 ) : R 3 R 3 třídy C na Ω. Pak Ω f ) x + f 2 y + f 3 dxdy dz = z Ω) f, f 2, f 3 ) ds. Úvod do BEM.. Úvod - p. 9/46

10 Ω uv) x i dx = Ω uv n ids u, v C Ω) : u, v C 2 Ω) : u, v C 2 Ω) : Ω Ω u v dx = u v dx + x i Ω x i 2 u x 2 v dx = i Ω Ω u v dx = u v dx + x i x i Ω Ω Ω u v dx+ Ω uvn i ds u x i vn i ds du dn v ds.... Greenova formule. Úvod. Klasické a slabé řešení PDR. úloha na kouli. úloha na vnějšku koule. Gaussova věta. Greenovy formule. u, v C 2 Ω) : Ω u v u v ) dx = Ω du dn v u dv ) ds dn Greenova formule Úvod do BEM.. Úvod - p. 0/46

11 2. Harmonické funkce. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. /46

12 Definice. Bud Ω R N omezená oblast. Řekneme, že funkce u C 2 Ω) je harmonická v Ω, platí-li: u = 0 v Ω. Bud Ω R N neomezená oblast. Řekneme, že funkce u C 2 Ω) je harmonická v Ω, platí-li: u = 0 v Ω a současně u = O pro x. ) x N 2 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. K > 0) R > 0) x R N, x > R ) : ux) K x N 2. Příklady. Funkce u := je harmonická v každé oblasti, je-li N = 2. Funkce u := je harmonická v každé omezené oblasti a není harmonická v žádné neomezené oblasti, je-li N > 2. Funkce ux, y) := x 2 y 2 je harmonická v každé omezené oblasti v R 2. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 2/46

13 Věta. Bud N > 2. Definujme vx, y) := x y N 2 : RN R N R. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. Pak pro každé y R N je funkce x vx, y) harmonická v každé oblasti, která neobsahuje bod y. Věta. Bud N = 2. Definujme vx, y) := ln x y : R2 R 2 R. Pak pro každé y R 2 je funkce x vx, y) harmonická v každé omezené oblasti, která neobsahuje bod y. Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 3/46

14 Definice. Funkci vx,y) := N 2)κ N ln 2π x y x y N 2, je-li N 3,, je-li N = 2, 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplac. rovnice. nazýváme elementárním řešením Laplaceovy rovnice tj. rovnice u = 0). Věta. Pro každé y R N platí x vx,y) = N i= 2 v x 2 i x,y) = δ y δx y) derivace je třeba chápat ve smyslu distribucí). Úvod do BEM. 2. Harmonické funkce. Elementární řešení Laplaceovy rovnice - p. 4/46

15 3. Potenciály. 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 5/46

16 Věta o třech potenciálech). Bud Ω R N N 2) omezená oblast s dost hladkou hranicí, v : R N R N R elementární řešení Laplaceovy rovnice a u C 2 Ω). Pak pro každé x Ω platí ux) = Ω uy)vx, y) dy+ vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y. Ω dn dn y 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Speciálně: je-li navíc u = 0 v Ω, je x Ω : ux) = Ω vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y. dn dn y Důsledek věta o regularitě). Bud Ω R N N 2) libovolná oblast, u C 2 Ω), u = 0 v Ω. Pak u C Ω). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 6/46

17 ux) = Ω uy)vx, y)dy + Ω vx, y) du dv y) dn dn y x, y)uy)ds y. V dalším uvažujme pouze případ N 3. Definice. vx) := Ω µy) x y N 2 ds y wx) := Ω σy) d... potenciál jednoduché vrstvy, dn y x y N 2 ) ds y 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy.... potenciál dvojvrstvy, ϕx) := Ω y) x y N 2 dy... objemový Newtonův) potenciál; µ, σ,... hustoty příslušných potenciálů). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 7/46

18 ϕx) := Ω y) x y N 2 dy Věta vlastnosti objemového potenciálu). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud L Ω). Pak potenciál ϕ je spojitý a spojitě diferencovatelný v R N, harmonická funkce v každé oblasti G R N \ Ω. Je-li C Ω), je ϕ C 2 Ω), x Ω : ϕx) = N 2)κ N x). 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. Uvedený výsledek nám umožňuje konstruovat partikulární řešení Poissonovy rovnice a převést tak okrajovou úlohu pro Poissonovu rovnici na okrajovou úlohu pro Laplaceovu rovnici: } u 0 = f C Ω) u + u 0 ) = f; u = 0 u 0 x) = N 2)κ N Ω fy) x y N 2 dy. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 8/46

19 ϕx) := Ω y) x y N 2 dy, C Ω) ϕx) = N 2)κ N x). ϕx) = Příklad. Objemovým potenciálem koule B r 0) R 3 s hustotou := je funkce 2π 3 3r2 x 2 ), je-li x r, 4π 3 r 3, je-li x > r. x ϕx) r = 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy x x Odtud plyne, že jedním z řešení rovnice u = na B r 0) R 3 je funkce ux) := 4π 2π 3 3r2 x 2 ) = 6 x 2 + konst., takže taky např.) funkce ũx) := 6 x 2. Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 9/46

20 vx) := Ω µy) x y N 2 ds y Věta vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud µ L Ω). Pak potenciál v je harmonickou funkcí v oblastech Ω a R N \ Ω. Je-li µ C Ω), je potenciál v spojitý v R N a pro každé x Ω platí: [ dv dn x x) ] dv := lim i α 0 dn x x + αn x ) = N 2)κ N 2 µx) + dv dn x x), kde dv dn x x) := Ω µy) d dn x x y N 2 ) dsy ; 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. [ dv dn x x) ] e := lim α 0+ dv dn x x + αn x ) = N 2)κ N 2 µx) + dv dn x x). Takže [ dv x) ] dn [ dv x) ] ) i x dn = N 2)κ e Nµx). x Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 20/46

21 vx) := Ω µy) x y N 2 ds y Příklad. Potenciálem jednoduché vrstvy na sféře B r 0) R 3 s hustotou µ := je funkce vx) = 4πr, je-li x r, 4π r2 x, je-li x > r vx) r = 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy x x Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 2/46

22 wx) := Ω σy) d dn y x y N 2 )ds y Věta vlastnosti potenciálu dvojvrstvy). Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a bud σ L Ω). Pak potenciál w je harmonickou funkcí v oblastech Ω a R N \ Ω. Je-li σ C Ω), je w Ω C Ω) a pro každé x Ω platí: w e x) := lim w x) = N 2)κ N 2 σx) + wx), x x x R N \ Ω 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy. w i x) := lim x x x Ω w x) = N 2)κ N 2 σx) + wx). ) Takže w e x) w i x) = N 2)κ N σx). Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 22/46

23 wx) := Ω σy) d dn y x y N 2 )ds y Příklad. Potenciálem dvojvrstvy na sféře B r 0) R 3 s hustotou σ := je funkce wx) = 4π, je-li x < r, 2π, je-li x = r, 0, je-li x > r x x wx) 3. Potenciály. Věta o třech potenciálech. Definice potenciálů. Vlastnosti: - objem. pot., - p. jedn. vrst., - p. dvojvrstvy r = Úvod do BEM. 3. Potenciály - p. 23/46

24 4. Metoda potenciálů. 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 24/46

25 Vnitřní Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém D i ) { u = 0 v Ω, u = g na Ω. Hledejme klasické) řešení u C 2 Ω) CΩ) problému D i ) ve tvaru potenciálu dvojvrstvy s neznámou hustotou σ C Ω), tj. ) Ω ux) := σy) d dn y ds x y N 2 y, x Ω, gx), x Ω. 4. Metoda potenciálů. Protože potenciál dvojvrstvy je na Ω harmonickou funkcí tj. splňuje Laplaceovu rovnici automaticky), jde pouze o to určit hustotu σ tak, aby platilo, že u CΩ), tzn. aby pro každé x Ω: gx)= u i x) = N 2)κ N 2 σx)+ Ω σy) d ) dn y ds x y N 2 y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 25/46

26 D i ): u = 0 v Ω, u = g na Ω. tj. aby ) x Ω : σx) 2 N 2)κ N Ω σy) d ) dn y x y N 2 ds y = 2 N 2)κ N gx). )... Fredholmova integrální rovnice druhého druhu. Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy D i ). Tímto řešením je funkce ux) := { Ω σy) d gx), x Ω, ) dn y ds x y N 2 y, x Ω, ) 4. Metoda potenciálů. kde σ je řešením rovnice ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 26/46

27 Vnější Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém N e ) u = 0 v R N \ Ω, [ du ] = g na Ω, dn e ) u = O x N 2 pro x. Hledejme klasické) řešení u C 2 R N \ Ω) CR N \ Ω) problému N e ) ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s neznámou hustotou µ C Ω), tj. ux) := µy) x y N 2 ds y. Ω Protože potenciál jednoduché vrstvy je na R N \ Ω harmonickou funkcí, jde pouze o to určit hustotu µ tak, aby pro každé x Ω : gx) = [ du dn x)] e = N 2)κ N 2 µx) + Ω µy) d dn x x y N 2 ) ds y, 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 27/46

28 N e ): u = 0 v R N \ Ω, [ du dn ]e = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. aby ) x Ω : µx) 2 N 2)κ N Ω µy) d ) dn x x y N 2 )... adjungovaná rovnice k ). ds y = 2 N 2)κ N gx). Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy N e ). Tímto řešením je funkce ux) := Ω µy) x y N 2 ds y, ) 4. Metoda potenciálů. kde µ je řešením rovnice ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 28/46

29 Vnější Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém D e ) u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, ) u = O x N 2 pro x. Podobně jako u D i ): funkce ) Ω ux) := σy) d dn y ds x y N 2 y, x R N \ Ω, gx), x Ω, 4. Metoda potenciálů. je klasickým) řešením úlohy D e ), je-li hustota σ C Ω) taková, že pro každé x Ω: gx)= u e x) = N 2)κ N 2 σx) + Ω σy) d ) dn y ds x y N 2 y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 29/46

30 D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. že ) x Ω : σx)+ 2 N 2)κ N Ω σy) d ) dn y x y N 2 ds y = 2 N 2)κ N gx). Tentokrát je situace složitější, může se totiž stát, že rovnice ) nemá řešení. I v takovémto případě má sice úloha D e ) řešení, toto však nemá tvar potenciálu dvojvrstvy. K této situaci dochází proto, že potenciály dvojvrstvy tvoří příliš "malou" část množiny všech harmonických funkcí v R N \ Ω. U obecné harmonické funkce totiž požadujeme, aby byla O pro x, ) x N 2 zatímco potenciál dvojvrstvy je O ) x N pro x. 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 30/46

31 D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... Pokusme se řešení najít ve tvaru součtu potenciálu dvojvrstvy a jednoduché harmonické funkce s růstem O pro x. ) x N 2 Umístěme počátek soustavy souřadnic dovnitř Ω a hledejme u ve tvaru: ) Ω σy) d dn y ds x y N 2 y + x Ω σy) ds y, N 2 ux) := x R N \ Ω, gx), x Ω. 4. Metoda potenciálů. Už víme, že σ C Ω) je takto definovaná funkce u harmonická v R N \ Ω. Zbývá tedy určit σ C Ω) tak, aby pro každé x Ω: gx) = u e x) = N 2)κ N 2 σx)+ [ Ω σy) ) d dn y x y N 2 + x N 2 ] ds y, Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 3/46

32 D e ): u = 0 v R N \ Ω, u = g na Ω, u = O ) x N 2... tj. aby ) x Ω : [ 2 σx) + N 2)κ N Ω σy) ) d dn y x y N 2 + x N 2 ] ds y = 2 N 2)κ N gx). Věta. Pro každou funkci g C Ω) existuje právě jedno klasické) řešení úlohy D e ). Tímto řešením je funkce ) Ω σy) d dn y ds x y N 2 y + x Ω σy) ds y, N 2 ux) := x R N \ Ω, gx), x Ω, kde σ C Ω) je řešením rovnice ). 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 32/46

33 Vnitřní Bud Ω R N N 3) omezená oblast s dost hladkou hranicí a g C Ω). Uvažujme problém N i ) [ du dn u = 0 v Ω, ] = g na Ω. Pozorování. Je-li funkce u klasickým řešením úlohy N i ), je i každá z funkcí v c x) := ux) + c, i 4. Metoda potenciálů. kde c R, řešením N i ). Pozorování 2. Bud u dost hladké řešení úlohy N i ) a v :=. Z. Greenovy formule Ω u v dx = Ω u v dx+ Ω pak vyplývá, že 0 = du Ω dn ds = Ω g ds. du dn v ds Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 33/46

34 N i ): u = 0 v Ω, [ ] du dn i = g na Ω. Řešení u hledejme ve tvaru potenciálu jednoduché vrstvy s hustotou µ C Ω), tj. ux) := µy) x y N 2 ds y. Ω Pro µ pak musí platit, že pro každé x Ω : gx) = [ du dn x)] i = N 2)κ N 2 µx) + Ω µy) d tj. že ) x Ω : µx) + 2 N 2)κ N Ω µy) d ) dn x x y N 2 dn x x y N 2 ) ds y, ds y = 2 N 2)κ N gx). 4. Metoda potenciálů. ) )... adjungovaná rovnice k ). Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 34/46

35 N i ): u = 0 v Ω, [ ] du dn i = g na Ω. Věta. Podmínka gx) ds Ω x = 0 je podmínkou nutnou a postačující, aby úloha N i ) s okrajovou podmínkou g C Ω)) měla řešení. Toto řešení je jednoznačně až na konstantu určeno vztahem ux) := Ω µy) x y N 2 ds y, kde µ je řešením rovnice ). 4. Metoda potenciálů. Úvod do BEM. 4. Metoda potenciálů nepřímá metoda) - p. 35/46

36 5. Přímé metody. 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 36/46

37 Smíšená - Bud Ω R 3 omezená oblast s dost hladkou hranicí Ω = Γ Γ 2 a bud g CΓ ) a g 2 CΓ 2 ). Uvažujme problém DN i ) u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] = g 2 na Γ 2. dn i Z věty o třech potenciálech vyplývá: je-li u C 2 Ω) klasickým) řešením DN i ), je x Ω : ux) = Ω vx, y) du dv y) x, y)uy) ds y, dn dn y 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. kde v : R 3 R 3 R je elementární řešení Laplaceovy rovnice, tj. funkce vx, y) := 4π x y. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 37/46

38 DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. Zjistili jsme: je-li u C 2 Ω) řešením úlohy DN i ), je pro každé x Ω : ux) = Ω Problém: 4π x y du dn y) ds y Ω 4π d dn y du dn y) =? na Γ, uy) =? na Γ 2. x y ) uy) dsy. 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Všimněme si: Ω Ω 4π 4π x y d dn y du dn y) ds y... potenciál jednoduché vrstvy s hustotou 4π du dn C Ω), x y ) uy) dsy... potenciál dvojvrstvy s hustotou 4π u C Ω). Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 38/46

39 DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. x Ω : u x) = Ω 4π du dn y) x y ds y Ω 4π uy) d dn y x y ) dsy. Limitním přechodem Ω x x Ω) dostaneme, že pro každé x Ω platí: ux) = Ω tj. 4π du dn y) x y ds y 4π 2 x Ω : 2 ux) = Ω Takže na Ω platí 4π x y 4π ux) + Ω du dn y) ds y Ω 4π uy) d 4π dn y d dn y x y ) dsy ), 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. x y ) uy) dsy. } {{ } } {{ } =: V du dn )x) 2 u = V du dn ) Ku). =: Ku)x) Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 39/46

40 DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. x Ω : ux) = Ω 4π du dn y) x y ds y Ω 4π uy) d dn y x y ) dsy. Nyní proved me limitní přechod pro "derivaci podle vnější normály". Z předpokladu u C 2 Ω) a z vlastností potenciálu jednoduché vrstvy plyne, že x Ω : = 4π 2 4π [ ] du dn x x) du dn x) + Ω i = du dn x) = 4π du dn y) d dn x x y ) dsy d dn x Ω 4π uy) d dn y 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. x y ) dsy, tzn., že pro každé x Ω platí: 2 du dn x) = Ω 4π d dn x x y ) du dn y) ds y d dn x Ω 4π d dn y x y ) uy) dsy. } {{ }} {{ } =: K du dn )x) =: Du)x) Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 40/46

41 DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. Zjistili jsme, že pro řešení u C 2 Ω) úlohy DN i ) na Ω platí: 2 2 u = V du dn ) Ku), du dn = K du dn ) + Du). Dá se dokázat, že existuje V, a proto z první rovnosti vyplývá, že du dn = V 2 I + K) u). 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Dosadíme-li tento vztah do druhé z výše uvedených rovností, dostaneme na Ω ) rovnost du dn = [ 2 I +K ) V 2 I +K) +D ] u) } {{ } =: S... Steklov - Poincaré operátor. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 4/46

42 DN i ): u = 0 v Ω, u = g na Γ, [ du ] dn i = g 2 na Γ 2. du dn = Su) := [ 2 I +K ) V 2 I +K) +D ] u), kde V λ)x) := Ω Ku)x) := Ω K λ)x) := Ω 4π 4π 4π Du)x) := d dn x Ω Dá se ukázat, že λy) ds x y y, d dn y x y ) uy) dsy, d dn x d 4π dn y x y ) λy) dsy, x y ) uy) dsy. V : H 2 Ω) H 2 Ω), K : H 2 Ω) H 2 Ω), 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. K : H 2 Ω) H 2 Ω), D : H 2 Ω) H 2 Ω) S : H 2 Ω) H 2 Ω) jsou spojitými lineárními operátory. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 42/46

43 Uvažujme problém DN i ) u = f v Ω, u = 0 na Γ, du dn = g na Γ 2, du dn = Su Nf. kde Ω R 3 je omezená oblast s dost hladkou hranicí Ω = Γ Γ 2, Γ má "kladnou míru", g L 2 Γ 2 ), f L 2 Ω). 5. Přímé metody. Smíšená DN Steklov - Poincaré operátor. Slabé hraniční řešení DN úlohy. Slabým řešením úlohy DN i ) rozumíme funkci u W := {v H Ω) : Tv = 0 na Γ } takovou, že v W : Ω u v dx = Ω fv dx + Γ 2 gtv ds. Slabým hraničním řešením úlohy DN i rozumíme funkci u W := {v H 2 Ω) : v = 0 na Γ } takovou, že v W : Su,v = Nf,v + Γ 2 gv ds. Úvod do BEM. 5. Přímé metody v R 3 ) - p. 43/46

44 Literatura. Literatura. Úvod do BEM. Literatura - p. 44/46

45 P. Drábek: Integrální rovnice, SNTL, Praha, 99; L. C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, Volume 9, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 998; J. Franců: Parciální diferenciální rovnice, skripta VUT, Brno, 2003; O. John, J. Nečas: Rovnice matematické fyziky, skripta MFF UK, Praha, 98; A. Kufner, O. John a S. Fučík: Function spaces, Academia, Praha, 977. C. Johnson: Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 995; K. Rektorys a spol.: Přehled užité matematiky II, Prometheus, Praha, 995; Literatura. Úvod do BEM. Literatura - p. 45/46

46 M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer Verlag, New York, 993; Literatura. M. Rokyta, O. John, J. Málek, M. Pokorný, J. Stará: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic, rokyta/vyuka/skripta-pdr/, 2004; M. Sadowská: Řešení variačních nerovnic pomocí hraničních integrálních rovnic, diplomová práce, VŠB-TU Ostrava, 2005; O. Steinbach: Stability estimates for hybrid coupled domain decomposition methods, Springer Verlag, Heidelberg, 2003; A. Ženíšek: Funkcionální analýza II, skripta VUT, Brno, 999; Příspěvek vznikl za podpory grantu GAČR 20/07/0294. Úvod do BEM. Literatura - p. 46/46

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2.

Definice 6.2.1. z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr. 6.2.1. Obr. 6.2. Výklad Dalším typem extrémů, kterým se budeme zabývat jsou tzv. vázané extrémy. Hledáme extrémy nějaké funkce vzhledem k předem zadaným podmínkám. Definice 6.2.1. Řekneme, že funkce f : R n D f R má v

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Rostislav Horčík. 13. října 2006

Rostislav Horčík. 13. října 2006 3. přednáška Rostislav Horčík 13. října 2006 1 Lineární prostory Definice 1 Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno sčítání + : L L L a násobení reálným číslem

Více

Lineární algebra. Vektorové prostory

Lineární algebra. Vektorové prostory Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu:

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1. . Funkce dvou a více proměnných. Úvod. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R vzhledem k a rozhodněte zda je množina uzavřená či otevřená. Určete a načrtněte vrstevnice grafu funkce

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská

Matematika pro chemické inženýry. Drahoslava Janovská Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Přednášky ZS 2011-2012 Fázové portréty soustav nelineárních diferenciálních rovnic Obsah 1 Fázové portréty nelineárních soustav v rovině Klasifikace

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková .. Funkce a jejich graf.. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné je taková binární relace z množin R do množin R, že pro každé R eistuje nejvýše jedno R, pro které [, ] f.

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel. Výrazy. Rovnice a nerovnice. Výraz je matematický pojem používaný ve školské matematice. Prvním druhem matematických ů jsou konstanty. Konstanty označují právě jedno číslo z množiny reálných čísel. Například

Více

6 Extrémy funkcí dvou proměnných

6 Extrémy funkcí dvou proměnných Obsah 6 Extrémy funkcí dvou proměnných 2 6.1 Lokálníextrémy..... 2 6.2 Vázanélokálníextrémy.... 4 6.2.1 Metodyhledánívázanýchlokálníchextrémů..... 5 6.2.2 Přímédosazení..... 5 6.2.3 Lagrangeovametoda.....

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,

Více

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka

Metoda konečných prvků. 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Metoda konečných prvků 6. přednáška Tělesové prvky - úvod (lineární trojúhelník a lineární čtyřstěn) Martin Vrbka, Michal Vaverka Diskretizace Analýza pomocí MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f. I. Funkce dvou a více reálných proměnných 5. Lokální extrémy. Budeme uvažovat funkci f = f(x 1, x 2,..., x n ), která je definovaná v otevřené množině G R n. Řekneme, že funkce f = f(x 1, x 2,..., x n

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

Řetězovka (catenary)

Řetězovka (catenary) Řetězovka (catenary) Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Řetězovka - křivka lan a řetězů prověšených vlastní vahou Budeme se zajímat

Více

Adaptivní řešení úlohy průhybu nehomogenní struny Adaptive Solution of a Nonhomogeneous String Displacement

Adaptivní řešení úlohy průhybu nehomogenní struny Adaptive Solution of a Nonhomogeneous String Displacement VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Adaptivní řešení úlohy průhybu nehomogenní struny Adaptive Solution of a Nonhomogeneous String Displacement

Více

TEORIE MÍRY. A to jsme se docela snažili. Nešlo to jinak.

TEORIE MÍRY. A to jsme se docela snažili. Nešlo to jinak. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Matematika METODIKA Soustavy rovnic Mgr. Marie Souchová květen 2011 Tato část učiva následuje po kapitole Rovnice. Je rozdělena do částí

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí?

7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí? 7. Speciální teorie relativity 7.1 Kosmonaut v kosmické lodi, přibližující se stálou rychlostí 0,5c k Zemi, vyšle směrem k Zemi světelný signál. Jak velká je rychlost signálu a) vzhledem k Zemi, b) vzhledem

Více

Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu: Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík 9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl

Více

2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.19 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná

Více

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod

4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod 4.2.16 Ohmův zákon pro uzavřený obvod Předpoklady: 040215 Postřeh z minulých měření: Při sestavování obvodů jsme používali stále stejnou plochou baterku. Přesto se její napětí po zapojení do obvodu měnilo.

Více

Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015

Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015 TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 17. března 2015 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

Analytická geometrie (3. - 4. lekce)

Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Analytická geometrie (3. - 4. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 16. června 2011 Příklad 1 Příklad 1. Algebraicky

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

PARAMETRICKÁ STUDIE PRŮBĚHU RYCHLOSTI PROUDĚNÍ V PULTOVÉ DVOUPLÁŠŤOVÉ PROVĚTRÁVANÉ STŘEŠE NA VSTUPNÍ RYCHLOSTI

PARAMETRICKÁ STUDIE PRŮBĚHU RYCHLOSTI PROUDĚNÍ V PULTOVÉ DVOUPLÁŠŤOVÉ PROVĚTRÁVANÉ STŘEŠE NA VSTUPNÍ RYCHLOSTI PARAMETRICKÁ STUDIE PRŮBĚHU RYCHLOSTI PROUDĚNÍ V PULTOVÉ DVOUPLÁŠŤOVÉ PROVĚTRÁVANÉ STŘEŠE NA VSTUPNÍ RYCHLOSTI TOMÁŠ BARTOŠ, JAN PĚNČÍK Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Veveří 331/95, 602

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - Úvod Diferenciální počet funkcí jedné proměnné - úvod V přírodě se neustále dějí změny. Naší snahou je nalézt příčiny

Více

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q.

1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 7. průzkum bojem 1)Zapište jako výraz:dekadický logaritmus druhé mocniny součtu 2. odmocnin čísel p,q. 2)Jsou dány vektory u = (5;-3), v = (-6;4), f = (53;-33). Určete čísla k,l R taková, že k.u + l.v

Více

Základy zpracování obrazů

Základy zpracování obrazů Základy zpracování obrazů Martin Bruchanov BruXy bruxy@regnet.cz http://bruxy.regnet.cz 23. března 29 1 Jasové korekce........................................................... 1 1.1 Histogram........................................................

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Opakování z minula Materiál Degradační procesy Vnitřní stavba atomy, vazby Krystalické, amorfní, semikrystalické Vlastnosti materiálů

Více

Jednoduchý fuzzy regresní model. A simplefuzzyregressionmodel

Jednoduchý fuzzy regresní model. A simplefuzzyregressionmodel Jednoduchý fuzzy regresní model Adresa: Prof.RNDr.PhDr. Zdeněk Půlpán,CSc. Na Brně 1952/39, 500 09 Hradec Králové 9 Mgr. Jiří Kulička, PhD A simplefuzzyregressionmodel Zdeněk Půlpán Jiří Kulička Univerzita

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

Otázka 17. 17.1 Základy vyzařování elektromagnetických vln

Otázka 17. 17.1 Základy vyzařování elektromagnetických vln Otázka 17 Základy vyzařování elektomagnetických vln, přehled základních duhů antén a jejich základní paamety (vstupní impedance, směový diagam, zisk) liniové, plošné, eflektoové stuktuy, anténní řady.

Více

1. Člun o hmotnosti m = 50 kg startuje kolmo ke břehu a pohybuje se dále v tomto směru konstantní rychlostí v 0 = 2 m.s -1 vůči vodě. Současně je unášen podél břehu proudem vody, který na něj působí silou

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },

Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R }, Hra a hry Václav Vopravil Úvod 1 Kombinatorické hry Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována pomocí jednodušších her, tj. jako uspořádaná dvojice množin her.

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

24 Parciální diferenciální rovnice

24 Parciální diferenciální rovnice M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 6 24 Parciální diferenciální rovnice 24. Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla). Parciální diferenciální

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/14

Kapitola 7: Integrál. 1/14 Kapitola 7: Integrál. 1/14 Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k

Více

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen

Více

10.1.13 Asymptoty grafu funkce

10.1.13 Asymptoty grafu funkce .. Asmptot grafu funkce Předpoklad:, Asmptot grafu už známe kreslili jsme si je jako přímk, ke kterým se graf funkce přibližuje. Nakreslení asmptot, pak umožňuje přesnější kreslení grafu. Například u hperbol

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor Úvod do pravděpodobnosti prizmatem teorie informace 204 Tomáš Kroupa Pravděpodobnostní prostor Základním objektem teorie pravděpodobnosti je pravděpodobnostní prostor. Modeluje všechny možné elementární

Více

FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala

FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ. Jiří Bouchala FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Jiří Bouchala Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

VNITŘNÍ ENERGIE, PRÁCE A TEPLO

VNITŘNÍ ENERGIE, PRÁCE A TEPLO VNITŘNÍ ENERGIE, PRÁCE A TEPLO Zákon zachování mechanické energie E celk. = = konst. Míček, který se odráží od země putuje do stále menší výšky, kam se část energie ztrácí? VNITŘNÍ ENERGIE TĚLESA Vnitřní

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem .8.8 Kvadratické nerovnice s arametrem Předoklady: 806 Pedagogická oznámka: Z hlediska orientace v tom, co studenti očítají, atří tato hodina určitě mezi nejtěžší během celého středoškolského studia. Proto

Více

Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda

Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda 1 Úvod Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda V této úloze se zaměříme na měření parametrů kladného sloupce doutnavého výboje, proto je vhodné se na

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

J., HÁJEK B., VOTINSKÝ J.

J., HÁJEK B., VOTINSKÝ J. Kontakty a materiály J. Šedlbauer e-mail: josef.sedlbauer@tul.cz tel.: 48-535-3375 informace a materiály k Obecné chemii: www.fp.tul.cz/kch/sedlbauer (odkaz na předmět) konzultace: úterý odpoledne nebo

Více

a) Jaká je hodnota polytropického exponentu? ( 1,5257 )

a) Jaká je hodnota polytropického exponentu? ( 1,5257 ) Ponorka se potopí do 50 m. Na dně ponorky je výstupní tunel o průměru 70 cm a délce, m. Tunel je napojen na uzavřenou komoru o objemu 4 m. Po otevření vnějšího poklopu vnikne z části voda tunelem do komory.

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Tváření. Název: Přesný střih. Téma: Ing. Kubíček Miroslav. Autor:

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Tváření. Název: Přesný střih. Téma: Ing. Kubíček Miroslav. Autor: Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Tváření Přesný střih Ing. Kubíček Miroslav Číslo:

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy: IRACIONÁNÍ ROVNICE Motivace: V řadě matematických úloh je nutno ovládat práci s odmocninami a rovnicemi, které obsahují neznámou pod odmocninou, mj. při vyjádření neznámé z technických vzorců. Znalosti

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

REPREZENTACE 3D SCÉNY

REPREZENTACE 3D SCÉNY REPREZENTACE 3D SCÉNY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah reprezentace 3D scény objemové reprezentace výčtové reprezentace

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje

Více

C) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR

C) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,

Více

SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE Josef MAŠEK Plzeň 993 3 P ř e d m l u v a K úspěšnému studiu této sbírky úloh

Více

MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE

MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE 1 ZAPNUTÍ SLEDOVÁNÍ ZMĚN Pokud zapnete funkci Sledování změn, aplikace Word vloží značky tam, kde provedete mazání, vkládání a změny formátu. Na kartě Revize klepněte

Více

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2010/11 14.1 Úvod Definice (zobecněná plocha) Řekneme, že S R n (n 2) je zobecněná (n

Více

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m.

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m. 3. Dynamika Zabývá se říčinou ohybu (jak vzniká a jak se udržuje). Vše se odehrávalo na základě řesných okusů, vše shrnul Isac Newton v díle Matematické základy fyziky. Z díla vylývají 3 ohybové zákony.

Více

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce

Matematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

Přechodové děje při startování Plazmatronu

Přechodové děje při startování Plazmatronu Přechodové děje při startování Plazmatronu Ing. Milan Dedek, Ing. Rostislav Malý, Ing. Miloš Maier milan.dedek@orgrez.cz rostislav.maly@orgrez.cz milos.maier@orgrez.cz Orgrez a.s., Počáteční 19, 710 00,

Více

Numerická integrace. 6. listopadu 2012

Numerická integrace. 6. listopadu 2012 Numerická integrace Michal Čihák 6. listopadu 2012 Výpočty integrálů v praxi V přednáškách z matematické analýzy jste se seznámili s mnoha metodami výpočtu integrálů. V praxi se ale poměrně často můžeme

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky

Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky Měření hustoty kapaliny z periody kmitů zkumavky Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=14 Po několika neúspěšných pokusech se zkumavkou, na jejíž dno jsme umístili do vaty nejprve kovovou kuličku a

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)

Více

Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. Mgr. Irena Růžičková ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 3 1 Obsah 1 Vstupní test 8 I NUMERICKÉ METODY 10 2 Chyby při numerických výpočtech 10 2.1 Zdroje a typy chyb...............................

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

Pomůcka pro demonstraci dynamických účinků proudu kapaliny

Pomůcka pro demonstraci dynamických účinků proudu kapaliny Pomůcka pro demonstraci dynamických účinků proudu kapaliny Energie proudící vody je lidmi využívána již několik tisíciletí. Základní otázkou vždy bylo, kolik energie lze z daného zdroje využít. Úkolem

Více

Matematika pro 9. ročník základní školy

Matematika pro 9. ročník základní školy Matematika pro 9. ročník základní školy Řešení Ćíselné výrazy 1. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy

Více

AUTOREFERÁT. dizertační práce

AUTOREFERÁT. dizertační práce AUTOREFERÁT dizertační práce PLZEŇ, 2011 Ing. Antonín Předota Ing. Antonín Předota Modelování rázových jevů ve vinutí transformátoru obor Elektrotechnika Autoreferát dizertační práce k získání akademického

Více

FYZIKA 2. ROČNÍK. Elektrický proud v kovech a polovodičích. Elektronová vodivost kovů. Ohmův zákon pro část elektrického obvodu

FYZIKA 2. ROČNÍK. Elektrický proud v kovech a polovodičích. Elektronová vodivost kovů. Ohmův zákon pro část elektrického obvodu FYZK. OČNÍK a polovodičích - v krystalové mřížce kovů - valenční elektrony - jsou společné všem atomům kovu a mohou se v něm volně pohybovat volné elektrony Elektronová vodivost kovů Teorie elektronové

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více