+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F"

Transkript

1 Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální derivace a jejíž hodnota závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici Určete, jaká funkce tvaru F (x, y) = f y F x x F y = 0 ( x, y ) vyhovuje rovnici x x F x + y F y = F Nechť F (x, y) = f(ρ, ϕ), kde x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vyjádřete v polárních souřadnicích ( ) 2 ( ) 2 grad F 2 F F = + x y Nechť F (x, y) = f(ρ, ϕ), kde x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ jsou polární souřadnice v rovině a funkce f má spojité parciální derivace. Vyjádřete v polárních souřadnicích x F y y F x. Dokažte, že všechny normály ke grafu funkce F (x, y) = f spojitě diferencovatelná funkce, protínají osu z. ( x2 + y 2 ), kde f je Ukažte, že funkce F (x, y) = yf(x 2 y 2 ), kde f má spojitou derivaci, vyhovuje rovnici 1 F x x + 1 F y y = F y 2 Ukažte, že každá funkce F (x, y) = spojitou derivaci, vyhovuje vztahu y 2 F x y f (x 2 y 2, kde f je nenulová funkce mající ) + xy F y xf = 0 Typeset by MS-TEX

2 Do rovnice (x + y) F x (x y) F y = 0 zaveďte nové proměnné u = ln x 2 + y 2, v = arctg y x. Ukažte, že funkce ( F (x, y) = e y f ye x ) 2 2y 2, kde f je libovolná diferencovatelná funkce, vyhovuje rovnici (x 2 y 2 ) F x Ukažte, že funkce F (x, y, z) = x n f funkce, vyhovuje rovnici + xy F y = xyf. ( y ax, z ), kde f je spojitě diferencovatelná by x F x + y F y + z F z = nf. Ukažte, že funkce F (x, y, z) = xy ( y z ln x+xf x, z ), kde f je spojitě diferencovatelná x funkce, vyhovuje vztahu x F x + y F y + z F z = F + xy z Napište Taylorův rozvoj funkce v bodě (0, 0). f(x, y) = e x ln(1 + y) Nechť funkce f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce F (x, y) = xf(x + y) + yg(x + y) vyhovuje rovnici 2 F x F x y + 2 F y 2 = 0.

3 Laplaceův operátor f = 2 f x f x f x 2 n v R n vyjádřete pro funkci, která závisí pouze na vzdálenosti bodu x = (x 1,..., x n ) od počátku souřadnicové soustavy, tj. f (x 1,... x n ) = F (r), r = x x2 2,... + x2 n. Výraz x 2 f x 2 + y 2 f x y přetransformujte pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = y, v = y x. Ukažte, že je-li funkce f(x, y) řešením rovnice pak funkce F (u, v) = f(x, y), kde je řešením rovnice u = 2 f x f y 2 = 0, x x 2 + y 2, v = y x 2 + y 2 2 F u F v 2 = 0, Výraz x 2 2 f x 2 y2 2 f y 2 vyjádřete pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = xy, v = x y. Dokažte, že funkce f(x, y) = ln ( x 2 + y 2) vyhovuje rovnici 2 f x f y 2 = 0.

4 Dokažte, že funkce vyhovuje rovnici f(x, y) = y y 2 a 2 x 2 2 f x 2 a2 2 f y 2 = 0. Ukažte, že funkce vyhovuje rovnici f(x, y, z) = 1 x2 + y 2 + z 2 2 f x f y f z 2 = 0. Ukažte, že funkce f(x, y, z) = ln x 2 + y 2 + z 2 vyhovuje rovnici 2 f x f y f z 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2. Nechť f a g mají spojité derivace druhého řádu. Dokažte, že funkce ( y ( y F (x, y) = f + xg x) x) vyhovuje rovnici x 2 2 F x 2 + 2xy 2 F x y + y2 2 F y 2 = 0. Jsou-li f a g funkce, které mají spojitou derivaci druhého řádu, dokažte, že funkce F (x, y) = 1 [f(ax + y) + g(ax y)] y vyhovuje rovnici y 2 2 F x 2 = a2 y ( y 2 F ). y Spočtěte je-li 2 F x F y 2 = F, F (x, y) = xy + yf ( ) x, y

5 kde f je funkce, která má spojité derivace druhého řádu. Výraz 2 f x 2 y 2 f y f y vyjádřete pro funkci F (u, v) = f(x, y), kde u = x 2 y, v = x + 2 y. Jsou-li f a g funkce, které mají spojité derivace druhého řádu, ukažte, že funkce u(x, t) = f(x + at) + g(x at) vyhovuje rovnici 2 u t 2 = a2 2 u x 2. Spočtěte první dvě derivace funkce y(x), která je řešením rovnice v okolí bodu (0, 1). e y + xy e = 0 Určete dz a d 2 z funkce z(x, y) definované rovnicí v bodě (2; 1; 0). x + y + z 2 = e z Nechť f : R R má spojitou derivaci. Dokažte, že funkce z(x, y), která je řešením rovnice ax + by + cz = f(x 2 + y 2 + z 2 ) vyhovuje rovnici (cy bz) z z + (az cx) x y = bx ay. Určete y a y pro funkci y(x), která je definována implicitně rovnicí ln x 2 + y 2 arctg y x = 0 v okolí bodu (1; 0). Určete y a y pro funkci y(x), která je definována implicitně rovnicí x 3 + y 3 3xy = 0.

6 Určete dz a d 2 z funkce z(x, y), která je řešením rovnice v bodě (0; 1; 1). x z ln z y = 0 2 z Určete derivaci x y (0; 0) funkce z(x, y), která je řešením rovnice x2 + y 2 + z 2 2xyz 4 = 0 v okolí bodu (0; 0; 2). Zjistěte, zda soustava rovnic xe u+v + 2uv = 1, ye u v u 1 + v = 2x má v okolí bodu (1; 2; 0; 0) řešení ve tvaru u(x, y), v(x, y) a určete du(1, 2), dv(1, 2). Dokažte,že funkce z(x, y), která je implicitně definována rovnicí 2 sin(x + 2y 3z) x 2y + 3z = 0 vyhovuje vztahu z x + z y = 1. Dokažte, že funkce z(x, y), která je určena implicitně rovnicí ( x + z ) 2 ( + y + z 2 = 0, y x) vyhovuje rovnici x z x + y z y = z xy.

7 Příklad 2 Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku x = y + 2 = 1 z Nalezněte derivaci funkce f(x, y) = ln(x + y) v bodě = (1, 2) ve směru tečny k parabole y 2 = 4x v bodě. Nalezněte derivaci funkce f(x, y) = 3x 2 6xy + y 2 v bodě = ( 1 3, 1 2) ve směru libovolného vektoru. Rozhodněte, ve kterém směru je derivace největší, nejmenší a nulová. Určete, zda řešení rovnice e 2x cos y + e y cos 2x 2 = 0 je v okolí bodu (0, 0) funkcí y(x) a napište aproximaci tohoto řešení v okolí bodu (0, 0) pomocí polynomu druhého stupně. Napište rovnici tečných rovin k ploše určené rovnicí x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 21, které jsou rovnoběžné s rovinou určenou rovnicí x + 4y + 6z = 0. Určete derivaci funkcí y(x) a z(x), které jsou řešením soustavy 2xe 2x+3y z z cos y = 0 ln(z x) + sin y + 2x + y z = 0 v okolí bodu (1; 0; 2). Napište lineární aproximaci těchto řešení a rovnici tečny k této křivce v bodě (1; 0; 2). Nalezněte tečný vektor ke křivce, kterou dostaneme jako graf funkce získané řešením soustavy rovnic v okolí bodu (1; 1; 1). x 2 + y 2 + z 2 3 = 0, x 2 + y 2 2z = 0 Napište rovnici tečné roviny k ploše x 2 +y 2 +z = 4 rovnoběžné s rovinou 2x+2y+z = 0. Nalezněte lineární aproximaci funkce z(x, y), která je řešením rovnice ( z 2 x 2) xyz y 5 = 5

8 v okolí bodu (1; 1; 2). Funkce y(x) a z(x) jsou řešením soustavy rovnic x 2 y 2 + z 2 = 1, y 2 2x + z = 0 v okolí bodu (1; 1; 1). Určete y (1) a z (1). Určete derivace až do druhého řádu funkcí y(x) a z(x), které jsou řešením soustavy x + y + z = 0, x 3 + y 3 z 3 = 10 v okolí bodu (1; 1; 2) a napište aproximaci těchto řešení pomocí Taylorova polynomu stupně 2. Určete tečný vektor ke křivce, která je grafem funkce získané jako řešení soustavy v okolí bodu (3; 4; 12). Ukažte, že soustava x 2 + y 2 + z 2 = 169, 2x + y z + 2 = 0 x 2 u 2 v 2 = 0, u v y = 0 v okolí bodu ( 2; 1; 1; 1) má řešení u, v, které je funkcemi u(x, y), v(x, y) proměnných x a y a určete Jacobiho matici zobrazení (u, v) v bodě ( 2; 1). Určete rovnici tečné roviny k ploše definované rovnicí v bodě (1; 1; 1). Nalezněte lokální extrémy funkce ln(x + y + z 2) e x+y = 2x y z f(x, y, z) = x 3 + y 2 + z2 2 3xz 2y + 2z.

9 Nalezněte lokální extrémy funkcí: f(x, y, z) = x + y2 4x + z2 y + 2 z pro x > 0, y > 0, z > 0. Určete extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice 2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8xz z + 8 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f s vazební podmínkou g f(x, y) = x 2 + 2y 2, g(x, y) = x 2 2x + 2y 2 + 4y = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f s vazební podmínkou g f(x, y) = xy, g(x, y) = x + y 1 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 2y+2z za podmínky x 2 +y 2 +z 2 = 1. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 3xy na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 2 }. Stanovte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 +2xy 4x+8y na množině M = {(x, y) ; 0 x 1 ; 0 y 2}. Stanovte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 y 2 na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 1 }. Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 2 xy + y 2 2x + 4y = 0.

10 Nalezněte lokální extrémy funkce y(x), která je řešením rovnice x 3 + y 3 3xy = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 5. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 + 9x 6y Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = x 3 + y 3 + z 2 3(xy + xz + yz). Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = 2x 2 + y 2 + 2z xy xz. Nalezněte lokální extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 4z 10 = 0. Nalezněte lokální extrémy funkce z(x, y), která je řešením rovnice x 2 + y 2 + z 2 xz yz + 2x + 2y + 2z 2 = 0. Je dáno n bodů 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ),..., n (x n ; y n ; z n ) R 3. V rovině z = 0 najděte bod, pro který je součet čtverců vzdáleností od bodů 1, 2,..., n minimální. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + y 2 za podmínky x + y = 1.

11 Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = xy za podmínky x 2 + y 2 = 2. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y, z) = xyz za podmínky x + y + z = 3. Nalezněte lokální extrém funkce f(x, y, z) = xy + xz + yz za podmínky xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0. V rovině 3x 2z = 0 nalezněte bod, který má minimální součet čtverců vzdáleností od bodů (1; 1; 1) a B (2; 3; 4). Určete body elipsy x 2 + 4y 2 = 4, které mají minimální a maximální vzdálenost od přímky 2x + 3y 6 = 0. Bodem P (a; b; c) veďte rovinu tak, aby objem čtyřstěnu vymezeného touto rovinou a souřadnicovými rovinami byl minimální. Návod: Použíjte rovnici roviny ve tvaru x p + y q + z = 1, kde p, q, resp. r jsou úseky na osách r Ox, Oy, resp. Oz, které tato rovina vytíná. Do elipsy x 2 + 3y 2 = 12 vepište rovnoramenný trojúhelník takový, že má základnu rovnoběžnou s osou x a má maximální obsah. Určete rozměry obdélníku daného obvodu 2p, který rotací kolem jedné strany vytvoří těleso s maximálním objemem. Určete rozměry pravoúhlého odkrytého bazénu, který má při daném objemu V minimální povrch. V rovině z = 0 určete bod D tak, aby koule, která prochází body (0; 0; 12), B (0; 0; 4), (8; 0; 8) a D měla minimální objem. Do rotačního kužele o délce površky 1 a vrcholovém úhlu π/2 vepište kvádr maximálního objemu. Do koule o poloměru R vepište válec s maximálním povrchem. Nalezněte minimální vzdálenost bodu (1; 4) od paraboly dané rovnicí y 2 = 2x. Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 +y 2 12x+16y na množině M = { (x, y) ; x 2 + y 2 25 }. Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = 2x 3 + 4x 2 + y 2 2xy na množině M = { (x, y) ; x 2 y 4 }. Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = x 2 y(4 x y) na množině M = {(x, y) ; x 0, y 0, x + y 6}.

12 Nalezněte největší a nejmenší hodnotu funkce f(x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) na množině { M = (x, y) ; 0 x π 2, 0 y π }. 2 Najděte derivaci funkce f(x, y) = vektoru u = (1, 1) v bodě [0; 0]. x2 y x 2 + y 2 pro [x; y] [0; 0] a f(0, 0) = 0 podle

13 Spočtěte kde = { (x, y) ; 4x 2 + y 2 4 }. Příklad 3 x 2 y dx dy, Spočtěte xy dx dy, kde = { (x, y) ; y 2 2x, y x 4 }. Spočtěte dx dy dz, kde = {(x, y, z) ; x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Určete těžiště tělesa v R 3, kde = { (x, y, z) ; 0 z x 2 + y 2, x 2 y 1 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; 0 z 2 x y, x 2 + y 2 1, x 0, y 0 }. Vypočtěte integrál xy 2 dx dy, kde = { (x, y) ; x 2 + (y 1) 2 1, x 2 + (y 2) 2 4 }. Určete souřadnice těžiště obrazce = { (x, y) ; (x 2 + y 2 ) 2 2y 3}. Vypočtěte obsah obrazce = { (x, y) ; (x 2 + y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ), x 2 + y 2 1 }.

14 Vypočtěte obsah obrazce kde a, b > 0. Určete obsah obrazce = { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 x + y, = {(x, y) ; 1 x + y 2, x y 2x, x 0, y 0}. Určete polární moment obrazce, tj. (x2 + y 2 ) dx dy, = {(x, y) ; 1 xy 2, x y 2x, x 0}. Určete moment setrvačnosti J z () = (x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2z + 2 0, x 2 + y 2 + z 4 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 9, 1 z 2 }. Určete moment setrvačnosti J z () = ρ(x, y, z) (x2 + y 2 ) dx dy dz tělesa je-li hustota rovna jedné. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, x + y + z 4, z 0 }, Určete souřadnice těžiště tělesa { = (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete souřadnice těžiště tělesa { = (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné x 2 } a 2 + y2 b 2 z 4, x 2 } a 2 + y2 b 2 z2 c 2, 0 z c,

15 Spočtěte kde (x + y + z) dx dy dz, = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2y, z 0, z 2 x 2 + y 2}. Určete moment setrvačnosti J z () = = { (x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dx dy dz pro těleso x 2 } a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, z 0, Spočtěte x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 2z }. Spočtěte integrál kde = sin(x + y) dx dy, { (x, y) ; y > 0, x + y < π } 2, x y > π. 2 Spočtěte integrál kde dx dy, = { (x, y) ; (x y) 2 + x 2 a 2}. Spočtěte integrál dx dy, kde = {(x, y) ; xy 1, x + y 52 }, x > 0, y > 0.

16 Spočtěte integrál kde x x 2 dx dy, + y2 = { (x, y) ; x 2 2y, y x }. Spočtěte polární moment J 0 () = (x 2 + y 2 ) dx dy množiny = { (x, y) ; x 2 y, y 2 x }. Vypočtěte kde y 3 x 2 dx dy, + y2 = {(x, y) ; 0 x y, 2 y 4}. Vypočtěte kde x 2 y dx dy, = { (x, y) ; y 0, x 2 + y 2 2x }. Vypočtěte kde x x 2 dx dy, + y2 = {(x, y) ; y x 2y, x 2}. Vypočtěte kde (x 3 x 2 y) dx dy, = { (x, y) ; y x 2, x y 2}. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; x 2 y 1, 0 z 4 x y }.

17 Vypočtěte objem tělesa, kde = {(x, y, z) ; 0 z 4 x y, 0 x 3, 0 y 2}. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 1, x 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0 }. Vypočtěte objem tělesa, kde = { (x, y, z) ; 1 x 1, 1 y 1, 0 z x 2 + y 2}. Vypočtěte kde xy dx dy dz, = {(x, y, z) ; 0 z xy, x + y 1, x > 0}. Vypočtěte obsah obrazce = {(x, y) ; 1 xy 2, x y 2x, x 0}. Vypočtěte obsah obrazce = { (x, y) ; x y 2 4x, 2y x 2 4y }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; 2z x 2 + y 2 + 2, x 2 + y 2 + z 4 }, Určete těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 9, 1 z 2 }, je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete souřadnice těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, z 0, x + y + z 4 },

18 je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Spočtěte objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 2, x 2 + y 2 1 }. Určete objem tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 4, y + z 2, y z 2 }. Určete souřadnice těžiště tělesa = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 2y, z 0, z 2 x 2 + y 2}. Spočtěte x2 + y 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 z 2, 0 z 1 }. Spočtěte moment setrvačnosti J z () = (x2 + y 2 )ρ(x, y, z) dx dy dz pro těleso = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, z 0 }, je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Spočtěte x2 + y 2 + z 2 dx dy dz, kde = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 1, x 0 }. Spočtěte kde xyz dx dy dz, = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, x > 0, y > 0, z > 0 }. Spočtěte objem tělesa { = (x, y, z) ; Vypočtěte objem tělesa x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, x 2 } a 2 + y2 b 2 z2 c 2, z 0. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 R 2, x 2 + y 2 Rx }.

19 Určete Příklad 4 x 2 ds, kde = {(x, y) ; y = ln x, 1 x 3}. Určete (x + y) ds, kde je obvod trojúhelníka s vrcholy 1 = [0; 0], 2 = [0; 2], 3 = [1; 0]. Určete hmotnost oblouku paraboly y 2 = 2x, y < 1, je-li hmota rozložena s hustotou f(x, y) = y. Určete x2 + y 2 ds, kde = { (x, y) ; x 2 + y 2 = x }. Určete y ds, kde je část křivky popsané rovnicí (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 y 2, která leží v prvním kvadrantu, tj. x > 0, y > 0. Určete arctg y ds, kde je část rchimedovy spirály, která má v polárních x souřadnicích rovnici r = ϕ a leží uvnitř kruhu o poloměru R π/2. Určete x2 + y 2 ds, kde = { ((x, y), ; x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t), 0 t 2π, a > 0 }. Určete těžiště homogenní křivky = { (x, y) ; x 2 + y 2 = R 2, y 0 }. Určete těžiště homogenního oblouku cykloidy dané parametrickou rovnicí = { (x, y) ; x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t 0, 2π, a > 0 }. Určete xy ds, kde je obvod obdélníku s vrcholy 1 = [0; 0], 2 = [0; 2], 3 = [4; 2], 4 = [4; 0]. ( Určete 5 x 2 y ) ds, kde = { (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 4 }. 2 Určete y ds, kde je oblouk paraboly y = x2 mezi body = [0; 0], B = [4; 8]. 2 { x 2 } Určete xy ds, kde = (x, y) ; a 2 + y2 b 2 = 1, x > 0, y > 0. Určete 2y ds, kde je oblouk cykloidy dané rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π).

20 Určete těžiště oblouku homogenní asteroidy dané rovnicí x 2/3 + y 2/3 = a 2/3, x > 0, y > 0; a > 0. Určete momenty setrvačnosti jednoho závitu šroubovice = { (x, y, z) ; x = a cos t, y = a sin t, z = ht }, t (0, 2π), 2π je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. Určete 2y2 + z 2 ds, kde je dána rovnicemi x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x = y. Určete y ds, kde je dáno parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π). Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu a(t sin t), y = a(1 cos t); 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu y 2 ds, kde je oblouk cykloidy x = (x 2 + y 2 ) ds, kde je křivka x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t t cos t); 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu xy ds, kde je část hyperboly x = a cosh t, y = a sinh t; 0 t t 0. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu asteroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu ( x 4/3 + y 4/3) ds, kde je oblouk ( ) exp x2 + y 2 ds, kde je hranice konvexní oblasti omezená křivkami r = a, ϕ = 0, ϕ = π ; r a ϕ jsou polární 4 souřadnice. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x ds, kde je část logaritmické spirály r = ae kϕ, k > 0, která leží uvnitř kruhu r = a. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu x2 + y 2 ds, kde je kružnice x 2 + y 2 = ax. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu ds y 2, kde je řetězovka y = a cosh x a.

21 Najděte délku oblouku křivky x = 3t, y = 3t 2, z = 2t 3 od bodu [0; 0; 0] do bodu [3; 3; 2]. Najděte délku oblouku křivky x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, 0 < t <. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu (x 2 + y 2 + z 2 ) ds, kde je část šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt; 0 t 2π. Vypočtěte křivkový integrál prvního druhu z ds, kde je kónická šroubovice x = t cos t, y = t sin t, z = t; 0 t t 0. Najděte těžiště oblouku homogenní cykloidy x = a(t sin t), y = a(1 cos t); 0 t π. Najděte střední polární moment asteroidy x 2/3 + y 2/3 = a 2/3, tj. číslo r 0 dané vztahem I 0 = (x 2 + y 2 ) ds = sr 0, kde s je délka oblouku asteroidy. Vypočtěte (x 2 xy) dx + (y 2 2xy) dy kde = { (x, y) ; y = x 2, 1 x 1 }. Vypočtěte (x 2 + y 2 ) dx + (x 2 y 2 ) dy, kde je křivka y = 1 1 x, 0 < x < 2. Vypočtěte (x + y) dx + (x y) dy, kde = Určete Určete y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz, kde { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 = 1. = { (x, y, z) ; x 2 + y 2 + z 2 = 1, x 2 + y 2 = x, z > 0 }. y dx + z dy + x dz po křivce = { x, y, z) ; x 2 + y 2 = 1, x + z = 1 }. x + y Určete x 2 + y 2 dx x y x 2 + y 2 dy, kde je kružnice x2 + y 2 = R 2 orientovaná ve směru od kladné poloosy x ke kladné poloose y. Určete y dx x dy, kde je určena parametrickou rovnicí x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, 0 < t < 2π. Určete y dx x dy, kde = { (x, y) ; x 2 } a 2 + y2 b 2 = 1, x > 0.

22 Určete (2a y) dx + x dy po křivce dané parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), 0 < t < 2π. Určete y dx x dy + z dz po obvodu trojúhelníka, jehož vrcholy jsou průsečíky roviny 3x + 2y + 6z = 6 se souřadnicovými osami. { Určete (x y) dx + (z x) dy + (x y) dz, kde = (x, y, z) ; x 2 + y 2 = a 2 x, a + z } h = 1, a > 0, h > 0 je orientována tak, že tečna ke křivce v bodě [a; 0; 0] má kladnou druhou složku, tj. t(a, 0, 0) (0, 1, 0) > 0. Určete dx+y dy, kde je oblouk paraboly y = x 2 s počátečním bodem = [1; 1] a koncovým bodem B = [2; 4]. Určete (4 y) dx + x dy, kde je dáno parametrickou rovnicí x = a(t sin t), y = a(1 cos t), t (0, 2π). Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál, a pomocí toho určete [2;3] [0;1] (x + y) dx + (x y) dy. Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál, a pomocí toho určete [1;1] [1; 1] (x y)( dx dy). Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho spočítejte kde křivka neprotíná osu Oy. [1,2] [2;1] y dx x dy x 2, Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho spočítejte [6;8] [1;0] x dx + y dy x2 + y 2,

23 kde křivka neprochází počátkem. Dokažte, že je-li f(u) spojitá funkce a po částech hladká uzavřená křivka, je f(x 2 + y 2 )(x dx + y dy) = 0. Vypočtěte (y 2 z 2 ) dx + 2yz dy x 2 dz, kde je křivka x = t, y = t 2, z = t 3, 0 t 1, orientovaná ve směru rostoucího parametru. Vypočtěte y dx + z dy + x dz, kde je závit šroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = bt, 0 t 2π, orientovaný ve směru rostoucího parametru. Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho integrál spočítejte [6;1;1] yz dx + xz dy + xy dz. [1;2;3] Přesvědčte se, že integrovaný výraz je úplný diferenciál a pomocí toho integrál spočítejte [x 2 ;y 2 ;z 2 ] [x 1 ;y 1 ;z 1 ] x dx + y dy + z dz x2 + y 2 + z 2, kde x y z 2 1 = a 2, x y z 2 2 = b 2, a > 0, b > 0. Vypočtěte kde je kružnice x 2 + y 2 = a 2. xy 2 dx x 2 y dy, Vypočtěte (x + y) dx (x y) dy, kde je elipsa x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Jakou podmínku musí splňovat funkce F (x, y), aby křivkový integrál mb F (x, y)(y dx + x dy)

24 nezávisel na integrační cestě? Pomocí křivkového integrálu určete obsah obrazce omezeného asteroidou x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, 0 t 2π. Pomocí Stokesovy věty vypočtěte integrál (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, kde je elipsa x = a sin 2 t, y = 2a sin t cos t, z = cos 2 t, 0 t π, orientovaná ve směru rostoucího parametru t. Pomocí Stokesovy věty vypočtěte integrál (y z) dx + (z x) dy + (x y) dz, kde je elipsa x 2 + y 2 = a 2, x a + z h = 1, a > 0, h > 0. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = xi + yj + zk podél části šroubovice r = ia cos t + ja sin t + kbt, kde 0 t 2π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = i y + j z + k x podél úsečky, která spojuje body [1; 1; 1] a [2; 4; 8]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = e y z i + e z x j + e x y k podél úsečky mezi body [0; 0; 0] a [1, 3, 5]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k podél nejkratší kružnice na kulové ploše x 2 + y 2 + z 2 = 25, která spojuje body [3; 4; 0] a [0; 0; 5]. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte práci vektoru f = yi+xj+ck, kde c je konstanta, podél kružnice (x 2) 2 +y 2 = 1, z = 0 Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Ukažte, že vektorové pole f = yz(2x+y +z)i+xz(x+2y +z)j +xy(x+y +2z)k je potenciální a najděte jeho potenciál. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Ukažte, že vektorové pole 2i f = (y + z) xj 1/2 (y + z) xk 3/2 (y + z) 3/2 je potenciální a najděte jeho práci podél křivky, která leží v kladném oktantu a spojuje body [1; 1; 3] a [2; 4; 5].

25 Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte potenciál vektorového pole f = m r, kde m je konstanta, r = xi + yj + zk a r3 r = r. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Dokažte, že vektorové pole v = f(r)r, kde r = xi + yj + zk, r = r a f je spojitě diferencovatelná funkce, je potenciální a najděte jeho potenciál.

26 Diferenciání rovnice 1 _x = 2tx : _x = x sin t: _x = x : 1 t _x = 3t t 2 +1 x: Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 3 t x + 2 t 3 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 4t t 2 +1 x+ 1 t 2 +1 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = x tg t + 1 cos t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 2tx +2te t2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = x cotg t +2tsin t: Typeset by MS-T E X

27 Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x x =e t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = 2x t + t 1 t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x = t(x +1): Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x t +1 = t2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + t 2 x = t 2 : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x = 1 e t (1 t) : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x t = 3 t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x +2x=3te t : _x + x =4te t :

28 _x +3x = 2 cos 2t : _x +4x=2e t sin 3t : _x +3x=(2t 1)e 3t _x +2x= 3 sin 2t 4 cos 2t : Naleznìte obecný tvar øe¹ení rovnice _x + x = 3 sin 4t : _x +3x=e t (2 sin t cos t) : _x +2x=4e t cos 2t : _x +4x= 3 cos 2 t: _x +2x = 4 sin 2 t:

29 _x +3x= sin 2t cos 3t : _x + x = 2 cos t cos 2t : Hledejte øe¹ení auchyho úlohy _x = 3 t x + 2 t 3 ; x(2) = 3 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 4t t 2 +1 x+ 1 t 2 +1 ; x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x tg t + 1 ; x(0) = 1 : cos t Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2tx +2te t2 ; x()= : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x cotg t +2tsin t; x()= (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x 2 t ; x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2x +(1+t) 3 ; x(0) = 3 : 1+t

30 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x =(1 x)tgt; x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x sin t + sin t cos t; x()= ; (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2t 1+t 2 x+t2 +1; x()= ; (; ) 2 RR: Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy _x = 2tx 1+t 2 + 3t 2 ; x()= ; (; ) 2 RR: 1+t 2 Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy _x = x t + t; x()=; (; ) 2 RR; 6=0: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy _x =(1 x) cos t; x()= ; (; ) 2 RR: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy sin t pro t 2h0;i _x +2x=f(t); kde f (t) = 0 pro t =2h0;i ; x(0)=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice p tx _x x 2 +1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice (t 2 1) _x +2tx =0:

31 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici p _x =4t x; x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = x 2 ; a) x(0) = 0 ; b) x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici 5 _x x 2 =1; x 4 =1: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici t _x + x = x ln x; x(1) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici (1 + e t )x _x =e t ; x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x x 2 =0; x()= : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2 cotg t x ; x 4 =2 3 p : 2 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = t x +1 ; x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = x cos t; x(0) = 1 :

32 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x =(x 1) tg t; x()=; 2 2 ; 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2tx t 2 ; 4 a) x( 5) = 0 ; b) x(0) = 1 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 1+3x ; x(1) = 2 : t Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 1 tx t2 ; x(1) = 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy pro diferenciální rovnici _x = 2tx2 t 2 1 ; x(0) = 1 :

33 Diferenciální rovnice 2 Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 = y0 x + x: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice x 4 y x 3 y 00 1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 1+x 2 +(y 0 ) 2 +1=0: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 00 + y 0 tg x = sin 2x : Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice y 000 =(y 00 ) 3 : Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice xy (5) = y (4) : Najdìte øe¹ení diferenciální rovnice (y 00 ) 2 = y 0 ; y( 1)=1; y 0 ( 1)=0: Najdìte øe¹ení diferenciální rovnice xy 00 y 0 = x 3 ; y(1) = 1 2 ; y0 (1)=1: Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice t 2 (ln t 1)x 00 tx 0 + x =0; Typeset by MS-T E X

34 znáte-li jedno její øe¹ení x1(t) = t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice tx 00 (2t 1)x 0 +(t 1)x =0; znáte-li její jedno øe¹ení x1(t) =e t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice (1 + t 2 )x 00 +2tx 0 2x =0; Jestli¾e znáte její jedno øe¹ení x1(t) = t. Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice, znáte-li její jedno øe¹ení y1 x(1 x) 2 y 00 =2y; y1= x : 1 x Najdìte obecné øe¹ení diferenciální rovnice, znáte-li její jedno øe¹ení y1 xy 00 +2y 0 xy =0; y1= 1 e x : x Znáte-li jedno partikulární øe¹ení y1 diferenciální rovnice, najdìte její øe¹ení, které vyhovuje daným poèáteèním podmínkám x(2x +1)y 00 +2(x+1)y 0 2y=0; y1=1+x; y(1) = 3 ; y 0 (1)=0: Znáte-li jedno partikulární øe¹ení x1(t) =e t diferenciální rovnice tx 00 (2t +1)x 0 +(t+1)x=0; najdìte její øe¹ení, které vyhovuje poèáteèním podmínkám x(1) = 1 a x 0 (1)=3. Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +_x 2x=0; x(0) = 0 ; _x(0)=3: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +8_x+15x=0; x(0) = 2 ; _x(0)=2:

35 Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 5_x+6x=0; x(0) = 1 ; _x(0)=3: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +8_x+16x=0; x(0) = 4 ; _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 6_x+9x=0; x(0) = 0 ; _x(0)=13: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x =0; x(0) = 3 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x=0; x(0) = 1 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +6_x+13x=0; x(0) = 0 ; _x(0) = 2 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 2_x+5x=0; x(=2) = 0 ; _x(=2) = 1 : Najdìte jedno øe¹ení diferenciální rovnice x 5_x+6x=3t 3 +8t: Najdìte jedno øe¹ení diferenciální rovnice x 3_x+2x=te 2t +e t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení rovnice ::: x +x=1 2t+te t :

36 Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice ::: x +2x+_x=1+2t 2 e t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení rovnice ::: x 3x +3_x x=(1 t)e t +2: x 3_x+2x=2t 3 30 : x 4_x+4x=3e 2t +e t +1: x + x =2t 3 t+2 2e t : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x _x = 2(1 t) ; x(0) = 1 ; _x(0)=1: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 2_x=(t 2 +t 3)e t ; x(0) = _x(0)=2: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x 4x =4e 2t ; x(0) = _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = t 3 +6t+e t ; x(0) = _x(0) = 0 :

37 Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice x +4_x+3x=e t cos t + 5 sin 3t : Uveïte, v jakém tvaru budete hledat partikulární øe¹ení diferenciální rovnice x +6_x+10x=e 3t +2e 3t cos t: x + x = 6 sin 2t : x +4x= sin 2t : x x = 2 sin t 4 cos t: x x = cos 2 t: x + x = cos t + cos 2t : x + x = 2 sin t +4tcos t: x 4x =(4 4t)e t cos t (2t + 6)e t sin t: x 2_x+2x=2e t cos t 4te t sin t:

38 Naleznìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = 6 sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 4 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x= 2 cos 2t ; x(0) = 0 ; _x(0)=4: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x +4x= sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0)=0: Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = cos t + sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 0 : Najdìte øe¹ení auchyho úlohy x + x = sin 2t ; x(0) = 0 ; _x(0) = 0 : Najdìte obecný tvar øe¹ení diferenciální rovnice x + x = cotg t: x + x = sin 2 t: Najdìte fundamentální systém øe¹ení soustavy _x = x, kde je matice 0; 1 = : 12; 1 Najdìte fundamentální systém øe¹ení soustavy _x = x, kde je matice 0; 1 = : 2; 2

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u,

Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy., pak - skalární součin vektorů u, 4 VEKTOROVÁ ANALÝZA 41 Vektorová funkce Protože se neobejdeme bez základních poznatků vektorové algebry, připomeneme si nejdůležitější pojmy Jsou-li dány tři nenulové vektory, uu ( 1, u, u), vv ( 1, v,

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás.

1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. Příklady: 30. Magnetické pole elektrického proudu 1. Dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče vzdálené od sebe 0,75 cm leží kolmo k rovine obrázku 1. Vodičem 1 protéká proud o velikosti 6,5A směrem od nás. a)

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Potenciál vektorového pole

Potenciál vektorového pole Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více