Lineární algebra Vektorové prostory Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
Obsah 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 27
Obsah přednášky Vektorové prostory 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 27
Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Definice Nechť R je množina reálných čísel. Utvořme množinu V n = R R R = R n } {{ } n krát všech uspořádaných n-tic (a 1,..., a n) reálných čísel (kde a i R pro i = 1, 2,..., n). Každou uspořádanou n-tici nazveme aritmetickým vektorem, n jeho dimenzí. Vektory budeme značit a = (a 1,..., a n). Další možnosti označení jsou a nebo a. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 27
Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Definice Nechť a = (a 1,..., a n), b = (b 1,..., b n). Na množině V n definujeme rovnost a operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem následujícími axiomy: A1: a, b jsou si rovny (píšeme a = b), jestliže platí: a 1 = b 1,..., a n = b n. A2: Součtem vektorů a, b rozumíme vektor, který značíme a + b a platí: a + b = (a 1 + b 1,..., a n + b n). A3: Součinem vektoru a s reálným číslem k rozumíme vektor, který značíme k a a platí: k a = (ka 1,..., ka n). Množinu V n s takto definovanými operacemi nazýváme n-rozměrný reálný aritmetický vektorový prostor dimenze n, jeho prvky nazýváme aritmetickými vektory. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 27
Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Věta Nechť je dáno zobrazení V n V n V n, které každé uspořádané dvojici vektorů ( a, b) V n V n přiřazuje vektor a + b V n tak, že pro každé vektory a, b, c V n, platí: 1 a + b = b + a, (komutativní zákon) 2 a + ( b + c) = ( a + b) + c, (asociativní zákon pro sčítání) 3 ke každému vektoru a V n existuje vektor o V n tak, že platí a + o = a (vektor o = (0,..., 0) se nazývá nulový aritmetický vektor), 4 ke každému vektoru a V n existuje vektor a V n tak, že platí a + ( a) = o (vektor a se nazývá vektor opačný k vektoru a). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 27
Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Věta Nechť je dáno zobrazení R V n V n, které každé uspořádané dvojici (r, a) R V n přiřazuje vektor r a V n tak, že pro každá reálná čísla r, s R a každé vektory a, b Vn, platí: 1 1 a = a, 2 r(s a) = (rs) a, (asociativní zákon pro násobení vektoru číslem) 3 (r + s) a = r a + s a, (distributivní zákon) 4 r( a + b) = r a + r b. (distributivní zákon) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 27
Aritmetický vektorový prostor Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Označení Vektory e 1,..., e n nazýváme jednotkové vektory e 1 = (1, 0, 0,..., 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0). e n = (0, 0,..., 0, 1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 27
Vektorové prostory Definice Vektor u V n se nazývá lineární kombinací vektorů a 1,..., a r V n (r 1), existují-li reálná čísla p 1,..., p r tak, že u = p 1 a 1 + + p r a r. Příklady 1 Nulový vektor je lineární kombinací libovolných vektorů (volíme p 1 = = p r = 0). 2 Vektor u = ( 7, 17) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a 1 = (1, 2), a 2 = (3, 7) V 2. u = 2 a 1 3 a 2 = 2(1, 2) 3(3, 7) = (2, 4) (9, 21) = ( 7, 17) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 27
Vektorové prostory Příklad Ve V 3 vyjádřete vektor u = (u 1, u 2, u 3) jako lineární kombinaci vektorů e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). u = (u 1, 0, 0) + (0, u 2, 0) + (0, 0, u 3) = = u 1(1, 0, 0) + u 2(0, 1, 0) + u 3(0, 0, 1) = = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 Poznámka Libovolný vektor u V n lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů e 1, e 2,..., e n. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 27
Vektorové prostory Příklad Zjistěte, zda vektor u = ( 2, 1, 6) je lineární kombinací vektorů a 1 = (4, 0, 1) a a 2 = (2, 0, 5). u = p 1 a 1 + p 2 a 2 2 = 4p 1 + 2p 2 1 = 0p 1 + 0p 2 6 = 1p 1 + 5p 2 Tato soustava zřejmě nemá řešení (viz druhá rovnice), proto vektor u není lineární kombinací vektorů a 1, a 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 27
Vektorové prostory Definice Nechť a 1,..., a r jsou vektory z vektorového prostoru V n, r 1. Řekneme, že vektory a 1,..., a r jsou lineárně závislé (LZ), jestliže existují reálná čísla p 1,..., p r, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí p 1 a 1 + + p r a r = o. Pokud je tato rovnost splněna pouze pro p 1 = = p r = 0 nazývají se vektory a 1,..., a r lineárně nezávislé (LN). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 27
Vektorové prostory Příklad Zjistěte, zda jsou vektory e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) lineárně závislé nebo nezávislé. p 1 e 1 + p 2 e 2 = o p 1(1, 0) + p 2(0, 1) = (0, 0) (p 1, 0) + (0, p 2) = (0, 0) (p 1, p 2) = (0, 0) p 1 = p 2 = 0 Poznámka Vektory e 1,..., e n V n jsou lineárně nezávislé. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 27
Vektorové prostory Věta Skupina vektorů a 1,..., a r V n, r 2, je lineárně závislá právě když jeden z vektorů a 1,..., a r je lineární kombinací ostatních vektorů. Důkaz I. II. p 1 0 : p 1 a 1 + + p r a r = o p 1 a 1 = p 2 a 2... p r a r a 1 = p2 p 1 a 2... pr p 1 a r a 1 = p 2 a 2 + + p r a r o = a 1 + p 2 a 2 + + p r a r odtud p 1 = 1 0. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 27
Vektorové prostory Příklad Lze v prostoru V n najít skupinu n + 1 lineárně nezávislých vektorů? p 1 a 1 + + p n a n + p n+1 a n+1 = o (1) Vektorová rovnice (1) reprezentuje homogenní systém n rovnic o n + 1 neznámých (p 1,..., p n+1). Tento systém je řešitelný neboť hodnost matice soustavy je stejná jako hodnost rozšířené matice soustavy (přidáme pouze nulový sloupec) a má tedy nekonečně mnoho řešení tedy má i nenulové řešení LZ. Poznámka Je-li mezi vektory a 1..., a r některý vektor nulový, pak jsou tyto vektory LZ. Věta Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve V n je n. (Skupina n + 1 vektorů je vždy lineárně závislá; neexistuje více než n lineárně nezávislých vektorů). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 27
Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Definice Nechť a 1,..., a r jsou vektory z vektorového prostoru V. Jestliže lze libovolný vektor u V vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a 1,..., a r, říkáme, že vektorový prostor je generován vektory a 1,..., a r a této množině vektorů říkáme množina generátorů vektorového prostoru V. Definice Množina n lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru V n se nazývá báze vektorového prostoru. Definice Počet vektorů v libovolné bázi vektorového prostoru V se nazývá dimenze vektorového prostoru V a značí se dimv. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 27
Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Věta: Platí: 1 V n má nekonečně mnoho bází 2 Každá báze ve V n obsahuje právě n vektorů 3 Každý vektor u V n lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze. 4 Je-li báze tvořena vektery a 1,..., a n, pak u = p 1 a 1 + + p n a n. Čísla p 1,..., p n se nazývají souřadnice vektoru u v bázi B. Píšeme u = (p 1,..., p n) B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 27
Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Poznámka Ortonormální báze: B 0 = e 1,..., e n. Je-li u = (u 1, u 2,..., u n), pak u = u 1 e 1 + + u n e n, tj. u = (u 1, u 2,..., u n) B0 Není-li u souřadnic index báze uveden, předpokládáme, že jde o souřadnice vzhledem k ortonormální bázi B 0. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 27
Báze vektorového prostoru V n Vektorové prostory Báze vektorového prostoru Vn Příklad Nalezněte souřadnice vektoru u = (7, 4) v bázi B = a 1, a 2, kde a 1 = (1, 3), a 2 = ( 1, 2). u = p 1 a 1 + p 2 a 2 (7, 4) = p 1(1, 3) + p 2( 1, 2) 7 = p 1 p 2 4 = 3p 1 + 2p 2 tedy p 1 = 2, p 2 = 5. Souřadnice vektoru u v bázi B jsou tedy: u = (2, 5) B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 27
Obsah přednášky Příklady 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 27
Řešené příklady Příklady Příklad Vektor u = (0, 1) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů a 1 = ( 5, 2), a 2 = (3, 3). Řešení: u = p 1 a 1+p 2 a 2 5p 1 + 3p 2 = 0 2p 1 + 3p 2 = 1 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme 7p 1 = 1 p 1 = 1 7 a dosazením například do první rovnice: 5 1 7 + 3p2 = 0 p2 = 5 21 u = 1 7 a1 + 5 21 a2 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 27
Řešené příklady Příklady Příklad Rozhodněte, zda dané vektory u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9) a w = (0, 2, 7) jsou lineárně závislé nebo lineárně nezávislé. Řešení: p 1 u + p 2 v + p 3 w = o p 1 + 3p 2 = 0 p 1 + 6p 2 + 2p 3 = 0 p 1 + 9p 2 + 7p 3 = 0 Z první rovnice máme p 1 = 3p 2. Dosazením do zbývajících rovnic dostáváme: 3p 2 + 2p 3 = 0 6p 2 + 7p 3 = 0 Pokud nyní od druhé rovnice odečteme dvakrát první rovnici dostaneme: 3p 3 = 0. Tedy p 3 = 0. Postupným dosazováním vypočteme p 2 a p 3. Soustava má jediné řešení a to p 1 = p 2 = p 3 = 0 tedy vektory jsou lineárně nezávislé. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 27
Řešené příklady Příklady Příklad Vektor a = (3, 2, 4) vyjádřete v dané bázi B u, v, w, kde u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1), w = (1, 0, 1). p 1 + p 3 = 3 p 1 + p 2 = 2 p 2 + p 3 = 4 Odečtením první rovnice od druhé dostáváme soustavu: p 1 + p 3 = 3 p 2 p 3 = 1 p 2 + p 3 = 4 Nyní odečteme druhou rovnici od třetí rovnice: p 1 + p 3 = 3 p 2 p 3 = 1 2p 3 = 5 Z poslední rovnice vypočteme p 3 = 5 2. Postupným dosazováním dostáváme p2 = 3 2 a p 1 = 1 2. Tedy souřadnice vektoru a v bázi B jsou a = (1/2, 3/2, 5/2) B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 27
Příklady k procvičení Příklady 1 Určete vektor v = a + 2 b 3 c, který je lineární kombinací vektorů a = (1, 1, 3), b = (4, 0, 1), c = (2, 3, 1). 2 Určete vektor x, pro který platí: 2( x + u) = 3 v + w, kde u = (1, 3, 0), v = (0, 2, 1), w = (0, 0, 2) 3 Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci ostatních vektorů. a) a = (5, 1, 11), b = (3, 2, 2), c = (2, 3, 1), d = (1, 1, 3) b) a = (1, 2, 4), u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (0, 2, 7) c) a = (1, 4, 6, 4), b = (1, 3, 2, 1), c = (1, 1, 3, 2), d = (2, 1 1, 3), e = (3, 2, 1, 1) 4 Vektor a vyjádřete v dané bázi B. a) a = (3, 2, 4), B = u, v, w, u = (1, 1, 0), v = (0, 1, 1), w = (1, 0, 1) b) a = (4, 6, 12, 6), B = u 1, u 2, u 3, u 4, kde u 1 = (2, 4, 8, 3), u 2 = (2, 3, 5, 3), u 3 = ( 1, 1, 3, 2), u 4 = (1, 2, 4, 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 27
Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Vektorové prostory Aritmetický vektorový prostor Vlastnosti operací Báze vektorového prostoru V n 2 Příklady 3 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 27
Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatnou práci Příklad 1: Najděte vektor u pro který platí: a) u = 3( 1, 2, 0) + (1, 3, 2) + 2(0, 3, 1) b) a + 2 u = 3( b u) 2 a, kde a = (0, 1, 2, 3) a b = (2, 3, 2, 0) Příklad 2: Rozhodněte, zda dané vektory jsou lineárně závislé nebo nezávislé. a) u = (0, 2, 1), v = (3, 2, 2), w = (1, 4, 2) b) u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (0, 2, 7) Příklad 3: Vektor a vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u, v, w a) a = (0, 2, 7), u = (1, 1, 1), v = (3, 6, 9), w = (1, 2, 4) b) a = ( 1, 4, 2), u = (1, 2, 4), v = (1, 1, 1), w = (2, 2, 4) Příklad 4: Zapište souřadnice vektoru a v bázi B a) a = (4, 11, 11), B = u, v, w, u = (2, 3, 3), v = ( 1, 4, 2), w = ( 1, 2, 4) b) a = (6, 2, 6, 7), B = u 1, u 2, u 3, u 4, u 1 = (1, 3, 2, 3), u 2 = (1, 1, 3, 2), u 3 = ( 6, 6, 9, 3), u 4 = ( 4, 4, 2, 8) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 27
Konec Následuje téma Matice. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 27