Fourierovy řady. EO2 Přednáška 1. X31EO2 - Pavel Máša - Fourierovy řady. X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 1

Podobné dokumenty
4.6.6 Složený sériový RLC obvod střídavého proudu

Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb. CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011. reg Ing. Václav Rada, CSc.

Kvadratické rovnice pro učební obory

2.7.2 Mocninné funkce se záporným celým mocnitelem

Lokální a globální extrémy funkcí jedné reálné proměnné

Fourierova transformace

Kapitola 7: Integrál. 1/14

Kvadratické rovnice pro studijní obory

Funkce. Liché a sudé funkce, periodické funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

STEREOMETRIE. Vzdálenost bodu od přímky. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0113

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II

Nerovnice s absolutní hodnotou

Identifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_353

ANALÝZA PNUS, EFEKTIVNÍ HODNOTA, ČINITEL ZKRESLENÍ, VÝKON NEHARMONICKÉHO PROUDU

Numerická integrace. 6. listopadu 2012

KIV/ZI Základy informatiky. MS Excel maticové funkce a souhrny

( ) Neúplné kvadratické rovnice. Předpoklady:

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA LOKÁLNÍ EXTRÉMY

tvarovací obvody obvody pro úpravu časového průběhu signálů Derivační obvody Derivační obvod RC i = C * uc/ i = C * (u-ur) / ur(t) = ir = CR [

9.2.5 Sčítání pravděpodobností I

2.3. POLARIZACE VLN, POLARIZAČNÍ KOEFICIENTY A POMĚR E/B

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

1.3.1 Kruhový pohyb. Předpoklady: 1105

2.7.1 Mocninné funkce s přirozeným mocnitelem

2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou

EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2

Sbírka řešených úloh z fyziky - Elektřina a magnetismus

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

1 Průběh funkce. Pomůcka pro cvičení: 1. semestr Bc studia Průběh funkce - ruční výpočet

( ) ( ) ( ) 2 ( ) Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715

(a) = (a) = 0. x (a) > 0 a 2 ( pak funkce má v bodě a ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum. Pokud je. x 2 (a) 2 y (a) f.

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

Tvorba trendové funkce a extrapolace pro roční časové řady

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. České vysoké učení technické v Praze. Fakulta elektrotechnická

Laboratorní měření 1. Seznam použitých přístrojů. Popis měřicího přípravku

Laboratorní práce č. 3: Měření indukčnosti cívky pomocí střídavého proudu

Obsah. x y = 1 + x y = 3x y = 2(x2 x + 1) (x 1) x 3. y = x2 + 1 x y =

Lineární a adpativní zpracování dat. 4. Lineární filtrace: Z-transformace, stabilita

INTEGRÁLNÍ POČET NEURČITÝ INTEGRÁL,

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Soustavy lineárních rovnic

Úlohy 22. ročníku Mezinárodní fyzikální olympiády - Havana, Cuba

4.4.2 Kosinová věta. Předpoklady: 4401

15 s. Analytická geometrie lineárních útvarů

65. ročník matematické olympiády Řešení úloh klauzurní části školního kola kategorie B

Číselné soustavy Ing. M. Kotlíková, Ing. A. Netrvalová Strana 1 (celkem 7) Číselné soustavy

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

{ } Kombinace II. Předpoklady: =. Vypiš všechny dvoučlenné kombinace sestavené z těchto pěti prvků. Urči počet kombinací pomocí vzorce.

derivace až do řádu n včetně. Potom existuje právě jeden polynom nejvýše n-tého stupně, který je aproximací funkce f v bodě x

Tvarovací obvody. Vlastnosti RC článků v obvodu harmonického a impulsního buzení. 1) RC článek v obvodu harmonického buzení

Kvantové počítače algoritmy (RSA a faktorizace čísla)

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}

4.2.7 Voltampérová charakteristika rezistoru a žárovky

Řešení: ( x = (1 + 2t, 2 5t, 2 + 3t, t); X = [1, 2, 2, 0] + t(2, 5, 3, 1), přímka v E 4 ; (1, 2, 2, 0), 0, 9 )

Učební dokument FUNKCE. Vyšetřování průběhu funkce. Mgr. Petra MIHULOVÁ. 4.roč.

Rostislav Horčík. 13. října 2006

Osnova kurzu. Základy teorie elektrických obvodů 1

Cenový a hodnotový počet 2

Pracovní list vzdáleně ovládaný experiment. Obr. 1: Schéma sériového RLC obvodu, převzato z [3].

VÝKON V HARMONICKÉM USTÁLENÉM STAVU

Lineární algebra. Vektorové prostory

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.

Téma 10: Podnikový zisk a dividendová politika

9. cvičení z Matematické analýzy 2

Matematika 9. ročník

Semestrální práce NÁVRH ÚZKOPÁSMOVÉHO ZESILOVAČE. Daniel Tureček zadání číslo 18 cvičení: sudý týden 14:30

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

Název: VY_32_INOVACE_PG3309 Booleovské objekty ve 3DS Max - sčítání a odčítání objektů

Př. 3: Dláždíme čtverec 12 x 12. a) dlaždice 2 x 3 12 je dělitelné 2 i 3 čtverec 12 x 12 můžeme vydláždit dlaždicemi 2 x 3.

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení pojmů a výpočtů objemů a obvodů

Fázory, impedance a admitance

Sada 2 Microsoft Word 2007

5.4. EXPONENCIÁLNÍ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Zlomky sčítání a odčítání. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce

1. Kruh, kružnice. Mezi poloměrem a průměrem kružnice platí vztah : d = 2. r. Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Pro vš echny body platí U CC = ± 15 V (pokud není uvedeno jinak). Ke kaž dému bodu nakreslete jednoduché schéma zapojení.

Obrázek 1 schéma zapojení měřícího přípravku. Obrázek 2 realizace přípravku

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (včetně řešení v C)

Finanční matematika Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Převodníky AD a DA. AD a DA. Převodníky AD a DA. Základní charakteristika

Jemný úvod do numerických metod

Maturitní okruhy z matematiky školní rok 2007/2008

M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

MONOTÓNNOST FUNKCE. Nechť je funkce f spojitá v intervalu I a nechť v každém vnitřním bodě tohoto intervalu existuje derivace f ( x)

Jan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57

Sekvenční logické obvody

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Definice z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr Obr. 6.2.

Pohyb v listu. Řady a posloupnosti

Zákonitosti, vztahy a práce s daty

Funkce rostoucí, funkce klesající I

1.1.1 Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I

( ) Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I. Předpoklady: 2401, 2208

Transkript:

Fourierovy řady EO2 Přednáška Pavel Máša

Filtr RLC defibrilátor MOTIVACE CO ZATÍM NEUMÍME VYSVĚTLIT Napětí zdroje obdélníkový časový průběh Napětí na rezistoru harmonický časový průběh

MOTIVACE MATEMATICKÁ ZÁKLADNÍ FYZIKÁLNÍ POPIS, TRANSFORMACE Fyzikální podstatu základních pasivních prvků elektrického obvodu popisují integro diferenciální rovnice Univerzální matematický popis Poměrně komplikované řešení zjednodušení pomocí transformace Co rozumíme transformací? Nahrazení složitějších matematických operací (zde integrálů a derivací) jednoduššími

Jaké transformace již známe? SUS jedná se o specielní případ, neboť proud i napětí jsou konstantní, a derivace konstanty je nulová Kapacitor: při libovolném napětí je protékající proud nulový nahradíme ho rozpojeným obvodem Induktor: při libovolném proudu je napětí nulové induktor nahradíme zkratem HUS buzení sinusovými průběhy Co rozhoduje při volbě transformace? Časový průběh napětí / proudu! fázory

Co zatím neumíme? Periodické ale neharmonické průběhy Osamocené impulsy Popsat, co se děje při zapnutí / vypnutí obvodu Musíme do analýzy elektrických obvodů zavést nové matematické prostředky a transformace, které to umožní Fourierovy řady (nejsou skutečnou transformací, ale z ní lze odvodit Fourierovu transformaci; periodické neharmonické průběhy) Fourierova transformace (pouze neharmonické impulsy) Laplaceova transformace (univerzální, všechny časové průběhy, včetně dějů při zapnutí / vypnutí obvodu)

HARMONICKÁ SYNTÉZA Pokud obvod může změnit obdélníkový průběh na harmonický, logicky se nabízí, že obdélníkový průběh musí tuto sinusovku obsahovat Nejdříve zkusíme opačný postup co se stane, pokud sečteme několik sinusovek dohromady?. Stejná frekvence 5-5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 pokud sečteme 2 sinusovky se stejnou frekvencí, změní se amplituda, fáze, ale nezmění se tvar v časové oblasti kde 8 6 4 2-2 -4-6 5 sin(6.28 t) + 5 cos(6.28 t) -8.5.5 2 2.5 3 3.5 4 nebo s pomocí fázorů

2. Různé frekvence 2.5 2.5.5 součet není harmonickou funkcí, může být periodický, ale nemusí platí společná perioda příklad: T =.4 s -, T 2 =.6 s - T = 3.4 = 2.6 =.2 s - zvláštní případ: mějme určitou frekvenci ω, všechny ostatní frekvence jsou celočíselným násobkem, ω = kω k = 3 -.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T Periodickou funkci můžeme (za splnění určitých podmínek) rozvinout v řadu harmonických funkcí 2.5.5 k = 3

FOURIEROVY ŘADY Rozvoj harmonických funkcí v řadu můžeme zapsat spektrální tvar Jak určit koeficienty řady? Přímo to nelze trigonometrický tvar ω základní harmonická kω vyšší harmonické Je matematická střední hodnota (stejnosměrná složka) Jak ale určit a k, b k? odbočka ortogonalita

Pravoúhlost původně, v geometrii kolmost, zobecněno na vektorové prostory (dva vektory jsou ortogonální, pokud jejich skalární součin je nulový, a na funkce Funkce jsou ortogonální, pokud je splněna podmínka Nás zajímají funkce sinus a kosinus jsou to ortogonální funkce?. Násobení konstantou 2. Funkce sin ORTOGONALITA.5.5.2.4.6.8.5.5.2.4.6.8.8.6.4.2.5.2.4.6.8.5.2.4.6.8 3. Funkce cos.8.6.4.2.2.4.6.8.5.5.2.4.6.8

4. Sin a cos.6.4.2.2.4.2.4.6.8.5.5.2.4.6.8 5. Komplexní exponencielní funkce (fázor) Víme, co je to ortogonalita jak nám to pomůže při výpočtu koeficientů Fourierovy řady? Periodickou funkci aproximujeme řadou Pokud tuto řadu vynásobíme funkcí sin lω t a integrujeme přes periodu, pak, díky ortogonálním vlastnostem funkcí sin a cos vynulujeme všechny členy řady, kromě l té harmonické, tedy koeficientu b l. Obdobně, násobením funkcí cos lω t a integrací přes periodu získáme koeficienty a l.

KOEFICIENTY FOURIEROVY ŘADY Stejnosměrná složka Kosinové členy Sinové členy Spektrální tvar Nutno normovat výsledek integrování, viz ortogonalita, je Podmínky existence Fourierovy řady Dirichletovy podmínky:. funkce f(t) je v průběhu jedné periody omezená 2. funkce má konečně mnoho extrémů a bodů nespojitosti. druhu

Zatímco výše je uveden spektrální tvar, SIN, NEBO COS? V učebnici je uveden amplitudový tvar Jaký je mezi nimi rozdíl? Jde o rozdílnou definici fázoru Výpočty jsou naprosto ekvivalentní, vzhledem k tomu, že cos je fázově posunutý sin ale zatímco

ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI VÝPOČET Sudá funkce může obsahovat pouze sudé členy: cos Lichá funkce může obsahovat pouze liché členy: sin Antiperiodická funkce má pouze liché koeficienty Pokud lze periodu funkce rozdělit na několik (2, 4) částí se stejnou plochou, můžeme koeficienty počítat pouze na jedné části periody (musíme ale odpovídajícím způsobem upravit normování) obdélník, trojúhelník,... Fourierova řada je aproximací, časový průběh nemusí být identický s originálem 2.5 2.5.5 Gibbsův jev v bodech nespojitosti dochází při libovolném počtu harmonických k překmitu oproti původní funkci o 8.95 %, s rostoucím počtem harmonických pouze klesá šířka překmitu 2.5 k = 25 -.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T.5 k = 25 2 k = 5.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T.5 T/2 T 3T/2 2T 5T/2 3T

Sudá, nebo lichá? Matematická podmínka: Lichá funkce Sudá funkce Antiperiodická funkce Zde platí, že u(t) = u(-t) funkce je sudá, rozvoj tedy obsahuje pouze kosinové členy a stejnosměrnou složku Zde ale u(t) -u(-t) funkce dle definice není ani sudá, ani lichá, přesto rozvoj obsahuje pouze sinové členy a stejnosměrnou složku V obou případech navíc rozvoj obsahuje pouze liché členy, ačkoliv funkce nesplňují podmínku antiperiodické funkce Před rozhodnutím, zda je funkce lichá / antiperiodická je nutné funkci usměrnit odečíst stejnosměrnou složku

FÁZOROVÁ REPREZENTACE Není dalším tvarem Fourierovy řady, je úpravou spektrálního tvaru S jednotlivými fázory B mk pak můžeme počítat při analýze obvodů samostatně Souvislost s trigonometrickým tvarem

Najít aproximaci funkce Fourierovou řadou ve fázorové reprezentaci je stále poměrně pracné je možné postup zjednodušit? Je možné reálnou funkci nahradit komplexní funkcí? Eulerův vzorec KOMPLEXNÍ TVAR FOURIEROVY ŘADY Funkci cos lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti Čárové spektrum

Stejně tak i funkci sin lze reprezentovat dvěma proti sobě se otáčejícími fázory poloviční velikosti, které jsou oproti funkci cos posunuty o 9 To ale není reálná funkce? Fázor, součást koeficientů budoucího komplexního tvaru řady

S využitím funkce sin, vyjádřené ze dvou proti sobě rotujících fázorů nyní vyjádříme spektrální tvar Fourierovy řady Zde máme definovaný vztah mezi koeficienty trigonometrického a komplexního tvaru řady X f(t) = k= A k e jk! t A k = T Z T f(t)e jk! t dt Pozor na sumační meze Koeficienty jsou nyní fázory, A je stejnosměrná složka

PŘÍKLAD u(t) [V] 3 Najděte Fourierův rozvoj obdélníkového časového průběhu na obrázku. Perioda T =. s. Stejnosměrná složka Po odečtení stejnosměrné složky dostaneme funkci lichou antiperiodickou t [s] T Sinové koeficienty funkce má stejnou plochu nad i pod osou stačí počítat pouze v první půlperiodě Výsledná řada

ČÁROVÉ SPEKTRUM a k 2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 b k - 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Koeficienty řady vynášíme jako body, zvýrazněné svislou čarou na ose x jsou vyneseny indexy k na ose y je vynesena amplituda koeficientů (nultý) koeficient a je stejnosměrná složka hovoříme o diskrétním spektru harmonické mají pouze určité frekvence

Fourierův rozvoj v komplexním tvaru pro uvedený obdélníkový průběh bude Stejnosměrná složka Koeficienty, vyjádřené z trigonometrického tvaru Fourierova řada

POSUN V ČASE a k.7 A k.6.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 - -2-2.5 -.5 -.5 -.5-5 5 2 b k 5 5 2.5.4.3.2. -2-2 4 2-2 arg(a k ) -4-2 - 2 5 2 A k 9 8.4.2.8.6 6 3 2 33 posun v čase znamená otočení všech fázorů o různý úhel různá rychlost otáčení!!! 24 27 3

VLASTNOSTI Linearita Časová reverse Posunutí v čase Změna časového měřítka Derivace Integrál modulace

Nyní již umíme vysvětlit první motivační příklad Obdélníkový průběh lichý, U m = V, T =.25 ms Víme, že obdélníkový průběh napětí zdroje můžeme aproximovat řadou resp. ZPĚT K MOTIVAČNÍMU PŘÍKLADU Napětí na rezistoru můžeme v HUS vyjádřit Napětí musíme počítat pro každou harmonickou samostatně!!! k = 5.7 menší k = 3 225.5 menší k = 5 75. menší Amplituda napětí na rezistoru rychle klesá významná je první harmonická Co se stane, pokud zmenšíme / zvětšíme periodu?

Přechodný děj Detail časového průběhu Zvětšeno v ose y!!!

Frekvenční charakteristika filtru