5.4. EXPONENCIÁLNÍ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA

Transkript

1 5.4. EXPONENCIÁLNÍ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA V této kaptole se dozvíte: jak je defnována exponencální funkce v komplexním oboru a jaké má vlastnost; jak vypadá důležtý Eulerův vzorec a jakým výpočetním vzorcem počítáme hodnoty exponencální funkce komplexní proměnné; jak je defnován exponencální tvar komplexního čísla a jaké má výhody; jak se převádí komplexní čísla z algebrackého tvaru na exponencální a naopak a jak je to s přechodem mez exponencálním a gonometrckým tvarem; jak vypadá násobení a dělení komplexních čísel v exponencálním tvaru; co jsou to fázory a jak používáme komplexních čísel k popsu reálných harmonckých velčn. Klíčová slova této kaptoly: komplexní exponencální funkce, Eulerův vzorec, exponencální tvar komplexního čísla, násobení a dělení komplexních čísel v exponencálním tvaru, fázory. Čas potřebný k prostudování učva kaptoly: 0,5 + 1,25 hodny (teore + řešení příkladů)

2 Komplexní exponencála. Pomocí dferencálního počtu se dá odvodt pro exponencální funkc reálné proměnné x vztah n x x e =. Obdobně defnujeme exponencální funkc v komplexním oboru. n! n= 0 Defnce. Exponencální funkc komplexní proměnné z defnujeme nekonečnou mocnnnou řadou n z z e =, n= 0 n! kde e 2, je známé Eulerovo číslo (základ přrozených logartmů). Př aplkacích nebudeme počítat konkrétní hodnoty e z podle defnce, ale daleko jednodušším způsobem. Uvedená defnce má pro nás pouze teoretcký význam. Věta. Všechny věty uvedené v kaptole o reálné exponencální funkc platí pro exponencálu komplexní, např. e z + z = e z e z apod. Eulerův vzorec. Věta. Exponencální funkc magnárního argumentu ( z = ϕ, ϕ R) lze vyjádřt tzv. Eulerovým vzorcem ϕ e cos sn = ϕ + ϕ. V učebncích se často uvádí ještě vzorec důsledkem vzorce předchozího. -ϕ e cos sn = ϕ ϕ, který je jednoduchým Věta. Hodnotu e z lze v lbovolném čísle z = x+ y vypočítat pomocí reálné exponencály a reálných funkcí snus a kosnus podle vzorce ( y y) z x e = e cos + sn. Důkaz. z x+ y Nejprve rozepíšeme exponent na algebracký tvar e = e, pak aplkujeme větu o součtu x+ y x y v exponentu e = e e a nakonec použjeme Eulerův vzorec (to můžeme, protože y R) ( y y) x y x e e e cos sn = +. Cbd. Komplexní exponencální funkce má ovšem vlastnost, které bychom u reálné exponencální funkce hledal marně. Následující věta plyne z věty předchozí a z 2π -perodcty funkcí snus a kosnus.

3 Věta. Komplexní exponencální funkce je 2π -perodcká, tj. Exponencální tvar komplexního čísla. e = e. z z+ 2π Defnce. Exponencálním tvarem komplexního čísla z rozumíme jeho vyjádření ve formě z ϕ = r e, kde r = z a ϕ = arg z jsou jž známé velčny modul (absolutní hodnota) a argument komplexního čísla z. a) K odůvodnění, že uvedený tvar je vůbec možný, stačí vyjít z gonometrckého tvaru z = r cosϕ + snϕ a dosadt za závorku podle Eulerova vzorce ( cosϕ + snϕ = e ϕ ). ( ) b) Exponencální tvar je velm blízký gonometrckému, v obou vystupují tytéž velčny r a ϕ. Výhodou exponencálního tvaru je především jeho stručnost (záps je tvořen pouze čtyřm znaky oprot zhruba třnáct znakům u gonometrckého tvaru). Gonometrcký tvar je v podstatě jakás přechodová forma mez tvarem algebrackým a exponencálním a př aplkacích vyšší matematky se používá z uvedených tří tvarů nejméně. Přechod mez exponencálním tvarem a ostatním tvary komplexních čísel. Přechod mez exponencálním a algebrackým tvarem (v obou směrech) je v podstatě stejný problém jako přechod mez gonometrckým a algebrackým tvarem. Jedná se vždy o vztah mez reálnou a magnární složkou komplexního čísla na jedné straně a modulem a argumentem tohoto čísla na druhé straně. Přechod mez exponencálním a gonometrckým tvarem je trvální záležtost (jde jen o jný přeps, není nutné nc počítat). Součn a podíl komplexních čísel v exponencálním tvaru. Exponencální tvar je nejvýhodnější pro vyjádření součnů a podílů komplexních čísel. Vzorce ( ϕ1+ ϕ2) 1 1 zz 1 2= rr 1 2e, e ϕ z1 r1 ( ϕ1 ϕ2) =, = e z r z r 2 2 plynou přrozeně ze známých vlastností exponencální funkce a není je třeba je už dále odůvodňovat (jako tomu bylo u gonometrckého tvaru). Fázory. Exponencální tvar komplexních čísel je v přírodních vědách hojně používán, např. k popsu perodckých harmonckých dějů v mechance, teor střídavých obvodů, optce apod. Lbovolné reálné harmoncké velčně a() t Acos( ωt+ φ), kterou může být např. výchylka ( ) kmtajícího osclátoru, přřazujeme komplexní velčnu aˆ () t = Ae ωt+ φ, jejíž reálná část je

4 totožná s původní reálnou velčnou a() t (dokažte!). Dále platí (ověřte!), že arg aˆ () t = ωt+ φ, což znamená, že velčna â() t se v čase otáčí kolem bodu nula s úhlovou rychlostí ω a počáteční fází φ. t Komplexní velčnu â() t je často výhodné rozepsat na součn aˆ () t = Ae φ e ω, kde první čntel Ae φ nezávsí na čase a obsahuje nformac o ampltudě a počáteční fáz; nazývá se fázorem velčny a() t. Druhý člen e ωt je funkcí času a je původcem výše uvedené rotace. Často se v rovncích vyskytuje více harmonckých velčn, které mají stejnou frekvenc ω ; pak lze členem e ωt celou rovnc krátt. Obdrží se tím rovnce pro fázory, která jž neobsahuje časovou proměnnou, což výrazně zjednodušuje řešení. Shrnutí kaptoly: V komplexním oboru defnujeme exponencální funkc e z komplexní proměnné z = x+ y pomocí jsté nekonečné mocnnné řady. Pro aplkace je výhodné, že všechny vzorce probírané u exponencální funkce v reálném oboru platí také pro exponencální funkc v komplexním oboru. Výpočet hodnot exponencální funkce neprovádíme podle defnce, ale e z x = e cosy+ sn y. využíváme výpočetního vztahu ( ) Důležtý je dále tzv. Eulerův vzorec ϕ R. ϕ e cos sn = ϕ + ϕ, platný pro lbovolné ϕ Exponencálním tvarem komplexního čísla rozumíme tvar z = r e, kde r = z a ϕ = argz. Tento tvar úzce souvsí s gonometrckým tvarem, je však v prax daleko používanější. Je nezbytně nutné umět převádět komplexní čísla z jednoho tvaru na jný. Přechod mez gonometrckým a exponencálním tvarem je trvální, přechod mez algebrackým a exponencálním tvarem je praktcky totéž jako jž probraný převod mez tvarem algebrackým a gonometrckým. Exponencální tvar je stručný a vhodný zejména pro násobení a dělení komplexních čísel. Př těchto operacích totž nemusíme znát žádné specální vzorce, stačí aplkovat jž známé vzorce z teore reálné exponencální funkce. Příkladem konkrétní praktcké aplkace komplexní exponencály je tzv. fázorový počet. Fázorem rozumíme komplexní velčnu, která nese nformac o ampltudě a počáteční fáz určté reálné harmoncké velčny. Otázky: Jak je defnována exponencální funkce v komplexním oboru? Má defnce význam pro praktcké výpočty? Jak zní tzv. Eulerův vzorec? Pro jaký obor proměnné je platný? Podle jakého vzorce počítáme hodnoty exponencální funkce komplexního argumentu e z? Jaké reálné funkce k výpočtu potřebujeme? Defnujte exponencální tvar komplexních čísel. K jakému jnému tvaru má nejblíže? Jaké jsou výhody exponencálního tvaru? Jak vypadá násobení a dělení v tomto tvaru? Co s představujete pod pojmem fázor (fázorový počet)? Jak můžeme popsat harmoncké velčny pomocí komplexních čísel?

5 Příklad 1. Převeďte komplexní číslo v algebrackém tvaru na exponencální tvar: a) z = 1+. b) z = 1. c) 3 1 z =. d) z =. e) z = Příklad 2. Vyjádřete výraz s komplexním čísly v exponencálním tvaru v algebrackém tvaru: a) 5 4e π ; b) π 5π 8 8 2e 3e ; c) 3e 4π 1 e ; d) 2 ; e) e π 8e 3 10π π 7π 3 e 2e 15π Návod. Nejprve výraz upravte pomocí vzorců pro prác s exponencálním funkcem na exponencální tvar (tj. tvar s jednou exponencálou) a pak teprve převádějte na algebracký tvar.. Řešení příkladů: 1a) 2e π 4 z = ; 1b) π 4 z = 2e ; 1c) π z = e ; 1d) 5π z = e ; 1e) 2 2e π 3 z =. Ve všech výsledcích byly použty hlavní hodnoty argumentu, což ale není nezbytně nutné. 2a) ; 2b) ; 2c) ; 2d) ; 2e) Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematky.. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematka v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematka v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užté matematky.. přepr. vyd. Praha: Prometheus, ZÁVĚR:

6