1 KONSOLIDACE ZEMIN 1

1 KONSOLIDACE ZEMIN 1 1 Konsolidace zemin Zemina je vícesložková (vícefázová) porézní látka tvořena pevnou fází (skeletem) a póry, které mohou být vyplněny vodou (kapalinou) a plynem (vzduchem). Konsolidací rozumíme deformaci zeminy jako vícefázového porézního materiálu v čase pod účinky zatížení. Plně nasycená zemina póry jsou zcela vyplněny vodou, není v nich žádný vzduch. Jedná se tedy o dvojfázové prostředí. Základní představu o chování zeminy možno vyjádřit pomocí hydromechanické analogie (viz např. [2, Kapitola 8]).

2 MAKROSKOPICKÝ POPIS PORÉZNÍHO PROSTŘEDÍ 2 2 Makroskopický popis porézního prostředí ZOOM skelet (s) Reprezentativni objem zakladni latka (z) kapalina (k) Ekvivalentni medium V klasickém pojetí chování zemin modelováno pomocí teorie směsí. Každý materiálový bod x má svou vnitřní strukturu. Detailní uspořádání jednotlivých složek zanedbáno, důležité je pouze jejich objemové zastoupení. Celkové složení reprezentativního objemu celkové { }} { V (x) = skelet { }} { V s (x) + póry { }} { V p (x)

3 FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ 3 Pórovitost n je definována poměrem n(x) = V p(x) V (x), Číslo pórovitosti e V s (x) V (x) = V (x) V p(x) V (x) = 1 n(x) e(x) = V p(x) V s (x) = V p(x) V (x) V (x) V s (x) = n(x) 1 n(x) 3 Fillungerova-Terzaghiho koncepce efektivních napětí Nutno vyjádřit vztah mezi napětím v zrnech σ s, v kapalině σ k a tzv. efektivním napětím mezi zrny σ ef.

3 FILLUNGEROVA-TERZAGHIHO KONCEPCE EFEKTIVNÍCH NAPĚTÍ 4 Z podmínky ekvivalence pro pevnou fázi V s (x)σ s (x) = V s (x)σ k (x) + V (x)σ ef (x) V s (x) V (x) σ s (x) = V s(x) V (x) σ k (x) + σ ef (x) ( ) ( ) 1 n(x) σ s (x) = 1 n(x) σ k (x) + σ ef (x) (1) V kapalině působí pouze pórový tlak p (záporná hodnota středního napětí σ m ) σ k (x) = m p(x) H. Darcy P. Fillunger K. von Terzaghi R. Woltman

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 5 Totální napětí je pak dáno objemovým průměrem v napětí jednotlivých složkách V (x)σ(x) = V s (x)σ s (x) + V p (x)σ p (x), tedy σ(x) = V s(x) V (x) σ s (x) V ( ) p(x) V (x) m p(x) = 1 n(x) σ s (x) n(x)m p(x) ( ) (1) = 1 n(x) m p(x) + σ ef (x) n(x)m p(x) = σ ef (x) m p(x) 4 Konstitutivní rovnice 4.1 Skelet Napětí v porézním skeletu je způsobené celkovou deformací ε, očištěnou od vlivu počáteční deformace pórů vlivem pórového tlaku p. Platí

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 6 tedy ( ) σ ef (x) = D s (x) ε(x) ε p (x) Opět využijeme faktu, že pórový tlak p působí všesměrně, způsobuje tedy pouze objemovou deformaci ε v a tedy (ε p ) v (x) = (ε p ) x (x) + (ε p ) y (x) + (ε p ) z (x) = 3p(x) λ z (x), ε p (x) = m 3p(x) λ z (x), kde λ z označuje Lamého modul materiálu, ze kterého se skládá skelet. Konstitutivní vztah tedy můžeme přepsat ve tvaru ( σ ef (x) = D s (x) ε(x) + m p(x) ). λ z (x)

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 7 Totální napětí σ mají nyní tvar σ(x) = σ ef (x) m p(x) = D s (x)ε(x) + 1 λ z (x) D s(x)m p(x) m p(x) ( = D s (x)ε(x) I 1 ) λ z (x) D s(x) m p(x) = D s (x)ε(x) α(x)m p(x). (2) V případě, že se skelet chová jako izotropní materiál, matice α má tvar α = αi, kde α(x) = 1 λ s(x) λ z (x) je nazýváno Biotovým číslem. 4.2 Kapalina Prvním cílem je popsat pohyb kapaliny v pórech, která je kvantifikována objemovou změnou pórů Θ. Ta je způsobena čtyřmi základními

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 8 vlivy [1, 3]: Změnou objemu skeletu pří objemové nestlačitelnosti základní látky, změnou objemu (1 n) základní látky vlivem působení pórového tlaku p, účinkem přírůstku efektivních napětí, účinkem pórového tlaku, čímž dochází ke stlačení kapaliny. Celkem Θ(x) = α(x)m T ε(x) + ( 3n(x) λ k (x) + 3(1 n(x)) λ z (x) ) 3(1 α(x)) p(x) λ z (x) = α(x)m T ε(x) + β(x)p(x) (3) Nyní přistoupíme k vyjádření relativní rychlost proudění kapaliny vůči skeletu v. Ta je dána tzv. Darcyho zákonem n(x)v(x) = k(x) h, kde k [kg 1 m 3 s] je matice filtrace a h je hydraulická výška definovaná

5 BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY 9 jako h(x) = p(x) γ k + z; γ k [Nm 3 ] označuje objemovou tíhu kapaliny a z je prostorová souřadnice ve směru působení gravitačního zrychlení. Výsledný vztah n(x)v(x) = k(x) γ k (x) ( p(x) + γk (x)e z ) (4) 5 Bilanční rovnice a podmínky rovnováhy 5.1 Podmínky rovnováhy Statické podmínky rovnováhy psané pro totální napětí σ(x) + X(x) = 0 (5) Okrajové podmínky

5 BILANČNÍ ROVNICE A PODMÍNKY ROVNOVÁHY 10 Stabilní (kinematické): x Γ u : u(x) u(x) = 0 Nestabilní (statické): x Γ t : n σ(x) t(x) = 0 5.2 Bilanční rovnice (neustálený stav) Rovnice kontinuity (bilance hmotnosti) psaná pro kapalnou fázi n(x) T v(x, t) + Θ(x, t) Stabilní (podstatné) okrajové podmínky: x Γ p (t): p(x) p(x) = 0 Nestabilní (přirozené) okrajové podmínky: x Γ v (t): n(x) T v(x) v(x) = 0 = 0 (6)

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 11 6 Slabé řešení Základní proměnné jsou časové a prostorové průběhy posunů u a pórových tlaků p. Slabé řešení nyní odvodíme použitím Galerkinovy metody tj. s časovými derivacemi nyní zacházíme formálně jako s nezávislými proměnnými. 6.1 Podmínky rovnováhy Aby diskretizace vedla na symetrickou soustavu lineárních rovnic, zderivujeme navíc podmínky rovnováhy (5) podle proměnné t: σ(x, t) + X(x, t) = 0 Po vynásobení předchozí podmínky váhovou funkcí δu = 0 na Γ u (t)

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 12 pro libovolný čas t ( δu(x) T σ(x, t) Použitím Clapeyronova teorému dostáváme + ) X(x, t) dx = 0 0 = + / { }} { δu(x) T σ(x, t) n(x) dx Γ t T X(x, t) δu(x) dx = 0 ( T δu(x) ) T σ(x, t) Dosazení z konstitutivních rovnic (2) vede na výraz 0 (2) T (x, t) T X(x, t) = δu(x) dx + δu(x) dx Γ t ( T δu(x, t) ) T ( ) D s (x)ε(x, t) α(x)m p(x, t) Při využití identity m = a geometrických rovnic dostáváme pro dx dx

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 13 podmínky rovnováhy vyjádření T (x, t) T X(x, t) 0 = δu(x) dx + δu(x) dx Γ t ( T δu(x, t) ) T Ds (x) T u(x, t) dx ( ) + T p(x, t) δu(x) α(x) dx 6.2 Podmínka kontinuity Přenásobením rovnice kontinuity (6) libovolnou váhovou funkcí δp = 0 na Γ p za předpokladu n(x) konst dostáváme ( ) δp(x) T Θ(x, t) (n(x)v(x, t)) + dx = 0

6 SLABÉ ŘEŠENÍ 14 Úprava předchozího výrazu Greenovou větou vede na 0 = + δp(x) Γ v nv { }} { n(x)n(x) T v(x, t) dx Θ(x, t) δp(x) dx ( δp(x)) T n(x)v(x, t) dx Dosazení za relativní rychlost v z Darcyho zákona (4) a za objemovou změnu pórů z (3) vede na 0 = δp(x)n(x)v(x, t) dx Γ v ( ( δp(x)) T k(x) ( ) ) p(x, t) + γk (x)e z dx γ k (x) + δp(x) ( α(x)m T ε(x, t) + β(x)p(x, t) ) dx

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 15 S využitím vztahu m T T = T dostáváme finální vyjádření 0 = δp(x)n(x)v(x, t) dx ( δp(x)) T k(x)e z dx Γ v + ( δp(x)) T k(x) p(x, t) dx γ k (x) + δp(x)α(x) T u(x, t) p(x, t) dx + δp(x)β(x) 7 Diskretizace problému Aproximace posunů u (metoda separace proměnných) u(x, t) N u (x)r u (t) Aproximace časových derivací u/ a jejich prostorových derivací dx

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 16 T ( u/), T ( u/) u(x, t) T u(x, t) T u(x, t) N u (x) dr u(t), ( ) T dru (t) N u (x) ( ) T dru (t) N u (x) = L u (x) dr u(t), = B u (x) dr u(t). Aproximace váhových funkcí δu a jejich derivací T δu δu(x) N u (x)δr u, T δu(x) T N u (x)δr u = B u (x)δr u. Aproximace pórových tlaků p a jejich prostorových derivací p p(x, t) N p (x)r p (t), p(x, t) B p (x)r p (t), Aproximace časové derivace pórových tlaků p/ a jejich prostorových

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 17 derivací ( p/) p(x, t) N p (x) dr p(t) p(x, t), B p (x) dr p(t). Aproximace váhových funkcí δp a jejich prostorových derivací δp δp(x) N p (x)δr p, δp(x) B p (x)δr p. Dosazením předchozích aproximací do slabých podmínek rovnováhy a kontinuity dostáváme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic v čase K pu dr u (t) K uu dr u (t) K up dr p (t) K pp r p (t) C pp dr p (t) = dr t(t) + dr X, (7) = R v (t) R g. (8)

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 18 kde K uu = K up = K pu = C pp = K pp = B u (x) T D s (x)b u (x) dx L u (x) T α(x)n p (x) dx N p (x) T α(x)l u (x) dx N p (x) T β(x)n p (x) dx B p (x) T k(x) γ k (x) B p(x) dx

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 19 a R t (t) = R X (t) = R v (t) = R g = Γ t (t) N u (x) T t(x) dx N u (x) T X(x) dx Γ v (t) N p (x) T n(x)v(x) dx) B p (x) T k(x)e z dx Prostorová konečněprvková diskretizace musí splňovat LBB podmínku, aby byla zajištěna konvergence metody. Obecně se doporučuje volit řád aproximace u posunů u o jeden řád vyšší než u p.

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 20 7.1 Časová diskretizace Časová diskretizace spočívá v numerické integraci soustavy obyčejných diferenciálních rovnic, doplněné počátečními podmínkami r u (0) = r 0, r p (0) = p 0. Řešený časový interval 0, t opět (ekvidistantně) rozdělíme na n intervalů délky t V i-tém okamžiku t i označíme řešení jako r u i = r u (t i ), r p i = r p (t i ), i = 0,..., n.

7 DISKRETIZACE PROBLÉMU 21 V obecném čase t volíme aproximace neznámých ve tvaru r u (t) (1 τ)r u i + τr u i+1, r p (t) (1 τ)r p i + τr p i+1. Časové derivace jsou opět aproximovány jako dr u (t) r u i+1 r u i t, dr p (t) r p i+1 r p i t, Pro tuto volbu časvé diskretizace vede Galerkinova metoda na identické výsledky s Rothe-Rektorysovou metodou. Platí i stejná pravidla pro volbu τ. Domácí úkol. Proveďte diskretizaci nestacionární úlohy vedení tepla Galerkinovou metodou (metodou separace proměnných). Ukažte, že obě metody vedou na stejný výsledek.

REFERENCE 22 Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha) Verze 000 Reference [1] T. Krejčí, T. Nový, L. Sehnoutek, and J. Šejnoha, Structure-subsoil interaction in view of transport processes in porous media, CTU Report 5(1), Czech Technical University in Prague, 2001. [2] I. Vaníček, Mechanika zemin, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996. [3] O. C. Zienkiewicz, Basic formulation of static and dynamic behaviour of soil and other porous media, Tech. report, Institute for Numerical Methods in Engineering, University College of Swansea, 1983.