SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost Drahomír Novák Jan Eliáš 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 1
část 2 Statistika a pravděpodobnost 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 2
Rozdělovací funkce (pdf) označení f ( x) vlastnosti nezáporná f ( x) 0 jednotková plocha f ( x)dx 1 Obrázek 1. pdf 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 3
Distribuční funkce (cdf) označení F definice ( x) F ( x) P( x) vlastnosti lim F ( x) 1 x lim F ( x) 0 x F ( x) 0 neklesající x Obrázek 3. cdf 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 4
Charakteristiky rozdělení střední hodnota = těžiště rozdělovací funkce rozptyl 100p% kvantil x f ( x)dx 2 Var( ) ( ) ( )d - směrodatná odchylka x f x x = Var( ) Q F 1 ( p) p Obrázek 2. charakteristiky medián Q 1 0.5 F (0.5) 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 5
Co je a co není platná cdf nebo pdf Obrázek 4. Testování kritérií cdf a pdf 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 6
Sdružená hustota pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnost dvou či více veličin f,y,z, (x,y,z, ) Obrázek 5. Sdružená hustota pravděpodobnosti 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 7
Statistická závislost veličiny a Y jsou nezávislé právě když f ( x, y) f ( x) f ( y) Y Y Obrázek 6. Nezávislé a závislé veličiny 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 8
Pearsonův korelační koeficient míra lineární závislosti r = 0 mohou či nemusí být závislé r 0 závislé r > 0 pozitivní korelace, r < 0 negativní korelace limity A i, j Cov var i, var i j j, 1, 1 Y ( Y, ) xy f ( x, y)dxdy Y y Y 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 9
náhodná veličina Korelační matice Diagonální Symetrická Pozitivně definitní 1 A 1,2 A 1,NVar 1 A 2,NVar 1 Symetrie korelační matice 1 1 náhodná veličina 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 10
2D reprezentace závislosti 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 11
Příklady ne/závislých veličin poslední řádek = nulová Pearsonova korelace, jinak ale závislé náhodné veličiny Obrázek 7. Příklady Personovy korelační míry 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 12
Neparametrické pořadové míry korelace Spearman, nezávislá na typu rozdělení, robustní, místo samotných hodnot používá jejich pořadí A k i, j 3 NSim R 2 ki Rkj 6 1, 1, 1 N Sim Kendallovo tau τ τ q,p, j 1,2, N i ji j, R ki pořadí vzorku i v seřazeném výběru Odolné k defektům v datech, používají jen pořadí 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 13
Srovnání korelačních měr pro praktické spolehlivostní výpočty je rozdíl nepodstatný, protože je beztak často minimální znalost skutečné závislosti vstupních veličin Pearson klasická Neparametrická - robustní Obrázek 8. Spearmanova versus Pearsonova korelace 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 14
Rovnoměrné (obdelníkové) rozdělení dva parametry a spodní mez b horní mez lze ho jednoduše simulovat na počítači Obrázek 9. Rovnoměrné rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 15
Normální (Gaussovo) rozdělení dva parametry m střední hodnota s směrodatná odchylka výsledek centrálního limitního teorému (součet mnoha veličin vždy vede na Normální rozdělení) například geometrické veličiny, IQ, Obrázek 10. Normalní rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 16
Standardizované normální rozdělení střední hodnota 0 směrodatná odchylka 1 symbol F Obrázek 11. Standardizované normální rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 17
Lognormální rozdělení dva parametry m střední hodnota v logprostoru s směrodatná odchylka v log-prostoru omezeno zdola nulou např. pevnost, hustota, nejistoty, Youngův modul, Obrázek 12. Lognormální rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 18
Weibullovo rozdělení (2-parametrické) dva parametry m parametr tvaru l parametr měřítka výsledek teorie extrémních hodnot (minimum z mnoha veličin může vést na Weibullovo rozdělení) např. pevnost, omezeno zdola nulou Obrázek 13. Weibullovo rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 19
Beta rozdělení dva parametry a, b parametry tvaru oboustranně omezené meze mohou být jednoduše upraveny z intervalu [0,1] na libovolný reálný interval => další dva parametry Obrázek 14. Beta rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 20
Určení vhodného rozdělení střední část může být určena z histogramů, ale pro spolehlivostní výpočty jsou nejdůležitější okrajové části!!! nutnost určení rozdělení teoreticky (z fyzikálních principů) Statistické testy: Kolmogorov-Smirnov Chi-square test Obrázek 15. Hledání optimálního rozdělení 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 21
Stochastický proces v čase ne pouze jednotlivé hodnoty ale také jejich časová posloupnost např. meteorol. data, výška hladiny, rychlost větru stacionární proces charakteristiky procesu (střední hodnota, rozptyl, vyšší statistické momenty + korelace) se s časem nemění A klasický histogram E histogram extrémních hodnot auto-korelační funkce, spektrální hustota stochastická metoda konečných prvků nestacionární proces Obrázek 16. Stochastický proces 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 22
Náhodné pole prostorová závislost Pevnost materiálu, Youngův modul, veličiny se mění v prostoru spíše spojitě spojitost lze zajistit požadováním kladné korelační závislosti 2 jejíž velikost je dána vzdáleností d is correlation length ij xi xj exp d více veličin lze reprezentovat více náhodnými poli s vzájemnou korelací Obrázek 17. Náhodné pole ve 2D Obrázek 18. Náhodné pole ve 3D 2012 Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš 23