5.4.5 Rtační tělesa Předpklady: 050402 Pedaggická pznámka: Tut hdinu necháám ětšinu na samstudium. Mnhstěny: "hranatá" tělesa zniklá jak průniky plprstrů tělesa bez strých hran musíme ytřit jinak. Jedn z nejjedndušších blých těles - rtační álec znikne rtací bdélníku (případně čterce) klem jedné z jeh stran. Př. 1: Na brázku nakreslen bdélník C a rtační álec, který znikl jeh rtací klem sy prcházející stranu C. Vyjádři ýšku a průměr álce pmcí stran bdélníku C. C C= = Výška álce = C, d = 2. 1
Př. 2: Načrtni brázek álce a něm: a) ytáhni mdře pdstané hrany, b) yšrafuj bě pdstay, c) ystínuj šedě plášť, d) čereně ytáhni alespň čtyři strany. trany rtačníh álce jsu jedntliými plhami rtující strany půdníh bdélníku. Pedaggická pznámka: Jediným prblémem jsu strany, ale když žáky chilku necháte, djde jim, že mnh jiných rzumných mžnstí nezbýá. Př. 3: Rtační álcá plcha je mnžinu šech bdů prstru, které mají d dané přímky stejnu zdálenst různu d nuly. Jak suisí rtační álcá plcha s rtačním álcem? Odhadni ýznam termínu rtační álcý prstr. Rtační álcá plcha je bdbu n-bké hranlé plchy znikne z pláště rtačníh álce, když jeh strany prdlužíme na přímky. Rtační álcý prstr je část prstru hraničená rtační álcu plchu. Př. 4: Načrtni brázek rtačníh kužele a edle něj rinnéh útaru, jehž rtací kužel znikne. Jak suisí ýška a průměr kužele s rzměry tht útaru. C V=C a c r = 2
Rtační kužel znikne rtací praúhléh trjúhelníku kl jedné z jeh děsen. V našem případě platí je průměr kužele je ren djnásbku délky děsny c a ýška je rna délce děsny a. Př. 5: V brázku kužele: a) ytáhni mdře pdstanu hranu, b) yšrafuj pdstau, c) ystínuj šedě plášť, d) čereně ytáhni alespň čtyři strany. trany rtačníh kuželu jsu jedntliými plhami rtující přepny (třetí strany) půdníh trjúhelníku. tejně jak u rtačníh álce i u rtačníh kužele můžeme prdlužením stran získat rtační kuželu plchu, která hraničuje rtační kuželý prstr. U rtačních těles se bčas zabýáme zájemnu plhu tělesa a riny. Př. 6: Klik splečných bdů může mít s rtačním álcem rina rnběžná s jeh su (směrá rina)? Nakresli brázky jedntliých mžnstí. Narhni jejich pjmenání. Tři mžnsti. Rina nemá s álcem žádný splečný bd. Rina má s álcem splečnu přímku. 3
T t T Vnější rina álce Tečná rina álce Rina má s álcem splečný bdélník (případně čterec). ečná rina álce Vztah mezi rinu a álcem elmi připmíná ztahy mezi přímku a kružnicí. Př. 7: Které riny můžeme zhledem k rtačnímu kuželu značat jak rchlé? Klik mžnstí pr zájemnu plhu kužele a kuželé plchy existuje? Vrchlá rina prchází rchlem kuželu. Pdbně jak u álce a jeh směré riny existují u kužele a rchlé riny tři mžnsti. Rina má s kuželem jeden splečný bd (rchl). Rina má s kuželem splečnu přímku. 4
V V T Tečná rina kuželu Rina má s kuželem splečný rnramenný trjúhelník. V ečná rina kuželu Nesměré řezy álcé plchy a nerchlé řezy kuželé plchy jsu matematice elmi důležité křiky - kuželsečky. Kružnice Elipsa ( rzšlápnutá kružnice, ál ) 5
ečná rina je klmá k se kuželé plchy. ečná rina není klmá na su, ale sírá s ní ětší úhel než strana kuželé plchy. Parabla (graf kadratické funkce) Hyperbla (graf lineární lmené funkce) ečná rina je rnběžná se stranu kuželé plchy ečná rina sírá s su kuželé plchy menší úhel než strana. Př. 8: Pkus se ysětlit následující termíny: a) sý řez b) rnstranný álec, c) rnstranný kužel. a) sý řez - řez jducí su rtačníh tělesa. b) rnstranný álec - álec jehž sý řez je čterec (ýška álce se rná průměru pdstay) c) rnstranný kužel - kužel jehž sý řez je rnstranný trjúhelník (strany kužele jsu rny průměru pdstay) Př. 9: Načrtni brázek a) kule, b) kmléh rtačníh kužele c) anulidu (trusu). Ke každému brázku načrtni ještě rinný útar jehž rtací těles znikl. a) kule 6
r r Kule znikne rtací půlkruhu kl sy prcházející jeh průměrem. třed půlkruhu je středem kule a plměr půlkruhu r je plměrem kule. b) kmlý rtační kužel C r 2 r 2 C= 2 r 1 r 1 = 1 Kmlý kužel znikne rtací praúhléh lichběžníka klem sy, která prchází jeh kratším ramenem. c) anulid (trus) nulid znikne rtací kruhu kl sy, která leží rině kruhu a přitm h neprtíná. 7
Př. 10: Najdi tabulkách u zrců pr prchy a bjemy náčrtky částí kule. Které z názů značují prchy, které části prstru? Kule a plcha kulá 4 V = π r 3 2 = 4π r 3 Vrchlík, kulá úseč Obsah rchlíku a kuléh pásu = 2π r π 6 Objem kulé 2 2 V = úseče ( 3ρ + ) Kulý pás, kulá rsta π 6 Objem kulé V = rsty ( 3ρ 2 2 2 1 + 3ρ2 + ) 2 1 2 1 Vrchlík a kulý pás jsu prchy (leé brázky), kulá úseč a kulá rsta jsu bjemy. Pedaggická pznámka: Tabulka je přezatá z Matematických, fyzikální a chemických tabulek pr střední škly. Interpretace není btížná, ale ždy se najde někd, kd s ní má značné prblémy. hrnutí: Terminlgie rtačních těles má mnh splečnéh s terminlgií mnhstěnů i se terminlgií kružnic rině. 8