M58 Když je peněz nadbytek (pracovní list - učitel)

M58 Když je peněz nadbytek (pracovní list - učitel) Autor: Mgr. Jiří Kadlec Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika, základy společenských věd, ekonomie Ročník: 3. - 6. (1. - 4. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: Finanční gramotnost Anotace: Student se seznámí s investičními produkty a dozví se, na co si dát při investování pozor. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 1

M58 Když je peněz nadbytek - OBSAH Úvod Investiční trojúhelník Spořící a investiční produkty Stavební spoření Spořicí účet Termínovaný vklad Vkladní knížka Penzijní připojištění Úrok (základní pojmy) Jednoduché úročení Složené úročení Efektivní úroková míra Dlouhodobé spoření Splátka a důchod Výše úvěru a úspor Použité zdroje - literatura, internet, multimédia Metodický pokyn pro práci s pracovním listem Veškeré matematické operace a vzorce, které jsou použity při řešení příkladů v tomto pracovním listu, je možno nalézt, včetně příslušné teorie, v samostatné publikaci Kadlec - Finanční matematika (jednotlivé kapitoly jsou k dispozici na níže uvedené internetové stránce Finanční gramotnost na GJN) nebo v titulu č. 19 Radová, Dvořák, Málek - Finanční matematika pro každého ze seznamu literatury. Pracovní listy je možno využít při výuce na hodinách matematiky a v předmětech, v nichž se vyučuje ekonomická tématika. Dále jich mohou využít studenti a ostatní zájemci o příslušnou problematiku k samostatné přípravě a procvičování daného tématu. Aktualizované verze pracovních listů a chystaná rozšíření o řešené příklady a ilustrační úlohy je možno také nalézt na internetové stránce Finanční gramotnost na GJN http://fig.gjn.cz Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 2

Úvod Snahou každé hospodařící jednotky, ať už člověka, domácnosti nebo velké společnosti, je takové počínání, které vede k přebytkovému rozpočtu. To znamená, že příjmy převyšují výdaje. Co však s penězi, které nám každý měsíc zbydou? Pokud bychom je ukládali jenom do šuplíku nebo na bankovní účty se zhodnocením nižším, než je míra inflace, ztrácely by naše úspory na hodnotě. Inflace je všeobecné zvyšování cenové hladiny v čase. O inflaci pojednává samostatný pracovní list M59 Inflace a deflace. Co tedy s penězi navíc? Musíme je investovat! Jak se však můžeme stát investory, když jsme celým školským systémem vychováváni jako budoucí zaměstnanci? A navíc, člověk, který hledá existenční jistotu, není ochoten riskovat. A investice jsou přece spojeny s rizikem, nebo ne? Problematika bezpečnosti investic přesahuje rámec tohoto pracovního listu. Zájemce odkazuji na doporučenou literaturu. Dále bych rád upozornil na strategickou simulační hru Finanční svoboda, kterou pravidelně hrajeme na Gymnáziu Jana Nerudy formou Game Session. Hráči získají třicet let finančních zkušeností v průběhu jedné herní hodiny a následné diskuse s moderátorem hry. Více na facebooku nebo na www.financnisvoboda.cz. Nestačilo by prostě spořit? Spoření, neboli odkládání volných finančních prostředků na pozdější použití, je rozhodně lepší, než je nepromyšleně utratit za věci či požitky. Spoření samo o sobě však nemusí ani uchovat reálnou hodnotu peněz. Od investice naopak očekáváme růst reálné hodnoty finančních prostředků v čase. Tři investiční preference Finanční rozhodování patří k velmi důležitým procesům, jejichž podstatu je možno charakterizovat pomocí následujících tří investičních preferencí: Každý investor preferuje více peněz než méně. Každý investor preferuje méně rizika než více. Každý investor preferuje stejné množství peněz dnes spíše než zítra. Třetí z uvedených možností je spojena s problematikou časové hodnoty peněz. To je finanční metoda, která slouží k porovnání dvou či více peněžních částek v různých časových obdobích. Důležitými finančními pojmy této metody jsou úroková míra a úrok. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 3

Investiční trojúhelník Výnos Investiční trojúhelník Bezpečnost Likvidita Výnos - chceme co nejvíce vydělat Bezpečnost - chceme mít jistotu, že neproděláme Likvidita - chceme mít své finanční prostředky rychle dostupné Tato tři hlediska jdou proti sobě a nelze je v praxi současně splnit. Nelze mít vysoký výnos s vysokou mírou bezpečnosti a ještě navíc mít investované prostředky v případě potřeby rychle k dispozici. Je tedy na nás, jakou investiční strategii zvolíme. K zjištění, jakým jsme typem investora v závislosti na investičním horizontu, míře, s jakou snášíme riziko apod. nám mohou pomoci dotazníky investičních společností. Na základě tohoto zjištění pak volíme příslušný investiční produkt. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 4

Spořicí a investiční produkty Stavební spoření Stavební spoření je účelový druh spoření, při kterém vkladatel dlouhodobě ukládá prostředky u specializované banky za účelem zajištění úspor primárně pro účely bydlení. Po určité době po splnění dalších podmínek získává nárok na úvěr ze stavebního spoření. Jedná se tedy o kombinaci spoření a účelového úvěru na bydlení. V první fázi klient stavební spořitelny pouze spoří. K jeho vkladům je obvykle připisována tzv. státní podpora (roční příspěvek státu, jehož výše se odvíjí od výše pravidelně vkládaných peněz) a vklady jsou spolu s ní úročeny pevně stanovenou úrokovou sazbou. Díky tomu bývá stavební spoření mnohými občany využíváno pouze ke spořícím účelům. Jedná se totiž o výhodnou kombinaci bezpečného vkladu (minimální investiční riziko díky přísným podmínkám, jež musí stavební spořitelny splnit a omezením jejich investičních aktivit, kterých se musí držet) a relativně vysokého zhodnocení (díky státní podpoře). Úvěr ze stavebního spoření Pro poskytnutí řádného úvěru ze stavebního spoření musí klient splnit určité podmínky. Hlavními jsou především: čekací lhůta (v řádech let) naspoření určitého procenta cílové částky prokázat účelovost poskytnutých prostředků (např. koupě bytu, rekonstrukce koupelny ) Klient tedy musí nejprve spořit a až po určité době mu je přidělen úvěr, jenž potom postupně splácí. Za vypůjčení peněz si spořitelna samozřejmě účtuje úrok (daný úrokovou sazbou). Cílová částka Při sjednávání stavebního spoření si klient volí tzv. cílovou částku. Tato cílová částka je součet naspořených a vypůjčených peněz, jedná se tedy o celkovou částku, kterou bude mít klient k dispozici. Příklad: Úvěr ze stavebního spoření Viktor chce rekonstruovat dům (= účel) a potřebuje na to 500 000 Kč (= cílová částka). Založí si tedy stavební spoření a po dvou letech (= čekací lhůta) má naspořeno 250 000 Kč (= 50 % cílové částky). Jelikož splňuje všechny podmínky dané stavební spořitelnou i zákonem, může zažádat o úvěr ze stavebního spoření. Spořitelna mu přidělí úvěr ve výši 250 000 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 5

Překlenovací úvěr ze stavebního spoření Chceme-li financovat naše potřeby bydlení ihned, nebo je-li výše naší cílové částky velká a pro přidělení úvěru bychom museli spořit velmi dlouho, využijeme tzv. překlenovací úvěr. Jak už jeho název napovídá, tento úvěr slouží k překlenutí doby, kdy spořitelna může klientovi poskytnout řádný úvěr ze stavebního spoření. Jak funguje překlenovací úvěr? Klient si uzavře stavební spoření. Stavební spořitelna mu (po doložení účelovosti a splnění dalších běžných úvěrových podmínek) ihned poskytne překlenovací úvěr ve výši cílové částky. Klient z něj splácí pouze úroky (nesplácí jistinu = vypůjčené peníze) a pokračuje dále ve stavebním spoření. Po dosažení podmínek pro přidělení řádného úvěru se překlenovací úvěr změní v úvěr řádný, klient už neplatí pouze úroky, ale postupně také začíná splácet jistinu úvěru. Při změně překlenovacího úvěru v úvěr řádný může (ale nemusí) dojít ke změně úrokové sazby. Překlenovací úvěry vznikly jako konkurence hypotečním úvěrům a pokud se rozhodujeme mezi hypotečním úvěrem a úvěrem překlenovacím, měli bychom vzít v potaz nejen úrokové sazby, ale i celkové náklady na tyto úvěry, nechat si spočítat, kolik peněz ve skutečnosti za úvěr zaplatíme, zvážit všechny podmínky a až poté se rozhodnout. Spořicí účet Spořicí účet je dobrým kompromisem mezi běžným účtem a termínovaným vkladem. Je úročen vyšší úrokovou sazbou než běžný účet a zároveň je možné mít prostředky na něm uložené rychle k dispozici. Určitou nevýhodou spořicího účtu je nedostatečná ochrana uložených peněz před námi samými. Při nedostatečné osobní finanční disciplíně toho na dobře likvidním spořícím produktu moc nenašetříme. Termínovaný vklad Termínovaný vklad je poměrně výhodně úročený spořící produkt, pokud bezpečně víte, že prostředky na něm uložené nebudete po dobu výpovědní lhůty potřebovat. Platí, že čím delší je výpovědní lhůta a vyšší objem peněz, tím vyšší je výnos. Pozor na automaticky se obnovující (revolvingové) vklady. U těchto vkladů je možno peněžní prostředky vybírat pouze v den, kdy skončí doba, na kterou byl vklad uložen. Vklady bez automatického obnovování lze vybírat kdykoli po skončení této doby. V případě předčasného výběru si banka účtuje sankční poplatky. V konečném důsledku přijdeme o většinu úroků a u některých bank můžeme dokonce ztratit i část vložené částky. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 6

Vkladní knížka Vkladní knížka je dalším, především v minulosti oblíbeným a často jediným spořícím nástrojem. Klient neuzavírá s bankou smlouvu, jako v případě účtů, ale banka mu vydává vkladní knížku na jméno. Dřívější vkladní knížky na doručitele byly novou legislativou zrušeny. Vkladní knížky mohou být s výpovědní lhůtou, kdy jsou v podstatě alternativou k termínovanému vkladu (na začátku peníze vložíte a na konci výpovědní lhůty je vyberete). Tento typ vkladních knížek nejčastěji funguje podobně jako revolvingový (automaticky se obnovující) termínovaný vklad. Podobně se nastavuje úročení a stejně je tomu s předčasnými výběry - podléhají relativně vysokým sankcím. Nejvýznamnější skupinu ale tvoří vkladní knížky bez výpovědní lhůty, kdy můžeme libovolně vybírat prostředky bez omezení až do výše zůstatku. Penzijní připojištění Penzijní připojištění znamená, že si pravidelně, po dobu, kdy patříme mezi tzv. ekonomicky aktivní část obyvatelstva, tzn. že pracujeme a dostáváme mzdu nebo vyděláváme jako osoba podnikající s čistým ziskem (po zaplacení všech povinných odpočtů, jimiž jsou zdravotní pojištění, důchodové pojištění, pojištění zaměstnanosti, daň z příjmu a popř. nemocenské pojištění) vyšším, než jsou běžné výdaje, spoříme na dobu, kdy již nebudeme ekonomicky aktivní a odejdeme tzv. do důchodu. Penzijní připojištění podporuje stát tzv. státním příspěvkem, jehož výše je odvozena od výše našeho měsíčního vkladu (při námi měsíčně spořené částce 1 000 Kč činí výše státního příspěvku 230 Kč). Dále nám na penzijní připojištění může přispívat náš zaměstnavatel. Nárok na výplatu penze z penzijního připojištění vzniká po dožití věku 60 let a při minimální době spoření 5 let (60 příspěvkových měsíců). Při předčasném ukončení penzijního připojištění je klientovi vyplaceno tzv. odbytné, což je úhrn zaplacených prostředků včetně příspěvků zaměstnavatele a zdaněný podíl na výnosech hospodaření penzijního fondu. O státní příspěvky a jejich zhodnocení penzijním fondem přijdeme. Musíme také dodanit slevu na dani, pokud jsme ji jako účastníci penzijního připojištění uplatňovali. V případě, že účastník nestojí o pravidelné vyplácení penze, může zvolit formu tzv. jednorázového vyrovnání, které se skládá z příspěvků zaplacených účastníkem, z příspěvků třetích stran, státních příspěvků a podílů na výnosech hospodaření fondu (výnosů z vkladů, dá se říct úroků). Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 7

Základní pojmy Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Věřitel (ten, kdo půjčil) získává tedy úrok za to, že dočasně poskytl své peníze někomu jinému. Z pohledu dlužníka (toho, kdo si půjčil) je úrok cena, kterou platí za získání úvěru. Když si naopak ukládáte peníze vy (např. v bance), je úrok odměna pro vás. Tato odměna je obvykle zdaněna 15 % daní z úroků. Velikost úroku je odvozena od rizik spojených s dočasnou ztrátou kapitálu, a těmi jsou: změny hodnoty tohoto kapitálu v čase vlivem inflace nejistota, zda bude půjčený kapitál v dané lhůtě a výši splacen Úroková míra (úroková sazba) je procentní hodnota podílu úroku k hodnotě půjčeného kapitálu. Úroková míra se vždy vztahuje k témuž období, ke kterému se vztahuje úrok. Úroková míra (sazba) může být: roční p.a. (per annum) pololetní p.s. (per semestrum) čtvrtletní p.q. (per quartale) měsíční p.m. (per mensem) denní p.d. (per diem) dále např. hodinová, minutová, sekundová a spojitá úroková sazba Příklad: Výpočet úrokové sazby (jednoduché úročení) Půjčili jsme si 10 000 Kč na 1 rok, věřitel chce úrok 1 000 Kč. Kolik činí úroková sazba? Řešení: Podíl úroku k hodnotě půjčeného kapitálu je =0,1 vyjádřeno v procentech 0,1 100=10 % p.a. (roční) Odpověď: Úroková sazba činí 10 % p.a.. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 8

Úrokové období je doba, za kterou se pravidelně připisují úroky. V případě úvěru se jedná o dobu, ke které se úroky vztahují. V souvislosti s úrokovým obdobím někdy také hovoříme o četnosti připisování úroků neboli frekvenční úročení. Doba splatnosti (úroková doba, doba existence smluvního vztahu) je doba, po kterou je peněžní částka (kapitál) uložena či zapůjčena, tedy doba, za kterou se počítá úrok. Nominální úroková míra (sazba) je úroková míra sjednaná mezi vypůjčovatelem a poskytovatelem kapitálu. Je uvedena v úvěrové smlouvě. Nejdůležitějšími znaky nominální úrokové míry jsou: délka časového období, za které je poměřována četnost skládání úroků Reálná úroková míra (sazba) určuje skutečné zhodnocení uloženého kapitálu (tj. přírůstek kupní síly vkladatele v důsledku odložení spotřeby na pozdější dobu) s ohledem na inflaci. (Inflace = snížení kupní síly peněz z důvodu nárůstu všeobecné cenové hladiny.) POZOR (!) U spořicích i úvěrových produktů je nutno pozorně sledovat, k jakému období se vztahuje uváděná úroková sazba. Proč? Některé (nejčastěji nebankovní) společnosti uvádějí u svých půjček úrok, který se sice zdá poměrně nízký, ale je například měsíční. Vynásobíme-li jej dvanácti, získáme teprve roční (p.a.) hodnotu úroku. A ta může být hodně vysoká. NEZNALOST NEOMLOUVÁ (!) V případě podpisu smlouvy o půjčce, kde je stanovena sazba 5 % p.m., budete muset zaplatit úroky ve výši 5 % měsíčně, což je 60 % ročně! Rovněž není výjimečné, že u spořicího produktu je uváděn velmi zajímavý a vysoký úrok. Při bližším pohledu však zjistíme, že se jedná o úrok za celé období. Po vydělení danými roky, kdy se dostáváme na požadované roční (p.a.) zhodnocení našeho vkladu, jde často o nezajímavou nízkou částku. Při ukládání peněz na termínovaný vklad na rok a více je rovněž vhodné se podívat, jak se úroky připisují. Připisují-li se např. měsíčně, je to výhodnější než čtvrtletně, pololetně či ročně, neboť takto připsané úroky se dále úročí - viz dále efektivní úroková míra. Poznámka: Úroková sazba i vyjádřená desetinným číslem = období. vyjadřuje úrok z 1 Kč za jedno úrokové Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 9

Typy nominální úrokové míry (příklad): roční (p.a.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého roku úrok 3 Kč) pololetní (p.s.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého pololetí úrok 3 Kč) čtvrtletní (p.s.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého čtvrtletí úrok 3 Kč) měsíční (p.m.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého měsíce úrok 3 Kč) denní (p.d.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého dne úrok 3 Kč) Platí, že roční nominální úroková míra: = 2 x pololetní nominální úroková míra = 4 x čtvrtletní nominální úroková míra = 12 x měsíční nominální úroková míra = 365 (366) x denní nominální úroková míra Počet dnů t se stanovuje podle následujících kódů: ACT - započítává se skutečný počet dnů smluvního vztahu a obvykle se neuvažuje první den 30E - celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dnů jako 30 dnů 30A - liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na 31. den v měsíci a současně začátek smluvního vztahu není 30. nebo 31. den v měsíci Délka roku bývá uvedena: rok jako 365 (resp. 366) dnů rok jako 360 dnů Standardy pro stanovení doby splatnosti v letech: standard ACT/365 (anglická metoda) je založen na skutečném počtu dnů úrokového období (čitatel) a délce roku (jmenovatel) 365 (resp. 366) dnů standard ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) je založen opět na skutečném počtu dnů v čitateli zlomku, ale délka roku (ve jmenovateli) se započítává jako 360 dnů standard 30E/360 (německá či obchodní metoda) je založen na kombinaci započítávání celých měsíců jako 30 dnů (v čitateli) a délky roku (ve jmenovateli) jako 360 dnů V dále uváděných příkladech budeme nejčastěji využívat, zejména pro jednoduchost, standard 30E/360. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 10

Existují dva typy úročení: Jednoduché úročení - úroky se počítají ze stále stejné, na počátku vložené častky. Vyplácené (připisované) úroky se tedy k původnímu kapitálu nepřičítají a dále se neúročí. Příklad: Jednoduché úročení 50 000 Kč do banky na 3 roky, úroková sazba 5 % p.a., jednoduché úročení. Úrokové období (rok) Vklad na začátku úrokového období Úrok připsaný na konci úrokového období Výše vkladu na konci úrokového období Výnos 1 50000 2500 52500 2500 2 50000 2500 55000 5000 3 50000 2500 57500 7500 Složené úročení - úroky se postupně připisují k základní vložené částce, ta se o tyto úroky navýší a úroky se v dalším úrokovém období počítají z této, o připsaný úrok zvýšené, částky. Říkáme, že při složeném úročení se počítají úroky z úroků. Příklad: Složené úročení 50 000 Kč do banky na 3 roky, úroková sazba 5 % p.a., složené úročení. Úrokové období (rok) Vklad na začátku úrokového období Úrok připsaný na konci úrokového období Výše vkladu na konci úrokového období Výnos 1 50000 2500 52500 2500 2 52500 2625 55125 5125 3 55125 2756 57881 7881 Z ukázkových příkladů vyplývá, že díky složenému úročení nám banka na úrocích vyplatí o 381 Kč více než v případě jednoduchého úročení (7 881-7 500 = 381). Rozdíl je způsoben efektem úroky z úroků. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 11

Jednoduché úročení Hlavním znakem jednoduchého úročení je způsob připisování úroků - úroky jsou sice na konci každého úrokového období připisovány, ale dále se neúročí. Prakticky si můžeme jednoduché úročení představit tak, že na jednom účtu vedeme jistinu (vložený kapitál) a na jiném účtu úroky, přičemž úroky nepřevádíme na účet jistiny. A úroky počítáme ze stále stejného základu - z jistiny. Při dalších úvahách budeme mít na mysli tzv. polhůtní úročení, kdy jsou úroky z vložené (půjčené) částky počítány po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují. Základní rovnice pro jednoduché úročení --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Úrok u z kapitálu K0 při úrokové sazbě p po n úrokových obdobích při jednoduchém úročení: =, kde = Rovnice J-UR u... úrok K0... počáteční kapitál i... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; = n... počet úrokových období p... úroková sazba za jedno úrokové období --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Příklad: Výpočet úroku po n úrokových obdobích při jednoduchém úročení Půjčka 100 000 Kč, úroková sazba p = 15 % p.a. Kolik bude činit úrok za 5 let? Řešení: =, kde = = =0,15; =5 =100 000 0,15 5=75 000 Kč Odpověď: Úrok za 5 let bude činit 75 000 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 12

Složené úročení Při složeném úročení jsou úroky na konci úrokového období připisovány k původnímu kapitálu (peněžní jistině) a dále se úročí. V následujícím úrokovém období se jako základ pro výpočet úroku bere již hodnota kapitálu zvýšená o tento úrok. Úročí se tedy již zúročený kapitál. Při dalších úvahách budeme mít na mysli pouze polhůtní úročení, kdy jsou úroky z vložené (půjčené) částky počítány po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují. Základní rovnice pro složené úročení Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n úrokových obdobích při složeném úročení (vzrůst hodnoty): = 1+ Rovnice ZHODNOCOVÁNÍ (Tab. 8) Kn... budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích K0... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál i... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; = n... počet úrokových období p... procentní zhodnocení (úroková sazba) za jedno úrokové období Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při ročním připisování úroků (složené úročení) Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 5 let při složeném úročení, jestliže úrokové období je roční a úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Řešení: =0,015 =5 = 1+ =120 000 1,015 1,0772840039=129 274,08 Kč Tabulky anuit č. 8 ZHODNOCOVÁNÍ.. průměr 1 % a 2 % na řádku 5 [let]..,, 1,077545 1,077545 120000=129305,40 Kč = Odpověď: Za 5 let bude výše kapitálu přibližně 129 300 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 13

V praxi se často setkáme s případy, kdy úrokové období je kratší než jeden rok. Hovoříme pak o tzv. področním úročení. Připisování úroků probíhá tedy častěji než jedenkrát ročně (např. pololetně, čtvrtletně, měsíčně, denně). Tím zobecníme předchozí úvahy a rovnici S-BH. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při složeném úročení při področním úročení: = 1+, kde = Rovnice S-P-BH Kn... budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech K0... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál i... roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; = m... frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka); jsou-li úroky připisovány vícekrát do roka (m > 1), hovoříme o tzv. področním úročení n... počet let p... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při pololetním připisování úroků (složené úročení) Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 5 let při složeném úročení, jestliže úrokové období je pololetní a roční úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Řešení: =0,015 =2 úroky jsou připisovány pololetně =5 doba uložení je 5 let = 1+ =120 000 1+, =129 309,91 Kč Odpověď: Za 5 let bude výše kapitálu 129 309,91 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 14

Úroková intenzita a spojité úročení Úroková intenzita odpovídá takové úrokové míře, kdy počet úrokových období se blíží k nekonečnu (úročí se v každém okamžiku). Délka úrokového období se se blíží k nule 0. Úroková intenzita je maximální možná výnosnost při dané úrokové míře. Na stejném principu je založeno tzv. spojité úročení. Praktický význam spojitého úročení spočívá hlavně v oblasti ohodnocení cenných papírů a kapitálových investic pomocí matematických modelů. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při spojitém úročení: =, kde = Rovnice S-SU-BH Kn... budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech K0... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál e... Eulerovo číslo, neboli základ přirozených logaritmů; e = 2,718... i... roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; = n... počet let p... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Příklad: Budoucí hodnota akcie při spojitém úročení Akcie má kurz 4 500 Kč. Jaký bude její kurz za 7 let, předpokládáme-li, že roční průměrná míra růstu jejího kurzu bude odpovídat úrokové intenzitě 8 % p.a.? Řešení: = =4 500, =4 500 1,7506725003=7 878,026251= 7 878 Kč Odpověď: Kurz akcie za 7 let by měl být přibližně 7 878 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 15

Při výpočtech jsme dosud pro zjednodušení nebrali v úvahu srážkovou daň z úroků 15 %. Pokud bychom ji do výpočtu chtěli zahrnout, upravíme předchozí rovnici S-P-BH takto: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při složeném úročení při področním úročení a danění úroků srážkovou daní 15 %: = 1+, kde = Rovnice S-P-D-BH Kn... budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech K0... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál i... roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; = d... srážková daň z úroků (15 %) vyjádřená desetinným číslem; = =0,15 m... frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka); jsou-li úroky připisovány vícekrát do roka (m > 1), hovoříme o tzv. področním úročení n... počet let p... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při pololetním připisování úroků při započítání srážkové daně z úroků (složené úročení) Na tříletý termínovaný vklad jsme uložili 10 000 Kč. Úroky jsou připisovány pololetně. Kolik budeme moci vybrat za 3 roky, jestliže úroková sazba na tento vklad je 4 % p.a. a daň z úroků je 15 %? Řešení: =0,04 =2 úroky jsou připisovány pololetně ; =3 doba uložení jsou 3 roky =0,15 = 1+ =10 000 1+,, =11 064,35 Kč Odpověď: Za 3 roky při pololetním připisování úroků si budeme moci vybrat 11 064,35 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 16

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Současná hodnota K0 neboli základní kapitál. Současnou hodnotu K0 při složeném úročení získáme vyjádřením z rovnice S-BH: =, kde = Rovnice S-SH K0... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál Kn... budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích i... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; = n... počet úrokových období p... úroková sazba za jedno úrokové období --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Počáteční kapitál K0 představuje současnou hodnotu budoucího kapitálu Kn. Současná hodnota kapitálu nám říká, jak velký kapitál musíme dnes uložit, abychom po čase n při úrokové sazbě i a za předpokladu reinvestování (kapitalizace) úroků, tj. při složeném úročení, dosáhli hodnoty kapitálu Kn. Velký význam současné hodnoty tkví v tom, že nám umožňuje navzájem porovnat peněžní částky v čase. Nesmíme totiž zapomenout, že obnos získaný dnes má pro nás větší cenu než tentýž obnos získaný za n let. Čím dříve máme kapitál, tím dříve jej můžeme investovat a tím dříve nám přináší i úroky. Příklad: Současná hodnota budoucího kapitálu (složené úročení) Kolik musíme uložit na termínovaný vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno 10 000 Kč při složeném úročení roční úrokovou sazbou 15 % p.m.? Řešení: =5; =10 000; =0,15 = =, =4 971,77 Kč Odpověď: Musíme uložit 4 971,77 Kč. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 17

Efektivní úroková míra Dosud jsme pracovali s nominálními úrokovými měrami. Při stejné nominální úrokové míře je pro střadatele výhodnější, připisují-li se úroky vícekrát ročně, protože se opět zúročují. Efektivní úroková míra je roční úroková sazba, která dává za rok při ročním úrokovém období stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba s kratším úrokovým obdobím (pololetním, čtvrtletním, měsíčním, denním) a tím i častějším připisováním úroků. Efektivní úroková míra nám umožňuje porovnat různé úrokové míry za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků. Můžeme ji tak použít například pro porovnání výhodnosti uložení kapitálu u různých bank. Vzhledem k tomu, že výše kapitálu má být na konci roku při obou způsobech úročení stejná, musí pro efektivní úrokovou sazbu platit: výše kapitálu na konci roku při jednorázovém připsání úroku na konci roku roční úrokovou mírou = výše kapitálu na konci roku při vícenásobném ( krát) připisování úroků během roku roční úrokovou mírou 1+ = 1+ K0... počáteční kapitál ie... efektivní úroková míra vyjádřená desetinným číslem; = i... roční úroková sazba vyjádřená desetinným číslem; = p... roční úroková sazba m... frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka) Efektivní úroková míra se vyjádří z předchozí rovnice: = 1+ 1 resp. pro spojité úročení = 1 Rovnice EUM ie... efektivní úroková míra vyjádřená desetinným číslem; = i... roční úroková sazba vyjádřená desetinným číslem; = e... Eulerovo číslo, neboli základ přirozených logaritmů; e = 2,718... p... roční úroková sazba m... frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka) Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 18

Příklad: Výpočet efektivní úrokové míry Najděte efektivní úrokovou míru, která odpovídá roční úrokové míře 4 % p.a., jsou-li úroky připisovány: a) pololetně, b) čtvrtletně, c) měsíčně. Řešení: Do rovnice = 1+ 1 dosadíme a vypočteme: Varianta Dosadíme Výpočet Efektivní úroková míra a) m = 2, i = 0,04 ie = 1,02 2-1 = 0,0404 4,04 % b) m = 4, i = 0,04 ie = 1,01 4-1 = 0,0406 4,06 % c) m = 12, i = 0,04 ie = 1,0033 12-1 = 0,0407 4,07 % Příklad: Porovnání nabídky bank pomocí efektivní úrokové míry Chcete si uložit peníze a máte možnost zvolit si ze čtyř bank: banka A... 13 % p.a.... denní připisování úroků banka B... 13,5 % p.a.... půlroční úročení banka C... 14 % p.a.... roční úročení banka D... 12,8 % p.a.... spojité úročení Kterou banku si vyberete? Řešení: Do rovnice = 1+ 1, resp. = 1 pro spojité úročení, dosadíme a vypočteme: Banka Dosadíme Výpočet Efektivní úroková míra A m = 360, i = 0,13 ie = 1,0003611 360-1 = 0,1388 13,88 % B m = 2, i = 0,135 ie = 1,0675 2-1 = 0,1396 13,96 % C m = 1, i = 0,14 ie = 1,14 1-1 = 0,14 14,00 % D i = 0,128 ie = e 0,128-1 = 0,1366 13,66 % Odpověď: Vybereme si banku C, u které, ač připisuje úroky pouze 1x ročně, dosáhneme nejvyššího zhodnocení (nejvyšší budoucí hodnoty) uloženého kapitálu. Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 19

Poznámky k efektivní úrokové míře Efektivní úroková míra ie s počtem úrokových období za rok roste. Jinak řečeno, čím častěji se během roku úroky připisují, tím je to pro vkladatele výhodnější (protože se počítají úroky z úroků). Tento růst má však svou hranici. Nárůst efektivní úrokové míry ie (a tím i splatné částky) s počtem úrokových období za rok má postupně snižující se nárůst (viz první příklad na předchozí straně). Z grafu níže je patrné, že nejvyšší rozdíl budoucích hodnot nastává v případě, že změníme roční úrokové období na pololetní. Změníme-li však týdenní úrokové období na denní, není rozdíl budoucích hodnot už tak patrný. Budoucí hodnota je omezena, nezvyšuje se tedy s počtem úrokových období do nekonečna. Horní hranice je dána vzorcem pro spojité úročení =. Graf: Závislost budoucí hodnoty kapitálu za 1 rok na počtu úrokových období během roku Zdroj: Radová, Jarmila - Dvořák, Petr - Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého (příklady), s. 54 Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 20