MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ AGRONOMICKÁ FAKULTA DISERTAČNÍ PRÁCE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ AGRONOMICKÁ FAKULTA DISERTAČNÍ PRÁCE BRNO 2013 TOMÁŠ KRUMPHOLC

Mendelova univerzita v Brně Agronomická fakulta Ústav techniky a automobilové dopravy Matematický model kinematických a dynamických vlastností kloubové jízdní soupravy Disertační práce Vedoucí práce: Doc. RNDr. Stanislav Bartoň, CSc. Vypracoval: Ing. Tomáš Krumpholc Brno 2013

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem disertační práci na téma Matematický model kinematických a dynamických vlastností kloubové jízdní soupravy vypracoval samostatně a použil jen pramenů, které cituji a uvádím v přiloženém seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena v knihovně Mendelovy univerzity v Brně a zpřístupněna ke studijním účelům. Disertační práce je školním dílem a může být použita ke komerčním účelům jen se souhlasem vedoucího disertační práce a děkana Agronomické fakulty Mendelovy univerzity v Brně. dne: 27. června 2013 podpis autora

PODĚKOVÁNÍ Rád bych tímto poděkoval vedoucímu disertační práce Doc. RNDr. Stanislavu Bartoňovi, CSc. za jeho ochotu, přístup, cenné rady a připomínky, které mi pomohly při zpracování této disertační práce.

Anotace Předkládaná disertační práce zahrnuje matematický model pohybu autobusu při jízdě ve směrovém oblouku. Je zde položen základ pro nový přístup k vyhodnocení všech kinematických veličin, které ovlivňuje řidič svými aktivními zásahy do řízení. Práce je rozdělena do čtyř hlavních částí. V první části jsou odvozeny pohybové rovnice hmotného bodu pro případ, že jsou známy zásahy řidiče do řízení jako funkce udávající křivost trajektorie a rychlosti jako funkce času. Ve druhé části jsou tyto rovnice vyřešeny a je dokázána správnost řešení pro jednodušší případy. V další části je řešení zobecněno pro pohyb autobusu a je určena poloha řídícího bodu autobusu, tedy bodu, jehož pohyb odpovídá pohybu popsanému řešením pohybových rovnic. V poslední části jsou dosažené výsledky zobecněny pro pohyb kloubového autobusu. Výsledky řešení jsou použity pro výpočty trajektorií, a vektorů rychlostí důležitých bodů autobusu. Dále jsou provedeny výpočty průjezdních profilů a úhlu zalomení kloubu autobusu. Celý model je vystaven v prostředí programu Maple 13 a umožňuje provádět všechny uvedené výpočty pro libovolný typ autobusu a lze jej zobecnit i pro výpočty kinematických a dynamických veličin i složitějších jízdních souprav. Klíčová slova: křivost trajektorie, pohybová rovnice, numerická integrace, diferenciální rovnice, řídící bod, průjezdní profil

Annotation This PhD. thesis encloses the mathematical model of bus locomotion when passing the directional arc. There is stated the new approach to assess the entire kinematics magnitudes affected by drivers active intervention. The thesis is divided into four major parts. In the first part there are derived the locomotive equations determining the trajectory curvature and velocity as a function of time. In the second part these equations are solved in practice and the accuracy of solution is proved on simple calculations. In the following part the solution is generalized for the bus traction and also is defined the location of the directional point of the bus, meaning the point in which the motion is according to the issue described by solving the proposed locomotion equations. In the last part the obtained results are generalized to describe the motion of an articulated bus. The results are further used to calculate trajectories and velocity vectors of important points of a bus. Furthermore, there are also calculations solved for determination of clearance zones and the cranking angles of a bus joint. The entire model is built in the Maple 13 environment and allows conducting the abovementioned calculation for any type of a bus and it can also be generalized for calculations of kinematic and dynamic magnitudes as well as for more complicated vehicle combinations. Key words: Trajectory curvature, locomotion calculations, numeric integration, differential equation, directional point, clearance zones

OBSAH 1 ÚVOD 23 2 CÍL PRÁCE 25 3 ŘIDIČ 27 3.1 Řidič autobusu MHD........................... 27 4 AUTOBUS 29 4.1 Rozdělení autobusů............................ 29 4.1.1 Podle přepravní kapacity..................... 29 4.1.2 Podle konstrukčního uspořádání................. 30 5 KLOUBOVÝ AUTOBUS 33 5.1 Systém tlumení a blokování točny.................... 34 6 JÍZDA SMĚROVÝM OBLOUKEM 37 6.1 Jízdní stabilita v zatáčce......................... 39 6.2 Vliv pneumatik.............................. 41 6.3 Autobus při zatáčení........................... 42 7 MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ 45 7.1 Význam matematického modelování................... 45 7.2 Rozdělení matematických modelů.................... 45 7.3 Interpretace a verifikace řešení...................... 46 7.4 Stručný popis programu Maple 13................... 47 7.4.1 Základní použité příkazy Maple 13............... 47 13

8 ZÁKLADNÍ PROBLÉM KINEMATIKY 49 8.1 Úvod.................................... 49 8.1.1 Vektory zrychlení......................... 49 8.2 Oskulační kružnice trajektorie...................... 51 8.3 Pól rychlosti................................ 53 8.4 Polodie................................... 56 9 INVERZNÍ PROBLÉM KINEMATIKY 59 9.1 Odvození systému pohybových rovnic.................. 59 9.2 Analytické řešení systému pohybových rovnic............. 61 9.2.1 Verifikace řešení.......................... 62 9.3 Řešení pohybových rovnic pro pravoúhlou brzděnou zatáčku.................... 66 9.3.1 Analytické řešení......................... 67 9.3.2 Řešení Eulerovou metodou.................... 69 9.3.3 Řešení řadou........................... 74 9.3.4 Numerické řešení metodou Runge-Kutta............ 76 10 KŘIVOST TRAJEKTORIE PODROBNĚJI 83 10.1 Křivost trajektorie při ukončení zatáčky................ 83 10.2 Křivost trajektorie zadaná polynomem................. 85 10.3 Porovnání řešení pohybových rovnic pro obě funkce křivosti..... 88 10.4 Vliv zpomalení.............................. 92 11 STANOVENÍ ŘÍDÍCÍHO BODU 105 11.1 Trajektorie libovolného bodu autobusu................. 105 11.2 Střed přední nápravy jako řídící bod.................. 106 11.2.1 Vytvoření systému diferenciálních rovnic............ 107 11.2.2 Iterační procedura pro jeden časový krok............ 108 11.3 Střed zadní nápravy jako řídící bod................... 115 11.4 Jízda konstantní rychlostí po kružnici.................. 118 11.4.1 Střed přední nápravy jako řídící bod.............. 120 11.4.2 Řídícím bodem je střed zadní nápravy............. 122 14

11.5 Vyhodnocení............................... 125 12 KLOUBOVÝ AUTOBUS 127 12.1 Přípravná část............................... 129 12.1.1 Zobecnění procedury BOD..................... 129 12.1.2 Funkce rychlosti a křivosti trajektorie řídícího bodu...... 131 12.2 Iterace................................... 133 12.3 Výsledky.................................. 134 12.3.1 Trajektorie jednotlivých kol................... 134 12.3.2 Rychlosti jednotlivých kol.................... 138 12.3.3 Zrychlení jednotlivých kol.................... 141 12.3.4 Tečné a normálové zrychlení................... 142 12.3.5 Křivosti trajektorie a oskulační kružnice............ 146 12.4 Úhlová rychlost rotace obou částí autobusu............... 151 12.5 Průjezdní profil autobusu......................... 152 12.6 Úhel zalomení kloubu........................... 158 12.7 Dynamika průjezdu zatáčkou....................... 158 13 POUŽITÍ MODELU A VERIFIKACE 163 13.1 Verifikace I - vybočení zadní nápravy.................. 164 13.2 Verifikace II - vnější vybočení zadní části................ 168 13.3 Využití modelu pro návrh konstrukce.................. 170 14 VÝSLEDKY A DISKUSE 173 15 ZÁVĚR 177 15

16

SEZNAM OBRÁZKŮ 4.1 Podvozek malého autobusu....................... 31 4.2 Podvozek klasického autobusu..................... 31 4.3 Podvozek kloubového autobusu..................... 32 4.4 Podvozek dvoukloubového autobusu.................. 32 5.1 Kulový čep................................ 34 5.2 Kuličková točna............................. 34 5.3 Blokování kloubu............................. 35 6.1 1. způsob průjezdu zatáčkou....................... 38 6.2 2. způsob průjezdu zatáčkou....................... 38 6.3 Vrchol zatáčky-apex........................... 39 6.4 Adhezní elipsa.............................. 41 6.5 Vliv výšky dezénu pneumatiky na vznik aquaplaningu........ 41 6.6 Průjezd zatáčkou dvounápravového autobusu............. 43 6.7 Průjezd zatáčkou kloubového autobusu s neřízenou zadní nápravou. 44 6.8 Průjezd zatáčkou kloubového autobusu s řízenou zadní nápravou.. 44 8.1 Odvození polohy pólu rychlosti..................... 54 8.2 Polodie pevná a hybná, trajektorie vrcholů a jejich evoluty...... 56 9.1 Přibližné určení V x(t) = 0........................ 68 9.2 Trajektorie průjezdu pravoúhlou zatáčkou............... 71 9.3 Konec trajektorie průjezdu pravoúhlou zatáčkou........... 72 9.4 Nepřesnost polohy v závislosti na počtu iteračních kroků....... 74 17

9.5 Závislost relativní chyby času ukončení zatáčky na počtu iteračních kroků.................................... 75 9.6 Trajektorie pro výsledky řešené mocninnými řadami......... 76 9.7 Rozdíl poloh numerického a analytického řešení............ 79 9.8 Rozdíl poloh numerického a analytického řešení v závislosti na čase. 81 9.9 Vzdálenost polohy určené analyticky a numericky v závislosti na čase 81 10.1 Přibližné určení t a ω.......................... 86 10.2 Porovnání funkcí sinus a P2....................... 86 10.3 Časové závislosti křivosti trajektorií pro κ1 a κ2........... 89 10.4 Porovnání trajektorií pro κ1 a κ2.................... 89 10.5 Časové závislosti x(t) a y(t) pro κ1 a κ2................ 91 10.6 Fázový prostor rychlostí pro křivosti κ1 a κ2............. 91 10.7 Závislost V x(t), V y(t) a V (t) pro křivosti κ1 a κ2.......... 93 10.8 Fázový prostor zrychlení pro křivosti κ1 a κ2............. 93 10.9 Závislost Ax(t), Ay(t) a A(t) pro křivosti κ1 a κ2.......... 94 10.10 Evoluty a apexy trajektorií pro křivosti κ1 a κ2............ 94 10.11 Trajektorie pro různé hodnoty zpomalení............... 99 10.12 Průběh souřadnic v závislosti na čase................. 99 10.13 Fázový prostor vektoru rychlostí pro různé hodnoty zpomalení.... 101 10.14 Průběh souřadnic vektoru rychlosti v závislosti na čase........ 101 10.15 Fázový prostor vektoru zrychlení pro různé hodnoty zpomalení... 102 10.16 Průběh souřadnic vektoru zrychlení v závislosti na čase........ 102 10.17 Trajektorie a evoluty pro různé hodnoty zrychlení........... 104 11.1 Průběh iterace.............................. 113 11.2 Průjezd zatáčkou pro řídící bod střed přední nápravy........ 116 11.3 Průjezd zatáčkou pro řídící bod střed zadní nápravy........ 119 11.4 Vzájemné porovnání obou průjezdů zatáčkou............. 120 11.5 Jízda po kružnici pro řídící bod střed přední nápravy........ 123 11.6 Jízda po kružnici pro řídící bod střed zadní nápravy........ 124 12.1 Kloubový autobus Irisbus Citelis 18m................. 127 18

12.2 Trajektorie jednotlivých kol....................... 136 12.3 Výjezd.................................. 136 12.4 Okolí apexu................................ 136 12.5 Závislost souřadnic jednotlivých kol na čase.............. 138 12.6 Fázový prostor rychlostí jednotlivých kol................ 140 12.7 Závislost souřadnic vektorů rychlosti jednotlivých kol na čase.... 140 12.8 Fázový prostor zrychlení jednotlivých kol............... 143 12.9 Závislost souřadnic vektorů rychlosti jednotlivých kol na čase.... 143 12.10 Normálové zrychlení jednotlivých kol v závislosti na čase....... 145 12.11 Tečné zrychlení jednotlivých kol v závislosti na čase......... 145 12.12 Vektor zrychlení ve fázovém prostoru tečného a normálového zrychlení....................... 147 12.13 Křivosti trajektorií jednotlivých kol v závislosti na čase........ 150 12.14 Evoluty trajektorií jednotlivých kol a pevné polodie v okolí apexu.. 150 12.15 Úhlová rychlost rotace obou částí kloubového autobusu........ 152 12.16 Trajektorie rohů karoserie a pozice autobusu uvnitř zatáčky..... 154 12.17 Obrysové obálky levých částí autobusu................. 157 12.18 Průjezdní profil kloubového autobusu................. 157 12.19 Úhel zalomení kloubu.......................... 159 12.20 Úhel zalomení kloubu v závislosti na křivosti trajektorie....... 159 12.21 Kammovy elipsy............................. 161 13.1 Stopy pneumatik............................. 163 13.2 Stopy pneumatik verifikace...................... 167 13.3 Vybočení zadní části verifikace.................... 168 13.4 Rozjezd autobusu............................ 169 13.5 Vybočení zadní části prostorové zobrazení.............. 172 13.6 Vybočení zadní části plošné zobrazení................ 172 19

20

SEZNAM TABULEK 6.1 Součinitel adheze na různém povrchu.................. 40 11.1 Polohy kol a obrysu karoserie vzhledem k ose přední nápravy.... 114 11.2 Polohy kol a obrysu karoserie vzhledem k ose zadní nápravy..... 117 12.1 Souřadnice kol autobusu Citelis 18m.................. 135 12.2 Souřadnice rohů karoserie autobusu Irisbus Citelis 18m........ 153 21

22

Kapitola 1 ÚVOD Důležitosti dopravy odpovídá její definice: Doprava je důležitá a cílevědomá lidská činnost při přemísťování osob, zvířat, věcí a informací v proměnném čase a prostoru. Dopravu můžeme přirovnat k cévám v lidském těle, kde je stejně jako zde důležité spojení míst výroby a míst spotřeby. Hromadná doprava ve městě se stala neoddělitelnou a nutnou součástí člověka, jako projev života a jeho potřeb, proto je velmi intenzivní logistickou záležitostí. Denně zajišťuje přepravu velkého množství cestujících směřující za prací, povinnostmi, školou, nákupy, sportem, kulturou apod. Dle konkrétních požadavků a potřeb základní obslužnosti města existují druhy hromadných doprav jakožto závislá trakce (metro, tramvaj, trolejbus) a nezávislá trakce (autobus). V komplexním systému člověk dopravní prostředek dopravní prostředí hraje ústřední roli člověk v roli řidiče. Řízení motorových vozidel ve stále sílícím provozu se stává čím dál tím náročnější činností. Většina zvýšených nároků a plná zodpovědnost je kladena přímo na řidiče vozidla. I přes všechny elektronické systémy používané v dnešním moderních vozidlech, které napomáhají řidiči při ovládání vozidla, nebyl prozatím uveden systém, který by řidiče nahradil a převzal tak zcela kontrolu nad vozidlem, řidič je tak stále klíčovým prvkem pro zajištění bezpečnosti v silničním provozu. Z pohledu silniční dopravy je možné považovat za nejvyšší řidičskou profesi řízení autobusů. Řidič autobusu je určitou formou společenské práce, jde o poslední článek doprav- 23

ního cyklu v přepravě osob. Jeho hlavní činností je přeprava cestujících při dodržení jízdního plánu, který však nesmí být na úkor bezpečnosti či komfortu jízdy. Dochází zde tedy k přímé konfrontaci člověka a techniky, respektive člověka a uplatnění fyzikálních zákonů při ovládání autobusu. Základy mechaniky a fyziky jízdy, jsou proto velice důležité. Při řešení mechaniky však nestačí vyšetřit pouze mechaniku autobusu, nýbrž je potřeba matematicky popsat reakce a jednání řidiče. Matematický popis aktivit řidiče však nemůže být dostatečně přesný, především z toho důvodu, že se nepodařilo jednoznačně stanovit souvislost mezi různými jízdními manévry a tzv. subjektivní ovladatelností, což představuje ovládání autobusu z hlediska lidských schopností. Matematické modelování pohybu autobusu s ohledem na zásahy řidiče do ovládání tohoto vozu sehrává v oblasti bezpečnosti silničního provozu důležitou úlohu a to nejen pro možnosti simulace chování autobusu s analýzou silového působení na autobus, na řidiče, na cestující, ale také z hlediska pochopení mechanismů a dějů, k nimž při jízdě dochází a v neposlední řadě pak i z hlediska homologačních zkoušek nových typů autobusů. 24

Kapitola 2 CÍL PRÁCE Tato práce je založena na předpokladu, že ovládání vozidla řidičem je možné popsat pomocí posloupnosti jednoduchých matematických funkcí. Vzhledem k tomu, že řidič ovládá jakékoliv vozidlo pomocí volantu, brzdového a plynového pedálu a volbou rychlostního stupně lze základní předpoklad této práce splnit volbou těchto funkcí: Pokud budeme popisovat pohyb vozidla v rovinném pravoúhlém souřadném systému lze za tyto základní funkce zvolit: v(t) absolutní velikost rychlosti, na kterou má vliv volba rychlostního stupně a poloha plynového, resp. brzdového pedálu. κ(t) křivost trajektorie vozidla, kterou řidič ovládá natočením volantu, kterým řídí natočení předních kol vozidla. Další parametry, které mají na pohyb vozidla vliv, ale nebudou zahrnuty do uvažovaného idealizovaného matematického modelu jsou: 1. Pohyb po nakloněné rovině jízda do kopce nebo z kopce 2. Nerovinný pohyb projíždění údolím nebo přejezd vrcholu 3. Změna povrchu vozovky 4. Náhodné vnější síly, např. větrné poryvy Vliv těchto parametrů bude diskutován v závěru práce. Taktéž nebude uvažováno rozložení hmotnosti autobusu, závislé na poloze těžiště, tyto údaje podléhají utajení. 25

Cíle této práce jsou: 1. Nalézt přesné řešení inverzního problému kinematiky. Jde o výpočet trajektorie tělesa a dalších významných kinematických veličin pokud známe průběh rychlosti v(t) a křivosti trajektorie κ(t) v závislosti na čase. 2. Provést verifikaci tohoto řešení na jednoduchých případech pohybu. 3. Model popisující pohyb tělesa zobecnit na model pohybu vozidla např. autobusu. 4. Provést verifikaci odvozeného matematického modelu autobusu. 5. Verifikovaný model zobecnit na matematický model pohybu kloubového autobusu, včetně zohlednění klíčových konstrukčních parametrů. 6. Matematický model kloubového autobusu použít pro výpočty kinematických veličin, které charakterizují pohyb kloubového autobusu, zejména: (a) Trajektorie libovolného bodu autobusu (b) Vektory rychlosti a zrychlení kteréhokoliv bodu autobusu. (c) Úhel zalomení kloubu 7. Na základě znalosti výše uvedených kinematických veličin stanovit stopovou a obrysovou trajektorii kloubového autobusu a to jak v závislosti na ovládání autobusu řidičem, tak i na konstrukčních parametrech autobusu. 8. Stanovit velikosti tečných a normálových zrychlení uvnitř autobusu, což je důležité z hlediska sil, které působí na cestující. 9. Stanovit tečné a normálové zrychlení v místech styku jednotlivých kol s vozovkou, což je důležité z hlediska předcházení smyku. Tento model bude konkrétněji odvozen pro stanovení chování nízkopodlažního autobusu Irisbus Citelis 12m a kloubového autobusu Irisbus Citelis 18m a to pro průjezd směrovým obloukem, kdy výsledkem bude určení základních kinematických veličin. 26

Kapitola 3 ŘIDIČ Řízení motorového vozidla je činností kladoucí vysoké nároky na psychické i fyzické schopnosti člověka, což především znamená neustále reagovat na proměnlivé dopravní prostředí. Řidič přijímá v každém okamžiku jízdy informace z provozu, které musí správně a rychle vyhodnotit a přizpůsobit jim své chování, což v tomto smyslu představuje zátěž. Únava jako důsledek zátěže, kterou lze charakterizovat jako fyziologický stav organismu, který je reakcí na vyčerpání zásob energie ve svalových a nervových buňkách je přirozená obrana organismu po dlouhodobé namáhavé fyzické či mentální činnosti, (HAVLÍK, 2005). 3.1 Řidič autobusu MHD Práce řidiče autobusu v městské hromadné dopravě je do značné míry ovlivněna častými zastávkami, kdy považujeme za důležité, aby řidič dokonale ovládal vozidlo, plynule akceleroval či deceleroval při současném otáčení volantem, jízda se tak stane bezpečnou, efektivní a zároveň komfortní. Jeho práce je psychology charakterizovaná jako velmi stresová se zodpovědností jak materiální, (za vozidlo), tak morální, (za cestující). Řidič autobusu přispívá k bezpečnosti v silničním provozu a to jak aktivně, (odvracením možných střetů), tak pasivně (jeho chování nepřímo ovlivňuje velké množství převážených osob). Řízení autobusu v městské hromadné dopravě s sebou nese určitá specifika jízdy. Z pohledu řidiče zde hrají velmi důležitou roli rozměry vozidla. Pro dosažení vysoké obratnosti autobusu je konstruován tak, že má značné převisy karoserie, které však 27

značně ovlivní především jízdu v průběhu zatáčky. Při průjezdu zatáčkou dochází v důsledku převisů ke značným rozdílům ve stopové a obrysové trajektorii. Moderní městské autobusy používané ve městech jsou vybaveny elektronickými a automatizačními prvky, což značně ulehčuje práci řidiče, avšak přináší to s sebou také vlastnosti, kterým se řidič musí přizpůsobit a neustále měnit své chování vzhledem k ovládání autobusu. Hlavní příčinou je časová prodleva reakce autobusu na korekce do řízení a její zpětná vazba. Nutnost přizpůsobení se platí dvojnásob u různých typů autobusů, kdy řidiči musí velice často typ autobusu střídat a rychle se přizpůsobovat více či méně jim nevyhovujícím ergonomickým hlediskům. Svými schopnostmi a možnostmi tak musí kompenzovat nevhodné vlastnosti a parametry stroje. Ochranu osob i vozidla zabezpečují aktivní i pasivní bezpečnostní prvky. Standardním vybavením dnešních městských autobusech je použití protiblokovacího brzdového systému (ABS), který rozděluje brzdné síly působící na jednotlivá kola tak, aby při plném brzdění nebylo žádné kolo delší dobu zablokované a zůstala tak zachována řiditelnost a optimální ovladatelnost autobusu. Se systémem ABS je úzce spojen systém regulace prokluzu kol (ASR), který brání prokluzu kol při rozjezdu na kluzkém povrchu vozovky, zamezuje protáčení některého z hnacích kol a to snížením výkonu motoru případně dávkovanými zásahy do brzdového systému. Elektronický brzdový systém (EBS) nabízí elektronickou regulaci brzdného účinku při použití pneumatických brzd. Během brzdného procesu řídící jednotka nejprve zaktivuje zpomalovací brzdu (retardér), pokud je potřeba výraznějšího zpomalení zajistí řídící jednotka optimální brzdový tlak pro každou nápravu. Elektronický brzdový systém umožňuje dosáhnout podstatně kratší brzdné dráhy spolu s výrazně nižším opotřebením brzdového systému. Rozmístění cestujících, případně jejich zavazadel není v autobusu vždy rovnoměrné, to má za následek, že výška vozu má rozdílnou úroveň u různých kol. Systém elektronické regulace úrovně (ENR) automaticky řídí výšku vozidla u každého kola tak, aby nástupní výška zůstala stále stejná, (MER- CEDES, 2013). 28

Kapitola 4 AUTOBUS Název autobus vznikl z dřívějšího označení pro nekolejové vozidlo veřejné hromadné dopravy tažené koňmi Omnibus, složením slov automobilní omnibus. Autobus je považován za jeden z nejbezpečnějších dopravních prostředků na světě. Z pohledu konstrukce se autobusy v mnohém neliší od nákladních automobilů, autobus je vlastně nákladní vůz přepracovaný pro přepravu osob. 4.1 Rozdělení autobusů Rozdělení vychází z vyhlášky č. 341/2002 Sb. Ministerstva dopravy a spojů o schvalování technické způsobilosti a o technických podmínkách provozu vozidel na pozemních komunikacích, přesněji z přílohy č.18 týkající se podrobného rozdělení druhů silničních a zvláštních vozidel, jejich kategorií a jejich dalšího provedení. 4.1.1 Podle přepravní kapacity Vozidla s obsaditelností nepřesahující 22 cestujících, kromě místa řidiče: Třída A: Autobusy určené pro přepravu sedících i stojících cestujících. Třída B: Autobusy určené pouze pro sedící cestující. Vozidla s obsaditelností přesahující 22 cestujících, kromě místa řidiče: 29

Třída I: Městské autobusy, určené pro hromadnou dopravu osob s častými zastávkami ve městě, čemuž odpovídá rozmístění sedadel, více míst ke stání, madla a tyče na držení za jízdy, většinou disponují třemi dvoukřídlými dveřmi umístěnými v pravé bočnici karoserie, bývají vybaveny automatickými převodovkami a jejich maximální rychlost činí 80 km/h. Třída II: Meziměstské autobusy, určené pro provoz v blízkostech měst a mezi městy. Jsou vyrobeny v zásadě pro sedící cestující, ale umožňují i přepravu stojících cestujících, většinou jsou vybaveny manuální převodovkou a jejich maximální rychlost dosahuje rychlosti 90 km/h. Třída III: Dálkové autobusy (autokary), určeny pro provoz na střední a dlouhé trasy. Prostor pro cestující je řešen tak, aby nabízel co největší pohodlí při cestování, jsou určeny výhradně pro přepravu sedících cestujících a jejich zavazadla. Maximální rychlost dosahuje rychlosti 100 km/h. 4.1.2 Podle konstrukčního uspořádání Malé autobusy: Většinou jsou odvozeny od karosářských provedení dodávkových automobilů s velkým rozvorem náprav, zadní náprava bývá osazována zdvojenými pneumatikami a délka vozu se pohybuje okolo šesti metrů. Sedadla jsou obvykle uspořádána ve třech řadách a přístup do vozu zajišťují boční posuvné dveře. Může se také jednat o běžné autobusy menších rozměrů určené pro provoz v úzkých uličkách s menší přepravní kapacitou než u klasických autobusů, viz.obrázek 4.1. Klasické autobusy: Nejčastěji se jedná o dvounápravové vozidlo, dlouhé dvanáct metrů. Jsou dvojího typu, konvenční konstrukce, kdy se jedná o starší typy vozidel s výškou podlahy cca. 890 mm a dveřmi s výkyvnými křídly směrem ven. Druhým typem je nízkopodlažní konstrukce, použití u novějších vozidel, které nemají schody a výška podlahy vozidla dosahuje cca. 350 mm (za nízkopodlažní se považuje autobus, jehož minimálně 35 % plochy prostoru pro stojící cestující je dosažitelné ze země jedním stupněm), viz.obrázek 4.2. Velkokapacitní autobusy: Vznikly z požadavku větší přepravní kapacity. Patří 30

Obrázek 4.1: Podvozek malého autobusu, (VOLVO, 2012) Obrázek 4.2: Podvozek klasického autobusu, (VOLVO, 2012) sem autobusy patrové, mající dvě podlaží, díky nimž je zvětšena celková kapacita přepravy, tudíž mají větší výšku vozu a délka vozu je srovnatelná s klasickými autobusy. Dalším typem jsou autobusy kloubové, větší kapacity je dosaženo zvětšenou délkou vozidla, nejčastěji osmnáct metrů, kvůli této délce však musí být rozděleny kloubem, který umožňuje natočení přední části vozu vůči části zadní, viz.obrázek 4.3. Spojovací část vozu bývá chráněna měchem, vyrobeným z tkaniny oboustranně povrstvené polyvinylchloridem (PVC). Existují také kloubové autobusy se dvěma klouby, kdy se jedná o uspořádání až čtyřnápravového vozidla označovaného jako metrobus, dlou- 31

hého až dvacet čtyři metrů, kdy spojnice jednotlivých částí je spojena dvěma klouby, viz. obrázek 4.4. Obrázek 4.3: Podvozek kloubového autobusu, (VOLVO, 2012) Obrázek 4.4: Podvozek dvoukloubového autobusu, (VOLVO, 2012) 32

Kapitola 5 KLOUBOVÝ AUTOBUS Je silniční motorové vozidlo určené pro hromadnou přepravu osob, skládající se ze dvou, (případně více), odpružených částí, které jsou trvale spojeny natáčivou konstrukcí nazývanou kloub. Obě části karoserie jsou považovány za tuhá tělesa, která jsou s nápravami spojena vzduchovými pružinami. Přední náprava je řídící, poháněnou nápravou může být náprava střední nebo náprava zadní, ta může být navíc pevná nebo nuceně řízená. Prostor pro cestující je společný, průchozí po celé délce vozidla. Tím je docíleno vysoké přepravní kapacity soupravy při zachování manévrovatelnosti autobusu. Existují dvě základní rozdělení kloubových autobusů podle konstrukčního uspořádání kloubového spojení: Spojení kulovým čepem: Tento typ uspořádání se používal především u autobusů starší konstrukce, které byly tzv. tažné, kde motor byl umístěn v předním díle vozidla a poháněná byla prostřední náprava. Nevýhodou tohoto uspořádání však byla problematická údržba motoru. V tomto uspořádání má zadní náprava hlavní funkci v přenosu hmotnosti vleku autobusu, její provedení je relativně jednoduché a levné, stejně tak, jako možná zástavba řízení závislého na natočení kloubu, např. pomocí mechanické vazby, kdy se kola zadní nápravy natáčela v opačném směru, než kola na nápravě přední. Spojení kulovým čepem je znázorněno na obrázku 5.1. Spojení kuličkovou točnou: Tato koncepce používající se u novějších vozidel je řešena, jako tzv. tlačná, motor se nachází v zadní části vleku a poháněná je 33

zadní náprava. V tomto případě je zástavba řízení zadní nápravy již značně komplikovaná a tedy finančně náročná. Spojení kuličkovou točnou je znázorněno na obrázku 5.2. Obrázek 5.1: Kulový čep Obrázek 5.2: Kuličková točna (KLOUB, 2013) 5.1 Systém tlumení a blokování točny Mezi oběma částmi kloubového autobusu mohou být umístěny hydraulické nebo třecí tlumiče, které tlumí boční kmitání soupravy. Systém tlumení zajišťuje směrové utlumení v podélném směru, zejména při působení bočního větru a při výjezdu ze zatáček tak, aby nedocházelo ke směrovému rozkmitání soupravy. Odstranění rázů, vznikajících při přejíždění příčných nerovností je zajištěno pomocí silentblokových dorazů. Funkci tlumení zajišťuje ve většině případech dvojice hydraulických válců a regulační blok kloubu s elektronickou regulací, skládající se ze dvou typů snímačů, snímače úhlu natočení točny a snímače rychlosti otáčení. Tlačné autobusy mají obvykle blokovací zařízení, které je umístěno mezi předním a zadním vozem, viz. obrázek 5.3. U této koncepce, kdy jsou poháněna kola zadní nápravy, tlačí zadní vůz na vůz přední, a proto zvláště při zatáčení vznikne příčná síla ve spojení obou vozů. Nestačí-li boční vodící síly pneumatik na prostřední nápravě zachytit tuto sílu, dojde ke smyku prostřední nápravy a k tzv. zlomení kloubového autobusu. Z tohoto důvodu se pro zajištění jízdní stability při extrémních jízd- 34

Obrázek 5.3: Blokování kloubu, (KLOUB, 2013) ních podmínkách (zledovatělá vozovka, uježděný sníh) používá blokovací zařízení. Blokování zamezuje nekontrolovatelnému zlomení soupravy, zejména při snížených adhezních podmínkách, které by mělo za následek porušení spoje. Během blokování se kloubový autobus chová jako jedno tuhé těleso. K zapnutí a vypnutí blokování soupravy slouží dva snímače, které jsou umístěny na rámu před točnicovým kruhem. První snímač bývá umístěn proti delšímu náběhu točny, signalizuje zlomení soupravy zpravidla o úhel 46 stupňů, což oznamuje řidiči (světelně i zvukově), že nesmí pokračovat v lámání a je třeba vůz vyrovnat. Druhý snímač, umístěný proti kratšímu náběhu točny, slouží k zablokování vozidla při zlomení o úhel 48 stupňů. Správná funkce tlumení a blokování točny závisí na těsnosti a odvzdušnění hydraulické soustavy, správné funkci elektroniky, správném seřízení a připojení tlaku vzduchu, (KRUMPHOLC, 2010). 35

36

Kapitola 6 JÍZDA SMĚROVÝM OBLOUKEM Odstředivá síla je základním faktorem ovlivňující např. převrácení vozidel, vzniká při jízdě obloukem a to buď při jízdě zatáčkou nebo střídavou změnou směru jízdy např. při změně jízdního pruhu. Odstředivá síla je násobkem hmotnosti vozidla a odstředivého zrychlení. Právě toto zrychlení je možno relativně snadno měřit a použít jako signál pro vyhodnocení jízdní situace jako nebezpečné a hrozící převrácením vozidla, kdy je překročeno tzv. mezní nebezpečné zrychlení. Jedná se především o případy, kdy vozidlo jede obloukem příliš rychle a dostane se na mez, která je určena fyzikálními zákony, které nelze obejít. Z předchozího je jasně, že zmenšení zrychlení lze docílit dvěma způsoby, a to snížením rychlosti jízdy nebo zvětšením poloměru zatáčky. Pokud řidič nesníží rychlost, druhou možností je jet v zatáčce po dráze, jejíž rádius je větší než poloměr zatáčky, (PTÁČEK, 2012). Řidič má průjezd zatáčkou ve své režii, je to právě on, kdo určuje způsob vedení vozidla a ovlivňuje jeho nájezd do zatáčky, začátek a intenzitu brzdění, volbu jízdní trajektorie a místo i intenzitu akcelerace na výjezdu ze zatáčky. To vše závisí nejvíce na jeho cviku, zkušenostech, talentu a odvaze. Jakkoliv se může průjezd zatáčkou jevit jako jednolitý úkon, který musí řidič provést, ve skutečnosti se musí naučit rozdělovat průjezd každou zatáčkou na tři úseky, které jsou znázorněny na obrázku 6.1 a obrázku 6.2. 37

Obrázek 6.1: 1. způsob průjezdu zatáčkou Obrázek 6.2: 2. způsob průjezdu zatáčkou (ZATÁČKA1, 2012) Tři úseky každé zatáčky jsou: Nájezd do zatáčky: První úsek, pro který je charakteristické brzdění před zatáčkou, na obrázcích 6.1 a 6.2 je znázorněn červenou barvou. Průjezd zatáčkou: Následující úsek, pro který je důležité vedení vozidla volantem po jízdní trajektorii, na obrázcích 6.1 a 6.2 je znázorněn modrou barvou. Výjezd ze zatáčky: Konečný úsek, kdy řidič plynule zvyšuje rychlost vozidla pomocí plynového pedálu a vozidlo vede směrem k výjezdu ze zatáčky, na obrázcích 6.1 a 6.2 je znázorněn barvou zelenou. Důležitým bodem každé zatáčky je její vrchol, vžilo se pro něj anglické slůvko apex. Jedná se o bod, kdy je vozidlo nejblíže vnitřní části zatáčky. Z matematického hlediska je apex bodem, ve kterém je křivost trajektorie vozidla maximální. V okamžiku, kdy se vozidlo tzv. dotkne apexu, měla by být zatáčka ukončena, řidič musí zvětšovat poloměr zatáčky a plynule zvyšovat rychlost vozidla. Problémem ovšem zůstává nalezení správného místa, kde si apex zvolit. Každá zatáčka má geometrický vrchol a stopu, která je nejpřímější a nejkratší, ovšem ne vždy se jedná o ideální vrchol a zvolenou stopu z pohledu bezpečnosti a plynulosti, celkové rychlosti nebo času, viz. obrázek 6.3. 38

Obrázek 6.3: Vrchol zatáčky-apex, (ZATÁČKA2, 2013) 6.1 Jízdní stabilita v zatáčce Jízdní stabilita v zatáčce a dobrá ovladatelnost vozidla v kritických situacích patří k prvotním předpokladům aktivní bezpečnosti. Základní podmínkou je přitom přilnavost kol k vozovce, které zajišťují pneumatiky. Každá pneumatika má stanovený limit trakce při akceleraci, při brzdění a při zatáčení. Je to právě pneumatika, která zajišťuje jediný kontakt mezi vozidlem a vozovkou, proto musí nabízet ideální rovnováhu mezi přilnavostí, záběrem, komfortem, tichostí, dlouhou životností, energetickou úsporností a cenou. Hlavním úkolem pneumatiky je přenášet síly, které pohánějí, brzdí a vedou vozidlo a dále nést určitou část tíhy vozidla. Při plnění tohoto hlavního úkolu musí být ještě pneumatika schopná absorbovat nerovnosti na vozovkách s různým charakterem povrchu a zajišťovat při tom hladkou a bezpečnou jízdu, (VLK, 2000). Dynamické vlastnosti vozidla jsou omezeny adhezními podmínkami mezi kolem a vozovkou, které udává µ součinitel adheze, (koeficient tření). Součinitel adheze závisí hlavně na vlastnostech pneumatiky a druhu povrchu vozovky, viz tabulka 6.1, dále pak na rychlosti jízdy a tvaru povrchu. Pneumatika a její omezené možnosti spočívají v tom, že pokud řidič mění směr jízdy vozidla a zároveň vozidlo zpomaluje nebo zrychluje, dostane se pneumatika rychleji na svůj limit a dojde tak ke ztrátě adheze. 39

Povrch vozovky µ Povrch vozovky µ beton asfalt dlažba suchý 0.8 1.0 polní cesta suchá 0.4 0.6 mokrý 0.5 0.8 mokrá 0.3 0.4 suchý 0.6 0.9 tráva suchá 0.4 0.6 mokrý 0.3 0.8 mokrá 0.2 0.5 suchá 0.6 0.9 hluboký písek, sníh 0.2 0.4 mokrá 0.3 0.5 0 C 0.05 0.1 makadam suchý 0.6 0.8 náledí -10 C 0.08 0.15 mokrý 0.3 0.5-20 C 0.15 0.20 Tabulka 6.1: Součinitel adheze na různém povrchu, (BRADÁČ, 1999) Ztrátu adheze lze vysvětlit na diagramu složení sil, které na pneumatiku působí. Graficky je představuje tzv. adhezní elipsa, ohraničující oblast stability jednotlivého kola vozidla. Velikost a směr jednotlivých sil vyjadřují vektory, které se znázorňují šipkami a sčítají se geometrickým skládáním. Výsledný vektor pak udává maximální využitelnou adhezi v požadovaném směru. Síly působící v průběhu jízdy na vozidlo lze rozdělit na: Podélné síly: Vznikají buď hnacím momentem motoru akcelerací, nebo brzděním decerelací. Boční síly: Vznikají především při jízdě v zatáčkách vlivem odstředivé síly působící na vozidlo a také při bočním sklonu vozovky nebo v důsledku působení bočního větru. Přilnavost kola k vozovce je dána vektorovým součtem využité adheze ve směru podélném µ x a směru příčném µ y. Hodnota vektorového součtu těchto dvou sil nesmí překročit mezní hodnotu µ, jinak dojde ke ztratě směrové stability vozidla, viz obrázek 6.4. Celkovou adhezní sílu vozidla udává součet adhezních sil jednotlivých kol, které se mohou lišit v důsledku dynamického zatížení náprav, (BRADÁČ, 1999, cit. VIČÍK, 2011). Adhezní podmínky musí brát řidič v potaz a přizpůsobit jim svou jízdu. Zásahy do řízení je schopen regulovat jak síly podélné, tak příčné a zajistit tak maximální 40

Obrázek 6.4: Adhezní elipsa, (BRADÁČ, 1999) možnou přilnavost pneumatik v dané situaci a na daném povrchu. Významný vliv hraje také případná výška vodního sloupce na vozovce. Pokud dezén pneumatiky nestačí vodu odvádět, dochází k tzv. aquaplaningu, ten představuje ztrátu adhezní síly mezi pneumatikami a vozovkou (tzv. klouzání na vodě) způsobené řádově nižší adhezní schopnosti vody, kdy je síla adheze nepatrná, viz grafy na obrázku 6.5, (BRADÁČ, 1999, cit. VIČÍK, 2011). Obrázek 6.5: Vliv výšky dezénu pneumatiky na vznik aquaplaningu, (ZATAČKA3, 2013) 6.2 Vliv pneumatik Pneumatiky mají mimořádný význam pro jízdní bezpečnost každého silničního vozidla, nejinak je tomu u autobusů. Jedním z možných aspektů, které může ovlivnit řidič svými zásahy do řízení je životnost pneumatik, která závisí na vlastní pneumatice a na provozních podmínkách. K nim náleží rychlost jízdy, teplota a kvalita povrchu vozovky a síly působící ve stopě pneumatiky. Životností rozumíme nejčastěji 41

kilometrický průběh, který pneumatika za daných podmínek vydrží do stavu opotřebení dezénových drážek na zákonem stanovenou hloubku nebo do stavu poruchy pláště. Do životnosti pneumatiky se počítá i protektorování. Autobusové pneumatiky jsou pro městské použití upraveny k obrovskému počtu zastavení a rozjíždění. Pneumatiky musí odolat nárazům od výmolů, kontaktům s obrubníky, včetně občasného najetí na ně a také velmi častým a intenzivním změnám v zatížení. Vyznačují se speciálně utvořenými bočnicemi s širokými rameny, dezénem zabraňujícím zasekávání kamínků, vyšší odolností dezénu proti otěru a za samozřejmost se považuje jejich nízká úroveň hlučnosti. Je zde kladen vysoký důraz na bezpečnost a hospodárnost. Pneumatiky musí zajistit především optimální přenos sil na vozovku, což představuje zajištění spolehlivé adheze u hnacích a brzdných sil, přesné držení stopy a přesnost řízení a v neposlední řadě umožnit maximální kilometrový výkon, (ČERNÝ, 2013). 6.3 Autobus při zatáčení Základními parametry ovlivňující chování autobusu v zatáčce jsou jeho rozměry. Stejně jako u jakéhokoliv vozidla se jedná o délku, šířku a výšku vozidla, dále pak obzvláště důležitými parametry autobusu je rozvor jeho náprav. Oproti jiným vozidlům jsou vyjímečnými parametry značný přední převis karoserie, kdy řídící kola jsou posunuta až daleko za řidiče a také značný zadní převis karoserie, kde se nachází pohonné ústrojí. U kloubového autobusu jsou to navíc parametry určující vzdálenost kloubového spoje od prostřední nápravy a také vzdálenost spoje od nápravy zadní. Při jízdě autobusů v zatáčce sledujeme především šířku jízdního pruhu, vnější obrysový poloměr zatáčení, vnitřní stopový poloměr zatáčení a také vybočení předního a zadního čela. Parametrem ovlivňující šířku jízdního pruhu je velikost předního převisu. Čím menší tato hodnota bude, tím menší bude také vnější obrysový poloměr zatáčení a tím i celková šířka jízdního pruhu. Je zde však omezený prostor pro optimalizaci tohoto parametru, hlavně pak z důvodu šířky předních vstupních dveří do vozidla. Dalším významným faktorem ovlivňující chování autobusu v zatáčce je velikost maximálního úhlu natočení kol přední nápravy, (HERDA, 2008). 42

V praxi těžko odhadnutelným parametrem u autobusů je vybočení zadního čela, respektive poloměr, který opisuje vnější hrana zadního čela autobusu, viz. obrázek 6.6, to platí dvojnásob u autobusů kloubových a autobusů s řízenou zadní nápravou. Tato veličina je závislá v prvé řadě na velikosti zadního převisu karoserie a dále pak u kloubových autobusů na vzdálenosti prostřední nápravy od kloubového spojení autobusu. Šířka jízdního pruhu je dána rozdílem poloměrů a to vnějšího předního obrysového poloměru zatáčení a vnitřního poloměru zadní nápravy autobusu, (HERDA, 2008). Obrázek 6.6: Průjezd zatáčkou dvounápravového autobusu, (MERCEDES, 2013) V případě kloubového autobusu s neřízenými koly zadní nápravy, má zadní náprava tendenci vybočovat více ke středu zatáčení, viz. obrázek 6.7 a tím dochází ke zvětšení šířky jízdního pruhu. Tomuto efektu nelze bez řízení kol zadní nápravy zabránit, lze ho však eliminovat krátkou zadní částí a umístěním kloubu dostatečně daleko od prostřední nápravy. Zamezit zvětšení šířky jízdního pruhu a vybočování zadní části kloubového autobusu směrem ke středu zatáčení je možné pomocí systému řízení kol zadní nápravy, viz obrázek 6.8. Takto je chování zadní nápravy pro řidiče snadněji odhadnutelné, avšak nevýhodou je větší vybočování zadní části autobusu směrem ven ze zatáčky, které je pro řidiče ve zpětném zrcátku obtížně registrovatelné a tudíž značně rizikové, (HERDA, 2008). 43

Obrázek 6.7: Průjezd zatáčkou kloubového autobusu s neřízenou zadní nápravou, ( MERCEDES, 2013) Obrázek 6.8: Průjezd zatáčkou kloubového autobusu s řízenou zadní nápravou, (KAROSA ŠM 16,5 M, 2013) 44

Kapitola 7 MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ Jedná se o tvorbu matematického aparátu, kde je použito pro popis chování soustavy (systému) matematických rovnic. V případě složitých modelů je využito na diferenciálního a integrálního počtu. Používá se především v přírodních vědách (fyzika, chemie, biologie), inženýrských odvětvích (strojnictví, stavebnictví), ale i v sociálních vědách (ekonomie, sociologie, psychologie). Při tvorbě matematického modelu se snažíme celou problematiku řešit pro jednotlivé úseky tzn., že celý děj rozdělíme na jednotlivé části a tyto části matematicky popisujeme. Z částí dále skládáme celkový matematický model. V podstatě lze modelovat veškeré děje, které můžeme a umíme matematicky popsat, (HAKL, 2005). 7.1 Význam matematického modelování Využití matematického modelování má v praxi široký význam, zejména z důvodu možnosti opakované simulace děje při jednoduché změně počátečních (doplňkových) podmínek a možnost vybrat jednoduše vyhovující řešení při dosažení optimálních parametrů. 7.2 Rozdělení matematických modelů Matematické modely můžeme posuzovat mnoha různými systémy, (ŠMÍD, 2011). Lineární a nelineární: Pokud jsou funkce a limity reprezentované lineárními rovnicemi, označuje se model jako lineární. Pokud je alespoň jedna z podmínek 45

nebo limit reprezentovaná nelineární rovnicí, označuje se model jako nelineární. Deterministické a stochastické: Deterministický model vykazuje při opakování pokusu za stejných počátečních i provozních podmínek stejné výsledky, kdežto u stochastického (pravděpodobnostního), modelu je přítomna náhoda, i když jsou počáteční i provozní podmínky stejné. Statické a dynamické: Při statickém modelu se neuvažuje prvek času, kdežto u dynamického modelu ano. Dynamické modely jsou obyčejně reprezentované rekurentními nebo diferenciálními rovnicemi. S parametry soustředěnými nebo rozloženými: Pokud je model homogenní, (v stále stejném stavu v každé části systému), parametry jsou soustředěné. Pokud je model heterogenní, (v různém stavu v různých částech systému), jsou parametry rozložené. Rozložené parametry jsou obyčejně reprezentované parciálními diferenciálními rovnicemi. 7.3 Interpretace a verifikace řešení Z hlediska řešitelnosti není každý matematický model řešitelný, z tohoto důvodu je nutné zavádět jednotlivá zjednodušení, která vedou k řešitelnosti daného problému. Vyřešený matematický model je většinou představován ve formě analytické, tedy soustavou rovnic. V případech, kdy postačuje numerické řešení modelu je interpretace číselnými hodnotami. Po vyřešení modelu je potřeba zvážit, jak velkou měrou byly ovlivněny výsledné hodnoty předchozími zjednodušeními a provést tak vhodně zvolenou formu verifikace řešení. Verifikace slouží k experimentálnímu ověření, zda vyřešený model prezentuje správné údaje. V případě neshody se provede korekce tohoto matematického modelu a celý postup řešení se opakuje, dokud výsledky modelu nebudou v dobré shodě s realitou, (BARTOŇ, 2006). 46

7.4 Stručný popis programu Maple 13 Maple je univerzální matematický program, sdružující numerický i symbolický počet a grafické prostředí. Slouží k matematickým výpočtům, k simulacím (matematickým, fyzikálním, chemickým apod.) a k programování převážně matematických algoritmů. Hlavní nasazení programu Maple najdeme v řešení mnoha matematických i inženýrských problémů. Výsledkem těchto výpočtů mohou být vzorce, rovnice, systémy rovnic, výsledné hodnoty, grafy a animace. Struktura příkazů programu Maple 13 a způsob jejich použití je naprosto nezávislý na operačním systému a druhu počítače na kterém program pracuje. Jediné omezení je dáno použitým hardwarem a softwarem, které limitují velikost a rozsah řešeného problému a tím i způsob řešení, (BUCHAR, 1994). 7.4.1 Základní použité příkazy Maple 13 assign: Přiřadí hodnoty více proměnným nebo množině proměnných. diff: Vypočte derivaci výrazu podle proměnných, které jsou zadány jako parametry. Digits: Nastaví numerickou přesnost programu na požadovaný počet platných cifer. dsolve: Řeší diferenciální rovnice a jejich soustavy. Jedním z parametrů mohou být i počáteční podmínky pro určení integračních konstant. Řešení může být analytické, řadou nebo numerické. evalf: Příkaz, který vyčíslí numericky zadaný výraz na požadovaný počet platných cifer. fsolve: Numerické řešení rovnic, nebo jejich soustav s přesností zadanou příkazem Digits. Řešení probíhá pomocí Newtonovy iterační metody a to i v komplexním oboru. help: Velmi podrobně vysvětlí a popíše příkaz, včetně několika ukázek jeho použití. solve: Příkaz pro řešení algebraických rovnic nebo jejich soustav. Pokud existuje více řešení, tak jednotlivá řešení oddělí čárkou. 47

int Počítá určitý nebo neurčitý integrál zadaného výrazu. Pokud integrál nemá analytické řešení, opíše daný příkaz na obrazovku. limit: Provádí výpočet limity funkcí nebo výrazů. Můžeme požadovat limitu zleva nebo zprava. Pokud limita neexistuje, dává hlášení undefined. Nelze-li limitu spočítat, opíše příkaz na obrazovku podobně jako u integrace. plot Vykreslí plošný graf požadované funkce. Jedním z mnoha parametrů je druh souřadného systému, např. pravoúhlý, polární. Graf může být zadán i parametricky. Grafy je možné uložit do grafických souborů běžných formátů. plot3d: Prostorový graf v pravoúhlých, cylindrických nebo kulových souřadnicích. Umožňuje tvorbu drátěného modelu, plošného modelu, výmaz neviditelných hran, osvětlení, stínování, řeší perspektivu. series: Provádí transformaci požadovaného výrazu nebo funkce do Taylorovy řady. Je možné i specifikovat počet členů řady a počáteční bod řady. simplify: Provede zjednodušení zadaného příkazu. Jednoduché výrazy jsou zjednodušovány automaticky, složitější podle vnitřních parametrů příkazu. subs: Ve funkci nebo proměnné nahradí proměnnou jinou proměnnou nebo výrazem. sum: Provádí výpočet součtu řad. Nelze - li součet určit, opisuje příkaz na obrazovku. Lze - li součet vyjádřit funkcí, vrací tuto funkci. Kromě těchto základních příkazů existuje celá řada dalších příkazů používaných pro řešení komplikovanějších problémů, (BARTOŇ, 1993). 48

Kapitola 8 ZÁKLADNÍ PROBLÉM KINEMATIKY 8.1 Úvod Kinematika popisuje pohyb těles, bez ohledu na jeho příčiny. Při zanedbání rozměrů a tvaru studovaného tělesa je těleso nahrazeno hmotným bodem. Sledujeme geometrii pohybu hmotného bodu po dráze, kdy hmotný bod mění v průběhu času svoji polohu, tzn. mění se i jeho polohový vektor, tedy v pravoúhlé souřadné soustavě platí P (t) = [X(t), Y (t)]. Při znalosti polohového vektoru jsme schopni odvodit i další základní kinematické veličiny, představující vektory rychlosti V (t) a zrychlení A(t). Dále se stanovuje tečné zrychlení At(t), které mění absolutní velikost vektoru rychlosti a normálové zrychlení An(t), které mění směr rychlosti tělesa. Závěrem se odvozují vztahy pro polohový vektor středu oskulační kružnice trajektorie, tedy evoluta trajektorie S(t) = [Sx(t), Sy(t)] a pro poloměr oskulační kružnice R(t). 8.1.1 Vektory zrychlení Pomocí programu Maple odvodíme základní matematické vztahy popisující vektory rychlosti a zrychlení. Provedeme start programu Maple a zpřístupníme knihovnu grafických příkazů. Pro zkrácení a zvýšení přehlednosti odpovědí programu Maple použijeme následu- 49

jící substituce: Ẍ = d2 X(t) dt 2, Ẋ = d X(t) dt, X =X(t), Ÿ = d2 Y (t) dt 2, Ẏ = d Y (t), Y =Y (t). (8.1) dt Obdobné substituce použijeme i pro proměnné x(t) a y(t) a jejich derivace podle času. Dále provedeme definici polohového vektoru P0, viz rovnice (8.2) a vypočteme vektory rychlosti V (8.3), zrychlení A (8.4), zároveň vypočteme absolutní velikost vektoru rychlosti A V (8.5) a absolutní velikost vektoru zrychlení A A (8.6). > restart; with(plots): > P0:=[X(t),Y(t)]; V:=map(u->diff(u,t),P0); > A:=map(u->diff(u,t,t),P0); A_V:=sqrt(add(u^2,u=V)); > A_A:=sqrt(add(u^2,u=A)); P 0 := [X, Y ] (8.2) V := [Ẋ, Ẏ ] (8.3) A := [Ẍ, Ÿ ] (8.4) A V := A A := Ẋ 2 + Ẏ 2 (8.5) Ẍ 2 + Ÿ 2 (8.6) Tečné zrychlení, At, viz rovnice (8.7) vypočteme jako derivaci absolutní velikosti vektoru rychlosti podle času. Normálové zrychlení, An (8.8) je na tečné zrychlení kolmé. Je tak možné jej vypočítat z absolutní velikosti vektoru zrychlení (8.6) a z již vypočteného tečného zrychlení (8.7). > At:=simplify(diff(A_V,t)); > An:=simplify(sqrt(A_A^2-At^2),symbolic); At := Ẋ Ẍ + Ẏ Ÿ Ẋ 2 + Ẏ 2 (8.7) An := Ÿ Ẋ Ẍ Ẏ Ẋ 2 + Ẏ 2 (8.8) 50

8.2 Oskulační kružnice trajektorie V průběhu výpočtu parametrů oskulační kružnice bude nutné opakovaně provést výpočet vzdálenosti dvou bodů. Pro tento výpočet si vytvoříme v Maple funkci D2. Jejím vstupem budou polohové vektory bodů Q1 a Q2: > D2:=unapply(sqrt((Q1[1]-Q2[1])^2+(Q1[2]-Q2[2])^2),Q1,Q2); D2 := (Q1, Q2 ) Q1 1 2 2 Q1 1 Q2 1 + Q2 1 2 + Q1 2 2 2 Q1 2 Q2 2 + Q2 2 2. Trajektorie bodu je křivka, která je zadána jako parametrická funkce času t. V libovolném čase t bude jeho poloha P 0, v čase t+dt bude jeho poloha P 1 a v čase t Dt byla jeho poloha P 2. Polohu bodů P 1 a P 2 je možné pro Dt 0 odvodit pomocí Taylorova rozvoje: > P1:=[X(t)+Dt*diff(X(t),t)+Dt^2/2*diff(X(t),t,t), Y(t)+Dt*diff(Y(t),t)+Dt^2/2*diff(Y(t),t,t)]; > P2:=[X(t)-Dt*diff(X(t),t)+Dt^2/2*diff(X(t),t,t), Y(t)-Dt*diff(Y(t),t)+Dt^2/2*diff(Y(t),t,t)]; P 1 := [X + Dt Ẋ + Dt 2 ] 2 Dt Ẍ, Y + Dt Ẏ + 2 2 Ÿ P 2 := [X Dt Ẋ + Dt 2 ] 2 Dt Ẍ, Y Dt Ẏ + 2 2 Ÿ Nyní máme definované tři body trajektorie P0, P1 a P2. Vzhledem k tomu, že tři body definují kružnici je možné těmito body proložit kružnici se středem na souřadnicích [Sx, Sy] a poloměrem ρ. K výpočtu souřadnic středu kružnice a jejího poloměru je možné využít definici kružnice všechny její body mají od středu stejnou vzdálenost. > S:=[Sx,Sy]: e0:=d2(s,p0)^2=rho^2; > e1:=d2(s,p0)^2=rho^2; e2:=d2(s,p0)^2=rho^2; e0 := Sx 2 2 Sx X + X 2 + Sy 2 2 Sy Y + Y 2 = ρ 2 (8.9) e1 := Sx 2 2 Sx (X + Dt Ẋ + Dt 2 ) 2 Ẍ + (X + Dt Ẋ + Dt 2 ) 2 2 Ẍ +Sy 2 2 Sy (Y + Dt Ẏ + Dt 2 ) 2 Ÿ + (Y + Dt Ẏ + Dt 2 ) 2 (8.10) 2 Ÿ 51