Projekt OPVK - Z.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: eometrie radovaný řetězec úloh Téma: Komolý jehlan utor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy: Komolý jehlan, podstavy, boční stěny, podstavná hrana, boční hrana Úloh (úroveň 1 Předpokládané znalosti: Pythagorova věta, vzorec pro objem komolého jehlanu Vypočítejte objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu, je-li hrana dolní podstavy = 48 cm, hrana horní podstavy = 44 cm a boční hrana b = 24 cm. = 48 cm = 44 cm b = 24 cm V =? Objem tělesa budeme počítat podle vzorce pro objem komolého jehlanu: +, kde v je výška tělesa a S 1 a S 2 jsou obsahy podstav. Protože se jedná o pravidelný komolý jehlan, jsou podstavy čtverce, tedy S 1 = 48 2 cm 2, S 1 = 44 2 cm 2. Výšku tělesa vypočteme jako výšku lichoběžníku, viz obr. b K Strana lichoběžníku je úhlopříčka čtverce, tedy cm, strana je úhlopříčka čtverce, tedy cm. Výšku lichoběžníku v = vypočteme užitím Pythagorovy věty v trojúhelníku K. V tomto trojúhelníku cm. 1
cm Tím máme do vzorce pro výpočet objemu všechny potřebné údaje. ( cm 3 Odpověď: Objem komolého jehlanu je 50 462 cm 3. Úloh (úroveň 2 Předpokládané znalosti: eronův vzorec, vzorec pro objem komolého jehlanu Vypočítejte objem trojbokého komolého jehlanu, jsou-li hrany dolní podstavy = 50 cm, b 1 = 104 cm, c 1 = 126 cm, tělesová výška v = 20 cm a poměr hran horní a dolní podstavy je = 50 cm b 1 = 104 cm c 1 = 126 cm v = 20 cm. V =? Ze zadaného poměru vypočteme hrany horní podstavy, b 2, c 2 : = 25 cm, b 2 = 52 cm, c 2 = 63 cm. Objem tělesa budeme počítat podle vzorce pro objem komolého jehlanu: +, kde v je výška tělesa a S 1 a S 2 jsou obsahy podstav. Je třeba vypočítat obsahy podstav, tj. obsahy trojúhelníků zadaných třemi stranami. Obsah trojúhelníků vypočteme z eronova vzorce:, kde cm cm 2 cm cm 2 Objem ( cm 3 Odpověď: Objem trojbokého komolého jehlanu je 29 400 cm 3. 2
Úloha 3 (úroveň 3 Předpokládané znalosti: goniometrické funkce, obsah lichoběžníku, vzorec pro objem komolého jehlanu Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má podstavné hrany délek 6 cm a 4 cm. oční stěna svírá s rovinou podstavy úhel 60 o. Vypočítejte objem a povrch komolého jehlanu. = 6 cm = 4 cm α = 60 o V =? S =? Objem tělesa budeme počítat podle vzorce pro objem komolého jehlanu: +, kde v je výška tělesa a S 1 a S 2 jsou obsahy podstav. Protože se jedná o pravidelný jehlan, jsou podstavy čtverce, tedy S 1 = 36 cm 2, S 2 = 16 cm 2. Výšku tělesa vypočteme jako výšku rovnoramenného lichoběžníku MKLN z trojúhelníka PKL, viz obr. N M L K N M L P K V trojúhelníku PKL platí: Nyní je možné dosadit do vzorce pro objem komolého jehlanu: ( cm 3,, cm. Povrch tohoto komolého jehlanu sestává ze dvou čtverců (podstavy a čtyř shodných lichoběžníků (plášť tělesa. Obsahy podstav jsou S 1 a S 2 z předchozího výpočtu. Zbývá určit obsah lichoběžníku podle vzorce, kde a a c jsou základny lichoběžníku a v jeho výška. V našem lichoběžníku a =, c =, v = v lichoběžníku MKLN. V trojúhelníku PKL platí:,, cm cm 2 Povrch cm 2 Odpověď: Objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu je cm 3, povrch je 92 cm 2. 3
Úloha 4 (úroveň 3 Předpokládané znalosti: Pythagorova věta, obsah trojúhelníku a lichoběžníku, výška v rovnostranném trojúhelníku, goniometrické funkce, vzorec pro objem komolého jehlanu Určete povrch a objem pravidelného šestibokého komolého jehlanu, znáte-li: a délky, ( podstavných hran a délku b boční hrany, b délky, ( podstavných hran a odchylku boční hrany a roviny podstavy. Povrch tohoto tělesa sestává ze dvou podstav pravidelných šestiúhelníků a šesti shodných lichoběžníků. Objem budeme počítat podle vzorce pro objem komolého jehlanu +. a bychom mohli určit obsah lichoběžníku boční stěny, musíme vypočítat jeho výšku, viz obr. v l b - 2 ( Obsah stěny. Podstava pravidelný šestiúhelník sestává ze šesti shodných rovnostranných trojúhelníků, viz obr. 4
Výška rovnostranného trojúhelníka je, kde a je strana trojúhelníka, pro náš trojúhelník je to tedy. Obsah trojúhelníka se určí podle vzorce. Obsah dolní podstavy komolého jehlanu je. nalogicky obsah dolní podstavy komolého jehlanu je Povrch celého tělesa je.. Pro výpočet objemu komolého jehlanu podle vzorce + potřebujeme znát výšku tělesa. Tu vypočítáme jako výšku lichoběžníku z trojúhelníku J podle Pythagorovy věty, viz obr. v v l, J 5
Objem ( [ ]. Odpověď: Povrch pravidelného komolého šestibokého jehlanu je, jeho objem je. b Obsahy podstav tohoto pravidelného komolého šestibokého jehlanu se určí stejně jako v části a příkladu. Pro výpočet povrchu tělesa musíme určit obsah boční stěny, lichoběžníku. Proto potřebujeme znát jeho výšku. Z lichoběžníku, viz obr., určíme velikost ramene. - cosφ v l - 2,, Výšku rovnoramenného lichoběžníku, viz obr., určíme opět pomocí Pythagorovy věty: (. Obsah lichoběžníku. Povrch celého tělesa je. 6
Pro výpočet objemu potřebujeme znát výšku tělesa. Ta je rovna velikosti výšky lichoběžníku a vypočteme ji z trojúhelníku, viz obr., Objem tělesa vypočteme ze známého vzorce [ ]. Odpověď: Povrch pravidelného komolého šestibokého jehlanu je, jeho objem je. Metodická poznámka: Výpočty objemů a povrchů těles jsou důležitou částí geometrie v prostoru stereometrie. Začínáme na jednoduchých úlohách, postupně přecházíme ke složitějším, kde je zapotřebí některou veličinu do vzorce dopočítat. K tomu je třeba prohlubovat prostorovou představivost, neboť žák musí najít rovinný útvar, ze kterého požadovanou veličinu dopočítá, a potom ji s využitím trigonometrie dopočítat. Tuto představu je vhodné podpořit náčrtkem. U výpočtu povrchu a objemu komolého jehlanu je třeba ještě umět vypočítat obsah mnohoúhelníku a lichoběžníku. Použitá literatura: [1] KRILSTIN, duard. Sbírka úloh z matematiky: pro střední průmyslové školy a střední zemědělské technické školy. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, n. p., 1982, 448 s. Pomocné knihy pro žáky. ISN 6822; 14-348-82. [2] PTÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus. ISN 80-719-6099-3. [3] POMYKLOVÁ, va. Matematika pro gymnázia: stereometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus. ISN 80-719-6004-7. Obrazový materiál: ílo autorky utor: Paedr. Naděžda Kubešová, kubesova@gop.pilsedu.cz 7