= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

Transkript

1 STROMTRI

2 STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje. Věty lze z axiómů a definic logicky odvodit, jejich platnost je třeba dokazovat. Značení: axiómy uklidovské geometrie V věta

3 Základní geometrické objekty bod přímka rovina - značení: velká písmena abecedy - značení: malá písmena abecedy - značení: malá písmena řecké abecedy Stereometrie zkoumá vlastnosti polohové metrické - vzájemná poloha útvarů - odchylky a vzdálenosti útvarů

4 Základní axiómy 1: věma různými body, je určena právě jedna přímka p. 2: Leží-li dva různé body v rovině ρ, pak přímka p jimi určená leží také v rovině ρ. 3: Mají-li dvě různé roviny α, ρ společný bod P, pak mají společnou právě jednu přímku p procházející tímto bodem.

5 Základní axiómy 4: Rovina je jednoznačně určena: a) třemi různými body, které neleží v přímce b) přímkou a bodem, který na ní neleží c) dvěma různoběžnými přímkami d) dvěma různými rovnoběžnými přímkami ρ

6 Vztahy bod - bod, přímka, rovina bod splývá s bodem dva různé body, Značení: = ( ) bod leží na přímce a a bod neleží na přímce a a a bod leží v rovině α α bod neleží v rovině α α α

7 Vzájemná poloha dvou přímek rovnoběžné leží v jedné rovině a nemají společný bod značení: p q b) splývající leží v jedné rovině a mají společných bodů značení: p = q c) různoběžné leží v jedné rovině a mají společný bod (průsečík) značení: p X q d) mimoběžné neleží v jedné rovině (nemají spol. bod)

8 Vzájemná poloha dvou rovin a) rovnoběžné nemají žádný společný bod značení: α ρ b) splývající mají společných bodů značení: α = ρ c) různoběžné mají společnou přímku (průsečnici) značení: α X ρ

9 Vzájemná poloha přímky a roviny a) přímka leží v rovině mají společných bodů značení: q ρ b) přímka je s rovinou rovnoběžná nemají žádný společný bod značení: p ρ c) přímka je s rovinou různoběžná mají jediný společný bod (průsečík) značení: p X ρ

10 vičení Př. 1: Je dána krychle. a) Určete různým způsobem rovinu dolní stěny. b) Rozhodněte, zda v této rovině leží přímky,. Př. 2: ody P, R, S, T, U, V jsou po řadě středy hran,,,,, krychle. Zjistěte, zda leží v téže rovině body???? a) P, R, S, T b),,, c), R, U, V d),, P, V

11 Př. 2 d) V P

12 vičení Př. 3: Je dána krychle. Určete vzájemnou polohu přímek.????? a), b), XY X je střed, Y střed c), d) X, e), mimoběžné Y X různoběžné rovnoběžné mimoběžné různoběžné

13 vičení Y X a) b) c) d) e) Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X

14 vičení Př. 4: Je dána krychle. Určete průsečnici rovin? a),? b), c),? Př. 5: Je dána krychle. ody K, L, M, N jsou po řadě středy stěn,,,. Jaká je vzájemná poloha??? a) přímky KL a roviny. b) přímky LN a roviny. c) přímky K a roviny. rovnoběžné splývající různoběžné

15 vičení 4 a)

16 vičení 4 c)

17 vičení 5 a) b) L N L K c) K

18 vičení Př. 6: Je dán čtyřboký jehlan V. Jaká je vzájemná poloha a) přímky a V. mimoběžné? různoběžné? b) přímky a V. c) přímky a. rovnoběžné? d) přímky a SV,kde S je střed podstavy jehlanu.? mimoběžné

19 vičení V S

20 Odchylka dvou přímek Odchylka α dvou přímek a, b je úhel velikosti 0-90, který má zvolený vrchol V v průsečíku přímek a, b a ramena na daných přímkách. Poznámka: 1) Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0. 2) Odchylka kolmých přímek je 90. 3) Odchylku mimoběžek převedeme na odchylku dvou různoběžek.

21 Odchylka přímky a roviny Odchylka přímky a roviny je rovna úhlu, který svírá přímka se svým pravoúhlým průmětem do této roviny. Odchylka dvou rovin Odchylka dvou rovin je rovna odchylce jejich průsečnic s třetí rovinou, která je k oběma rovinám kolmá.

22 vičení Př. 1: Je dána krychle. Určete odchylku přímek a), 45 b), 90 c), 0 d), Př. 2: Je dán pravid. čtyřboký jehlan V, jehož stěny jsou rovnostr. -ky. Určete odchylku přímek, V. 60 Př. 3: Je dán kvádr : =6 cm, =3 cm, =8 cm. Určete odchylku přímek,. 53 8

23 vičení Př. 1 a) α

24 vičení Př. 1 b) α

25 vičení Př. 1 d) α

26 vičení Př. 2 V α S

27 vičení Př. 3) α

28 vičení Př. 4: Je dána krychle o straně délky 5cm.? Určete odchylku rovin a Př. 5: Je dán pravid. čtyřboký jehlan V, =5 cm,? V =7 cm. Určete odchylku roviny boční stěny a roviny podstavy

29 vičení Př. 4

30 vičení Př. 4 X tg ϕ = X 5 ϕ ϕ S 5 2 2

31 vičení Př. 5 V cos ϕ = 2,5 6,5 V P S ϕ Q 6,5 ϕ P S 2,5 Q

32 Vzdálenost bodu Vzdálenost bodu od přímky p je rovna vzdálenosti bodů P, kde P je pata kolmice vedené bodem k přímce p. Vzdálenost bodu od roviny ρ je rovna vzdálenosti bodu a jeho pravoúhlého průmětu do roviny ρ.

33 vičení Př. 1: Je dána krychle o délce hrany a. Určete vzdálenost a) přímek a a 2 b) rovin a a c) bodu od přímky a 3 2 d) bodu od přímky a Př. 2: Je dán čtyřboký pravidelný jehlan V s délkou hrany podstavy 6 cm a výškou 5cm. Určete vzdálenost bodu od přímky V. 2 3

34 vičení Př. 1 a)

35 vičení Př. 1 a)

36 vičení Př. 1 a) d d = a 2

37 vičení Př. 1 c)

38 vičení Př. 1 c) S d d = a 3 2

39 vičení Př. 1 d)

40 vičení Př. 1 d) d

41 vičení Př. 1 d) a 2 sin ϕ = = a a 2 a 3 sin ϕ = d d X 2 3 = d a a ϕ d = a 2 3

42 vičení Př. 3 V V S

43 vičení Př. 2 V V tgϕ ϕ = VS = S = P sin ϕ = P = 6 d 2 5 d = 6,46 ϕ S 6 2 2

44 Kolmost přímek a rovin Platí: Přímka k je kolmá k rovině ρ právě tehdy, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny. Průsečík kolmice s rovinou je pata kolmice. p α a q α p q p α a q p q α α p a β p p α a p β α β α β Věta 1: aným bodem lze vést k rovině jedinou kolmici. Věta 2: aným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmou rovinu.

45 Kolmost rovin vě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když jedna z nich obsahuje přímku kolmou k druhé rovině. Rovina je kolmá ke dvěma různoběžným rovinám právě tehdy, je-li kolmá k jejich průsečnici.

46 vičení Př. 3: Je dána krychle s délkou hrany 6 cm, bod M je bodem hrany. Určete vzdálenost mimoběžek a) a v = = 6 cm b) a M v = PQ = 6 cm, Q je průsečík M a